Ciència nombres i lletres

Al menys des del segle I abans de Crist que es té constància de textos xifrats. En particular es coneix l’anomenat xifratge de Cèsar, que havia estat emprat per a missatges militars quan hi havia la possibilitat que el text anés a parar a l’enemic.

El xifratge de Cèsar és molt elemental, consisteix en substituir cada lletra per la que la segueix al cap d’un cert nombre de caràcters en ordre alfabètic, tornant a començar per la primera lletra en el cas d’haver arribat al final. És força fàcil de desxifrar, però tenint en compte que molts dels enemics de Cèsar no sabien llegir en llatí, era raonablement segur.

En poso un exemple:

N W Y N A X C N A J U U J M A N R W X D W Z D J U B N E X U N A J N U L J Y M N U J L X U U J V N B C N V D M J M N C X C J U J L X V J A L J N U B B N D B M N U R L C N B N A N W R W W X V K A J K U N B J V K E R X U N W L R J X J V K R W C N U U R P N W L R J N U L X V Y C N B J W J E J N W P A N R G J W C L J M J B N C V J W J L J B N B V J P J C I N V B C A J W B Y X A C B M N V N A L J M N A R N B E R J W J W C B C X C B N A N W N U B B N D B X K S N L C R D B W X N A J Y J B D W B N L A N C Z D R N A J N U L J Y M N U J L X U U J M N U B U U J M A N B Y N A X V J R U Q J E R N W Y X P D C N W G J V Y J A J E N P J M N B Y N A B X A C J U C A N B Y N A J B C D L R J Y N A X O X W J V N W C J U V N W C Y N A U J O N A A R J X A P J W R C I J L R X M N U B N D P A D Y R U J V N C R L D U X B R C J C R K X W J Y A N Y J A J L R X M N C X C B N U B L X Y B U J M R B L R Y U R W J V R U R C J A W X N A J A N B L X V Y J A J M J J V K U J D C X A R C J C Z D N C N W R J N W Y N A X C B X K A N U J B N E J P N W C R N U B R V Y X B J E J D W N B V N B D A N B M N B N P D A N C J C Z D N P J R A N K N C X C B L X W B R M N A J E N W N G J P N A J M N B J A J C N W R J D W W X D X K S N L C R D N U V N B P A J W M N C X C B U J L J B J M N U V J A Z D N B M N Y D R P M N U U X Y B N U Y N A B X W J C P N V N B A R L M N U J L X W C A J M J Q R Q J E R J N W C A J C M R B O A N B B J C M J S D M J W C M N Y J U N C J Z D J W U N B M J A A N A N B Y U D P N B E J W V J U V N C A N Y J A C M N U J C N D U J M J R Q X Q J E R J E R B C Z D J M A N B M N U B V N B R V Y X A C J W C B Y R W C X A B M N U Y J R B J A V N B J W C R P D N B X K S N L C N B A N U R P R X B X B J V K X A Y U J C J R Y N M A N A R N B Y X C B N A V R U E N P J M N B V N B E J U D X B Z D N N U M J A A N A K X C R N U L J A A N P J V N W C M X U R E N B M N V J B Y D S X U N C Z D N J V N B Q J E R J N B C J C O X A L J O N R G D L M N C A J W B Y X A C J A R M R O R L R U M N E N W M A N U D W R L J V N B D A J M N B N P D A N C J C N A J N U Y A X Y R L J B J U X C D W J N W X A V N K J U D N A W J L D K R L J J V K O R W N B C A N B A N R G J M N B R Y X A C N B O X A A N U U J M N B R J B X K A N J U V R P M N U J E R U J M J E J W C V J C N R G M N U J S D W C J V N W C B X U B N U L J A A N A X M N U J Y J A C Y X B C N A R X A N U Y J B M N U B P J C B N A J B X U R C J A R R B X U B Y N A J Z D N U U J K J W M J N W Y N A X C E J E N D A N D W Y D W C E D U W N A J K U N D W J O R W N B C A J B N W B N A N R G N B J U B N P X W Y R B N A J D W J M N U N B D U C R V N B V X M R O R L J L R X W B M N U N M R O R L R N B E J X K A R A N U O X A J C Z D J W N B E J L X W B C A D R A U J B J U J M N K J W H M N C X C N B V J W N A N B N A J V J B B J N U N E J C J V K U N B L J U J V N B J U C J N W L J A J V J W L J A R J D W K X W C A X B Y N A J A A R K J A Q R

Naturalment que està escrit una mica «a la romana» que no vol dir arrebossat amb farina, ou i posteriorment fregit, sinó tot en majúscules i sense espais ni diacrítics. Val a dir que els romans no empraven ni J ni U ni W que es van introduir el segle XV, com a formes de la I i la V,  però aquí he fet servir l’adaptació moderna del alfabet llatí de vint-i-sis lletres.

Recordo de preadolescent d’haver emprat i desxifrat codis d’aquesta mena. I també recordo d’haver-ne inventat un de molt més complicat que emprava dos colors diferents, no és que fos especialment pràctic d’escriure.

Però he reprès la idea dels dos colors, de manera molt diferent i amb ordinador per xifrar la continuació del text de més amunt. Bé, de fet empra tres colors. Però una vegada es veu la idea és molt fàcil de llegir. Com a pista, té una mica a veure amb un palimpsest.

Naturalment que no es tracta de recuperar tot el text, només de descobrir el mètode i aplicar-lo a les primeres paraules. Si l’he fet més extens és per facilitar la recerca.

Sovint se m’ha dit que els meus problemes —i específicament en la sèrie «Què és?» són massa difícils. I probablement és cert, però que això pugui semblar negatiu és fruit d’haver assumit un mètode pedagògic molt més basat en l’exercici que en el problema. Quan hom proposa als alumnes —i no vull dir específicament escolars— una sèrie d’exercicis, se suposa que l’objectiu és que gairebé tots els alumnes els solucionin tots. Cas contrari voldria dir que el procediment a aplicar en la solució no ha estat explicat, après o assumit pels alumnes.

Els problemes són diferents, d’entrada no sabem ni tan sols si tenen solució. O si aquesta serà trivial, de «feliç idea» o dependrà d’alguna mena de coneixement previ que es pot tenir o no.

Té sentit, doncs, proposar-los a qui potser no els podrà solucionar? No és molt frustrant això per l’alumne?

La clau de tot plegat és que els problemes no han d’anar sols, han de ser un conjunt i l’objectiu primari és solucionar-ne alguns. El secundari és aconseguir un efecte «eureka» —Què bo que sóc, em pensava que això no ho aconseguiria mai tot sol—. El terciari és més proper a l’efecte «merda!» —hauria d’haver descobert la solució tot sol, però realment l’he trobada d’una altra font— , però també és útil si és que realment s’ha treballat en el problema.

Avui presento un problema senzill, dels que anomeno «de peces», ja que es podria plantejar amb peces reals que sovint i malaurada, no tinc.

Què és?

Veiem un conjunt de peces de fusta disposades irregularment. Com deia abans, no tinc aquestes peces, són una imatge de síntesi: amb un programa vectorial vaig dibuixar totes les peces; a continuació hi vaig copiar al damunt una textura de fusta treta de la foto d’un moble de casa; les peces les vaig passar a un programa bitmap on les vaig girar i desordenar a l’atzar; i finalment vaig afegir-hi un fons i una mica d’ombra.

El primer pas per solucionar l’enigma és caracteritzar la imatge.

Hi ha peces repetides?
A primera vista no, potser valdria la pena començar a fer una cerca exhaustiva, però és una mica llarg i ho podem deixar per més endavant si ens cal.

Totes les peces tenen aproximadament la mateixa mida i tots els costats són ortogonals llevat d’un girat 45º, sempre de la mateixa mida. Ens podríem preguntar aquí, per exemple, si totes tenen el mateix perímetre, però no; en unitats arbitràries la peça de dalt a la dreta mesuraria 8 + √2 i la que té sota —de fet la majoria de les altres— 10 + √2. Pista falsa.

Són tots els costats ortogonals múltiples d’una dimensió mínima?
Aquí és fàcil veure que aproximadament sí. Hi ha costats de llargada 1, 2, 3, 4 i fins i tot en un cas —el de la peça de dalt a l’esquerra— 5. Continuem aleshores amb la hipòtesi que les dimensions són realment sempre nombres enters, múltiples d’un segment mínim que anomenem de mida 1; moltes peces tenen parts d’aquesta dimensió; i les que no —només n’hi ha dues, a dalt a la dreta i a dalt al mig— contenen un quadrat de 2 × 2.

Mirem ara la superfície. Cada peça conté un mig quadrat —unitari— tallat per la diagonal. I la resta? Si ens hi fixem una mica veurem que sempre hi ha quatre quadrats més, mai ni tres ni cinc. Aquest és el punt clau del problema.

Ara una lògica senzilla seria començar a generar figures formades per quatre quadrats i mig quadrat tallat per la diagonal. D’entrada sembla que qualsevol figura formada així apareix a la imatge. N’estem realment segurs del «qualsevol»?

Caldria comprovar-ho i per això no hi ha més remei que generar totes les figures que quatre quadrats i mig.

Un mètode podria ser el que vaig mostrar en aquesta entrada.

Però, com en tots els problemes inductius, n’hi ha més.

Un altre és veure que una figura formada per quatre quadrats i mig, és un pentòmino al que hem escapçat mig dels cinc quadrats. De pentòminos n’hi ha dotze:

Els dotze pentòminos i les lletres que convencionalment els designen.

I hem de mirar la manera d’eliminar mig quadrat de totes les maneres possibles en cadascun d’ells. Amb unes precaucions: el mig quadrat eliminat no pot dividir el pentòmino en dues parts i cal eliminar duplicats. Em primer lloc duplicats sobre la mateixa peça; en el cas dels pentòminos simètrics —I, T, U, V, W, X, Z— eliminar simètricament el mateix mig quadrat es proporcionaria la mateixa peça de quatre i mig, cal evitar-ho. La segona qüestió, que seria més difícil d’evitar, és veure si en treure el mig quadrat de dos pentòminos diferents podem obtenir la mateixa peça de quatre i mig. Afortunadament és impossible com podem veure raonant a la inversa: si a qualsevol peça de quatre i mig li afegim el mig quadrat per la diagonal, ens resulta un pentòmino concret, precisament els que els generaria la peça en escapçar-lo, aleshores és impossible obtenir el mateix «quatre i mig» escapçant dos pentòminos diferents.

Una vegada generades totes les peces que quatre quadrats i mig, cal fer la comprovació: són tots a la imatge?
I el resultat és que no, n’hi ha un que no hi surt, precisament el de baix a la dreta de la imatge solució.

Imatge solució

Difícil? Sota el meu parer no pas gaire. Segurament sí una mica treballós, però comparat amb fer exercicis és una feina molt més interessant. Això sí, cansada, ja se sap que pensar és, precisament, molt cansat. Sobre tot per a qui no hi està acostumat. Un corol·lari d’això és que, dins l’ensenyament, si es vol que els alumnes aprenguin a pensar —afegeixo «tot solets»—, cal que tinguin temps per fer-ho, sense que tot ple de feines normalment inútils els prenguin totes les hores que els caldria. Podeu mirar una mica la meva teoria al respecte.

Potser per alguns és trivial, però per a altres és un petit misteri.

He agafat de la Viquipèdia una llista amb dades de les illes de la Mediterrània, de més de  cinc quilòmetres quadrats i he eliminat les despoblades, n’han restat 158. A continuació n’he fet una taula i m’he fixat en la primera xifra, tant de superfície com de la població. I n’he dibuixat una gràfica senzilla:

Com es pot veure, en ambdós casos, hi ha molts més valors que comencen per xifres petites que per les més grans.

La pregunta natural és perquè.

Com a pista podria dir que gràfiques similars haurien sortit si hagués buscat l’alçada màxima o la longitud de la costa.

Però el tema no va d’illes, també observem distribucions similars si fem l’estadística dels preus del supermercat, de la llargada dels rius d’un país o les cotitzacions de les accions de la borsa. Si la fem amb l’alçada d’un grup d’adults, la primera xifra seria aclaparadorament 1, ja que poques persones mesuren menys d’un metre o més de dos… és un dels casos on la gràfica no és d’aquesta mena, tampoc ho és la distribució dels nombres premiats a les loteries que és força uniforme si no hi ha trampa.

El cavall dels escacs és una peça amb unes regles de moviment diferents a les altres, no fa un recorregut per la «superfície» del taules on podria ser interceptada per una altra peça amiga o enemiga, sinó que «salta»: des de qualsevol casella pot anar a qualsevol de les vuit que hi ha a distància de dues unitats en un sentit i una en el perpendicular. Això és el màxim, si és prop de la vora del tauler, alguns salts el durien fora i no compten, és el cas de les quatre cantonades on un cavall només té dos moviments possibles.

Un aspecte bàsic del salt de cavall és que a cada passa canvia el color de la casella on va a parar. Conseqüència d’això és que per anar a una casella del mateix color, sempre li calen un nombre parell de jugades. Per exemple, amb dues jugades un cavall pot anar a qualsevol casella del mateix color situada a tres o menys caselles de distància en sentit horitzontal o vertical, llevat de les situades exactament a dues caselles de distància en diagonal que requereixen quatre salts. Això ho saben bé tots els jugadors d’escacs, desplaçar el cavall dues caselles en diagonal consumeix massa moviments i en molt pocs casos passa amb jugades consecutives en una partida real.

Un cas concret de moviment entre dues caselles del mateix color és anar de punta a punta d’una diagonal. Aquí el mínim és de sis salts. I la pregunta que faig és:
—Per quants recorreguts diferents es pot fer?

Un dels possibles recorreguts d’un cavall de punta a punta de la diagonal en 6 salts.

Tots els possibles recorreguts en sis salts superposats, és difícil comptar-los aquí.

Si el tauler no fos de 8 × 8 caselles, també ens podem plantejar la pregunta.

En un tauler de mida 1 × 1 la resposta és «degenerada» zero salts ens porten «de punta a punta» d’una sola manera possible. El cas de dimensió dos no té solució, en un tauler tan petit el cavall no es pot moure i no arribaria mai a l’altre extrem del tauler. El cas 3 és peculiar en un cert sentit, es precisen 4 salts i hi ha dos camins possibles simètrics depenent del primer salt.

Amb taulers més grans la cosa es posa més interessant, pel cas quatre la fàcil solució també són 2 possibles recorreguts; pel cas cinc 8 recorreguts; pel tauler de 6 × 6 en tenim 4; pel de 7 × 7 hi ha 6 solucions. Pel tauler normal de vuit caselles de mida, és la pregunta que he posat més amunt. Afegeixo que el cas 9 té 40 recorreguts i el cas 10 en té 20.

Tinc la seqüència ben determinada i la fórmula —de fet en són tres— que genera el nombre de solucions al problema. Com a prova puc posar aquí que per un tauler de 47 × 47 hi ha 225494871090 solucions i pel de 48 × 48 1591091500.

Naturalment que la primera gràcia del problema és inventar un mètode per comptar les solucions. La segona és molt més difícil, trobar les formules empíriques. La tercera, demostrar que són correctes. És un cas de mètode heurístic aplicat a una qüestió numèrica. Naturalment el problema es podria resoldre de manera totalment deductiva, però em temo que hauria sigut molt més difícil, crec sincerament que jo no ho hauria sabut fer.

És ben conegut que qualsevol polígon, es pot dividir en un nombre finit de polígons que, disposats d’una altra manera, ens poden formar qualsevol altre polígon de la mateixa àrea que l’original.

En ocasions podem trobar figures reals basades en aquestes divisions. per exemple un conjunt de peces que es pot disposar, com a trencaclosques, en dues bases amb forma diferents. Aquí en poso un exemple, comprat al Museu de Matemàtiques de Catalunya (mmaca). Per una banda es poden col·locar les cinc peces format un triangle equilàter i, per l’altra, una estrella de sis puntes.

Hi ha molts altres exemples, especialment conegut és el de quatre peces que poden formar un triangle equilàter o un quadrat, que a vegades tenen les peces unides per unes frontisses als vèrtexs, com a la imatge que segueix:

Avui m’he fixat en una figura concreta, molt freqüent en la vida pràctica, però no gaire en matemàtiques, un rectangle DIN. Els fulls de paper estandarditzats venen amb unes mides concretes, per exemple un DIN A4 mesura 210 × 297 mm.

D’on surten aquests valors?
En primer lloc la proporció entre el costat llarg i el curt del full DIN és una aproximació a l’arrel quadrada de dos.
Per què?
Perquè és l’única que si dividim el full en dos per la meitat, ens en resulten dos més petits però amb les mateixes proporcions.
I la mida concreta? Es defineix DIN A0 com un full amb aquestes proporcions i amb una superfície d’un metre quadrat, el DIN A4 és la meitat, de la meitat de la meitat de la meitat, o sigui un setzè del DIN A0 o en altres paraules les seves dimensions lineals són la quarta part.
Les mesures «més exactes» serien: 210,22410381343… × 297,30177875068… amb més precisió que el diàmetre d’un àtom d’hidrogen.

Com qualsevol altre polígon, podem dividir un full DIN, en diverses parts mitjançant talls rectes, que unides ens formaran qualsevol altre forma.

N’he buscat uns quants exemples i n’he fet uns gràfics:

Un quadrat amb tres peces. Un rectangle auri —una targeta de crèdit— amb tres peces.

Un dòmino, dos quadrats, amb tres peces. Un triangle equilàter amb quatre peces.

Un pentàgon regular amb cinc peces. Un hexàgon regular amb cinc peces.

Un octògon regular amb quatre peces. Una creu llatina amb cinc peces.

Una estrella de cinc puntes amb set peces. Una estrella de sis puntes amb cinc peces.

Una estrella de vuit puntes amb cinc peces.

Tant l’octògon regular com l’estrella de vuit puntes es poden obtenir amb poques peces i formes molt simètriques, això es deu a que en les seves mesures, també n’hi ha que la proporció és arrel de dos, com en el cas dels fulls DIN.

Joan Amades ens explica sobre Juncosa de les Garrigues:

Juncosa és el centre del Món:
Hom suposa que l’esfera terrestre fou traçada amb un compàs, la punta fixa del qual fou clavada enmig de la plaça de Juncosa, on encara es conserva el sot que es féu en subjectar-la-hi. Juncosa es troba, per tant, al punt mitjà del món. El sot que la creença popular assenyala com a punt on es clavava el compàs és el clot on en altre temps es plantava l’arbre de maig.

I aquesta llegenda té una representació gràfica en un dels seus carrers, una escultura obra d’un artista local.

De fet, vaig conèixer la llegenda a partir de la pedra a la plaça del Mig del Món, un dia fent turisme per la comarca de les Garrigues.

I és el turisme interior del que voldria parlar avui una mica. És una mena d’assignatura pendent dins la cultura catalana. Quan hom va a conèixer pobles de moltes de les comarques de l’interior del Principat, té la sensació de ser percebut com una mena de rara avis. Amb un parell de problemes secundaris, no hi ha cap sistema general fàcil de poder veure interiors interessants, per exemple de Juncosa, no he vist l’interior de l’església ni encara menys el del dipòsit municipal d’aigua, una interessant construcció de finals del segle XIX. Sí que he vist els «perxis», ja que són un carrer porxat que acaba en dos arcs a banda i banda, curiosament diferents:

Aquestes dues fotos, que aquí ensenyo unides però que havia posat en la mateixa xarxa social, amb la mateixa informació, el mateix dia, em presenten un problema curiós: La de l’esquerra va rebre al llarg dels anys vuit vegades més visites que la de la dreta. Potser és que per casualitat els primers dies en va rebre més, i el sistema de geolocalització que les posava en el mapa la mostrava més destacada, i d’aquí que rebés més visites augmentant encara més la diferència. Això ens indica que els sistemes de valoració pretesament objectius, en definitiva valoren a l’atzar…

Un segon problema del turisme interior, és que hi ha molts museus o altres centres culturals teòricament per atreure visitants, però amb molt poca promoció i amb uns horaris inconvenients.

Certament que en alguns casos concrets —parlo de pobles petits— no és així, ara penso en dos llocs interessants com Beget i Covet —curiós que rimin i tots dos tinguin un monument romànic de primer ordre— que tot i no tenir gran afluència, els he pogut visitar per dins moltes de les vegades que hi he passat. Encara que fora del Principat, per exemple a Serrabona, ho tenen millor organitzat i aconsegueixen visitants fora de temporada i entre setmana.

He posat l’exemple de Juncosa, però hi ha centenars de pobles interessants que mereixerien més visites, i no estic parlant de turisme massiu, sinó cultural amb una densitat sostenible. I parlant de sostenibilitat, precisament la gran majoria d’aquests pobles només es poden visitar —per turisme o qualsevol altre motiu— en cotxe particular. Però no hi ha, ni tan sols des de Barcelona pràcticament cap oferta per anar-los a visitar col·lectivament i, lamentablement, alguna de les poques que he vist, són més cares que anar-hi individualment. Penso així a primer bot que un autocar amb una ruta tal com «Viles closes de la Segarra» o «Paisatges i monuments del Lluçanès», podria tenir bona acollida. Si el preu fos raonable és possible que m’hi apuntés algun cop.

Els poliòminos, les figures formades per diversos quadrats iguals adjacents pels costats, permeten una gran varietat de problemes, molts d’ells inductius. Avui en presento dos relativament similars, que fan servir el joc dels 35 hexòminos.

És impossible col·locar els 35 hexòminos en un rectangle, però la demostració d’això, basada en la paritat és un tema que tocaré un altre dia. Però és possible col·locar-los en altres figures com per exemple un rectangle de 11 × 19 més una casella adjacent al mig del costat llarg. No és gaire fàcil fer-ho a mà amb un conjunt de les trenta-cinc peces, però amb un programa d’ordinador se’n poden treure milions de solucions, no l’he pogut deixar en marxa prou estona per saber el nombre.

Pels problemes d’avui parteixo de dues solucions d’aquest cas, però simplement com a il·lustració per mostrar les trenta cinc peces. La seva posició o orientació no hi té cap importància.

Els dos problemes són part d’una col·lecció de 12. Segurament seria exagerat posar-los tots aquí, però a l’hora de solucionar problemes d’aquesta mena, quants més n’hi ha, més possibilitats de solucionar-ne algun…

En el primer cas veiem els hexòminos pintats de dues maneres, uns de color rosa, i els altres verds.

Trenta-cinc hexòminos: 12 roses i 23 verds.

La pregunta és quin és el criteri.

Òbviament hi ha moltíssims possibles criteris per acolorir els hexòminos en diversos colors, aquesta és la gràcia i la dificultat dels problemes inductius. Fins i tot, algunes vegades passa que dos criteris que no tenen res o gaire a veure, ens porten al mateix acoloriment. Això vol dir que la solució a un problema inductiu sempre és probabilística, cal escollir el criteri subjectivament més senzill, és el que s’anomena navalla d’Occam.

En una entrada no fa gaire, en un problema també amb hexòminos, vam veure un criteri que era si la figura era el desenvolupament d’un cub o no. El criteri d’avui és subjectivament més senzill. Altres criteris a considerar poden ser: dimensions màximes, nombre de costats, nombre de costats d’una determinada mida, angles interns, enrajolats per peces més petites, mida màxima de una diagonal, caselles blanques s o negres sobre un tauler d’escacs, diàmetre màxim de la peça… Aquest problema té a veure amb algun d’aquests criteris.

Però potser una pista tangible i misteriosa sigui la primera que hi vaig veure: la dels «cucs». Un poliòmino pertany a la categoria dels cucs, si és possible fer per tot ell un recorregut quadrat a quadrat, pel costat, de manera que no es repeteixi cap casella. I la observació és que tots els cucs són verds i no hi ha cap hexòmino rosa que ho sigui. De totes maneres aquest no és el criteri perquè hi ha cinc hexòminos pintats de verd que no són cucs, per exemple el que sobresurt per la part superior.

Aquestes cinc peces són les que ens donen una pista definitiva si ens adonem que en totes elles hi ha un quadrat amb tres costats exteriors, que si comencem el camí de «cuc» per ell al següent pas ens trobem que hi hauria dues possibilitats de continuar de la mateixa mida, dues caselles. En els cucs normals, després de dues caselles, en podem fer dues més i dues més. En canvi en cap de les peces roses, en entrar des d’una punta i seguir una casella més, no trobem mai dues possibles continuacions de dues caselles. Aquest és la pista definitiva, en les peces verdes sempre podem fer dues dues i dues caselles per cobrir-les, en altre paraules, es poden recobrir amb tres dòminos i les roses, no.

En aquesta figura podem veure que les peces verdes es poden cobrir per tres dòminos.

En el següent problema, del qual avui no donaré més pistes llevat que el criteri té alguna semblança amb l’anterior, podem veure els hexòminos pintats de cinc colors.

Trenta-cinc hexòminos: 2 carabasses, 12 roses, 11 verds, 6 grocs i 4 blaus.

La pregunta torna a ser quin és el criteri.

Un article a Vilaweb de Gemma Pasqual, m’ha fet escriure de manera segurament precipitada, aquestes reflexions.

La xarxa no sap el que em gasto en roba, perquè tota la compro —o me la compra la parella— directament i pagant en metàl·lic; pot saber que potser el joc tal m’agrada, perquè és un dels cinquanta que m’he baixat, però no sap que dels cinquanta només dos m’han agradat i hi jugo alguna vegada, entre molts altres jocs que no han vingut de cap xarxa que em pugui identificar; el color favorit, ni jo sé si en tinc…

Clar que la «Xarxa» pensa moltes coses de mi sense sentit, com un dia que, sense prendre precaucions de privacitat —vull dir amb el correu de Google obert al mateix navegador—, vaig cercar unes dades històriques sobre Calafell i va estar sis mesos fent-me propaganda d’hotels i apartaments en aquesta localitat.

Tot és molt relatiu, com dir que els mòbils impliquen xarxes. Bé, potser els SMS que m’envia el banc es podrien considerar xarxes, però hi ha qui mai de la vida ha fet servir el mòbil per a xarxes.

En aquest sentit, si fos un adolescent, no m’agradaria gens que em prohibissin el mòbil per aquest aspecte. Tot i que de fet, no em passaria res perquè pràcticament no el faig servir, empro un dispositiu que no és telèfon per dur al damunt llibres, començant per diccionaris, obres de referència científica com formularis, calculadora —i no vull dir de les senzilles, sinó de les que saben fer integrals, cosa que ja m’agradava quan era adolescent i les havia de fer a mà— o per consultar, si tinc connexió, la Viquipèdia, serveis de mapes, traductors, o milions de referències que puc trobar en línia.

Sí, hi ha altres procediments per tot això, però em sonen a allò dels mariners de guerra que estudien en un vaixell de vela…

A veure si endevineu quin dels dos és el meu mòbil.

A sí, i per enviar o rebre correus electrònics, que és un protocol estàndard que no depèn de cap empresa o marca particular, com sí depenen la majoria de les dites xarxes socials.

Potser no és gaire convenient que les susdites xarxes es puguin emprar des de l’escola, però la resta. Haurem d’aprendre a fer arrels cúbiques a mà —fa una pocs dies en parlava al bloc– com fa 80 anys perquè algú podria emprar el mateix dispositiu per a una xarxa?

I això ens porta al problema d’emprar aquestes tecnologies a l’escola: podem fer obligatori el mòbil o les xarxes perquè hi ha qui pensa que són l’única manera de fer certes coses? Com solucionar el problema del petit percentatge dels qui no en tenen?

Caldria aquí ser molt curosos i precisos. En un exemple paral·lel, l’escola no hauria mai de la vida emprar en tecnologia programes o formats no lliures, no és acceptable, per exemple, que enviï textos en «Word», és un format que no es pot controlar ni molt menys obligar al receptor a emprar el programa concret —de pagament i car—. I si algú em diu que amb altres programes, lliures per exemple, es pot llegir aquest format —cosa no al 100% certa—, sempre li replico que perquè complicar-nos la vida i no fer servir el format lliure directament.

I no, no és per la edat que no tinc Instagram, és que faig milers de fotografies a l’any —paisatges, edificis, art, objectes i fotos més o menys relacionades amb les meves feines—, però mai no n’he fet cap amb un mòbil –per les possibilitats de la càmera— llevat d’alguna prova al costat de l’ordinador però, oh sorpresa, Instagram només és per a fotos de mòbil llevat de complicacions totalment incòmodes.

O també com el meu ús de Youtube. Amb un correu que no m’identifica directament, alguna cosa hi he penjat, per poder passar un vídeo a terceres persones, però mai no hi he escrit un comentari, ni fet un «m’agrada» o similar. Des del meu punt de vista, més que una xarxa, és un magatzem de vídeos.

Quan era preadolescent, pels anys seixanta, em fascinava l’electrònica. Hi havia una mena de guies meravelloses, anomenades esquemes, que contenien resistències, condensadors, transistors i altres components, que si els muntaves en la disposició mostrada, componien un circuit que si no hi havia hagut cap error, funcionava. Podia fer un amplificador, un emissor o receptor de radiofreqüència, un circuit oscil·lador, un temporitzador, i mil invents més que sortien a les revistes per a aficionats de l’època, que n’hi havia moltes. La que més comprava o aconseguia dels que la compraven i llençaven s’anomenava Radiorama.

Semblava màgia però no ho era i jo ho sabia, lentament vaig anar entenent com funcionaven els elements d’aquells circuits meravellosos i com interactuaven entre ells. Algunes persones em van ajudar més o menys inconscientment contestant algunes preguntes clau, com el concepte de «senyal», de divisor de tensió i de filtre passa alts o passa baixos. Potser als tretze anys ja sabia dissenyar alguns circuits sense necessitat de copiar-los d’una revista o de mirar els «esquemaris» d’aparells de ràdio o televisió.

Una de les condicions prèvies per poder muntar qualsevol circuit era saber llegir els valors dels components, bàsicament resistències o condensadors. En els condensadors, sovint, el valor hi venia imprès; en les resistències que sempre eren el component més nombrós dels circuits gairebé mai, el valors venien marcats per unes bandes de colors que havia d’aprendre a llegir i interpretar. No em va costar gaire, recordo que vaig obtenir una mena destri de cartró amb tres rodetes del mateix material, que per unes finestres mostraven, d’una banda els colors, i per una altra els valors associats.

Encara conservo resistències, organitzades en calaixets. Aquí de valors entre 220 Ω i 1800 Ω

Per regla general, les dues primeres bandes indicaven el valor numèric, la tercera un factor en forma de 10 elevat a un exponent, i la quarta, normalment platejada o daurada, volia dir tolerància del 10% o del 5%.

Codi de colors en electrònica

Per exemple: groc, violeta, vermell, daurat volia dir un valor de 4, 7, 10², 5%, en altres paraules 4700 Ω amb un màxim del 5% d’error.

Resistència de 1500 Ω. la franja marró: 1, la verda: 5, la vermella: 2 zeros, i la daurada que la tolerància és del 5%

Ja d’entrada em vaig adonar que els nombres dels valors de les resistències i condensadors tenien alguna cosa especial. Hi havia, per exemple, resistències de 10 Ω, de 100, 1000, 10000 o també de 33, 330, 330000… 6,8, 680, 68000… però mai no en veia de 50 Ω ni de 5000, ni 71 o 25 o molt altres valors començant per dues xifres. Els valors quasi sempre començaven per 10, 12, 15, 18, 22, 27, 33, 39, 47, 56, 68 0 82. Molt més rarament per 11, 13, 16, 20, 24, 30, 36, 43, 51, 62, 75 o 91. Altres xifres no les havia vist mai ni en esquemes ni en resistències reals. Si calculant un circuit et sortia una resistència de 720 Ω, havies de comprar la de 680 Ω o la de 750 Ω si la trobaves.

La pregunta que plantejo és a què es deuen aquests valors peculiars? Certament és molt fàcil trobar la resposta a internet, però suposem que ni tenim internet, i potser tampoc calculadora.

Quan tens moltes resistències barrejades, sempre és difícil trobar un valor concret

Cada idioma té la seva manera de fer, per exemple en la manera de dir els nombres, en anglès puc fer la sèrie: 1000, 1000000000, 1000000000000000000000000000, 100, 1… i demanar el següent terme.

En català, la cosa seria una mica diferent, i el següent terme, en el nostre cas, no existeix. La sèrie quedaria en: 4, 1000000000000, 5, 2, 3…

Passem les sèries expressades en xifres a lletres. L’anglesa queda: (one) thousand, billion, octillion, hundred, one… podem prescindir del one davant dels grans nombres, no afecta el nostre problema.

En català la sèrie en lletres és: quatre, un bilió, cinc, dos, tres…

Si decidim posar infinit ∞ pels termes no existents la sèrie anglesa quedaria:

1000, 1000000000, 1000000000000000000000000000, 100, 1, X, 8, 3, 5, ∞, ∞, 11, 1000000, 1, 1, 1000000000000000000000000, 1000000000000000, 3, 6, 2, 4, 5, 2, 6, 20, ∞. El terme X és la incògnita del problema inicial que en realitat era, no amb els nombres, sinó amb els seus logaritmes decimals: 3, 9, 27, 2, 0…

En català —central— la sèrie completa és:

4, 1000000000000, 5, 2, 3, ∞, ∞, ∞, 5, ∞, ∞, 1000, 1000, 1, 2, 1000000000000000000000000000000000000000000, 4, 3, 2, 3, 1, 8, ∞, 60, ∞, 11.

Nombres i lletres en català i en anglès

Val a dir que si admetem la forma googol pel nombre format per un 1 i cent zeros, la sèrie catalana canviaria lleugerament, i que si emprem la varietat valenciana, també.

Una pista, les dues sèries tenen vint-i-sis termes.

Tinc aquí a la taula un llibre de l’any 1934 de l’editorial «Dalmáu Carles Pla», en castellà, anomenat «Enciclopedia cíclico pedagógica», aproximadament anava destinada a nens del que ara seria entre cinquè i sisè de primària.

Només m’he aturat a analitzar el que era la matèria de matemàtiques. Se suposa que la més invariable de totes ja que en aquest nivell, tot el que s‘ensenyava i ensenya als nens són coneixements perfectament consolidats i pràcticament invariables en els darrers cent anys. Invariables vol dir que la divisió continua essent divisió, i un triangle un triangle, amb les mateixes propietats, però la manera d’explicar-les ha canviat força… en alguns aspectes.

El que més em crida l’atenció és que, sense introduir res d’àlgebra, von ensenyar una munió de regles sense justificar-les per a solucionar problemes diversos, que d’altra banda són trivials amb àlgebra. No és a quina edat s’hauria d’introduir, però el que és evident és el difícil que era fer-ho sense introduir-la, ni que fos a nivell bàsic d’equacions de primer grau.

Una segona cosa curiosa, vist des d’ara, és una mena d’al·lèrgia a generalitzar, les regles s’ensenyen per a cada cas particular, no com a diversos aspectes d’una regla general.

I el cas que vull posar com a exemple és el de l’arrel cúbica.

Efectivament, si tenim una peça cúbica de, posem-hi, 2,5 m³ i ens pregunten quan mesura, la solució és l’arrel cúbica de 2,5, que feta amb qualsevol calculadora científica, resulta 1,35720880829745 metres. Clar que el 1934 no hi havia calculadores científiques. Però tampoc el problema de l’exemple és dels que se’ls presenta gaire a la gent normal, fins i tot tècnics o enginyers molt rarament han de fer una arrel cúbica, al menys amb més precisió que la que dóna un regle de càlcul, que també en sap fer.

El cas és que en aquella època s’ensenyava als nens, que ja havien après a fer arrels quadrades a mà el curs anterior, a fer arrels cúbiques. A mi ja no em va tocar. Però rar que sóc en vaig aprendre per pura afició, si no amb aquest llibre, amb algun altre similar que vaig arreplegar. El perquè funciona el regle, o fins i tot el de l’arrel quadrada, ni llibres ni professors m’ho van ensenyar mai. Quan al final ho vaig veure, realment em va ser molt útil la comprensió d’aquests algorismes per a altres tasques futures, però va ser un aprenentatge purament autodidacta. Val a dir que la regla per fer amb paper i llapis l’arrel cúbica, és força enrevessada i que tot i que encara la recordo, em sembla que mai no he tingut necessitat real d’emprar-la. Pensar en un nen havent-la de fer sense comprendre res, fa una certa pena.

Muntatge de les pàgines del llibre o s’explica com fer una arrel cúbica, amb un exemple.

Però no era la regla i prou, era una regla per a «enters menors que 1000», una altre per a «enters majors que 1000», un altre apartat sobre com fer-la a un nombre decimal i, finalment la regla per fer-la a trencats, que és com es denominava sistemàticament les fraccions.

Part d’un altre exemple d’arrel cúbica.

També crida l’atenció el següent capítol del llibre, literalment: «Raíces de grado superior al tercero. Números primos». Què hi tenen a veure els dos conceptes per a posar-los al mateix capítol? però el més curiós del cas, en la primera part és l’aversió a regles generals, hi surt, en aquest ordre, com fer l’arrel quarta, la vuitena, la setzena, la novena, la vint-i-setena, la sisena i la dotzena.

Em millorat des de 1934?

Indubtablement, però només una mica, alguns dels defectes tan evidents d’aquell llibre continue vigents tot i que més dissimulats.

I penso en primer lloc en posar per davant la recepta a la comprensió del que s’està fent. Amb l’agreujant que com que la memorística està desacreditada, es fa veure que no n’hi ha, mentre els nostres alumnes continuen memoritzant receptes —ja no són llistes o definicions literals— com abans.

No, el pas per fer veure al nen que el que se li ensenya és útil i ho pot integrar en els seus coneixements, normalment encara no es fa, com a molt s’arriba a presentar-li una sèrie d’exemples que l’alumne aprèn per si «van a examen», sense verificar que hagi passat de l’exemple a la generalització. Vull dir que l’examen això no ho detecta.

Aquest Nadal he fet una volta per alguna botiga de Barcelona on hi podien haver trencaclosques amb interès educatiu.

Un fracàs, l’anomenat comerç de proximitat s’hauria de posar les piles si no vol ser anorreat pel comerç electrònic. Hi ha molt poca oferta. Potser si la situació no és dramàtica del tot, encara, és perquè per una banda els fabricants són de baixa qualitat, i no em refereixo a la qualitat física de les peces sinó a la lògica del que comercialitzen, o sigui que sovint és millor veure i tocar-ho, perquè les explicacions del web sovint no donen la informació bàsica necessària i en segon cas per la dificultat de fer-se portar productes de poc preu a casa que a molts ens frena a l’hora de comprar productes en línia.

Només em vaig comprar un pot relativament baratet amb cinc jocs de pentòminos que penso emprar en un projecte força específic. Perquè com a joc de pentominós és un desastre de disseny: en fer una figura amb peces del mateix color —només n’hi ha cinc o sigui que en el conjunt bàsic sempre hi ha colors repetits— pràcticament no es veuen les fronteres entre una peça i una altra.

Dos jocs, un de fa quaranta anys i un de modern. La disposició de les peces és idèntica, però en el modern costa de veure

Per a mi és obvi que el dissenyador no en va fer un prototip i hi va jugar. Típic de molts productes anomenats educatius.

I encara bo que no van fer com en altres jocs similars que vaig veure a les botigues on el joc s’infantilitza. Amb això vull dir, per exemple, trencaclosques que podrien ser interessants si no fos que hi han afegit peces que els trivialitzen sense necessitat, perdent la part de problema que tindria el joc, o basats en un nombre limitat de plantilles sovint trivials.

També vaig comprar un altre producte «educatiu», un conjunt de daus amb lletres que ja he emprat per fer algunes il·lustracions. Teòricament bilingüe català castellà, però a la pràctica la descripció del contingut és el de la versió castellana i a més, respecte el català i manca el punt volat o la ela geminada, alguna solució per a poder fer la paraula. I era perfectament possible fer-ho sense posar-hi més daus.

Pura incompetència. Una mica com aquells «llibres de text electrònics» que semblen fets amb PowerPoint per un becari incompetent, que possiblement cobra el salari mínim o ni això.

Però més que la incompetència el que m’amoïna és la manca de crítica, ens domina la cultura que els jocs no tenen importància, que els nens han d’anar a l’escola a treballar i esforçar-se molt, independentment de si els serà útil o no. Oblidant que som mamífers, i que en el desenvolupament cerebral de molts mamífers, el joc és l’essencial.

Fa uns dies un amic em comentava que feia poc havia fet un viatge a la bonica ciutat de Lisbona —Lisboa en portuguès— i, a banda d’explicar-me’n els nombrosos atractius de la ciutat i de la seva gent, ca comentar de passada que era una de les capitals —d’estat— més properes a Catalunya.

Certament, aquesta és una idea que la major part dels catalans compartim, no és gaire lluny.

Però la pregunta que em vaig fer va ser: Des de Barcelona i en ordre de distàncies a capitals d’estat, quin número ocupa Lisbona? Per simplificar entenc que la distància és en línia recta, de centre a centre de ciutat, no per carretera o ruta marítima.

Vaig pensar un nombre, i quan el vaig comprovar, fent ús de l’eina de mesura del programa GoogleEarth, vaig veure que m’havia quedat curt. I no només jo, totes les persones que vaig preguntar van dir nombres més petits que la realitat, amb una mitjana entre sis i set, i en tot cas no arribant mai a deu.

Quina és la resposta correcta?

Sorprenentment és tretze. Hi ha dotze capitals d’estat més properes a Barcelona. Aquestes són les ciutats amb la distància en quilòmetres a l’ajuntament de Barcelona.

1 Andorra la Vella (135)
2 Ciutat de Mònaco (502)
3 Madrid (506)
4 Alger (518)
5 Berna (747)
6 París (829)
7 Tunis (857)
8 Ciutat del Vaticà (858)
9 Roma (859)
10 Vaduz (866)
11 San Marino (887)
12 Luxemburg (963)

13 Lisboa (1009)

Un mapa amb les línies entre Barcelona i les dotze capitals més properes

Les possibles causes de la subestimació?

Potser el record de mapes de la península Ibèrica on no apareixen la majoria de les capitals de la llista. Sumat això a que hi ha microestats que habitualment no els tenim en compte.

Un altres problema geogràfic amb aquestes ciutats, consisteix en, sense mirar el mapa i a partir de París —que queda justa al nord de Barcelona—, en el sentit de les agulles del rellotge, determinar l’ordre de les ciutats. Sembla fàcil però també ho és cometre errades.

Els problemes de la col·lecció «què és?» poden ser força variats, encara que aproximadament dins les meves aficions i dèries. Aquí en presento un amb la solució per mostrar un possible procès mental per resoldre’l.

La figura és volgudament imprecisa, com un esquema més que un plànol. Amb possibles errades o imprecisions.

Un problema de la sèrie «què és?» amb deu figures

Hi veiem deu figures de colors grisos sobre un fons esmorteït entre groc, blau cel  verd. Probablement el fons no és significatiu, no es lliga de cap manera visible amb les figures.

Totes les figures consten de sis quadrats llevat de la primera, la de dalt a l’esquerra, que té alguns detalls més, com unes pestanyes disposades alternativament en els costats dels quadrats.

Aquí, ve un pas fàcil, la primera figura representa el desenvolupament d’un cub, allò que amb cartolina ens feien fer a l’escola en diversos treballs manuals. Incidentalment quan tenim una figura plana que es pot convertir a base de plegar-la, afegir-hi pestanyes i enganxar-les, la manera més fàcil de situar les pestanyes és alternativament en els costats de la figura plana: un sí i un no… Es pot demostrar que funciona sempre, com en el cas de la primera figura de la imatge. Òbviament, no és l’única disposició de pestanyes possible.

I si la primera pestanya és el desenvolupament d’un cub, què són les altres?

Si les numerem, és fàcil veure que tant la 1, com les 2, 3, 4, 6, 8, tenen quatre quadrats en vertical que farien una volta horitzontal a un cub, i una altra quadrat a cada banda que es podria plegar con les bases superior i inferior: són desenvolupaments del cub similars al primer i més conegut.

Les altres també? Efectivament unes poques manipulacions mentals o físiques ens mostren que també es poden plegar e forma de cub. De fet és l’única menara de plegar-les possible per formar un objecte de tres dimensions.

Aquí recordo una anècdota escolar. Un professor de ciències naturals, quan teníem uns tretze anys ens va donar uns dissenys per passar a cartolina i muntar uns objectes que representessin els sistemes cristal·logràfics bàsics —sí, es veia a aquella edat—. En el cas del sistema cúbic hi havia dues figures, el cub i l’octaedre regular que té les mateixes simetries. El professor en qüestió —a qui anomenàvem «l’Indi» perquè era molt vermell de cara— tenia un curiós sistema de puntuar aquell exercici, feia posar sobre la taula els cossos de cartró que havíem muntat, i els que estaven mal fets o enganxats o els erronis, els esclafava amb el puny… Bàsicament esclafava algun on n0 s’havien posat correctament les pestanyes o no s’havien enganxat, però recordo un cas curiós, un company havia muntat l’octaedre en una disposició alternativa, en lloc de ser dues piràmides quadrangulars unides per la base, li van resultar dos tetràedres regulars units per una aresta comuna i dues cares triangulars més formant una figura còncava. En uns pocs segons abans de morir esclafada ho vaig veure. I vaig pensar: l’Indi no ens donar cap mena d’instrucció més enllà de muntar les figures, o sigui que si na tenia diverses possibilitats, qualsevol d’elles podia ser vàlida. No tinc ni idea si l’alumne afectat ho recorda, però aquell dia, al menys jo, vaig aprendre inesperadament una cosa nova d’aquelles que recordaré tota la vida.

Però el problema del «què és?» no s’ha acabat, caldria comprovar tres coses més, si hi ha alguna figura incorrecta —bé, això ja ho hem fet i no—, si hi ha alguna figura duplicada, i si en manca alguna de la mateixa categoria.

Per veure si hi ha duplicats només cal posar cada figura en les quatre orientacions ortogonals possibles i les seves imatges especulars i veure si coincideixen amb alguna altra figura. No.

Trobar si en manca alguna és més delicat. Aquí cal posar els sis quadrats adjacents  de totes les maneres possibles, sense ni oblidar-ne cap ni duplicar-ne. N’hi ha 35 que són les figures anomenades hexòminos. Si aquí busquem la paraula a Google potser trobarem la solució al problema dels cubs, però en certa manera és fer trampa si, prèviament, no coneixíem la paraula.

Dels 35 hexòminos cal eliminar els 10 que ja tenim i comprovar tots els altres d’un en un. Pot semblar una mica feixuc però aquí rau l’interès de molts problemes heurístics, cal cercar —en principi inventar— un mètode que sigui pràctic, eficient i segur per fer-ho. Quan el tinguem, podrem comprova de dels 25 hexòminos que ens queden, 24 no es poden plegar en quadrat, només n’hi ha un altre que sí.

Aquest:

L’altre possible desenvolupament d’un cub

Sempre m’han agradat els problemes amb poques dades i ocasionalment n’he escrit-compost-inventat algun. Per exemple:

❀ La Maria col·leccionava baletes i ja en tenia entre cent i dues-centes. Un dia va decidir posar-les en una disposició en forma de trapezi o triangle, això és: una sèrie de rengles decreixents. Per exemple amb quinze baletes hagués pogut fer una figura amb 5, 4, 3, 2 i 1, o també 6, 5 i 4, o finalment 8 i 7. Normalment es podia fer la figura de moltes maneres. Però aquell dia, que havia aconseguit una nova peça per a la seva col·lecció, es va trobar que no ho podia fer de cap de les maneres.

Quantes baletes tenia?

La solució és única. Si considerem que els triangles no són trapezis, hi hauria més possibilitats. Quines o quina?

De manera més general, de quantes maneres un nombre natural es pot descompondre en suma de nombres consecutius? Si la resposta és 1, vol dir que només es pot fer amb un trapezi «degenerat», d’una sola línia que no el considerem trapezi. Si caracteritzem els nombres d’aquesta mena, tenim la solució al problema anterior.

Una imatge, pot ajudar una mica, a veure per on pot anar la solució:

Diverses disposicions d’entre 1 i 31 baletes.