Entre el Túria i el Ridaura

Avui els cupó de l’ONCE anava dedicat al matemàtic, mariner, geògraf, militar,….i fins i tot espia, Jordi Joan i Santacília, de Novelda. Enguany fa 300 anys del seu naixement, concretament el passat dia 5 de gener i l’ONCE fa aquest cupó conmemoratiu del fet. 

Si a la figura bàsica del pètal, enlloc de fer-li simples translacions, li fem girs de 120 graus, tenim tres pètals en els que encaixen perfectament tres pètals més en posició inversa. Llavors  poden fer un rajola hexàgonal per fer més mosaics. Aquest disseny, crec que no es va portat a la pràctica a l’Alhambra, però si que el tenien pensat teòricament.

Un mosaic senzill és el pètal. Es fa a partir d’un rombe format per dos triangles equilàters, tallant un arc dels costats inferiors del rombe i pegant-los als costats superiors del rombe, així ens assegurem que continuem cobrint el pla. Si a aquesta figura bàsica li aplique les translacions necessàries tenim el mosaic dels banys del Palau de Comares.

Un altra mosaic més senzill, però no tant. A primera vista m’havia semblant que es construiria a partir d’un hexàgon regular, però no, es fa a partir d’un triangle equilàter, com podeu veure a la imatge, i fent simetries d’aquest. Una vegada tens la figura formada per les tres fletxes, només cal fer les translacions necesàries per omplir el pla. M’ha costat trobar-ho ja que les fotos que tenia al llibre estaven no estaven fetes en perpendicular al pla del mosaic, i llavors la figura sortia distorsionada.

Aquest m’ha costat més de fer i no estic molt content, els ocells m’ha eixit prims respecte a la foto que he vist al llibre “Èpsilon”, però és que m’ha costat molt trobar una curvatura als ocells que em quedara bé. Aquests ocells no són com els anteriors, es fan amb altres corbes. Si intentes fer la rajola bàsica començant pels ocells i fent com als altres mosaics, no encaixa. He procedit al contrari, fer primer els dos hexàgons regulara concèntrica i després fer els ocells amb corbes que els facen encaixar dins de cada triangle que forma l’hexàgon. El segon pas seria fer les  simetries i translacions adients, i el tercer fer encaixar la resta de rajoles bàsiques amb translacions.¡ per ocupar tot l’espai.
Segons el llibre, d’aquest mosaic només es conserva una rajola  al museu de l’Alhambra. 

Una altra variació sobre el mateix disseny és alternar les estrelles de sis puntes amb l’hexàgon regular que la conté. Com sempre, perdoneu la meva poca traça al dibuixar.

Si al mig del pardalet posem centrada una estrella de sis puntes tangent a la frontera de la figura tenim un altre dels mosaics nassarites.
Nota: a l’escannejar, encara es fan més evidents els meus defectes com a dibuixant. 

Aquest mosaic tambè és senzill de fer. Es fa a partir d’un triangle equilàter, tallant i pegant un arc d’una circumferència que passe pel vèrtex del triangle, el punt mitjà d’el costat contigu i el punt mitjà del costa contigu del triangle que quedaria a sota en posició contrària a l’anterior. Una vegada feta aquesta figura bàsica només cal fer girs de 60 grau al voltant del vèrtex i anar traslladant aquesta figura fins a completar el pla.
Aquest és el disseny més bàsic, es poden fer altres combinacions, i tambè és pot fer l’ocellet d’altres maneres, de forma que amb més o menys curvatura. 
Un petit problema amb el “Cabri-geometre”, el programa no fa figures corbes complicades i per tant no he pogut pintar-les amb el programa. Ho he fet a mà i jo, pintant, sempre he estat molt dolent.

Baixem un poc el nivell, aquest mosaic és més senzill de fer. Es pren com a base un quadrat, i retallant i pegant, s’obtè el polígon bàsic, el polígon Nassarita, que continua cobrint el pla. Ara només cal fer un gir de 90 graus i anar fent translacions. Però, aquesta senzillesa és el millor d’ell, ja que així un alumne pot veure fàcilment el concepte de translació en diferents direccions, el concepte de gir, i el de simetria.  Compte que si es pinta de qualsevol manera, aquestes propietats es poden no complir, per tant s’han d’utilitzar els colors de manera correcta per mantenir-les.
Nota: en castellà, aquest polígon Nassarita, també és conegut per “polihueso”. No he trobat en català cap paraula alternativa i no vull cometre la gosadia d’inventar-me-la. 

El vaig veure en el llibre “Sacred Geometry” de Robert Lawlor, i fins que no l’he reconstruït amb el Cabri-geometre no he parat. He fet un quadrat bàsic i una vegada acabat només cal fer translacions. Ara el quadrat bàsic a costat i encara tinc dubtes sobre les proporcions.
Bon any a tothom. 

Una estrella que m’ha costat molt de fer, ja que cercava la perfecció, fins que vaig veure la frase següent en una pàgina web:”Very few Sri Yantras achieve perfect concurrency. Mathematically speaking it is not possible.”.
 I jo, trencant-me el cap, cercant la perfecció en cada línia! Però clar, amb la fama que tenen aquestes coses orientals, un es confia i….. Res, com els grecs res, aquests no feien trampes, almenys que jo recorde. Vos deixe l’estrelleta del Sri Yantra amb les felicitacions de Nadal i del proper any. La figura consisteix en intersecar 9 triangles isòscel·les, 4 apuntant cap a dalt i 5 cap a baix de manera que encaixen i formen aquesta estrella dins de la circumferència. Un veritable bullit. He vist diverses construccións, i evidentment, cap arribava a la pefecció que volia, o siga fer-la només amb regla i compàs.

 

Una expansió gnomònica és quan una figura s’expandeix conservant la seva forma.  He trobat una expansió gnomònica d’un quadrat basada amb el nombre d’or, que segons l’autor del llibre “Sacred Geometry”, Robert Lawlor, es pot observar a la planta del temple egipci de Luxor.

Partint d’un quadrat de costat unitat, va fent quadrats amb el mateix vèrtex de longituds basades amb la proporció àuria. Aquest longituds en ordre creixent serien: (veure arxiu adjunt) , on ? és el nombre d’or.

He trobat una errada, possiblement d’impremta, ja que al llibre sembla que el penúltim quadrat es construeix a partir del cinquè, i es fa a partir del quart.

Els últims tres quadrats no estan dibuixats, només està dibuixat la seva base.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,………… Què tenen en comú tota aquesta llista de nombres? Doncs que un terme és la suma del dos termes anteriors. És la famosa successió de Fibonacci, donada per una formula recurrent, i amb dos valors inicials, en aquest cas els dos primers són la unitat. Amb aquesta successió es compleix que si fem els quocients entre un terme i l’anterior tenim una nova successió, que en aquest cas és convergent cap al nombre d’or, φ.

Amb aquesta successió es pot construir una espiral de manera que el radi d’aquesta augmenta segons els termes de la successió. Però si al mateix temps dibuixe una espiral amb els termes de la successió 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29,….. la relació que resulta entre els termes de les dues successions em dona un altra que convergeix cap a l’arrel quadrada de 5.

Aquest tipus d’espirals ixen  molt en molts creixements naturals, el més famós la conca del Nautilius pompilius. També eren utilitzades pels antics per calcular aproximacions dels nombres irracionals.

Per fer-les he seguit les instruccions del llibre “Sacred Geometry”, de Robert Lawlor.

Amb el programa “Cabri-geometre” he refet l’anàlisi geomètric de la planta de l’Osireion, que com ja he comentat en els darrers post he trobar erroni. Al llibre diu que la distància entre els dos centres dels cercles que utilitza és el nombre d’or i els cercles grans són de radi 1. Amb aquests nombres i amb l’ajuda de la trigonometria, l’angle que formen els radis del cercles al tocar-se en la intersecció dels mateixos cercles hauria de ser de 108 i com es pot comprovar al dibuix, aquest és aproximadament 70 graus. Per tant les mesures centrals del dibuix de llibre estan errades. La primera vegada que el vaig intentar fer, ho vaig fer partint dels cercles grans i respectant les mesures del llibre, llavors, els cercles interns no s’intersecaven i no es podia fer els pentàgons. Ara he optat per començar pels cercles interns, però llavors les mesures no són les mateixes que al llibre. Aquestes mesures continuen depenent del nombre d’or, però d’una manera no tan simple.