Sempre m’han agradat els problemes que sembla que no hi ha prou dades per resoldre’ls o que n’hi ha que a primera vista semblen irrellevants. Avui en proposo dos.

El primer problema me’l van posar quan anava a escola —un company, no pas el mestre que aquestes coses no les feien gaire—. L’he tornat a veure una infinitat de vegades, fins i tot en textos de fa més de cent anys, per a mi és un clàssic. Com molts problemes d’aquesta mena, es presenta en forma de diàleg entre dues persones que es suposen lògiques i sense errors de càlcul.

—Jo tinc tres filles.
—I quines edats tenen?
—Si les multipliques et resulta trenta-sis.
—Amb això no puc esbrinar les edats.
—Et puc dir que si les sumes, obtindràs aquest número que està escrit aquí.
—Amb això tampoc no puc esbrinar les edats.
—La gran toca el piano.
—Ara sí que sé les edats.

Quines són les edats de les tres filles.

❀ ❀ ❀

El segon problema és meu i se’m va acudir fa uns dies mentre examinava unes dades que ja tenia des de feia molts anys, sobre els nombres escrits en català. He de reconèixer que el podria estendre a nombres més grans, potser i tot fins l’infinit, però tal com el tinc ara crec que ja és prou interessant. Com la majoria dels problemes relacionats amb l’escriptura en lletres dels nombres, és intraduïble. A més, faig servir unes poques convencions arbitràries per tal de no convertir-lo en un problema múltiple sense valor afegit: així cada nombre s’escriu exclusivament d’una sola manera.

• Ens referim exclusivament als nombres naturals, ni fraccions, decimals o negatius.
• Emprem sempre la forma «un» en detriment d’«u».
• També sempre el masculí, ni «una» ni «dues».
• Tampoc variants dialectals.
• Els guionets d’alguns nombres no compten.

—Tinc escrit un nombre natural, en lletres i en català, en un paper dins d’aquest sobre. L‘has d’esbrinar.
—Em pots donar alguna pista?
—És menor que deu mil.
—Amb aquesta pista no en tinc prou.
—Si et dic la divisió entre el nombre de consonants i de vocals que he fet servir, sí que podràs trobar quin és.
—No cal que em diguis el resultat, ja sé quin nombre has escrit.

Quin és aquests nombre?

Aprofitant que és el darrer dia de l’any, avui posaré pistes i solucions d’alguns dels enigmes que he anat posat al bloc, concretament dels més antics. No sempre serà la solució explícita, en alguns casos només una indicació de com trobar-la o el resultat final deixat a l’aire algun pas intermedi.

▉ Un problema per començar
H o V: FISIC • EDITA • REMER • RIERA • INOIT ••• V o H: FERRI • IDEIN • SIMEO • ITERI • CARAT

▉ A mi, això no m’ho han ensenyat a fer
Cada figura és simètrica respecte un eix vertical, només cal mirar la meitat de la dreta per veure què són.

▉ Què és? Exemple 1, “cadenes de moto”
Cada cadena té cinc baules, plegades d’una manera diferent, però no hi ha tots els plecs possibles d’una cadena de cinc baules. Cal, en conseqüència, cercar-les totes i col·locar-les en un rectangle.

▉ Pentòminos, joc i eina educativa
És el número de «puntes» que té cadascun dels pentòminos, entenent per punta un quadrat amb tres costats exteriors. Les figures verdes en tenen tres, les brunes dos, la blava un, i la vermella quatre. He de confessar que quan he volgut posar aquesta solució, no la recordava i m’he passat una bona estona provant hipòtesis, bàsicament en el sentit de veure quantes i de quina manera, peces més petites com dòminos, per exemple, cabien en cadascun dels pentòminos, que era el que em semblava recordar de la clau de l’enigma. Era una falsa memòria, segurament ho vaig pensar quan escrivia l’entrada, però al final em vaig decidir pel problema de les puntes.

A l’esquerra, els pentominós amb les «puntes» destacades.

▉ La velocitat de la llum, a casa
Treu el plat giratori del forn de microones. Col·loca-hi, sobre un paper, dues llesques de formatge una a continuació de l’altre. Encén el microones uns pocs segons fins que el formatge es comenci a fondre. Observa que s’ha fos a franges, cadascuna correspon a un màxim o un mínim de les microones generades pel forn. Mesura amb el regle o cinta mètrica la distància entre dues franges no consecutives, seran dos màxims o mínims o sigui que mesuraràs la longitud, d’ona. Probablement et resultaran uns o,12 metres. Gira el microones i a la placa llegeix la freqüència. Probablement serà 2,45 GHz. Sabent la longitud d’ona (λ) i la freqüència (ν), la velocitat (c) s’obté per la fórmula c = λ·ν, o sigui 0,12 × 2,45·10⁹, o sigui 2,94·10⁸, amb un error de només el 2%.

▉ L’Enciclopèdia desordenada
Els volums estan per ordre alfabètic, escrivint en nombre en lletres.

▉ Un triangle misteriós, per pensar una mica
Aquí, una manera de resoldre el problema és escriure un programa que faci el procés descrit i veure’n el resultat. La figura que surt és precisament la D, el triangle de Sierpinski. El motiu és que els punts de la figura, desplaçats a escala meitat en direcció a qualsevol dels vèrtex, han de correspondre a punts de la figura, que és precisament una de les definicions del triangle de Sierpinski.

▉ Horitzons llunyans. Foto incògnita
La muntanya del fons, esquerra fins el centre, és la serra del Cadí. La de la dreta el Pedraforca, amb el pollegó inferior ocultant gran part del superior. El poble és Calaf, identificable pel campanar. La foto es va fer des del costat del dolmen dels Plans de Ferran, al límit entre l’Anoia i la Conca de Barberà.

▉ Els rellotges, per exemple
El gnòmon s’ha d’orientar paral·lel al eix de la terra. A Catalunya això vol dir en direcció nord-sud inclinat uns 42 graus respecte la vertical.

▉ Problemes i metaproblemes: multiplicacions amb sets
953 × 298 = 283994

▉ Petits misteris a la foto
La foto travessa pràcticament tot Barcelona. El requadre verd correspon al calvari amb la creu al Parc Güell. El requadre groc és la cúpula de la Rotonda, i la foto es va fer des del mirador de la carretera de Vallvidrera.

▉ 2019 a la calculadora
((22*2+2)*22-2)*2-2/2 = 2019

▉ Seixanta-quatre igual a seixanta-cinc?
La il·lustració és tramposa, les peces de la dreta, col·locades al rectangle de l’esquerra, no encaixen perfectament i deixarien a la diagonal una mica d’espai, que en concret té la superfície d’un quadret.

▉ Daus i dòminos
La solució és la imatge de la dreta.

▉ Una muntanya massa llunyana
La muntanya es pot veure per culpa de la refracció atmosfèrica que fa que la llum, en direccions properes a l’horitzontal, es desvii de la línia recta degut al diferent índex de refracció de les capes atmosfèriques a diferents alçades. L’efecte és prou gran prop de l’horitzó, una mica més de mig grau, aproximadament el diàmetre del Sol.
O sigui que no hi ha trampa, es poden veure muntanyes per sota la línia de l’horitzó degut a l’atmosfera.
La muntanya és el Canigó, de 2785 metres d’alçada. La foto de la dreta és des de Perpinyà i la de l’esquerra des de Marsella, a gairebé 251 km. aprofitant un dels dos dies de l’any que el Sol es lleva des de darrera la muntanya.

▉ Quatre estanys al Principat
Estany d’Ivars i Vila-Sana, era molt més reduït i sovint sec fins que les aigües sobrants dels regadius del canal d’Urgell van elevar considerablement el nivell. Amb posterioritat, l’any 1951 és va assecar artificialment —posteriorment hi havia una plantació de pereres al centre— i vers el 2003 es va començar la recuperació.
Estany de Graugés. Gran bassa o embassament creat l’any 1909 al terme d’Avià al Berguedà. Actualment està en desús respecte la finalitat original.
Estany de Montcortès, natural, d’origen càrstic provinent de l’esfondrament de coves sota d’ell. La major part de l’aigua que rep és subterrània.
Pèlags de Vilobí del Penedès. Antigues pedreres de guix, explotades des d’època romana, que en quedar en desús l’any 1993 es van inundar. La gran fa més de 400 metres de llarg.

Avui, una petita broma molt curta que no se’m va acudir ahir, dia dels innocents.

A les il·lustracions, totes amb llicència lliure i extretes de la Viquipèdia, s’hi poden veure una sèrie de personatges o símbols amb un número sota. La primera fila és internacional.

La segona és més nostrada…

Es tracta d’esbrinar què representen els números sota els personatges.

Radical ho empro aquí en sentit d’anar a l’arrel, de cercar solucions no a base de canviar els detalls concrets, sinó en la manera global de fer des del començament.

❀ ❀ ❀

Encara que no explícitament, de ben petit vaig veure la diferència pedagògica entre posar problemes i exercicis.

Un dia, a classe, a l’edat que es suposava que els nens havien d’aprendre a multiplicar per diverses xifres una vegada assolides les taules, el mestre ens va posar una sèrie de multiplicacions. Eren d’un quadern que començava amb les més senzilles d’una sola xifra fins arribar a algunes de molt grosses a les darreres pàgines. En aquell cas ens va fer fer com una dotzena de multiplicacions entre nombres, crec recordar, de tres xifres.

Feia anys que en sabia fer, i les vaig fer molt més ràpid que el que el mestre esperava. Quan em vaig aixecar i li vaig dur el quadern, ell ràpidament va consultar «el quadern del mestre» on estaven resoltes totes les multiplicacions i, aproximadament, em va dir:

—Molt bé, molt bé. Vinga! mentre els teus companys acaben la feina, tu pots fer aquesta dotzena més de multiplicacions.

Vaig deduir ràpidament que no era bo que el mestre sabés que multiplicava més ràpid que els altres.

I intuïtivament vaig anar pensant que fer exercicis d’aquella mena no em servia de res, ja era prou ràpid, exacte i ni tan sols amb multiplicacions de les grosses hagués après res de nou, ja en sabia fer. Però omplir el quadern era una rutina, com la majoria de les activitats de l’escola, per la qual s’havia de passar independentment de que servís o no. Per cert, que va ser a conseqüència de l’episodi dels exercicis extres que vaig decidir, per pura revenja, que a partir d’aquell moment, tots els exercicis d’aritmètica de deures a casa, els faria amb la calculadora —una Brunsviga— que tenia el pare, copiant els resultats sense fer realment l’operació. I no, treballar amb calculadora molt abans de l’arribada de les electròniques no em va representar cap minva en la capacitat de calcular de memòria o a mà.

Calculadora com la que feia servir per fer les operacions dels deures. No és la original i funciona perfectament.

A canvi de l’exercici de multiplicar, per a mi, fer-ho a màquina sí que va resultar un problema interessant i emocionant: aprendre a fer funcionar la Brunsviga —sense instruccions— amb agilitat i precisió i, encara més, entendre com s’ho feia per multiplicar o dividir. Cada pas que aconseguies en aquests sentits, tenies una gran satisfacció.

Certament que alguna vegada a l’escola hi apareixia un problema, definint-lo com una activitat que no es podia resoldre aplicant maquinalment unes regles més o menys explícites. Però poques, i en ocasions em resultava un problema senzillament perquè volia veure si em sortia per mètodes totalment diferents als que ens havien explicat.

Se’m pot dir que la majoria dels nens no eren com jo. Probablement era cert, però malauradament crec que ho era perquè ja els havien matat la curiositat.

I fer molts exercicis és una bona manera de matar la curiositat.

Molts anys més tard, em vaig dedicar a recopilar problemes, naturalment que dels temes als que era més aficionat. I més endavant en vaig començar a crear de propis. La majoria amb nombres o geometria elemental, o sigui que no cal gaire cultura específica pròpia per resoldre’ls com seria el cas de problemes sobre literatura on cal normalment conèixer un corpus gran d’elements per poder-hi treballar. De totes maneres, des que hi ha internet, en tenir a l’abast bases de dades, en sentit genèric, molt més grans que els llibres que hom pot consultar habitualment, he anat introduint altres temes, com el de la localització geogràfica.

Problema meu: cal trobar quina xifra representa cada lletra per tal que la suma sigui correcta. La solució és única

Potser sí que sé crear problemes, però altra cosa és introduir la pedagogia del problema a l’ensenyament. Potser el que jo faig és el primer pas més fàcil.

El problema s’adapta malament al sistema usual. Per una banda, el temps necessari per resoldre’l —i amb resultats pedagògics similars— pot anar de pocs minuts a molts dies de reflexió, cosa que no agrada gens a l’hora de fer una programació. Sobre això apunto a alguna solució, com a la vida real, de problemes en podem tenir diversos simultàniament, i no tots estar al nostre abast o fins i tot no tenir solucions. A l’escola no s’haurien de proposar problemes d’un en un i no passar al proper fins acabar el precedent, sinó tenir una sèrie de problemes en curs i no demanar la solució sistemàtica de tots ells. En la pedagogia del problema hi entra l’efecte eureka, la gran satisfacció d’haver solucionat quelcom per compte propi, però no es pot comptar que hagi de ser sempre així, molts problemes s’assoleixen més aviat per l’efecte «merda: hauria d’haver vist abans això —per exemple en rebre una pista— i m’hauria estalviat molta feina, m’ho apunto».

Sovint es critica que els problemes són «d’idea feliç», com si això fos una cosa que algunes persones tenen i altres no, amb un alt component d’atzar. Fals, qui practica i avança en la resolució de problemes, és precisament qui té les idees felices. Quan hom no sap per on agafar el problema i confia que li caigui la inspiració del cel, va pel mal camí. Mai no em va agradar el mètode d’Edison que deia que els seus invents eren un 1% d’inspiració i un 99% de transpiració, traspuava la idea de la rutina i, en definitiva, la va formular una persona que mai no va arribar a entendre el corrent altern o molts altres conceptes bàsics de la ciència o enginyeria, per molt que fos un gran venedor. En pedagogia crec que el que interessa és comprendre i assumir els conceptes bàsics.

Per altra banda, a nivell operatiu, els problemes són molt més difícils de corregir que els exercicis on només cal veure si es mantenen dins el patró. Probablement s’hauria d’escriure una guia d’avaluació una vegada provat el problema i vistes les diverses possibilitats que se li acudeixen als que l’intenten fer.

També hi ha la qüestió que algunes vegades els problemes tenen una clau, coneguda la qual passen a ser molt més fàcils. Això obliga a pensar sistemes on no sigui fàcil cercar a internet o passar la clau als companys. De totes maneres hi ha molts problemes que no depenen d’una clau d’aquesta mena, per exemple el de la suma que poso a la il·lustració, solucionar-lo són una sèrie de passos successius cap d’ells especialment determinant; en aquest cas concret el perill és que trobin la solució per internet, que poc o molt els meus escrits i problemes corren. Per emprar-lo més enllà del exemple, en caldria un de similar però inèdit, que també en tinc molts i sé com generar-ne més.

Sovint se’m diu que per alguns alumnes aniria bé, però que la majoria no serien capaços gairebé mai de fer un problema que passi de trivial que s’encallarien. Segurament si partim d’alumnes que ja han assumit el sistema actual, pot ser cert. Però per culpa d’un mal sistema no podem hipotecar el que hauran de fer els que vinguin a continuació. La transició hauria de ser començant pels petits. I la resolució dels problemes no s’ha d’esperar que aparegui per generació espontània, cal per part del mestre anar introduint pistes fins, o gestionar les pistes que puguin generara alguna alumnes en benefici d’altres. Tot això fins fer el problema assequible per a la majoria i poder avançar cada vegada més en altres problemes que hi presentin similituds o estratègies parcialment comunes.

Finalment hi ha la qüestió que «pensar cansa molt». Sí, això és cert sobre tot per a qui no ho fa mai, és com pujar una muntanya. Però la psicologia subjacent al sistema escolar imperant, fa que avorrir-se no es consideri cansat ni molest, sinó que formi part de la normalitat. És com si implícitament es donés per bo que els nens, quan siguin adults hauran de fer feines avorrides i que hauran d’haver estat ensinistrats per no adonar-se’n o, en tot cas, no protestar.

I per cert que les feines tipus «exercici», són de les que els ordinadors o els robots eliminaran primer.

Aquí deixo vuit enllaços a entrades anteriors del bloc amb problemes de collita pròpia, de diferent temàtica i nivell.

•1•   •2•   •3•   •4•   •5•   •6•   •7•   •8•

Bon Nadal a tots els lectors.

Malauradament vaig curt de temps i no he sabut inventar una entrada nadalenca, avui en poso una, en forma de diàleg, de les que tenia «en conserva».

—Avui, a classe de didàctica de les matemàtiques ens han posat un problema curiós —em va dir un dia la meva filla en tornar de la facultat fa una dotzena d’anys.

—Quin problema?

—Hi ha un hotel amb 1000 cambres numerades de l’1 al 1000 amb les portes tancades. 1000 cambrers passen successivament per totes les portes. El primer d’una en una, si la troba tancada l’obra i si és oberta, la tanca. El cambrer número dos, començant per la segona, passa les cambres de dos en dos fent el mateix. El tercer cambrer, igual però començant per la cambra tres i anant de tres en tres. I així fins el cambrer 1000 que va directament a la porta 1000 i la canvia. La pregunta és: quantes portes queden obertes al final?

Foto feta des d’Eina, a uns 5 km en línia recta de l’hotel de Font Romeu, a la Cerdanya, que va ser el de la primera estació d’esquí dels Pirineus. Té una certa retirada al de «The Shining», la pel·lícula de Kubric.

—Mira: és molt fàcil —vaig dir immediatament parlant sense pauses.
»El cambrer 1, canvia totes les portes que siguin múltiples d’1. El 2, totes les múltiples de dos, les parells. El tres les que duen un nombre múltiple de 3. I així fins el cambrer 1000 que només canvia la porta 1000.
»Cada porta canvia un nombre de vegades igual al de divisors del seu número.
»Les que canviïn un nombre parell de vegades restaran tancades al final; les que el nombre de canvis —que és el de divisors— sigui senar, quedaran obertes.
»En general un enter té un nombre parell de divisors, per exemple en el cas del 12 els podem agrupar per parelles que multiplicades ens donen precisament 12: 1 × 12; 2 × 6; 3 × 4, i ja està, tres parelles, sis divisors.
»Però tots els enters són així? No, si un és quadrat perfecte, la seva arrel quadrada queda desaparellada, per exemple el 36: 1 × 36; 2 × 18; 3 × 12; 4 × 9 i ens resta el 6 que formaria parella amb ell mateix.
»I quants nombres quadrats hi ha fins a 1000? La part entera de l’arrel quadrada de 1000 que és 31.

Ho vaig trigar ni un minut en dir tot això.

—Tu ja sabies el problema, oi? —va respondre la meva filla.

—Sí, clar, i la primera vegada potser vaig trigar una mica més d’un minut a resoldre’l, fins i tot recordo que vaig escriure alguna fórmula en un paper. Aproximadament va ser:

»Raonem a partir d’un exemple, pensem, per exemple, amb la porta 12. El primer cambrer la canviarà ja que les canvia totes; el segon també ja que passa de dos en dos, o sigui que canvia les portes 2, 4, 6… i la 12 cau en la seqüència; el tercer canvia 3, 6, 9, 12… també; el quart 4, 8, 12, també, el cinquè 5, 10, 15… no; el sisè 6, 12… sí; del 7 a l’onze passa de llarg; el cambrer 12 torna a canviar la porta, precisament la primera que canvia; a partir d’aquí, ningú no torna a tocar la porta 12. La conclusió és fàcil, la porta 12 s’ha canviat quan hi han passat els cambrers 1, 2, 3, 4, 6 i 12, en tres paraules, els divisors de 12. Si el nombre de cambrers que canvien la porta és parell, al fina quedarà tancada, i si és senar, oberta.
»I quins nombres naturals tenen un nombre senar de divisors?
»La fórmula, al menys jo me la sé de memòria des que em van ensenyar a descompondre un nombre en factors primers. Si un nombre natural n té una descomposició: p^a × q^b × r^c × s^d… on p, q, r, s… són els factors primers i a, b, c, d… els respectius exponents —ho escric així perquè aquí no puc posar-hi ni superíndexs ni subíndexs—, el nombre de divisors del nombre ve donat per la fórmula (a + 1) × (b + 1) × (c + 1) × (d + 1)…
»A veure, per que aquest resultat sigui senar, ho han de ser tots els termes que multipliquen, i com que tots són de la dorma x + 1, resultara que a, b, c, d… que són els exponents que apareixen a la descomposició de n, són tots parells, i es poden dividir exactament per dos. Aleshores el nombre: p^(a/2) × q^(b/2) × r^(c/2) × s^(d/2)… serà un enter i també l’arrel quadrada de n. O sigui que n és un quadrat. Només els enters quadrats tenen un nombre de divisors quadrats.
»La conclusió és que totes les portes quedaran tancades llevat de les que portin un nombre que sigui quadrat perfecte. I quantes n’hi ha? Si el quadrat de 1000 és 31 i escaig, ja que el quadrat de 32 és 1024 i es passa, restaran exactament 31 portes obertes. La resta, que corresponen a enters no quadrats amb un nombre de divisors parells, quedaran tancades.
»Clar que una vegada fet aquest raonament, que és més ràpid fer-lo de cap que escriure’l o llegir-lo, vaig buscar una simplificació que és la que t’he explicat al començament, sense necessitat de recordar la fórmula del nombre de divisors.

No sé com li va anar quan va tornar a classe d’aquella assignatura, l’únic que recordo és que, a final del curs, va treure matrícula d’honor. Com el seu germà en càlcul d’una carrera de ciències. No crec que sigui genètic, hi ha coses que s’encomanen d’altres maneres.

Des de molts punts elevats i relativament prop de la costa del Principat de Catalunya, és ben sabut que si les boires no ho impedeixen, es pot veure per damunt del mar la serra de Tramuntana de Mallorca, i també en sentit contrari. I això és possible ja que hi ha una línia de visió directa que passa per damunt de la superfície del mar.

Per exemple des del cim de Collserola, a 512 metres sobre el nivell del mar, es veu perfectament Puig Major, de 1436, a una distància de 185 km. De fet es veu un bon tros de la muntanya per damunt l’horitzó marí, no tan sols el cim.

Naturalment, com més alta és una muntanya, des de més lluny es pot veure.

I el càlcul d’aquesta distància es podria fer per geometria elemental. Per simplificar, suposem que la volem veure des d’un punt situat a nivell del mar. A l’esquema suposem que volem saber quina alçada h ha de tenir una muntanya, marcada en verd i amb el cim a B, per ser visible des del punt A a nivell del mar. Si anomenem O al centre de la Terra, que per a aquests càlculs podem suposar esfèrica de radi r = 6371 km, veiem que el triangle OAB és rectangle de costats r, d i r + h. Aplicant el teorema de Pitàgores tenim que r² + d² = (r + h)². I desenvolupant una mica: r² + d² = r² + 2hr + h²; restant r² d’ambdós costats de l’expressió: d² =2hr + h².

Esquema de la Terra amb una muntanya d’alçada h que es pot veure des d’un punt A situat a una distància d

Amb això podem calcular que, per exemple, si l’alçada h de la muntanya són 3000 metres, d² = 2·3· 6371 + 3². I fent els càlculs corresponents resulta que d² = 38325; i d = 195,53 km.

Ara passem a un cas concret, a la imatge hi veiem dues fotos de la mateixa muntanya fetes aproximadament des de la mateixa direcció. La de la dreta és meva des d’uns 40 quilòmetres del cim de la muntanya; la de l’esquerra, és una foto lliure extreta de la Viquipèdia, està presa amb un potent teleobjectiu des d’una ciutat a una mica més de 250 km en línia recta de la muntanya. Si una muntanya de 3000 metres, hem calculat abans que es pot veure des de 195 km, una que es pugui veure des de 250 quilòmetres ha de ser força més alta, concretament segons la formula, uns 4900 metres, més que el Mont Blanc dels Alps que en fa 4808.

Muntanya incògnita observada des d’un punt llunyà i des de més prop. Fotos de la Viquipèdia i meva.

Però la muntanya no és tan alta, de fet ni tan sols arriba als 3000 metres.

Con és possible, doncs, que es pugi veure, i no tan sols el cim sinó un bon tros més, des d’un punt al nivell del mar a 250 km?

On hi ha la trampa, si és que és una trampa?

La segona qüestió és quina és la muntanya i quina la ciutat a ran de mar des d’on s’ha fet la foto on sobresurt per damunt l’horitzó?

Sovint em diuen que molts dels problemes heurístics que elaboro, són massa difícils, que ningú no ha explicat als seus receptors com es resolen.

Evidentment, si l’objectiu d’un d’aquests problemes és precisament trobar, via assaig i error, un procediment raonable per resoldre’l no és pot explicar el sistema precís, el problema s’hauria convertit en un exercici que és precisament el que vull evitar.

Però a vegades, fins i tot explicat o esbossat el procediment, resta encara una mica de problema, en el sentit de trobar com completar tot el procediment evitat errades, per exemple omissions o duplicacions.

També em diuen que sempre els faig sobre temes similars i és en part cert i en part fals. Cert en el sentit que sovint treballo amb peces com les polifigures, com aquí, els nombres o la lògica, però fals en que no són temes exclusius, a vegades, per exemple empro fotografies o mapes com a base pels problemes. Que no faig servir la literatura? Per dos motius: segurament no en sé prou i tampoc no puc pensar que els destinataris dels problemes tinguin fàcilment prou dades a l’abast per poder resoldre problemes «literaris» amb una certa complexitat. Hi ha també els problemes lèxics, que en general no practico, però estan normalment adreçats a ampliar els coneixements de llengua, no al meu objectiu primari que són les tècniques de pensament i resolució.

Avui seguint amb els temes en que em trobo més còmode, plantejo un problema amb figures geomètriques elementals, quadrats i mitjos quadrats per la diagonal.

Partim de la figura de color rosa formada per un quadrat i mig quadrat tallat per la diagonal, en rosa, que apareix quatre vegades a l’esquerra de la il·lustració. És l’única figura possible amb aquestes dues formes contigües amb els costats «ajustats» que vol dir que un costat ha de coincidir exactament amb un altre costat igual de llarg. Aquesta figura té una àrea de 1,5. Aquí cal dir que considerem una figura igual a la seva imatge especular, si la tenim feta sòlida, la podem tombar cap per avall i continuarà sent la mateixa.

Afegint dos quadrats a la peça rosa de totes les maners possibles, generem 14 figures formades per tres quadrats i mig.

Ara, a aquesta figura d’àrea 1,5 li afegim un altre quadrat igual al primer de manera ajustada, de manera que formem una figura de 2,5. Això ho podem fer de quatre maneres diferents. que ens generen les quatre figures de color verd de la il·lustració, marcades amb les lletres a, b, c i d. Fixem-nos que la d és l’única que té un eix de simetria, concretament inclinat 45º.

Si continuem el procés d’afegir un quadrat, obtindrem figures amb una superfície de 3,5. Però aquí cal ser una mica més curós ja que, a banda de no ometre cap possibilitat, ens podem trobar amb figures duplicades.

Podem veure a la dreta de les quatre figures verdes, duplicats d’ella en taronja amb l’afegitó del quadrat blau en totes les posicions possibles. Cada forma està anomenada amb una lletra que correspon a la figura de 2,5 amb un número que indica cada posició.

Una vegada formades totes les figures possibles, cal veure si hi ha algun duplicat. Efectivament, ens en trobem alguns casos que els he marcat amb la vora vermella. Ens resten catorze figures diferents amb la vora negra, que són totes les possibilitats amb àrea 3,5 dins la lògica d’aquest problema. Aquí també podem veure que la figura c5 és l’única amb un eix de simetria, també inclinat 45º.

Fins aquí, relativament fàcil. El que és una mica més complicat, és generar totes les figures d’àrea 4,5 o 5,5 amb la mateixa tècnica o alguna altra que pugui ser més efectiva.Com a pista per a comprovar si s’ha fet bé la feina puc dir que de quatre quadrats i mig n’hi ha 54 i de cinc quadrats i mig 209.

Amb les catorze figures de 3,5, que naturalment cobreixen una àrea total de 14 × 3,5 = 49, es pot formar un quadrat. De moltes maneres diferents. Un càlcul aproximat em diu que d’unes 18000 formes diferents. No he vist mai el trencaclosques comercialitzat, potser perquè malgrat les moltes solucions és bastant difícil. La imatge és una vil falsificació fotogràfica del que voldria tenir.

Imatge a partir d’un joc infantil, les vores entre les tessel·les han estat eliminades amb l’ordinador, i els colors modificats per tal de tenir-ne 14 de diferents.

Sempre he pensat que aquest trencaclosques podria ser una decoració fàcil per el terra d’una plaça que es podria denominar oficialment o popular, la Plaça del Trencaclosques. I podria atreure turistes aficionats a questes coses… A veure si algun ajuntament es decideix, que la idea és de franc i el disseny està amb llicència lliure (cc, by, sa). Ep, i tinc més dissenys per l’estil, en dues dimensions per a terres o parets o en tres per a monuments variats.

En el camp educatiu, més enllà de generar les peces de manera sistemàtica, en principi amb paper quadriculat i llapis, hi pot haver la tasca de construir realment el trencaclosques, cosa que vol dir prendre decisions de compromís entre la facilitat i el ben acabat i utilitzable que quedi. Fer-ho amb paper, és molt fàcil, però el resultat és difícil de manipular i en respirar les peces poden volar. Fer-ho amb fusta, metall o plàstic… és més feina.

Quan tenia uns vuit anys, un col·lega estranger del meu pare —no sé de quin país, però parlava francès— va venir uns dies a casa i em va regalar una caixa bàsica de Lego, amb peces blanques per fer parets, vermelles per teulada, unes poques finestres i una porta. Tot i que era limitat, amb allò feia de tot. El nadal d’aquell any, vaig demanar a uns oncles més Lego, i em van portar una caixa amb el mateix contingut , tot i que la caixa crec que era en danès. Perfecte, podia fer cases el doble de grans. I moltes altres coses. De mica en mica vaig anar aconseguit més material.

Era molt diferent a la actualitat o a l’època dels meus fills, el joc no es basava en un muntatge predeterminat a cada caixa, sinó que eren peces genèriques amb les que podies fer el que la imaginació et dictés. Desprès dels maons quadrats van venir peces esbiaixades per fer teulades, peces d’un terç d’alçada per fer plataformes o altres detalls, més colors, encara que alguns com els maons blaus a mi no em resultaven gaire útils quan feia cases.

Ara, de gran tinc acumulada una certa quantitat de material, inclòs el dels fills que en anar-se’n de casa, no se’l van endur. Certament algun dia encara m’agafa la nostàlgia i munto alguna casa, però bàsicament ara faig servir les peces de Lego com a material de trencaclosques o de prototip de jocs.

Peces de gruix ⅓, amb superfície amb pius o llisa que empro per fer diversos jocs

A vegades, senzillament és material per fer una foto, com en el cas d’aquest joc de tetròminos. És una foto retocada, no tinc peces de tots aquests colors. Concretament el taronja i el blau no són «naturals».

Un joc de tetròminos fet amb Lego

En altres casos són muntatges operatius. Per exemple un joc complet de tetracubs, que en el mercat només n’he trobat algun extremadament car i em vaig estimar més muntar-me’l jo mateix. Aquí sí que els colors són els reals. El que no em vaig poder fer va ser un joc de pentacubs, n’hi ha vint-i-nou i ni de lluny tic prou peces per fer-los. Es pot observar que els dos primers, a dalt a l’esquerra, són l’un la imatge especular de l’altre i girant-los en el nostre espai de tres dimensions, és impossible transformar una forma en l’altra. Els altres sis pentacubs són simètrics.

Els vuit tetracubs. En algun cas es poden veure les peces d’alçada ⅓

El següent trencaclosques fet amb Lego, es pot resoldre amb paper quadriculat i llapis, però és més sorprenent presentat en forma de peces sòlides: la peça de l’esquerra es pot dividir en dues d’iguals com es veu a la dreta de la imatge. Naturalment que si es deixa manipular la peça original, la solució és òbvia, i reunir les dues peces de la solució és massa fàcil, el trencaclosques de Lego serveix bàsicament per mostrar la solució.

Una figura divisible en dues d’iguals

Finalment, un trencaclosques relativament difícil, de manipulació, que consisteix a disposar les tres peces en forma d’U i les cinc rectangulars de l’esquerra de la imatge, format la mateixa figura. La solució a la dreta. Potser la dificultat rau en el fet que sovint no es pensa en figures amb forats.

Les peces de l’esquerra es poden disposar per muntar dues figures de la mateixa forma

Malauradament, comprar peces de Lego específiques, sempre ha estat difícil. En particular em trobo amb una curiosa paradoxa: Per internet he vist alguna persona que ven trencaclosques fets de Lego, i el preu al que els ven —inclòs embalatge enviament i el seu benefici— és menys de la meitat del que em costarien a mi les peces comprades directament a l’empresa, encara que les compri a milers. Segur que hi ha algun canal per a aquesta mena de productes, però no l’he sabut trobar.

Hi ha grans descobriments anònims, però també molts que es poden atribuir a una persona. I no és gens fàcil fer un gran descobriment.

Fer descobriments «petits» és més fàcil, però aleshores sempre hi ha el dubte que realment hagis estat el primer. Normalment són nimietats que només en raríssimes ocasions tenen conseqüències i és molt possible que ni es publiquin. És allò que un dia veus, no trobes altres referències i penses:

—Potser jo he estat el primer del món —del Món mundial— en descobrir això. I l’ego m’augmenta unes centèsimes.

Com que sóc aficionat als pentòminos i a més egoista, en el sentit d’augmentar l’ego, presento aquí per primera vegada un dels meus «descobriments». Naturalment que agrairé a qualsevol que m’informi si ja s’havia descobert abans.

❀ ❀ ❀

Amb els dotze pentòminos, és ben conegut que es poden formar 2339 rectangles de 6 × 10 unitats, com el que segueix:

Una solució a encabir els dotze pentòminos en un rectangle de 6 × 10

A les fronteres entre els pentòminos, ocasionalment hi ha punts tocats per quatre de diferents. A la figura anterior n’hi ha un, prop del centre, concretament entre els pentòminos Z, Y, I i N (seguint la nomenclatura clàssica de la figura següent:

Els dotze pentòminos i els seus noms

Aquest punt el podem anomenar punt quàdruple o creu. I resulta que en les 2339 solucions al trencaclosques de 6 × 10, n’hi poden haver cap. 1, 2, 3 o 4.

Els més escassos i difícils de trobar, i aquest és el meu inèdit «descobriment», són els que tenen quatre punts quàdruples. N’hi ha precisament nou:

Les nou solucions al problema dels quatre punts quàdruples, anomenats també creus

I com que m’agraden els problemes amb solució única, es poden plantejar cinc problemes més difícils encara:

❀ Troba una solució dels pentominós en un rectangle de 6 × 10, que tingui quatre punts quàdruples i, a més, el pentominó W —o el U, P, L o N— no en toqui cap.

Òbviament les solucions són respectivament, els casos 1, 3, 5, 7 i 9 de la figura.

Avui, un problema molt senzill.

A la foto hi podem veure 56 daus de colors variats. Amb algunes peculiaritats, hi a cares que estan en blanc. Òbviament són manipulades, no tinc daus amb una cara en blanc. En aquest joc el color o l’orientació de la cara superior del dau són irrellevants.

Si ens hi fixem bé, veurem que de cada puntuació, del zero al sis, n’hi ha vuit. També n’hi ha vuit de cada color, però repeteixo, aquí els colors no compten.

Cinquanta-sis daus de colors

Si agafem un joc normal de dòminos, de 28 peces, també veiem que hi ha vuit meitats de dòmino amb cada puntuació possible, del blanc al sis.

Ara es tracta de disposar-los de manera que reprodueixin les puntuacions dels daus. És relativament senzill…

El joc de les Torres de Hanoi, publicat pel matemàtic francès Édouard Lucas l’any 1883, no té a veure amb la ciutat de Hanoi, senzillament és la que apareix al conte de l’enunciat. Físicament consta de tres varetes verticals, a la primera de les quals hi ha inserits un conjunt de discs ―foradats― de mides creixents. L’objectiu del joc és passar tots els discs de la primera a la tercera vareta, respectant les següents condicions:

❀ En cada moviment només podem transferir un sol disc d’una vareta a una altra.
❀ No es pot mai col·locar un disc sobre un altre que sigui més petit que ell.

Foto d’unes Torres de Hanoi amb vuit discs de colors alternats

El mínim de moviments necessaris per assolir l’objectiu del joc, si anomenem n al nombre de discs, és de 2n–1, o sigui que pels vuit discs de la foto serien 255 moviments; o, pels casos d’entre 2 i 7 discs: 3, 7, 15, 31, 63 o 127 moviments respectivament.

Quins són precisament aquests moviments mínims?

Existeix un algorisme per poder-los fer, d’una manera quasi automàtica, sense haver de pensar gaire.

❀ Imaginem els discs, a la vareta inicial, pintats alternativament començant per la base, de dos colors, per exemple clar i fosc ―a la foto, que és manipulada, els veiem realment així.
❀ Tots els moviments que fem en el joc, han de respectar aquesta alternança de colors. No es pot posar mai un disc clar sobre clar, ni fosc sobre fosc.
❀ Com a primer moviment, si el nombre de discs total és senar, el movem a la vareta de destí, si és parell, el movem a l’altre vareta.
❀ A partir d’aquí, sempre ens trobarem que a cada torn només hi ha un moviment possible ―respectant l’alternança de color― diferent al de retrocedir la peça que acabem de moure. Aquest moviment ens porta automàticament a la solució en el nombre de jugades mínim possible.

Solució del cas de 4 discs. Aquí podem considerar clar els discs verds i fosc els vermells.

Aquest joc, curiosament, és similar a un altre, també amb nom oriental, les «anelles xineses», també estudiat per Édouard Lucas. El joc  consisteix en treure —o posar fent els moviments contraris— un passador en un conjunt d’anelles penjades d’una tija, cadascuna de les quals abraça la tija de l’anterior. També té solucions en 3, 7, 15, 31, 63 o 127 moviments per a dues a set anelles. I, en la solució, els avenços i retrocessos del passador també tenen a cada pas una única possibilitat que alterni passar per dins i per fora de la següent anella, i no sigui retrocedir a la posició anterior.

Les meves anelles xineses, cal treure la peça daurada (que no ho és, és pintada a la foto)

Avui proposo un enigma molt vell i conegut. De fet la idea de posar-lo m’ha vingut d’un llibre en espanyol de fa cent anys, que en una il·lustració e blanc i negre de l’època el mostrava, i més endavant en donava una explicació, aproximadament correcta però, vista ara, absolutament antiquada.

Senzillament, es tracta de veure on és el parany. Aquí les quatre peces no són simples línies, sinó que són fotos de la fusta d’un moble de casa, acolorides arbitràriament. Si us hi fixeu bé, en el muntatge fotogràfic, les vetes de la fusta són iguals en les peces corresponents dels dos diagrames.

Però en un, la quadrícula superposada ens indica que l’àrea total són 65 quadrets, i en l’altra 64.

Quina és la superfície total de les quatre peces de fusta, 65 o 64?

Realment, aquest enigma és molt més divertit quan es fa amb quatre pecs reals, que segons com es col·loquin, canvien de superfície.

I una pregunta pels una mica friquis de les matemàtiques, què té a veure aquest enigma amb la constant àuria φ = (1 + √5) /2 ?

Podria dir que és una mania: cada any, intento buscar una combinació numèrica que amb una formula «bonica», resulti el número de l’any.

Hi ha anys que és més fàcil que altres, i he de reconèixer que el proper 2019 no ho és gaire. L’única descomposició en factors és 673 × 3 i no l’he sabut emprar en cap combinació. O potser que la meva inspiració va de baixa.

He trobat expressions com:

(987+65-43)*2+1=2019
3/4*5*67*8+9=2019
(7*6+5)*43-2=2019

…a partir de xifres en ordre ascendent o descendent.

Però que resultin 2019 amb una sola xifra sembla ser més difícil, només n’he trobat una amb deu dosos que poso com a problema per si algú la pot millorar. L’enunciat del problema podria ser: tenim una calculadora senzilla, de quatre regles però amb parèntesis, i se’ns han espatllat totes les tecles dels números, llevat el 2, i també el punt decimal.

Com podem obtenir 2019, emprant el mínim nombre de dosos?

Una calculadora amb tecles espatllades o prohibides, imatge duplicada

Altres anys va ser més fàcil, retrospectivament, per exemple, l’any que vaig nàixer, 1952 es pot representar, entre altres, per:

(8+8+8+8)*8*8-88-8 = 1952
(((4+4)*4*4-4)*4-4-4)*4 = 1952
((22*22+2)*2+2+2)*2 = 1952
12*34*5-6+7-89 = 1952
((9*8-7)*6)*5-4+3+2+1 = 1952
(444+44)*4 = 1952
444*4+44*4 = 1952

Totes elles més boniques al meu parer, que les que representen l’any que ve, 2019.

Si s’autoritzen altres operacions a banda de suma, resta, multiplicació i divisió, com podria ser l’exponenciació o les arrels, augmenten molt les possibilitat i també la complexitat. Introduint funcions com per exemple logaritmes, és pot escriure qualsevol nombre enter emprant com a màxim tres dosos, encara que per aconseguir 2019, la formula seria molt llarga…

Mai no m’he considerat gaire fotògraf, més aviat algú que quan surt fa fotos. I algunes vegades, en tornar a casa, a les fotos hi ha alguna sorpresa.

És el cas d’una vegada, pel maig del 2017, que amb uns parents de fora de Barcelona vam anar a alguns llocs amb bones vistes sobre la ciutat i, com sempre, vag fer fotos, algunes panoràmiques, altres amb el zoom al màxim…

Mesos més tard, revisant i ordenant-les a casa, en una d’elles, el motiu principal que havia volgut fotografiar es distingia a cop d’ull, clar: les tres xemeneies de Sant Adrià, conegudes amb el sobrenom de Txernòbil.

—premeu boto dret i marqueu «visualitza la imatge» per veure-la un xic més gran—

També en primer terme, moltes cases de la conurbació barcelonina.

Però mirant la foto detingudament, hi vaig trobar un parell més de detalls curiosos que marco i els amplio en les imatges que segueixen.

Els tres punts clau de la imatge

Potser la qualitat de les ampliacions no és gaire bona, però la càmera té les seves limitacions i, a més, vaig disparar sense trípode.

Què són els detalls marcats en verd i en groc?
Des d’on vaig fer la foto?

En aquesta classe d’enigmes les eines són els mapes que hom troba a internet, des de GoogleEarth als de l’Institut Cartogràfic i Geològic de Catalunya. També fotos en general que ens poden mostrar els cercadors. Encara que conèixer la zona, també hi ajuda una mica.

Tot això forma part de la meva idea pedagògica sobre els problemes, en aquest cas no se’n pot dir que sempre van de matemàtiques. I són problemes reals, tot revisant fotos me’n trobo alguna que no recordo on les vaig fer però que per algun detall potser es podria deduir, i també altres que presenten detalls que en el moment de fer-les no vaig notar, o senzillament no es podien veure al visor.

A una determinada edat, tots hem après a fer multiplicacions, vull dir multiplicacions amb números de diverses xifres.

[Aquí opto per la convenció d’emprar número per a un nombre natural concret, deixant el terme nombre com a genèric per a qualsevol magnitud matemàtica, per molt que algun diccionari digui que les paraules són sinònimes i que número pot ser un castellanisme. Visc al número 75 d’un cert carrer, no al nombre 75]

Recordo perfectament que una vegada en veure el mestre que les havia acabat el primer i que totes estaven bé, se li va acudir fer-me fer més multiplicacions, el doble que els altres. Només em va passar una vegada. Mai més el mestre va veure que les feia més ràpid.

Això és un clar exemple d’exercici, aplicar rutinàriament un procediment ja après, en contraposició al problema, on cal decidir un mètode a partir de coneixements previs. La meva teoria és que els exercicis, i parlo de qualsevol matèria, en tot cas només serveixen per a adquirir seguretat i velocitat, però no fan pensar gaire. En contrapartida, un problema, que en general són més difícils que els exercicis, sí que prepara per a la vida real on les qüestions amb que ens enfrontem no acostumen a poder-se resoldre amb la pura aplicació d’un mètode memoritzat. Protocol, en diuen ara del mètode d’espolsar-se les responsabilitats per no haver pensat.

Tornant a les multiplicacions i assumit que en sabem fer amb paper i llapis, podem passar a problemes basats en multiplicacions.
Imaginem una multiplicació —desenvolupada— com la del gràfic amb fons verd. Les lletres representen xifres amb una restricció d’entrada: A, D, G, K, O i S no poden ser zeros, perquè aleshores no s’escriurien. També hi ha la lletra J que apareix dos cops, és evident que la J del resultat és idèntica a la darrera xifra del primer producte parcial. Un altre fet és que ni D, ni E, ni F poden valer ni zero ni un, perquè els productes parcials tenen quatre xifres.

Forma general i dos problemes que mostren els 7 i amaguen les altres xifres

Ara plantejarem un problema sobre una multiplicació d’aquesta forma, el del gràfic del mig amb fons blau. Aquí, algunes xifres estan tapades per cercles amb el número 7. Evidentment vol dir que aquest és el seu valor. I afegim la dada suplementària que cap de les xifres no tapades és un 7. Podem reconstruir la multiplicació?

Això ja no és aplicar una regla, sinó treballar a partir dels coneixements que tenim sobre la regla. Senzillament cal ser sistemàtic i escollir els fets que ens aportin dades.

❀ En primer lloc tenim que 7BC × F = G777. No hi ha gaire possibilitats, tenim poques xifres incògnites. F × C ha de ser un nombre acabat en 7, la primera conclusió és que F i C han de ser ambdós senars diferents de 7. Tampoc cap d’ells no pot ser 1 ja que implicaria que l’altre és 7, cosa que sabem que no és possible. Tampoc cap dels dos no pot ser 5, perquè un nombre acabat en 5 multiplicat per un senar, acaba en 5, i el nostre resultat ha d’acabar en 7. Només ens queden el 3 i el 9.

❀ Un altre fet és que O ha de valer precisament 6. A la seva columna només podem arrossegar un 1 de l’anterior —la suma de K i 7—, en conseqüència el tercer producte parcial —7BC × D— és precisament 6777. Dels números entre 2 i 9, els únics que són divisors de 6777 i poden ser D, són el 3 i el 9, però 6777 ÷ 3 = 2259 que és un nombre de quatre xifres mentre que 7BC en té 3. Només ens queda la possibilitat que D valgui 9 i en conseqüència 7BC és 6777 ÷ 9 = 753.

❀ Com que l’únic múltiple de 753 que acaba en tres 7 és 6777, resulta que E i F també valen 9 i que K i G, 6. Ja tenim tota la multiplicació. Si efectuem el producte 753 × 999 = 752247 que, com és pot veure, té els dos únics 7 en les posicions correctes del problema.

Fàcil? Difícil? tot és relatiu. Si hom no ho veu clar, repetint diverses vegades atentament els tres passos anteriors s’acaba veient que no hi ha cap operació difícil més enllà de saber multiplicar i observar algunes propietats elementals de la mena que un nombre acabat en 5 per un senar, sempre acaba en 5. Probablement això a l’escola no s’ensenya explícitament, però un aprenentatge que no hi arribi, és manifestament incomplet i que no hagi assolit fites elementals com aquestes, difícilment en podrà assolir de més complexes que sí estan en el programa, llevat que decideixi aprendre tots els procediments de memòria sense més, am l’esperança que mai li posin un problema, només exercicis en els que aplicar cegament el memoritzat.

I el problema de la dreta amb fons rosa? El deixo per l’estimat lector. Certament és una mica, només mica, més difícil. I com a pista, puc afirmar que la clau del meu mètode per resoldre’l —n’hi poden haver molts més— és basa en els possibles valors de E i C, amb un raonament similar al d’un dels punts del problema anterior de fons blau.

I d’on han sortit aquests problemes? De la imaginació d’algun ésser d’intel·ligència superior? En absolut, generar aquests problemes és un altre problema, o més exactament un metaproblema —problema sobre problemes— que vaig resoldre amb un full de càlcul —incidentalment no va ser amb Excel, que li tinc moltíssima mania—. La idea és generar totes les multiplicacions de la forma de la de l’esquerra del fons verd, substituir tots els caràcters no 7 per un símbol, els 7 per un altre, i de la llista dels les moltíssims resultats, separar els que només hi apareixen un cop. Cadascun d’ells correspon a un problema amb solució única. Concretament hi ha 6738 de diferents, en multiplicacions amb la forma de la del problema, on donant els 7 podem deduir totes les altres xifres. Si algú les vol, que em demani el llistat.