Orió amb un ull nou

He estat uns dies sense escriure. El motiu és que no veia bé la pantalla de l’ordinador.

Una doctora de l’hospital de la Creu Roja de Barcelona, ara fa sis dies, em va canviar molt ràpidament el cristal·lí de l’ull esquerre per un de plàstic, crec que acrílic, molt més transparent que el que tenia. I em va deixar l’ull enfocat a l’infinit.

Però la situació és que no tenia cap ulleres que em permetessin veure-hi bé a 50 cm que és om tinc la pantalla.

Vaig fer invents de tota mena, tapant un dels ulls, amb les ulleres velles o unes de prop… però res, era incòmode. I fins avui no he tingut unes ulleres noves enfocades a 50 cm. Ulleres que hauré de canviar quan m’arreglin l’altre ull. Però, afortunadament, ara ja torno a poder escriure.

I és la primera vegada en la vida que amb l’ull esquerre hi veig bé de lluny sense ulleres, o mes exactament amb unes on el vidre de l’ull esquerre no té graduació.

I els colors, la temperatura de color que veig amb un ull és ben bé 2000 K més alta que a l’altra. Especialment ara veig els violetes especialment brillants. Fins i tot diria que cap a la banda de l’ultraviolat veig llum més enllà del límit anterior. Mai no ho havia vist: l’ull és sensible a l’ultraviolat proper, més exactament ho són els bastons de la retina que ara tenen menys filtre que amb el cristal·lí antic. Els bastons no hi són sensibles, o sigui que veig aquesta llum sense color, blanca. Hauré de portar sempre filtre ultraviolat i qui sap si violeta-blau quan surti a la llum del sol, que ara tinc menys protecció.

I com que tinc un ull ben enfocat a l’infinit, ara puc veure les estrelles sense ullera.

Com sempre, la contaminació lumínica de Barcelona impedeix del tot veure les estrelles febles. Però des d’un lloc tan il·luminat com la plaça de Sant Jaume, vaig poder veure les set estrelles més brillants d’Orió, i algunes dels seu voltant.

La constel·lació d’Orió és molt curiosa en alguns aspectes. En principi les constel·lacions són zones delimitades de la volta celeste que contenen tota mena d’objectes, alguns dels quals són estrelles brillants que formen una figura reconeixible. En general, són estrelles que estan aproximadament en la mateixa direcció però que no tenen a veure les unes amb les altres.

En el cas d’Orió, això no és ben bé cert. Les cinc estrelles que he marcat en blau i probablement també Betelgeuse, tenen un origen comú, es van formar al mateix gran núvol de gas i pols fa pocs milions d’anys i encara resten relativament prop les unes de les altres. Bellatrix és una estrella similar però està més propera a nosaltres i podria tenir un origen diferent. Alnilam, que es veu força similar a les dues veïnes Alnitak i Mintaka, podria ser també exterior al complex, però en aquest cas estaria més enllà. De totes maneres, el que veiem en direcció a Orió, és la part més interna del braç de la Galàxia més proper a nosaltres, braç que conté molts més núvols de gas i pols que l’immediatament més proper que ha originat els estels més brillants de la constel·lació.

Tots aquests estels brillants, són molt massius i joves. Consumeixen grans quantitats d’hidrogen i duraran —en termes astronòmics— relativament poc. En alguns milions d’anys esclataran en forma de supernoves. Probablement Betelgeuse, que ja ha exhaurit l’hidrogen del seu nucli, serà la primera. De totes maneres, no representa cap perill, són estrelles prou llunyanes perquè la seva explosió no representi un perill significatiu per a nosaltres.

El núvol de gas i pols, encara resta actiu i en algunes zones, especialment a la nebulosa coneguda com a Messier 42 —M42— al mapa, hi continuen naixent noves estrelles. Però el complex de gas és molt més extens que les nebuloses fàcilment visibles, i abasta pràcticament tota la meitat sud d’Orió, encara que només és visible en fotografies de llarga exposició.

Incidentalment, com que Orió rau en el pla de la Galàxia, justament en direcció contraria al centre, els núvols de gas impedeixen veure-hi més enllà i pràcticament no s’hi pot veure cap galàxia exterior a la nostra.

Publicat dins de Astronomia, Ciència i pensament, Divulgació, General | Deixa un comentari

Els nombres triangulars, que d’alguna manera són similars als quadrats

Els grecs, i prèviament al menys babilònics i egipcis, coneixien perfectament els nombres quadrats, són aquells que compten una disposició quadrada d’objectes.

Setze és un nombre quadrat ja que setze baletes es poden posar en aquesta disposició

De la mateixa manera, coneixien els nombres triangulars, definits d’igual manera però en disposició triangular:

Vint-i-un és un nombre triangular ja que vint-i-una baletes es poden posar en aquesta disposició

Si els quadrats són molt més famosos es per que tenen moltes més aplicacions en matemàtiques, des d’elementals a les més complexes. Però no per això els triangulars deixen de ser interessants.

La sèrie dels nombres triangulars comença: 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120… Els podem obtenir fàcilment de les sumes parcials de: 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8…

Calcular el nombre triangular que correspon a la figura amb n objectes de costat, és gairebé tan fàcil com calcular el quadrat. Si el quadrat d’n el calculem fent n × n, el nombre triangular corresponent es calcula per n × (n + 1) / 2. Naturalment si n és parell n + 1 és senar i recíprocament, o sigui que el seu producte sempre és parell i es pot dividir per dos. Una manera de veure d’on surt aquesta fórmula és mitjançant la següent figura:

A l’esquerra hi tenim dos triangles iguals, en aquest cas de costat quatre. Si reordenem les baletes veiem que formen un rectangle de 4 × 5 —genèricament d’n × (n + 1)–. I com que el rectangle conté dos triangles amb la mateixa quantitat de baletes, cada triangle en tenia la meitat, o sigui n × (n + 1) / 2.

Una aplicació dels nombres triangulars, que vaig veure intuïtivament quan era petit, és el problema del brindis. Si sóc a una taula amb n persones més —en definitiva n + 1 persones— i tots brindem amb tots, quants brindis hi ha hagut? El resultat és el triangular d’n. Si jo també en compto per fer  el nombre n, la resposta és el triangular de (n – 1) que el podem calcular amb la fórmula n × (n – 1) / 2.

Hi ha fórmules curioses amb els nombres triangulars, per exemple, el nombre triangular d’n elevat al quadrat, és la suma dels cubs entre 1 i n, per exemple, el triangular de 5, que és 15, si l’elevem al quadrat ens dóna 225 i aleshores 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ = 1 + 8 + 27 + 64 + 125 = 225.

Si agafem la sèrie dels quadrats —1, 4, 9, 16, 25…—, calculem els seus inversos i els sumem 1/1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25… —aquí els punts suspensius volen dir que hem de continuar fins l’infinit—,  ens trobem amb un famós problema de les matemàtiques, anomenat problema de Basilea, que Euler va solucionar el 1733, 84 anys més tard de quan es va plantejar. El resultat és el curiós nombre π²/6. Podríem pensar aleshores que la suma dels inversos dels nombres triangulars encara és més difícil. Però no. La suma val exactament 2 i la demostració és relativament elemental.

Quan Gauss tenia 18 anys, va descobrir una interessant propietat dels nombres triangulars que va deixar anotada com: «ΕΎΡΗΚΑ! num = ∆ + ∆ + ∆», significa que cada nombre natural és suma de no més de tres nombres triangulars. ΕΎΡΗΚΑ! és EUREKA —ho he trobat— en caràcters grecs, tal com ho va escriure.

Si hi ha una operació inversa a elevar al quadrat, la que anomenem arrel quadrada, existeix l’arrel triangular?

No l’he vist mai anomenada així, però existeix i es calcula en termes d’arrel quadrada: (√(8n + 1) – 1) / 2. Així, l’arrel triangular de 120 seria (√(8·120 + 1) – 1) / 2 = (√961 – 1) / 2 = (31 – 1) / 2 = 15. Posem comprovar que el triangular de 15 val precisament 120: 15 × 16 / 2.

Un altre tema que relaciona quadrats amb triangular és cercar els nombres enters que siguin de les dues menes. N’hi ha infinits, la sèrie comença per 0, 1, 36, 1225, 41616, 1413721… com es veu creix molt ràpidament.

Trobar una fórmula explícita que ens doni aquests nombres no és fàcil, però sí que ho és una mica més trobar-ne una de recurrent, la que permet calcular un terme de la sèrie coneixent els dos anteriors, ho deixo com a problema.

Un tema que no he sabut trobar a internet és el de quines diferències hi pot haver entre un quadrat i un triangular. Acabem de veure que hi ha infinits casos on la diferència és zero. També hi ha casos amb diferències 1, 2, 3, 4, 5, 6 però curiosament mai 7. La seqüència de nombres que no són diferència entre un quadrat i un triangular continua amb: 7, 18, 23, 31, 37, 38, 40, 47, 52, 59, 67, 68, 70, 73, 83, 86, 88, 92, 98, 102… Com que aquesta no apareix a OEIS, em sembla que deu ser un tema poc estudiat o publicat. Malauradament conservo el full de resultats —de la dècada de 1980— però no els càlculs que vaig fer per obtenir-los. També podria ser que hagués comés alguna errada. Ho deixo per a qualsevol aficionat o professional que ho vulgui publicar, per exemple a OEIS.

49 és un nombre quadrat, 45 és triangular, la seva diferència és 4

 

Publicat dins de Divulgació, Matemàtica, Problemes | Deixa un comentari

Què és? Idiomes i nombres

No, no va de política, almenys directament, ja que intentar fer pensar en té moltes connotacions. Però avui va bàsicament d’idiomes, representats per una bandera i nombres enters.

Es podria fer per a moltes altres llengües, encara que en algunes no tindria massa sentit i en altres no hi hauria solució.

En tot cas, aquí el problema fa servir anglès, francès, castellà, italià, català i basc, essent l’ordre en el gràfic totalment irrellevant, em va venir bé així quan dibuixava el gràfic.

Com sovint, la pregunta és «Què és?»

 

Publicat dins de Matemàtica, Problemes, Què és? | 10 comentaris

Planetes de ciència-ficció

El gènere de la ciència ficció molt sovint es barreja o confon amb el de la fantasia.

Òbviament qualsevol autor és lliure d’escriure el que vulgui, no és cap mena de problema de legitimitat literària, sinó de definicions i classificació; el problema és que si dins la ciència ficció hi col·loquem una part del que podríem anomenar fantasia, quan esmentem el terme no sabem exactament de què parlem.

Una font de problemes és la confusió entre el gènere literari i l’escenari. Ara mateix em ve al cap una pel·lícula amb escenari de ciència ficció de l’any 1981 «Outland», protagonitzada per Sean Connery i traduïda com «Atmosfera zero». L’escenari era una colònia minera a Io, satèl·lit de Júpiter, i l’argument era pràcticament el mateix que el del western de 1952 «High Noon». Però a nivell de ciència ficció, l’escenari flaquejava molt, fins i tot comptant que quan es va filmar, alguns detalls sobre el satèl·lit Io no estaven tan clars com ara.

Com a exemple de febleses: la baixa gravetat pràcticament no s’hi veu reflectida, la gravetat de Io és menys d’un cinquè de la de la Terra, molt similar a la de la Lluna que ja s’havia trepitjat quan es va fer la pel·lícula. Tothom havia pogut veure com era el pas dels astronautes amb aquesta gravetat. Reconec que no és fàcil fer efectes especials per mostrar-ho, però al menys es podia intentar a les escenes on això tenia una certa importància.

Un altre cas més flagrant, és una escena on un dels personatges queda exposat al buid de l’espai i s’infla fins morir. Això no es correspon al que ja es sabia perfectament respecte l’exposició d’un cos al buid. Incidentalment al film «2001» hi ha una escena amb un personatge exposat al buid durant uns segons, que va tenir en compte experiments amb animals que s’havien fet a la Unió Soviètica al començament de la dècada dels seixanta, i que van mostrar que era possible sobreviure ―i sense inflar-se ni explotar― al menys 30 segons en el buid de l’espai.

Però no vull parlar de les errades de la ciència ficció més de consum, sinó de com podrien ser o no ser els planetes en una ciència ficció més hard, on l’escenari còsmic sigui part de la trama, no pas merament el marc on es desenvolupa una acció que sovint no té res d’especulació científica.

Dos planetes inventats, tipus gegant gasós, amb anells  i  colors inversemblants

Imaginar un planeta és senzill. Que sigui versemblant des del punt de vista de la ciència actual, ja és tot un altre problema.

Parlem d’un planeta mínimament habitable, on els personatges puguin deambular sense necessitat d’escafandre i suport vital complex.

Fins principis de 2019 s’han descobert gairebé 4.000 exoplanetes orbitant estrelles diferents al Sol. Quants n’hi hauria, més o menys, que permetessin als humans viure a la seva atmosfera?

Probablement, cap.

Que entre els exoplanetes descoberts no n’hi hagi cap d’aquesta mena no vol dir, ni molt menys, que no existeixin o puguin existir. En primer lloc, hi ha un biaix important sobre la mena de planetes que s’han descobert respecte el total de planetes existents, que són una mostra poc representativa de la població en general.

Com més gran és un planeta més fàcil és detectar-lo, és evident. Això implica que la gran majoria dels que coneixem són molt més grans que la Terra, amb dos problemes bàsics respecte l’habitabilitat: en primer lloc una atmosfera enorme, que fa que a la superfície sòlida, si és que n’hi ha, la pressió sigui enormement superior a la que els humans podríem resistir, i en segon lloc, una gravetat molt superior a l’acceptable. Probablement una gravetat un 50% superior a la de la Terra, ja seria totalment incompatible amb una estada permanent.

El segon motiu de biaix entre els planetes existents i els descoberts és que com més prop de l’estrella orbita un planeta, més fàcil és detectar-lo, tan si és observant els trànsits del planeta per davant el dics estel·lar, com si és mesurant l’influx gravitatori del planeta envers l’estrella. Això fa que la majoria dels 2.000 planetes extrasolars coneguts siguin molt calents, amb temperatures que en molts casos superen els 2.000 graus. Un escenari espectacular amb oceans de magma si el planeta té la mida adequada, però incompatible absolutament amb la vida tal com la concebem els humans.

Degut a la gran dificultat actual de detectar planetes realment habitables, quan se n’ha descobert algun que remotament ho pugui ser, la premsa se n’ha fet ressò. Són les anomenades superterres en zona habitable, una proporció ínfima menys d’una dotzena fins ara.

Superterres ja és una mica de mal rotlle, vol dir força més gran que la Terra i, en conseqüència, amb una gravetat no acceptable. Són planetes més petits que els gegants gasosos i que podrien arribar a tenir una atmosfera no especialment densa. La zona habitable vol dir que orbiten la seva estrella a una distància compatible amb temperatures superficials que permetrien aigua en estat líquid, temperatures més o menys acceptables per a l’home sense necessitat d’equipament complex.

De moment, probablement cap dels candidats trobats no reuneix les condicions adequades de gravetat i temperatura. De la condició atmosfèrica poc en podem detectar en aquesta mena de planetes amb la tecnologia actual, però en podem especular. I aquí ve un problema important.

En moltes novel·les o guions cinematogràfics, l’atmosfera és respirable. I això, des del punt de vista dels coneixements astrofísics actuals, sembla una mica difícil. Si la Terra té una atmosfera amb oxigen és perquè hi ha vida i fotosíntesi, o més exactament, n’hi ha hagut des de fa milers de milions d’anys. En condicions sense vida, l’oxigen lliure no s’hauria produït, estaria tot combinat en forma d’aigua, diòxid de carboni, òxids metàl·lics, silicats o altres compostos inorgànics; no es coneix cap procés abiòtic capaç de produir oxigen gasós a escala planetària, les atmosferes de planetes de la mida de la Terra molt probablement estan dominades gairebé totes pel diòxid de carboni i el nitrogen.

Si a l’atmosfera del planeta hi ha oxigen, i és d’origen biològic, l’autor de ciència ficció té dues possibles estratègies: que el planeta tingui vida autòctona i que, casualment, hagi generat oxigen en la concentració adequada, o que sigui un planeta terraformat, possiblement per humans.

Terraformar vol dir que si poguéssim anar a un planeta de mida i temperatures favorables, amb una atmosfera de nitrogen i diòxid de carboni que és el que creiem que és absolutament majoritari, introduint-hi vida vegetal o potser altres tecnologies més avançades, podríem arribar a formar-hi una atmosfera respirable. Possible, a priori sí que ho és, perquè a la Terra ha passat i sense intervenció conscient deliberada.

De totes maneres, una de les preguntes, si és que realment això és possible per voluntat i intervenció conscient, és quan es trigara?

No ho sabem. Potser, fins i tot podria ser un procés ràpid a escala còsmica. Segurament un procés en diverses etapes ja que els organismes que comencen a produir oxigen en les condicions inicials haurien de ser diferents als que el mantenen i augmenten en etapes més avançades. Especulant de manera optimista podem fer un símil amb la colonització d’un illot volcànic sorgit d’una erupció marina. En un ambient tan favorable a la vida terrestre com és la pròpia Terra, és un procés on la darrera etapa, la de la colonització vegetal ―i en un món que ja té oxigen― té una escala temporal de centenars d’anys. Sempre és difícil especular sobre tecnologies futures, però no crec que fos raonable una terraformació d’un planeta amb condicions d’habitabilitat bàsiques, però sense oxigen, en menys d’un miler d’anys. Probablement força més. I això si és que el planeta no té quantitats massives de diòxid de carboni que cal fixar a terra en forma de carbonat o expulsar a l’espai. La mateixa Terra, a part de la fotosíntesi que ha alliberat oxigen, ha necessitat la fixació de grans quantitats de carboni en compostos no gasosos; una part en carbó o petroli, però la gran majoria en carbonats, bàsicament de calci i magnesi, que un dia van ser esquelets d’éssers vius i que ara formen enormes muntanyes, un procés que aquí té una escala temporal de desenes o centenars de milions d’anys.

Però no només hi ha els problemes de la temperatura, la gravetat i la composició i pressió atmosfèrica. Altres qüestions poden comprometre l’habitabilitat, especialment si és per a una colonització a llarg termini.

Que la temperatura mitjana sigui adequada no vol dir que les fluctuacions no puguin fer un planeta inhabitable. Això vol dir, en primer lloc, que caldria una òrbita no gaire el·líptica. Al sistema solar aquesta condició la reuneixen tots els planetes, però molts dels exoplanetes que hem pogut mesurar no. Es creu que si els planetes solars tenen òrbites més o menys circulars és perquè la interacció amb un disc de protoplanetes, a la manera dels anell de Saturn, va circularitzar les òrbites; aquest procés probablement és comú en els sistemes planetaris que tenen planetes de la mida de la Terra, però cal que hagi acabat. Un planeta on els impactes de protoplanetes fossin freqüents, no seria gaire habitable; impactes com el que va extingir els dinosaures fa 65 milions d’anys no seria acceptable que passessin a intervals de milers d’anys com és el cas probable de molts planetes joves.

Joves aquí vol dir de menys d’uns 500 milions d’anys. Aquesta escala temporal probablement també és necessària per garantir que els processos tectònics no siguin massa intensos, en particular els terratrèmols i el vulcanisme. Tenint en compte que al menys fa 8.000 milions d’anys que es formen planetes de tipus terrestre ―es probable que abans la concentració d’elements més pesant que l’heli fos massa baixa― potser la limitació d’edat i circularització d’òrbites no seria especialment crítica.

Però hi ha una altra limitació que té a veure amb la temperatura que sí que segurament és molt crítica. Es tracta de la rotació.

Un planeta amb la rotació molt lenta, escala de setmanes, possiblement seria massa variable en temperatures per ser compatible amb un ambient adequat, és el cas de Venus ―inhabitable, a més, per altres motius―. Aquí la qüestió és que un planeta a l’entorn d’una estrella, posem´hi d’una massa inferior al 90% de la del Sol, per mantenir una temperatura mitjana acceptable, hauria d’estar a una distància on la gravetat de la estrella frenaria la seva rotació, fins el punt de sincronitza-la amb la translació; el planeta presentaria sempre la mateixa casa al seu sol, o potser si l’òrbita fos prou el·líptica, en una ressonància que produiria uns dies molt llargs, com és el cas del planeta Mercuri respecte el Sol. Això probablement causaria problemes d’inestabilitat en l’atmosfera i la hidrosfera: en el punt subsolar la temperatura seria tan alta que la majoria de l’atmosfera escaparia en uns pocs centenars de milions d’anys i l’aigua del planeta es condensaria tota en forma de gel a la cara fosca i freda. Un planeta amb la rotació aturada respecte el seu sol, difícilment seria habitable, i això, és possible que afecti a la majoria dels candidats, ja que les estrelles menors que el 90% del Sol són una gran majoria, més del 85% del total. I el 5% d’estrelles més grans, tenen una durada de vida massa curta comparada amb el temps d’estabilització orbital i geològica d’un planeta. Ens queda un 10%, com a molt, d’estrelles favorables.

Tot això és força antròpic, només són habitables per a nosaltres els planetes semblants al nostre. Però aquí estem discutint els planetes de la ciència ficció, habitats per homes, deixant de banda el problema del viatge.

Una altra limitació, que potser no seria tan crítica, és la presència de camp magnètic que aturés la radiació còsmica, tant la provinent de fora del sistema estel·lar, com la generada dins d’ell.

Una de les errades a la pel·lícula «Outland», és precisament que a Io, el satèl·lit de Júpiter, la radiació «fregiria» qualsevol humà en qüestió de minuts, i això ja es sabia quan es va rodar el film, en aquest aspecte, segurament hagués estat millor no esmentar el nom del cos celeste on passava l’acció. Per fer una obra científicament versemblant, necessitem un planeta amb un nivell de radiació tolerable per a una persona a escales de cent anys, o sigui, una radiació total no gaire més gran que la de la Terra; encara que aquesta condició no seria la més difícil de trobar: els planetes de la mida adequada, probablement tenen gairebé tots els planetes de mida terrestre i rotació prou ràpida, contenen un nucli conductor metàl·lic fluid que genera un camp magnètic que protegeix la seva superfície dels rajos còsmics.

Voler localitzar planetes de ciència ficció, al nostre sistema solar o a l’entorn d’estrelles conegudes és molt sovint un problema. Molt sovint la descripció que es fa, implícitament o explicita del món, no es correspon ni amb el que sabem ni amb el que és possible. Segurament hauria estat millor en molts casos no esmentar la localització concreta. Un exemple, en la saga de novel·les «Duna», de Frank Herbert, s’esmenta que el planeta Arrakis, essencial dins la història, gira a l’entorn de l’estrella Canopus. Això no és possible. Canopus és una estrella gegant molt brillant, amb una edat inferior als 30 milions d’anys que de cap manera pot haver generat planetes estables, i molt menys permès evolucionar vida en ells. A més, ja ha passat tota l’etapa d’estrella en la seqüència principal, i actualment canvia ràpidament a escala còsmica. Tot això ja es sabia quan Herbert va escriure la novel·la. A més, per a la història, no calia en absolut esmentar el nom de l’estrella.

Una mica diferent és el cas d’Isaac Asimov a la saga Fundació on, per exemple, s’esmenta el «sector» de Sirius quan hom parla de la regió del planeta original dels humans, però s’evita parlar del planetes concrets d’aquesta estrella. Tot i que en alguna obra posterior menys ambiciosa, sí que hi fa aparèixer «sirians». De totes maneres Sirius és una estrella una mica més versemblant com a seu de planetes habitables que no pas Canopus, encara viu a la seqüència principal estable i té una edat unes deu vegades superior, el problema important i perfectament conegut, és Sirius B, una nana blanca en òrbita pròxima que desestabilitzaria les òrbites dels presumptes planetes a la distància adequada.

El recurs literari de localitzar els planetes on es desenvolupa la ficció és molt general, però actualment només és raonable fer-ho a l’entorn d’estrelles que acompleixin unes condicions generals mínimes, per molt que una fracció important dels lectors no s’adonarien mai de les inconsistències.

Personalment, com autor de ciència ficció, he hagut d’inventar amb cert detall dos planetes habitables. En un cas, l’he escollit a l’entorn d’una estrella una mica més gran que el Sol però no gaire, en un futur molt llunyà, un planeta terraformat per humans desconeguts ―o per alguns ens que hi tenien relació― amb tecnologies també desconegudes i misterioses per als protagonistes. Posats a inventar, vaig decidir que fos un planeta troià d’un planeta gegant, com de cinc masses de Júpiter, a l’entorn d’una estrella de tipus F, més jove, més massiva i una mica més calenta que el sol. El període de rotació del planeta és sospitosament proper a les 24 hores, cosa que fa pensar que la terraformació va arribar a extrems d’aquesta mena. Per conveniència del guió, el vaig fer una mica més gran que la Terra però menys dens, de manera que la gravetat seria fins i tot una mica inferior. També amb més proporció d’oceà, un oceà que en ser un planeta jove no seria tan salat com el nostre, formant una única massa d’aigua, tal com va succeir a la Terra entre fa 300 i 175 milions d’anys. També en la línia de fer-lo diferent, el sistema estel·lar del planeta es va formar a partir d’un núvol de gas i pols amb força més presencia d’elements pesants que el que va formar el sistema solar.

Amb el segon planeta que vaig inventar, vaig fer una mica de trampa: és a l’entorn d’una estrella més petita que el Sol, de tipus K, de les més freqüents. Però no és tracta exactament d’un planeta, sinó d’un satèl·lit d’un planeta gegant, amb tres masses de Júpiter, que és amb qui té sincronitzada la rotació. En aquest cas la terraformació s’ha produït en un període de temps molt optimista d’uns 6.000 anys, via una nau robòtica, de les anomenades sondes de Von Neumann, capaç de replicar-se, que hi va aterrar abans que els humans per «deixar-ho tot preparat». El planeta té una mida i una gravetat una mica més grans que la Terra, i la seva atmosfera és aproximadament el doble, però amb menys proporció d’oxigen ―tot i que la pressió parcial és més gran― i molt més heli que la Terra; en aquest cas el període de rotació és superior als dos dies, cosa que fa que les diferències de temperatura entre la nit i el dia siguin bastant notables. Són dades inventades per tal de ser coherents amb els fets de la narració, però que al menys vaig intentar que fossin compatibles amb els coneixements del moment en que ho vaig escriure.

En definitiva, si la ciència ficció ha de ser una especulació basada en els coneixements actuals, cal inventar planetes compatibles amb el que sap la ciència actual sobre els planetes. No fer-ho, canvia el gènere de la ciència ficció per un altre, anomenat fantasia.

Publicat dins de Astronomia, Ciència i pensament, Divulgació, Llibrets | Deixa un comentari

«Què és?» Un de no deliberat

Aquest problema, me’l vaig trobar per casualitat. Va ser en un paper força brut i vell, de la dècada dels setanta, en una caixa de components electrònics. Era un full ple de nombre i parts d’esquemes de circuits senzills, bàsicament digitals. Altres fulls relacionats s’havien perdut.

La part del problema era un gràfic, fet a mà, que vaig trigar una mica en deduir què era. Només en aquest punt vaig recordar què estava fent. O sigui que en la resolució del petit enigma, no hi va intervenir de manera conscient la memòria. El gràfic, tornat a dibuixar a l’ordinador, que escanejat no es veia gaire bé, és aquest:

La gràfica del paper vell, més o menys reproduïda en més gran

Com sempre la pregunta és: «Què és?»

Publicat dins de Matemàtica, Problemes, Què és? | 2 comentaris

Idea feliç?

Normalment idea feliç és un terme pejoratiu, sempre dels problemes que sembla que només es poden resoldre amb una idea impossible de trobar deductivament o inductiva, una idea fruit de la casualitat.

No negaré que en alguns casos puguin ser difícils, però hi ha un tercer element que podem anomenar «cultural».

I això lliga amb el tema sobre qui ha de transmetre la cultura —universal, nacional o individual— als nostres nens. Quan hom assumeix que ha de ser la família, estam perpetuant les desigualtats; si no ho volem, no ens queda més remei que fer de l’ensenyament un transmissor de cultura en sentit ampli. Cosa, per cert, molt allunyada de les «indústries culturals» que només són una petita part de la Cultura amb majúscules.

Posaré ara un problema que molts m’han dit que és d’«idea feliç», però que recordo que el vaig solucionar a peu dret tot esperant que el semàfor dels vianants es posés verd. Segurament va ser una solució «cultural».

El problema diu: «Fes que amb una modificació mínima, la igualtat esdevingui correcta»

La fórmula me la van mostrar escrita a mà, i això té una certa importància. Fixeu-vos que aquí l’he escrit en forma de gràfic, escrita en text convencional potser no funcionaria, i això és força pista.

A partir d’aquí, la meva solució. O, més ben dit, el procediment que vaig pensar en aquell moment. Si voleu intentar resoldre el problema sols, no llegiu ara la part que segueix en rosa.

La primera idea que vaig pensar era posar una línia en diagonal sobre el signe igual de tal manera que es convertís en el signe de desigualtat «≠». Però això no solucionaria el problema que parla de fer una «igualtat» correcta. No, aquí cal que les quantitats a la dreta i l’esquerra del signe siguin iguals.

Comencem per l’esquerra: 71 + 1 són 72. 71 – 1 són 70. 72 × 70, és relativament fàcil fer-ho de memòria són 5040.

I aquí entra la cultura «numèrica». Hi ha nombres que molt probablement no ens diuen res, per exemple 142 a mi no em recorda res especial; però per exemple 144, sí: és una grossa una dotzena de dotzenes, o sigui 12 × 12; 1969 també em recorda instantàniament una cosa és l’any que l’home va trepitjar la Lluna i en el meu cas particular em recorda que és l’únic nombre amb dues vegades cada vocal: mil nou-cents seixanta-nou. Què m’evoca 5040? Si el cerquem a la Wikipedia —anglesa— ens sortiria immediatament la solució al problema. Però qui té una certa cultura numèrica ho té tan clar com el cas del 144: 5040 és el factorial de 7. Si multipliquem la seqüència dels enters ens resulta: 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320… i el factorial d’un nombre s’expressa amb un signe d’admiració. Set factorial s’escriu 7! i en el gràfic només cal afegir un punt sota el presumpte 1 de la dreta, tot convertint-lo en admiració. Per cert, 5040 també són els minuts de mitja setmana. I si voleu cultura clàssica, Plató, a la seva República, l’esmenta com a nombre desitjable de ciutadans d’una polis.

I si no tenim aquesta cultura? aleshores cal cercar les propietats del nombre i, naturalment, la manera més fàcil és consultant a internet, que això és un problema per fer a casa, no un examen. La dada, que 7! = 5040, potser cal recordar-la. per poc que fem càlculs acaba sortint alguna vegada.

Publicat dins de General, Matemàtica | Deixa un comentari

El Sistema Solar, en primera persona, i (2)

La primera part d’aquest article la podeu trobar aquí.

Em van descobrir per les pertorbacions gravitatòries que la meva massa feia sobre altres astres, però ja m’havien vist 234 anys abans amb un telescopi primitiu, prenent-me per una estrella.

El punt més elevat d’un astre sòlid, acostuma a ser el cim d’una muntanya. Però el meu, tot i que tinc tot ple de muntanyes altes i relativament punxegudes, és un petit relleu en una plana que des d’allà mateix ningú no qualificaria de muntanya.

Molts astres sòlids tenim conques circulars degudes a l’impacte a gran velocitat d’altres cossos de gran massa. Jo, d’aquestes depressions, tinc la més gran de les clarament visibles, la més gran de les confirmades encara que a les imatges no s’apreciï gaire, i la més gran de les sospitades que ocupa més de la meitat de la meva superfície.

Si mireu la meva òrbita, sembla que interseca la del planeta que hi tinc immediatament a l’interior, però no tingueu por, no hi puc xocar. De fet sempre hi estic molt lluny, fins i tot puc estar més prop del següent planeta que no pas del que sembla que travessi la meva òrbita.

La majoria dels cossos del sistema solar, giren sobre el seu eix d’una manera força regular, i els que som satèl·lits, sovint, ensenyant sempre la mateixa cara al nostre planeta. Però jo sóc la nota discordant, la meva rotació és caòtica i el meu eix balla considerablement. I no tan sols això, sóc com una esponja, més del 40% del meu interior podria ser espai buid.

Sembla que Nikola Tesla, molt abans que s’ideés la radioastronomia em va detectar i va creure que era una emissió de ràdio dels marcians. Però no, segurament vaig ser jo que als pols hi tinc unes aurores permanents connectades per tubs de plasma amb alguns dels meus satèl·lits. El tub que va fins el satèl·lit més interior és el més important i a cada volta, quan està en una posició concreta, genera ones de ràdio fàcilment detectables des de la Terra.

Cinc dels astres que es presenten a l’article. Imatges de la Viquipèdia

Sóc el més gran dels dels cossos coneguts del sistema solar que no són ni planetes ni satèl·lits, la fotografia més antiga on surto és de 1954, però no em van reconèixer fins molt més tard.

De tots els planetes i satèl·lits sóc el més dens, encara que ni ha un que si tingués les mateixes pressions interiors que jo, em superaria lleugerament.

Segurament faig més pudor a sofre que el dimoni dels pastorets, i és que sempre tinc tot ple de volcans en activitat.

Tinc la muntanya coneguda més alta, respecte la seva base, del sistema solar. I també sóc un dels pocs cossos dels que els homes en tenen mostres físiques.

Les borrasques tenen l’aspecte de vòrtexs de núvols en espiral i són bàsicament circulars, el·líptiques o deformacions d’aquestes figures, però jo tinc, al pol nord, una pertorbació enorme, al menys des de fa 30 anys, que té forma hexagonal.

De tots els satèl·lits, sóc el més gran dels que probablement van ser capturats pel seu planeta; a més, giro en direcció contrària a la seva rotació. Si vaig néixer en una altra banda del sistema solar i vaig ser capturat, va ser amb una carambola còsmica força complexa; potser era un cos doble que va passar prop del planeta en una trajectòria molt precisa i el planeta em va capturar mentre el meu germà va ser expulsat del sistema solar.

Publicat dins de Astronomia, General | Deixa un comentari

Un text xifrat

Al menys des del segle I abans de Crist que es té constància de textos xifrats. En particular es coneix l’anomenat xifratge de Cèsar, que havia estat emprat per a missatges militars quan hi havia la possibilitat que el text anés a parar a l’enemic.

El xifratge de Cèsar és molt elemental, consisteix en substituir cada lletra per la que la segueix al cap d’un cert nombre de caràcters en ordre alfabètic, tornant a començar per la primera lletra en el cas d’haver arribat al final. És força fàcil de desxifrar, però tenint en compte que molts dels enemics de Cèsar no sabien llegir en llatí, era raonablement segur.

En poso un exemple:

N W Y N A X C N A J U U J M A N R W X D W Z D J U B N E X U N A J N U L J Y M N U J L X U U J V N B C N V D M J M N C X C J U J L X V J A L J N U B B N D B M N U R L C N B N A N W R W W X V K A J K U N B J V K E R X U N W L R J X J V K R W C N U U R P N W L R J N U L X V Y C N B J W J E J N W P A N R G J W C L J M J B N C V J W J L J B N B V J P J C I N V B C A J W B Y X A C B M N V N A L J M N A R N B E R J W J W C B C X C B N A N W N U B B N D B X K S N L C R D B W X N A J Y J B D W B N L A N C Z D R N A J N U L J Y M N U J L X U U J M N U B U U J M A N B Y N A X V J R U Q J E R N W Y X P D C N W G J V Y J A J E N P J M N B Y N A B X A C J U C A N B Y N A J B C D L R J Y N A X O X W J V N W C J U V N W C Y N A U J O N A A R J X A P J W R C I J L R X M N U B N D P A D Y R U J V N C R L D U X B R C J C R K X W J Y A N Y J A J L R X M N C X C B N U B L X Y B U J M R B L R Y U R W J V R U R C J A W X N A J A N B L X V Y J A J M J J V K U J D C X A R C J C Z D N C N W R J N W Y N A X C B X K A N U J B N E J P N W C R N U B R V Y X B J E J D W N B V N B D A N B M N B N P D A N C J C Z D N P J R A N K N C X C B L X W B R M N A J E N W N G J P N A J M N B J A J C N W R J D W W X D X K S N L C R D N U V N B P A J W M N C X C B U J L J B J M N U V J A Z D N B M N Y D R P M N U U X Y B N U Y N A B X W J C P N V N B A R L M N U J L X W C A J M J Q R Q J E R J N W C A J C M R B O A N B B J C M J S D M J W C M N Y J U N C J Z D J W U N B M J A A N A N B Y U D P N B E J W V J U V N C A N Y J A C M N U J C N D U J M J R Q X Q J E R J E R B C Z D J M A N B M N U B V N B R V Y X A C J W C B Y R W C X A B M N U Y J R B J A V N B J W C R P D N B X K S N L C N B A N U R P R X B X B J V K X A Y U J C J R Y N M A N A R N B Y X C B N A V R U E N P J M N B V N B E J U D X B Z D N N U M J A A N A K X C R N U L J A A N P J V N W C M X U R E N B M N V J B Y D S X U N C Z D N J V N B Q J E R J N B C J C O X A L J O N R G D L M N C A J W B Y X A C J A R M R O R L R U M N E N W M A N U D W R L J V N B D A J M N B N P D A N C J C N A J N U Y A X Y R L J B J U X C D W J N W X A V N K J U D N A W J L D K R L J J V K O R W N B C A N B A N R G J M N B R Y X A C N B O X A A N U U J M N B R J B X K A N J U V R P M N U J E R U J M J E J W C V J C N R G M N U J S D W C J V N W C B X U B N U L J A A N A X M N U J Y J A C Y X B C N A R X A N U Y J B M N U B P J C B N A J B X U R C J A R R B X U B Y N A J Z D N U U J K J W M J N W Y N A X C E J E N D A N D W Y D W C E D U W N A J K U N D W J O R W N B C A J B N W B N A N R G N B J U B N P X W Y R B N A J D W J M N U N B D U C R V N B V X M R O R L J L R X W B M N U N M R O R L R N B E J X K A R A N U O X A J C Z D J W N B E J L X W B C A D R A U J B J U J M N K J W H M N C X C N B V J W N A N B N A J V J B B J N U N E J C J V K U N B L J U J V N B J U C J N W L J A J V J W L J A R J D W K X W C A X B Y N A J A A R K J A Q R

Naturalment que està escrit una mica «a la romana» que no vol dir arrebossat amb farina, ou i posteriorment fregit, sinó tot en majúscules i sense espais ni diacrítics. Val a dir que els romans no empraven ni J ni U ni W que es van introduir el segle XV, com a formes de la I i la V,  però aquí he fet servir l’adaptació moderna del alfabet llatí de vint-i-sis lletres.

Recordo de preadolescent d’haver emprat i desxifrat codis d’aquesta mena. I també recordo d’haver-ne inventat un de molt més complicat que emprava dos colors diferents, no és que fos especialment pràctic d’escriure.

Però he reprès la idea dels dos colors, de manera molt diferent i amb ordinador per xifrar la continuació del text de més amunt. Bé, de fet empra tres colors. Però una vegada es veu la idea és molt fàcil de llegir. Com a pista, té una mica a veure amb un palimpsest.

Naturalment que no es tracta de recuperar tot el text, només de descobrir el mètode i aplicar-lo a les primeres paraules. Si l’he fet més extens és per facilitar la recerca.

Publicat dins de Divulgació, Educació, Matemàtica, Problemes | Deixa un comentari

Què és? Un exemple típic

Sovint se m’ha dit que els meus problemes —i específicament en la sèrie «Què és?» són massa difícils. I probablement és cert, però que això pugui semblar negatiu és fruit d’haver assumit un mètode pedagògic molt més basat en l’exercici que en el problema. Quan hom proposa als alumnes —i no vull dir específicament escolars— una sèrie d’exercicis, se suposa que l’objectiu és que gairebé tots els alumnes els solucionin tots. Cas contrari voldria dir que el procediment a aplicar en la solució no ha estat explicat, après o assumit pels alumnes.

Els problemes són diferents, d’entrada no sabem ni tan sols si tenen solució. O si aquesta serà trivial, de «feliç idea» o dependrà d’alguna mena de coneixement previ que es pot tenir o no.

Té sentit, doncs, proposar-los a qui potser no els podrà solucionar? No és molt frustrant això per l’alumne?

La clau de tot plegat és que els problemes no han d’anar sols, han de ser un conjunt i l’objectiu primari és solucionar-ne alguns. El secundari és aconseguir un efecte «eureka» —Què bo que sóc, em pensava que això no ho aconseguiria mai tot sol—. El terciari és més proper a l’efecte «merda!» —hauria d’haver descobert la solució tot sol, però realment l’he trobada d’una altra font— , però també és útil si és que realment s’ha treballat en el problema.

Avui presento un problema senzill, dels que anomeno «de peces», ja que es podria plantejar amb peces reals que sovint i malaurada, no tinc.

Què és?

Veiem un conjunt de peces de fusta disposades irregularment. Com deia abans, no tinc aquestes peces, són una imatge de síntesi: amb un programa vectorial vaig dibuixar totes les peces; a continuació hi vaig copiar al damunt una textura de fusta treta de la foto d’un moble de casa; les peces les vaig passar a un programa bitmap on les vaig girar i desordenar a l’atzar; i finalment vaig afegir-hi un fons i una mica d’ombra.

El primer pas per solucionar l’enigma és caracteritzar la imatge.

Hi ha peces repetides?
A primera vista no, potser valdria la pena començar a fer una cerca exhaustiva, però és una mica llarg i ho podem deixar per més endavant si ens cal.

Totes les peces tenen aproximadament la mateixa mida i tots els costats són ortogonals llevat d’un girat 45º, sempre de la mateixa mida. Ens podríem preguntar aquí, per exemple, si totes tenen el mateix perímetre, però no; en unitats arbitràries la peça de dalt a la dreta mesuraria 8 + √2 i la que té sota —de fet la majoria de les altres— 10 + √2. Pista falsa.

Són tots els costats ortogonals múltiples d’una dimensió mínima?
Aquí és fàcil veure que aproximadament sí. Hi ha costats de llargada 1, 2, 3, 4 i fins i tot en un cas —el de la peça de dalt a l’esquerra— 5. Continuem aleshores amb la hipòtesi que les dimensions són realment sempre nombres enters, múltiples d’un segment mínim que anomenem de mida 1; moltes peces tenen parts d’aquesta dimensió; i les que no —només n’hi ha dues, a dalt a la dreta i a dalt al mig— contenen un quadrat de 2 × 2.

Mirem ara la superfície. Cada peça conté un mig quadrat —unitari— tallat per la diagonal. I la resta? Si ens hi fixem una mica veurem que sempre hi ha quatre quadrats més, mai ni tres ni cinc. Aquest és el punt clau del problema.

Ara una lògica senzilla seria començar a generar figures formades per quatre quadrats i mig quadrat tallat per la diagonal. D’entrada sembla que qualsevol figura formada així apareix a la imatge. N’estem realment segurs del «qualsevol»?

Caldria comprovar-ho i per això no hi ha més remei que generar totes les figures que quatre quadrats i mig.

Un mètode podria ser el que vaig mostrar en aquesta entrada.

Però, com en tots els problemes inductius, n’hi ha més.

Un altre és veure que una figura formada per quatre quadrats i mig, és un pentòmino al que hem escapçat mig dels cinc quadrats. De pentòminos n’hi ha dotze:

Els dotze pentòminos i les lletres que convencionalment els designen.

I hem de mirar la manera d’eliminar mig quadrat de totes les maneres possibles en cadascun d’ells. Amb unes precaucions: el mig quadrat eliminat no pot dividir el pentòmino en dues parts i cal eliminar duplicats. Em primer lloc duplicats sobre la mateixa peça; en el cas dels pentòminos simètrics —I, T, U, V, W, X, Z— eliminar simètricament el mateix mig quadrat es proporcionaria la mateixa peça de quatre i mig, cal evitar-ho. La segona qüestió, que seria més difícil d’evitar, és veure si en treure el mig quadrat de dos pentòminos diferents podem obtenir la mateixa peça de quatre i mig. Afortunadament és impossible com podem veure raonant a la inversa: si a qualsevol peça de quatre i mig li afegim el mig quadrat per la diagonal, ens resulta un pentòmino concret, precisament els que els generaria la peça en escapçar-lo, aleshores és impossible obtenir el mateix «quatre i mig» escapçant dos pentòminos diferents.

Una vegada generades totes les peces que quatre quadrats i mig, cal fer la comprovació: són tots a la imatge?
I el resultat és que no, n’hi ha un que no hi surt, precisament el de baix a la dreta de la imatge solució.

Imatge solució

Difícil? Sota el meu parer no pas gaire. Segurament sí una mica treballós, però comparat amb fer exercicis és una feina molt més interessant. Això sí, cansada, ja se sap que pensar és, precisament, molt cansat. Sobre tot per a qui no hi està acostumat. Un corol·lari d’això és que, dins l’ensenyament, si es vol que els alumnes aprenguin a pensar —afegeixo «tot solets»—, cal que tinguin temps per fer-ho, sense que tot ple de feines normalment inútils els prenguin totes les hores que els caldria. Podeu mirar una mica la meva teoria al respecte.

Publicat dins de Educació, Matemàtica, Problemes, Què és? | Deixa un comentari

Uns recorreguts de colors

No sempre puc fer el que voldria, en aquest cas voldria donar crèdit a l’autor del trencaclosques, però no recordo en absolut d’on el vaig treure, el tenia apuntat a mà en un full amb molts altres petits problemes, taules i esquemes alguns dels quals ara mateix no sabria identificar. O sigui que el problema no és meu.

El que sí que ho és, és el disseny. El vaig fer fa uns vuit anys a partir d’una foto d’un tauler de dames de 10 × 10 caselles que per l’altra banda ho és d’escacs de 8 × 8.

Foto feta al terra de l’habitació on ara mateix estic, amb el tauler damunt d’una caixa no identificada, suposo per tenir una il·luminació natural millor que a terra.

A continuació vaig tractar la foto a l’ordinador. El més essencial, pintar els peons per parelles de sis colors diferents. També netejar digitalment una mica el tauler que és vell i té taques i ratlles. Eliminar el fons, posar-n’hi un a partir d’una imatge sintètica i crear una mica d’ombra per tal que la imatge no quedi tan plana.

I ara ve el problema:

Cal connectar cada parell de peons del mateix color mitjançant un camí de caselles ortogonals, vull dir unides pel costat, com a pas de torre, no pas per l’angle. Per cada casella només hi pot passar un camí que, evidentment, no es pot creuar amb cap altre.

Com a pista que la solució és única i que els camins ocupen totes les caselles buides del tauler.

Per a la imatge de la solució, que ja la publicaré més endavant, vaig dibuixar els camins amb fitxes, del tipus de les fitxes del parxís, del mateix color que els peons que havien d’unir. De fet, quan vaig pintar els peons, va ser en funció dels colors dels quals tenia fitxes per tal de poder fotografiar la solució. Espero que morat, vermell, taronja i groc es distingeixin prou.

Naturalment que una cosa és l’estètica dels peons i les fitxes de colors, però el problema probablement es soluciona millor amb llapis i paper quadriculat. I goma, que segurament no sortirà a la primera.

Publicat dins de Matemàtica, Problemes | Deixa un comentari