Entre el Túria i el Ridaura

el bloc de vicent

El baptisme de Crist, de Piero della Francesca. Anàlisi geomètric al llibre de Robert Lawlor.

Altra vegada apareix la proporció àuria en un anàlisi al llibre “Sacred Geometry” de Robert Lawlor. En aquest cas és el quadre de Piero della Francesca, El baptisme de Crist. Segons l’autor la progressió geomètrica 1,1/Φ, 1/Φ2, representa a la Santíssima Trinitat, en aquest ordre, Pare, Esperit Sant i Fill. Quin significat té tot açò? No sé, potser un expert en teologia ho pugui esbrinar, però després emmarca al Fill amb el que seria el quart terme d’aquesta progressió. La raó? No la sé. Només m’interessa la construcció geomètrica.

Per Les Travesses en bicicleta.

Avui he descobert una senda que no coneixia per travessar el bosc des del camí de les travesses cap a la carretera de Benaguasil a Pedralba. Puges com si anares al vedat de caça, però t’has de desviar per una senda, pujant a la dreta. El primer que trobes és una cisterna d’aigua abandonada i després va fent pujada suau, per a  baixar a la urbanització que hi ha prop de la carretera. He tornat pel camí que retorna a la zona de La Volta.

Publicat dins de Muntanya | Deixa un comentari

Anàlisi geomètric de l?Osireion al llibre ?Sacred Geometry? de Robert Lawlor-II

Amb el programa “Cabri-geometre” he refet l’anàlisi geomètric de la planta de l’Osireion, que com ja he comentat en els darrers post he trobar erroni. Al llibre diu que la distància entre els dos centres dels cercles que utilitza és el nombre d’or i els cercles grans són de radi 1. Amb aquests nombres i amb l’ajuda de la trigonometria, l’angle que formen els radis del cercles al tocar-se en la intersecció dels mateixos cercles hauria de ser de 108 i com es pot comprovar al dibuix, aquest és aproximadament 70 graus. Per tant les mesures centrals del dibuix de llibre estan errades. La primera vegada que el vaig intentar fer, ho vaig fer partint dels cercles grans i respectant les mesures del llibre, llavors, els cercles interns no s’intersecaven i no es podia fer els pentàgons. Ara he optat per començar pels cercles interns, però llavors les mesures no són les mateixes que al llibre. Aquestes mesures continuen depenent del nombre d’or, però d’una manera no tan simple.

Estudi geomètric de l?Osireion del llibre ?Sacred Geometry?, de Robert Lawlor.

He refet un dels estudis geomètrics de la planta de l’Osireion per trobar les errades que hi havia. Es parteix d’un quadrat de costat 2 que s’encreua amb un altre igual per donar la planta rectangular interior, que d’aquesta manera seria de llarga el nombre d’or més dos i evidentment dos d’amplada. La intersecció dels dos quadrat forma un rectangle d’amplada la inversa del quadrat del nombre d’or. Després amb les circumferències circumscrites als dos quadrats és forma el rectangle exterior. S’ha hagut d’utilitzar els nombres irracionals, arrel quadrada de dos i de cinc.

Successió de pentàgons. L?Osireion al llibre ?Sacred Geometry? de Robert Lawlor.

Dels quatre estudis geomètrics que mostra Robert Lawlor al seu llibre, he trobat errades de càlcul en dos d’ells. Supose que són errades d’impremta, ja que no és normal posar a dos distàncies diferents el mateix valor. A un no li trobe cap significat especial, i el darrer m’ha fet gràcia la construcció d’una successió de pentàgons regulars, amb la seva circumferència circumscrita, en proporció àuria, o siga en progressió geomètrica de raó l’invers del nombre d’or.. Al llibre hi ha 6 pentàgons successius que estarien emmarcats a la planta rectangular de l’Osireion.

La tomba de Petosiris i la proporció àuria

En una pintura trobada a la tomba de Petosiris, un sumo sacerdot  de l’època de la dominació persa d’Egipte. La pintura representa una libació d’un sacerdot sobre una mòmia. En ella, es poden observar dos rectangles en que, si comencem d’un segment de longitud 1, la resta de mesures tindran alguna relació amb el  nombre d’or.

El dubte que tinc és si l’ús de la proporció àuria a la tomba és influència grega o ja era anterior. Petosiris, va viure la conquesta d’Egipte per Alexandre, però sembla que ja de vell. Per tant, el constructor de la tomba, estava hel·lenitzat? O ja utilitzava abans la proporció àuria? O la influència de la cultura grega ja havia arribat al Nil abans d’Alexandre?

Publicat dins de Sense categoria | Deixa un comentari

La màscara d?Hermes, el pentàgon i la proporció àuria.

Un dels llocs on es por observar la proporció àuria és en la relació que hi ha entre la diagonal d’un pentàgon regular i el costat d’aquest. En una màscara del Déu grec Hermes, es pot observar que esta emmarcada dins d’un pentàgon regular amb el centre entre els ulls del Déu. A partir d’aquests es poden formar  dos pentàgons més concèntrics orientats en sentit contrari, en el que un vèrtex del petit coincideix amb el nas del Déu i la base està situada al front. La construcció del primer pentàgon és unint els punts mitjos dels costats del pentàgon original i el més petit fent les diagonals dels dos anteriors pentàgons. Evidentment, un Déu ha de tenir la proporció àuria, o almenys això pensaven els antics grecs.

La màndorla i la capella de Saint Mary de Glastonbury.

L’abadia de Glastonbury es coneguda perquè segons la llegenda, la tomba del rei Artur i la reina Ginebra es troben allà. Però també és coneguda per la planta de la capella de Santa Maria i el ús que fa de la màndorla mística en el seu disseny. (Font: Sacred Geometry, de Robert Lawlor).

He fet una recreació amb el programa “Cabri-geometre” partint d’un màndorla central que queda en posició vertical i després afegint altres més. Dues amb el mateix centre, però horitzontals, i dues més a cada costat de la inicial. Amb les tres màndorles verticals i la primera horitzontal es fa un primer rectangle i amb la segona màndorla horitzontal el segon rectangle exterior que formaran la base de la planta. Després no entenc quin propòsit té la construcció d’un hexàgon regular a partir de l’alçada del rectangle exterior. Els càlculs de les dimensions mostren l’ús del nombre irracional, arrel quadrada de tres.

Màndorla i polígons regulars.

Polígons regulars en la màndorla mística o vesica piscis.

 

La màndorla o ametlla mística és la figura que queda al intersecar dues circumferències del mateix radi quan una té el centre sobre l’altra. És una figura molt utilitzada per a emmarcar figures religioses. En l’art romànic i bizantí inserien al seu interior, al Crist o la Mare de Déu. Matemàticament, si el radi dels cercles és la unitat, l’alçada de la màndorla és l’arrel quadrada de 3.

A part d’aquestes coses, prenent com a base la màndorla, també es poden construir uns quants polígons regulars: el triangle equilàter, el quadrant i el pentàgon, hexàgon, octàgon, decàgon i dodecàgons regulars. Jo he fet la construcció amb el programa “Cabri-geometre”. Per fer-la has de saber bé quins són els angles interiors de cada polígon, i amb això i un poc de paciència es pot fer el dibuix. El dos primers, el triangle i el quadrat, són senzills. El pentàgon ja costa més i m’ajude de la seva diagonal, per construir-lo (la diagonal és el nombre auri). Per la resta si que utilitze els angle interiors i basant-me en els polígons ja construïts, vaig fent els altres: amb l’ajuda del triangle, obtinc l’hexàgon, amb el quadrat el octàgon, amb el pentàgon el decàgon,  i amb l’hexàgon el dodecàgon.

Mosaics de L?Alhambra. Segell de Salomó.

He reconstruït amb el “cabri-geometre” un dels mosaics que hi ha a l’Alhambra de Granada, el que té el segell de Salomó , una figura estrellada formada per dos quadrats en que les diagonals de cadascun es creuen perpendicularment i amb una flor al mig.

A partir d’un quadrat es fa la figura principal que després per translacions en horitzontal i en vertical, ens donen el mosaic sencer.

Nota posterior: a més del concepte de translació per generar el mosaic sencer, dins de cada quadrat es poden observar simetries centrals (o girs de 180 graus) respecte al centre del quadrat.

2001, una odissea a l’espai, d’Arthur C. Clarke. Massa i pes.

“…En la Luna, el cuerpo humano habia de aprender toda una nueva serie de reflejos. Tenia que distinguir, por primera vez, entre masa i peso.
Un hombre que pesara noventa kilos en la Tierra podria sentirse encantado al descubrir que en la Luna su peso era sólo de quince. En tanto se moviera en linea recta y a velocidad  uniforme, experimentaba una marvillosa sensación de flotar. Pero en cuanto intentara canviar de trayectoria, doblar esquinas, o detenerse de súbito….entonces descubriria que seguían existeiendo sus novento kilos de masa, o inercia. Pues ello era fijo e inalterable..lo mismo en la Tierra, la Luna, el Sol o en el espacio libre.”

Rellegint aquesta novel·la de joventut, basada en el guió de la pel·lícula de Stanley Kubrick,fet entre ell i el director, he trobat aquest bon exemple del que molts estudiant confonen i no saben distingir: la massa del cos i el seu pes, que és un força gravitatòria. 
Nota: l’edició que tinc és en castellà, una col·leció de ciència ficció de l’editorial Orbis.

Anàlisi geomètric de la façana del Partenó d?Atenes de Tons Brunes.

Anàlisi geomètric de la façana del Partenó d’Atenes de Tons Brunes.

 

He intentat reconstruir l’anàlisi geomètric de la façana del Partenó de l’Acròpoli que va fer Tons Brunes en els seu llibre  The Secrets of Ancient Geometry. Però no sé si per falta d’informació o incapacitat meva l’he fet a partir de tres punts: els vèrtexs de la base i el vèrtex superior del triangle que forma la coberta del temple.

Prenent aquests tres punts per inicials he construït quatre quadrats un dins dels altres que emmarquen parts de la façana. Hi ha una relació entre el primer i el segon, i aquesta és que estan en  proporció 1:4/5. El tercer va per lliure, depenent de l’alçada de l’edifici; i el quart és la meitat del segon (en longitud), es a dir, en proporció 1: 2/5 del primer.

La meva primera intenció era fer la construcció basant-me només amb la base de la figura, però després de molts intents, no trobava com construir el tercer en relació amb els altres quadrats. Vaig provar centrant el quadrat en algun dels quatre centres del triangle, però no m’encaixava en cap cas amb el que havia fet Tons Brunes. I inclòs vaig  construir un esquema del Partenó basant-me en les relaciona aures que hi ha en ell, per després fer la construcció de Brunes damunt i tampoc vaig obtenir els resultats desitjats. Per tant vaig decidir deixar el tercer quadrat lliure depenent de l’alçada de l’edifici.

Per fer el dibuix he utilitzat el programa Geogebra que hem permet treballar damunt d’una imatge.

Potser si algú sap més que jo, em podria ajudar a resoldre els dubtes plantejats.

 

Restar portant-ne. Nou mètode, almenys per mi, que ja tinc una edat.

El meu fill fa segon de primària i enguany comença les restes portant. Algunes mares m’havien espantat. Que si farien una reunió per explicar als pares com es fa, que si tal, que si qual. Llavors a l’hora de la veritat, no vaig poder a la famosa reunió i la mestra em va passar “les instruccions” del mou mètode fotocopiades, i com ja em temia, no era res de l’altre món. A diferència de com ens varen ensenyar a nosaltres, ara, en lloc d’afegir un al subtrahend, en treuen un de minuend, per tant el resultat queda invariable. També potser que degut a la meva feina, ho capte més ràpid que els altres pares i sense cap ajuda.
Ací vos deixe la fulla amb 5 exemples de com es resta portant-ne amb el nou mètode. Agraïsc a les mestres de 2n de primària del CEIP Sant Vicent Ferrer de Llíria la informació que m’han donat com a pare. 
 

Rutes matemàtiques a València: Del mercat de Colom a La Nau.

Aquesta és una de les cinc rutes matemàtiques que es poden fer a la ciutat de València, seguint els itineraris publicats per Onofre Monzó, Luís Puig i Tomàs Queralt en unes petites guies editades per la Càtedra de divulgació científica de la Universitat de València.
La ruta que hem fet, que és la quarta, comença al carrer Ciril Amorós 29, edifici modernista de l’arquitecte Vicent Ferrer, on es poden observar diferents aspectes geomètrics i de proporcionalitat aplicats a l’arquitectura. D’allà anem al Mercat de Colom on, a més del que hem vist abans, es poden observar diferents corbes i superfícies utilitzades pels arquitectes modernistes. Ací han fet una pràctica de mesurar l’alçada del mercat usant triangles semblants i utilitzant un mirall a terra.
Enfilant pel carrer Jorge Juan, arribem fins al carrer de Colom i allà a la Porta del Mar. Aquest carrer, porta el nom del matemàtic de Novelda que va a anar a mesurar l’arc d’un grau de meridià al Virregnat del Perú, al segle XVIII, amb els francesos Godein Bouquer i La Condamine. La guia ha fet una petita història sobre la raó del metre com a unitat de mesura i sobre la forma de la terra. També en una façana del carrer de Colom es pot veure una visualització de les coordenades cartesianes.
Al Parterre, davant de l’estàtua de Jaume I, hem fet unes pràctiques d’estimació. Una per estimar el vòlum i l’àrea d’un fícus i un altra per estimar la gent que participa en les manifestacions. Finalment, utilitzant la tangent  hem calculat l’alçada de l’estàtua de Jaume I
Hem acabat a la plaça de Patriarca, on hem finalitzat amb una petita demostració de la proporació aurea, en el propi cos, per veure si es semblavem a l’home de Vitruvi.
Nota: la ruta editada no és exactament així, però t’has d’adaptar a les cincumstàncies que trobes: temps, obres,…. i nivell i aptitud dels alumnes