Entre el Túria i el Ridaura

He refet un dels estudis geomètrics de la planta de l’Osireion per trobar les errades que hi havia. Es parteix d’un quadrat de costat 2 que s’encreua amb un altre igual per donar la planta rectangular interior, que d’aquesta manera seria de llarga el nombre d’or més dos i evidentment dos d’amplada. La intersecció dels dos quadrat forma un rectangle d’amplada la inversa del quadrat del nombre d’or. Després amb les circumferències circumscrites als dos quadrats és forma el rectangle exterior. S’ha hagut d’utilitzar els nombres irracionals, arrel quadrada de dos i de cinc.

Dels quatre estudis geomètrics que mostra Robert Lawlor al seu llibre, he trobat errades de càlcul en dos d’ells. Supose que són errades d’impremta, ja que no és normal posar a dos distàncies diferents el mateix valor. A un no li trobe cap significat especial, i el darrer m’ha fet gràcia la construcció d’una successió de pentàgons regulars, amb la seva circumferència circumscrita, en proporció àuria, o siga en progressió geomètrica de raó l’invers del nombre d’or.. Al llibre hi ha 6 pentàgons successius que estarien emmarcats a la planta rectangular de l’Osireion.

Un dels llocs on es por observar la proporció àuria és en la relació que hi ha entre la diagonal d’un pentàgon regular i el costat d’aquest. En una màscara del Déu grec Hermes, es pot observar que esta emmarcada dins d’un pentàgon regular amb el centre entre els ulls del Déu. A partir d’aquests es poden formar  dos pentàgons més concèntrics orientats en sentit contrari, en el que un vèrtex del petit coincideix amb el nas del Déu i la base està situada al front. La construcció del primer pentàgon és unint els punts mitjos dels costats del pentàgon original i el més petit fent les diagonals dels dos anteriors pentàgons. Evidentment, un Déu ha de tenir la proporció àuria, o almenys això pensaven els antics grecs.

L’abadia de Glastonbury es coneguda perquè segons la llegenda, la tomba del rei Artur i la reina Ginebra es troben allà. Però també és coneguda per la planta de la capella de Santa Maria i el ús que fa de la màndorla mística en el seu disseny. (Font: Sacred Geometry, de Robert Lawlor).

He fet una recreació amb el programa “Cabri-geometre” partint d’un màndorla central que queda en posició vertical i després afegint altres més. Dues amb el mateix centre, però horitzontals, i dues més a cada costat de la inicial. Amb les tres màndorles verticals i la primera horitzontal es fa un primer rectangle i amb la segona màndorla horitzontal el segon rectangle exterior que formaran la base de la planta. Després no entenc quin propòsit té la construcció d’un hexàgon regular a partir de l’alçada del rectangle exterior. Els càlculs de les dimensions mostren l’ús del nombre irracional, arrel quadrada de tres.

Polígons regulars en la màndorla mística o vesica piscis.

La màndorla o ametlla mística és la figura que queda al intersecar dues circumferències del mateix radi quan una té el centre sobre l’altra. És una figura molt utilitzada per a emmarcar figures religioses. En l’art romànic i bizantí inserien al seu interior, al Crist o la Mare de Déu. Matemàticament, si el radi dels cercles és la unitat, l’alçada de la màndorla és l’arrel quadrada de 3.

A part d’aquestes coses, prenent com a base la màndorla, també es poden construir uns quants polígons regulars: el triangle equilàter, el quadrant i el pentàgon, hexàgon, octàgon, decàgon i dodecàgons regulars. Jo he fet la construcció amb el programa “Cabri-geometre”. Per fer-la has de saber bé quins són els angles interiors de cada polígon, i amb això i un poc de paciència es pot fer el dibuix. El dos primers, el triangle i el quadrat, són senzills. El pentàgon ja costa més i m’ajude de la seva diagonal, per construir-lo (la diagonal és el nombre auri). Per la resta si que utilitze els angle interiors i basant-me en els polígons ja construïts, vaig fent els altres: amb l’ajuda del triangle, obtinc l’hexàgon, amb el quadrat el octàgon, amb el pentàgon el decàgon,  i amb l’hexàgon el dodecàgon.

He reconstruït amb el “cabri-geometre” un dels mosaics que hi ha a l’Alhambra de Granada, el que té el segell de Salomó , una figura estrellada formada per dos quadrats en que les diagonals de cadascun es creuen perpendicularment i amb una flor al mig.

A partir d’un quadrat es fa la figura principal que després per translacions en horitzontal i en vertical, ens donen el mosaic sencer.

Nota posterior: a més del concepte de translació per generar el mosaic sencer, dins de cada quadrat es poden observar simetries centrals (o girs de 180 graus) respecte al centre del quadrat.

Rellegint aquesta novel·la de joventut, basada en el guió de la pel·lícula de Stanley Kubrick,fet entre ell i el director, he trobat aquest bon exemple del que molts estudiant confonen i no saben distingir: la massa del cos i el seu pes, que és un força gravitatòria. 
Nota: l’edició que tinc és en castellà, una col·leció de ciència ficció de l’editorial Orbis.

Potser que a l’interior de la selva no havien llegit mai Arquímedes o no coneixien els seus miralls incendiaris contra la flota romana que assetjava Siracusa. Ara aquest fet és més un mite que una realitat.  Però és clar, en aquesta novel·la és “realisme màgic”.

Bé, es nota que en aquella època, 1918 aproximadament, encara no s’havia demostrat el teorema d’incompletitut de Gödel. Llavors, possiblement, Pla haguera estat el primer a treure-li l’adjectiu a l’assignatura. 

Joseph Louis Lagrange (25 de gener de 1736 – 10 d’abril de 1813) va ser un matemàtic, físic i astrònom italià que després va viure a Prússia i França. Va treballar per a Frederic II de Prússia a Berlín, durant vint anys. Lagrange va demostrar el teorema del valor mitjà, va desenvolupar la mecànica Lagrangiana i va tenir una important contribució en astronomia.