Idea feliç?

Normalment idea feliç és un terme pejoratiu, sempre dels problemes que sembla que només es poden resoldre amb una idea impossible de trobar deductivament o inductiva, una idea fruit de la casualitat.

No negaré que en alguns casos puguin ser difícils, però hi ha un tercer element que podem anomenar «cultural».

I això lliga amb el tema sobre qui ha de transmetre la cultura —universal, nacional o individual— als nostres nens. Quan hom assumeix que ha de ser la família, estam perpetuant les desigualtats; si no ho volem, no ens queda més remei que fer de l’ensenyament un transmissor de cultura en sentit ampli. Cosa, per cert, molt allunyada de les «indústries culturals» que només són una petita part de la Cultura amb majúscules.

Posaré ara un problema que molts m’han dit que és d’«idea feliç», però que recordo que el vaig solucionar a peu dret tot esperant que el semàfor dels vianants es posés verd. Segurament va ser una solució «cultural».

El problema diu: «Fes que amb una modificació mínima, la igualtat esdevingui correcta»

La fórmula me la van mostrar escrita a mà, i això té una certa importància. Fixeu-vos que aquí l’he escrit en forma de gràfic, escrita en text convencional potser no funcionaria, i això és força pista.

A partir d’aquí, la meva solució. O, més ben dit, el procediment que vaig pensar en aquell moment. Si voleu intentar resoldre el problema sols, no llegiu ara la part que segueix en rosa.

La primera idea que vaig pensar era posar una línia en diagonal sobre el signe igual de tal manera que es convertís en el signe de desigualtat «≠». Però això no solucionaria el problema que parla de fer una «igualtat» correcta. No, aquí cal que les quantitats a la dreta i l’esquerra del signe siguin iguals.

Comencem per l’esquerra: 71 + 1 són 72. 71 – 1 són 70. 72 × 70, és relativament fàcil fer-ho de memòria són 5040.

I aquí entra la cultura «numèrica». Hi ha nombres que molt probablement no ens diuen res, per exemple 142 a mi no em recorda res especial; però per exemple 144, sí: és una grossa una dotzena de dotzenes, o sigui 12 × 12; 1969 també em recorda instantàniament una cosa és l’any que l’home va trepitjar la Lluna i en el meu cas particular em recorda que és l’únic nombre amb dues vegades cada vocal: mil nou-cents seixanta-nou. Què m’evoca 5040? Si el cerquem a la Wikipedia —anglesa— ens sortiria immediatament la solució al problema. Però qui té una certa cultura numèrica ho té tan clar com el cas del 144: 5040 és el factorial de 7. Si multipliquem la seqüència dels enters ens resulta: 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320… i el factorial d’un nombre s’expressa amb un signe d’admiració. Set factorial s’escriu 7! i en el gràfic només cal afegir un punt sota el presumpte 1 de la dreta, tot convertint-lo en admiració. Per cert, 5040 també són els minuts de mitja setmana. I si voleu cultura clàssica, Plató, a la seva República, l’esmenta com a nombre desitjable de ciutadans d’una polis.

I si no tenim aquesta cultura? aleshores cal cercar les propietats del nombre i, naturalment, la manera més fàcil és consultant a internet, que això és un problema per fer a casa, no un examen. La dada, que 7! = 5040, potser cal recordar-la. per poc que fem càlculs acaba sortint alguna vegada.

Publicat dins de General | Deixa un comentari

El Sistema Solar, en primera persona, i (2)

La primera part d’aquest article la podeu trobar aquí.

Em van descobrir per les pertorbacions gravitatòries que la meva massa feia sobre altres astres, però ja m’havien vist 234 anys abans amb un telescopi primitiu, prenent-me per una estrella.

El punt més elevat d’un astre sòlid, acostuma a ser el cim d’una muntanya. Però el meu, tot i que tinc tot ple de muntanyes altes i relativament punxegudes, és un petit relleu en una plana que des d’allà mateix ningú no qualificaria de muntanya.

Molts astres sòlids tenim conques circulars degudes a l’impacte a gran velocitat d’altres cossos de gran massa. Jo, d’aquestes depressions, tinc la més gran de les clarament visibles, la més gran de les confirmades encara que a les imatges no s’apreciï gaire, i la més gran de les sospitades que ocupa més de la meitat de la meva superfície.

Si mireu la meva òrbita, sembla que interseca la del planeta que hi tinc immediatament a l’interior, però no tingueu por, no hi puc xocar. De fet sempre hi estic molt lluny, fins i tot puc estar més prop del següent planeta que no pas del que sembla que travessi la meva òrbita.

La majoria dels cossos del sistema solar, giren sobre el seu eix d’una manera força regular, i els que som satèl·lits, sovint, ensenyant sempre la mateixa cara al nostre planeta. Però jo sóc la nota discordant, la meva rotació és caòtica i el meu eix balla considerablement. I no tan sols això, sóc com una esponja, més del 40% del meu interior podria ser espai buid.

Sembla que Nikola Tesla, molt abans que s’ideés la radioastronomia em va detectar i va creure que era una emissió de ràdio dels marcians. Però no, segurament vaig ser jo que als pols hi tinc unes aurores permanents connectades per tubs de plasma amb alguns dels meus satèl·lits. El tub que va fins el satèl·lit més interior és el més important i a cada volta, quan està en una posició concreta, genera ones de ràdio fàcilment detectables des de la Terra.

Cinc dels astres que es presenten a l’article. Imatges de la Viquipèdia

Sóc el més gran dels dels cossos coneguts del sistema solar que no són ni planetes ni satèl·lits, la fotografia més antiga on surto és de 1954, però no em van reconèixer fins molt més tard.

De tots els planetes i satèl·lits sóc el més dens, encara que ni ha un que si tingués les mateixes pressions interiors que jo, em superaria lleugerament.

Segurament faig més pudor a sofre que el dimoni dels pastorets, i és que sempre tinc tot ple de volcans en activitat.

Tinc la muntanya coneguda més alta, respecte la seva base, del sistema solar. I també sóc un dels pocs cossos dels que els homes en tenen mostres físiques.

Les borrasques tenen l’aspecte de vòrtexs de núvols en espiral i són bàsicament circulars, el·líptiques o deformacions d’aquestes figures, però jo tinc, al pol nord, una pertorbació enorme, al menys des de fa 30 anys, que té forma hexagonal.

De tots els satèl·lits, sóc el més gran dels que probablement van ser capturats pel seu planeta; a més, giro en direcció contrària a la seva rotació. Si vaig néixer en una altra banda del sistema solar i vaig ser capturat, va ser amb una carambola còsmica força complexa; potser era un cos doble que va passar prop del planeta en una trajectòria molt precisa i el planeta em va capturar mentre el meu germà va ser expulsat del sistema solar.

Publicat dins de General | Deixa un comentari

Un text xifrat

Al menys des del segle I abans de Crist que es té constància de textos xifrats. En particular es coneix l’anomenat xifratge de Cèsar, que havia estat emprat per a missatges militars quan hi havia la possibilitat que el text anés a parar a l’enemic.

El xifratge de Cèsar és molt elemental, consisteix en substituir cada lletra per la que la segueix al cap d’un cert nombre de caràcters en ordre alfabètic, tornant a començar per la primera lletra en el cas d’haver arribat al final. És força fàcil de desxifrar, però tenint en compte que molts dels enemics de Cèsar no sabien llegir en llatí, era raonablement segur.

En poso un exemple:

N W Y N A X C N A J U U J M A N R W X D W Z D J U B N E X U N A J N U L J Y M N U J L X U U J V N B C N V D M J M N C X C J U J L X V J A L J N U B B N D B M N U R L C N B N A N W R W W X V K A J K U N B J V K E R X U N W L R J X J V K R W C N U U R P N W L R J N U L X V Y C N B J W J E J N W P A N R G J W C L J M J B N C V J W J L J B N B V J P J C I N V B C A J W B Y X A C B M N V N A L J M N A R N B E R J W J W C B C X C B N A N W N U B B N D B X K S N L C R D B W X N A J Y J B D W B N L A N C Z D R N A J N U L J Y M N U J L X U U J M N U B U U J M A N B Y N A X V J R U Q J E R N W Y X P D C N W G J V Y J A J E N P J M N B Y N A B X A C J U C A N B Y N A J B C D L R J Y N A X O X W J V N W C J U V N W C Y N A U J O N A A R J X A P J W R C I J L R X M N U B N D P A D Y R U J V N C R L D U X B R C J C R K X W J Y A N Y J A J L R X M N C X C B N U B L X Y B U J M R B L R Y U R W J V R U R C J A W X N A J A N B L X V Y J A J M J J V K U J D C X A R C J C Z D N C N W R J N W Y N A X C B X K A N U J B N E J P N W C R N U B R V Y X B J E J D W N B V N B D A N B M N B N P D A N C J C Z D N P J R A N K N C X C B L X W B R M N A J E N W N G J P N A J M N B J A J C N W R J D W W X D X K S N L C R D N U V N B P A J W M N C X C B U J L J B J M N U V J A Z D N B M N Y D R P M N U U X Y B N U Y N A B X W J C P N V N B A R L M N U J L X W C A J M J Q R Q J E R J N W C A J C M R B O A N B B J C M J S D M J W C M N Y J U N C J Z D J W U N B M J A A N A N B Y U D P N B E J W V J U V N C A N Y J A C M N U J C N D U J M J R Q X Q J E R J E R B C Z D J M A N B M N U B V N B R V Y X A C J W C B Y R W C X A B M N U Y J R B J A V N B J W C R P D N B X K S N L C N B A N U R P R X B X B J V K X A Y U J C J R Y N M A N A R N B Y X C B N A V R U E N P J M N B V N B E J U D X B Z D N N U M J A A N A K X C R N U L J A A N P J V N W C M X U R E N B M N V J B Y D S X U N C Z D N J V N B Q J E R J N B C J C O X A L J O N R G D L M N C A J W B Y X A C J A R M R O R L R U M N E N W M A N U D W R L J V N B D A J M N B N P D A N C J C N A J N U Y A X Y R L J B J U X C D W J N W X A V N K J U D N A W J L D K R L J J V K O R W N B C A N B A N R G J M N B R Y X A C N B O X A A N U U J M N B R J B X K A N J U V R P M N U J E R U J M J E J W C V J C N R G M N U J S D W C J V N W C B X U B N U L J A A N A X M N U J Y J A C Y X B C N A R X A N U Y J B M N U B P J C B N A J B X U R C J A R R B X U B Y N A J Z D N U U J K J W M J N W Y N A X C E J E N D A N D W Y D W C E D U W N A J K U N D W J O R W N B C A J B N W B N A N R G N B J U B N P X W Y R B N A J D W J M N U N B D U C R V N B V X M R O R L J L R X W B M N U N M R O R L R N B E J X K A R A N U O X A J C Z D J W N B E J L X W B C A D R A U J B J U J M N K J W H M N C X C N B V J W N A N B N A J V J B B J N U N E J C J V K U N B L J U J V N B J U C J N W L J A J V J W L J A R J D W K X W C A X B Y N A J A A R K J A Q R

Naturalment que està escrit una mica «a la romana» que no vol dir arrebossat amb farina, ou i posteriorment fregit, sinó tot en majúscules i sense espais ni diacrítics. Val a dir que els romans no empraven ni J ni U ni W que es van introduir el segle XV, com a formes de la I i la V,  però aquí he fet servir l’adaptació moderna del alfabet llatí de vint-i-sis lletres.

Recordo de preadolescent d’haver emprat i desxifrat codis d’aquesta mena. I també recordo d’haver-ne inventat un de molt més complicat que emprava dos colors diferents, no és que fos especialment pràctic d’escriure.

Però he reprès la idea dels dos colors, de manera molt diferent i amb ordinador per xifrar la continuació del text de més amunt. Bé, de fet empra tres colors. Però una vegada es veu la idea és molt fàcil de llegir. Com a pista, té una mica a veure amb un palimpsest.

Naturalment que no es tracta de recuperar tot el text, només de descobrir el mètode i aplicar-lo a les primeres paraules. Si l’he fet més extens és per facilitar la recerca.

Publicat dins de Divulgació, Educació, Problemes | Deixa un comentari

Què és? Un exemple típic

Sovint se m’ha dit que els meus problemes —i específicament en la sèrie «Què és?» són massa difícils. I probablement és cert, però que això pugui semblar negatiu és fruit d’haver assumit un mètode pedagògic molt més basat en l’exercici que en el problema. Quan hom proposa als alumnes —i no vull dir específicament escolars— una sèrie d’exercicis, se suposa que l’objectiu és que gairebé tots els alumnes els solucionin tots. Cas contrari voldria dir que el procediment a aplicar en la solució no ha estat explicat, après o assumit pels alumnes.

Els problemes són diferents, d’entrada no sabem ni tan sols si tenen solució. O si aquesta serà trivial, de «feliç idea» o dependrà d’alguna mena de coneixement previ que es pot tenir o no.

Té sentit, doncs, proposar-los a qui potser no els podrà solucionar? No és molt frustrant això per l’alumne?

La clau de tot plegat és que els problemes no han d’anar sols, han de ser un conjunt i l’objectiu primari és solucionar-ne alguns. El secundari és aconseguir un efecte «eureka» —Què bo que sóc, em pensava que això no ho aconseguiria mai tot sol—. El terciari és més proper a l’efecte «merda!» —hauria d’haver descobert la solució tot sol, però realment l’he trobada d’una altra font— , però també és útil si és que realment s’ha treballat en el problema.

Avui presento un problema senzill, dels que anomeno «de peces», ja que es podria plantejar amb peces reals que sovint i malaurada, no tinc.

Què és?

Veiem un conjunt de peces de fusta disposades irregularment. Com deia abans, no tinc aquestes peces, són una imatge de síntesi: amb un programa vectorial vaig dibuixar totes les peces; a continuació hi vaig copiar al damunt una textura de fusta treta de la foto d’un moble de casa; les peces les vaig passar a un programa bitmap on les vaig girar i desordenar a l’atzar; i finalment vaig afegir-hi un fons i una mica d’ombra.

El primer pas per solucionar l’enigma és caracteritzar la imatge.

Hi ha peces repetides?
A primera vista no, potser valdria la pena començar a fer una cerca exhaustiva, però és una mica llarg i ho podem deixar per més endavant si ens cal.

Totes les peces tenen aproximadament la mateixa mida i tots els costats són ortogonals llevat d’un girat 45º, sempre de la mateixa mida. Ens podríem preguntar aquí, per exemple, si totes tenen el mateix perímetre, però no; en unitats arbitràries la peça de dalt a la dreta mesuraria 8 + √2 i la que té sota —de fet la majoria de les altres— 10 + √2. Pista falsa.

Són tots els costats ortogonals múltiples d’una dimensió mínima?
Aquí és fàcil veure que aproximadament sí. Hi ha costats de llargada 1, 2, 3, 4 i fins i tot en un cas —el de la peça de dalt a l’esquerra— 5. Continuem aleshores amb la hipòtesi que les dimensions són realment sempre nombres enters, múltiples d’un segment mínim que anomenem de mida 1; moltes peces tenen parts d’aquesta dimensió; i les que no —només n’hi ha dues, a dalt a la dreta i a dalt al mig— contenen un quadrat de 2 × 2.

Mirem ara la superfície. Cada peça conté un mig quadrat —unitari— tallat per la diagonal. I la resta? Si ens hi fixem una mica veurem que sempre hi ha quatre quadrats més, mai ni tres ni cinc. Aquest és el punt clau del problema.

Ara una lògica senzilla seria començar a generar figures formades per quatre quadrats i mig quadrat tallat per la diagonal. D’entrada sembla que qualsevol figura formada així apareix a la imatge. N’estem realment segurs del «qualsevol»?

Caldria comprovar-ho i per això no hi ha més remei que generar totes les figures que quatre quadrats i mig.

Un mètode podria ser el que vaig mostrar en aquesta entrada.

Però, com en tots els problemes inductius, n’hi ha més.

Un altre és veure que una figura formada per quatre quadrats i mig, és un pentòmino al que hem escapçat mig dels cinc quadrats. De pentòminos n’hi ha dotze:

Els dotze pentòminos i les lletres que convencionalment els designen.

I hem de mirar la manera d’eliminar mig quadrat de totes les maneres possibles en cadascun d’ells. Amb unes precaucions: el mig quadrat eliminat no pot dividir el pentòmino en dues parts i cal eliminar duplicats. Em primer lloc duplicats sobre la mateixa peça; en el cas dels pentòminos simètrics —I, T, U, V, W, X, Z— eliminar simètricament el mateix mig quadrat es proporcionaria la mateixa peça de quatre i mig, cal evitar-ho. La segona qüestió, que seria més difícil d’evitar, és veure si en treure el mig quadrat de dos pentòminos diferents podem obtenir la mateixa peça de quatre i mig. Afortunadament és impossible com podem veure raonant a la inversa: si a qualsevol peça de quatre i mig li afegim el mig quadrat per la diagonal, ens resulta un pentòmino concret, precisament els que els generaria la peça en escapçar-lo, aleshores és impossible obtenir el mateix «quatre i mig» escapçant dos pentòminos diferents.

Una vegada generades totes les peces que quatre quadrats i mig, cal fer la comprovació: són tots a la imatge?
I el resultat és que no, n’hi ha un que no hi surt, precisament el de baix a la dreta de la imatge solució.

Imatge solució

Difícil? Sota el meu parer no pas gaire. Segurament sí una mica treballós, però comparat amb fer exercicis és una feina molt més interessant. Això sí, cansada, ja se sap que pensar és, precisament, molt cansat. Sobre tot per a qui no hi està acostumat. Un corol·lari d’això és que, dins l’ensenyament, si es vol que els alumnes aprenguin a pensar —afegeixo «tot solets»—, cal que tinguin temps per fer-ho, sense que tot ple de feines normalment inútils els prenguin totes les hores que els caldria. Podeu mirar una mica la meva teoria al respecte.

Publicat dins de Educació, Problemes, Què és? | Deixa un comentari

Uns recorreguts de colors

No sempre puc fer el que voldria, en aquest cas voldria donar crèdit a l’autor del trencaclosques, però no recordo en absolut d’on el vaig treure, el tenia apuntat a mà en un full amb molts altres petits problemes, taules i esquemes alguns dels quals ara mateix no sabria identificar. O sigui que el problema no és meu.

El que sí que ho és, és el disseny. El vaig fer fa uns vuit anys a partir d’una foto d’un tauler de dames de 10 × 10 caselles que per l’altra banda ho és d’escacs de 8 × 8.

Foto feta al terra de l’habitació on ara mateix estic, amb el tauler damunt d’una caixa no identificada, suposo per tenir una il·luminació natural millor que a terra.

A continuació vaig tractar la foto a l’ordinador. El més essencial, pintar els peons per parelles de sis colors diferents. També netejar digitalment una mica el tauler que és vell i té taques i ratlles. Eliminar el fons, posar-n’hi un a partir d’una imatge sintètica i crear una mica d’ombra per tal que la imatge no quedi tan plana.

I ara ve el problema:

Cal connectar cada parell de peons del mateix color mitjançant un camí de caselles ortogonals, vull dir unides pel costat, com a pas de torre, no pas per l’angle. Per cada casella només hi pot passar un camí que, evidentment, no es pot creuar amb cap altre.

Com a pista que la solució és única i que els camins ocupen totes les caselles buides del tauler.

Per a la imatge de la solució, que ja la publicaré més endavant, vaig dibuixar els camins amb fitxes, del tipus de les fitxes del parxís, del mateix color que els peons que havien d’unir. De fet, quan vaig pintar els peons, va ser en funció dels colors dels quals tenia fitxes per tal de poder fotografiar la solució. Espero que morat, vermell, taronja i groc es distingeixin prou.

Naturalment que una cosa és l’estètica dels peons i les fitxes de colors, però el problema probablement es soluciona millor amb llapis i paper quadriculat. I goma, que segurament no sortirà a la primera.

Publicat dins de Problemes | Deixa un comentari

La primera xifra de les illes

Potser per alguns és trivial, però per a altres és un petit misteri.

He agafat de la Viquipèdia una llista amb dades de les illes de la Mediterrània, de més de  cinc quilòmetres quadrats i he eliminat les despoblades, n’han restat 158. A continuació n’he fet una taula i m’he fixat en la primera xifra, tant de superfície com de la població. I n’he dibuixat una gràfica senzilla:

Com es pot veure, en ambdós casos, hi ha molts més valors que comencen per xifres petites que per les més grans.

La pregunta natural és perquè.

Com a pista podria dir que gràfiques similars haurien sortit si hagués buscat l’alçada màxima o la longitud de la costa.

Però el tema no va d’illes, també observem distribucions similars si fem l’estadística dels preus del supermercat, de la llargada dels rius d’un país o les cotitzacions de les accions de la borsa. Si la fem amb l’alçada d’un grup d’adults, la primera xifra seria aclaparadorament 1, ja que poques persones mesuren menys d’un metre o més de dos… és un dels casos on la gràfica no és d’aquesta mena, tampoc ho és la distribució dels nombres premiats a les loteries que és força uniforme si no hi ha trampa.

 

Publicat dins de Ciència i pensament, Divulgació, Educació | Deixa un comentari

Salts de cavall

El cavall dels escacs és una peça amb unes regles de moviment diferents a les altres, no fa un recorregut per la «superfície» del taules on podria ser interceptada per una altra peça amiga o enemiga, sinó que «salta»: des de qualsevol casella pot anar a qualsevol de les vuit que hi ha a distància de dues unitats en un sentit i una en el perpendicular. Això és el màxim, si és prop de la vora del tauler, alguns salts el durien fora i no compten, és el cas de les quatre cantonades on un cavall només té dos moviments possibles.

Un aspecte bàsic del salt de cavall és que a cada passa canvia el color de la casella on va a parar. Conseqüència d’això és que per anar a una casella del mateix color, sempre li calen un nombre parell de jugades. Per exemple, amb dues jugades un cavall pot anar a qualsevol casella del mateix color situada a tres o menys caselles de distància en sentit horitzontal o vertical, llevat de les situades exactament a dues caselles de distància en diagonal que requereixen quatre salts. Això ho saben bé tots els jugadors d’escacs, desplaçar el cavall dues caselles en diagonal consumeix massa moviments i en molt pocs casos passa amb jugades consecutives en una partida real.

Un cas concret de moviment entre dues caselles del mateix color és anar de punta a punta d’una diagonal. Aquí el mínim és de sis salts. I la pregunta que faig és:
—Per quants recorreguts diferents es pot fer?

Un dels possibles recorreguts d’un cavall de punta a punta de la diagonal en 6 salts.
Tots els possibles recorreguts en sis salts superposats, és difícil comptar-los aquí.

Si el tauler no fos de 8 × 8 caselles, també ens podem plantejar la pregunta.

En un tauler de mida 1 × 1 la resposta és «degenerada» zero salts ens porten «de punta a punta» d’una sola manera possible. El cas de dimensió dos no té solució, en un tauler tan petit el cavall no es pot moure i no arribaria mai a l’altre extrem del tauler. El cas 3 és peculiar en un cert sentit, es precisen 4 salts i hi ha dos camins possibles simètrics depenent del primer salt.

Amb taulers més grans la cosa es posa més interessant, pel cas quatre la fàcil solució també són 2 possibles recorreguts; pel cas cinc 8 recorreguts; pel tauler de 6 × 6 en tenim 4; pel de 7 × 7 hi ha 6 solucions. Pel tauler normal de vuit caselles de mida, és la pregunta que he posat més amunt. Afegeixo que el cas 9 té 40 recorreguts i el cas 10 en té 20.

Tinc la seqüència ben determinada i la fórmula —de fet en són tres— que genera el nombre de solucions al problema. Com a prova puc posar aquí que per un tauler de 47 × 47 hi ha 225494871090 solucions i pel de 48 × 48 1591091500.

Naturalment que la primera gràcia del problema és inventar un mètode per comptar les solucions. La segona és molt més difícil, trobar les formules empíriques. La tercera, demostrar que són correctes. És un cas de mètode heurístic aplicat a una qüestió numèrica. Naturalment el problema es podria resoldre de manera totalment deductiva, però em temo que hauria sigut molt més difícil, crec sincerament que jo no ho hauria sabut fer.

Publicat dins de Ciència i pensament, Divulgació, Educació, Problemes | Deixa un comentari

Figures a partir d’un DIN A4

És ben conegut que qualsevol polígon, es pot dividir en un nombre finit de polígons que, disposats d’una altra manera, ens poden formar qualsevol altre polígon de la mateixa àrea que l’original.

En ocasions podem trobar figures reals basades en aquestes divisions. per exemple un conjunt de peces que es pot disposar, com a trencaclosques, en dues bases amb forma diferents. Aquí en poso un exemple, comprat al Museu de Matemàtiques de Catalunya (mmaca). Per una banda es poden col·locar les cinc peces format un triangle equilàter i, per l’altra, una estrella de sis puntes.

Hi ha molts altres exemples, especialment conegut és el de quatre peces que poden formar un triangle equilàter o un quadrat, que a vegades tenen les peces unides per unes frontisses als vèrtexs, com a la imatge que segueix:

Avui m’he fixat en una figura concreta, molt freqüent en la vida pràctica, però no gaire en matemàtiques, un rectangle DIN. Els fulls de paper estandarditzats venen amb unes mides concretes, per exemple un DIN A4 mesura 210 × 297 mm.

D’on surten aquests valors?
En primer lloc la proporció entre el costat llarg i el curt del full DIN és una aproximació a l’arrel quadrada de dos.
Per què?
Perquè és l’única que si dividim el full en dos per la meitat, ens en resulten dos més petits però amb les mateixes proporcions.
I la mida concreta? Es defineix DIN A0 com un full amb aquestes proporcions i amb una superfície d’un metre quadrat, el DIN A4 és la meitat, de la meitat de la meitat de la meitat, o sigui un setzè del DIN A0 o en altres paraules les seves dimensions lineals són la quarta part.
Les mesures «més exactes» serien: 210,22410381343… × 297,30177875068… amb més precisió que el diàmetre d’un àtom d’hidrogen.

Com qualsevol altre polígon, podem dividir un full DIN, en diverses parts mitjançant talls rectes, que unides ens formaran qualsevol altre forma.

N’he buscat uns quants exemples i n’he fet uns gràfics:

Un quadrat amb tres peces. Un rectangle auri —una targeta de crèdit— amb tres peces.

Un dòmino, dos quadrats, amb tres peces. Un triangle equilàter amb quatre peces.

Un pentàgon regular amb cinc peces. Un hexàgon regular amb cinc peces.

Un octògon regular amb quatre peces. Una creu llatina amb cinc peces.

Una estrella de cinc puntes amb set peces. Una estrella de sis puntes amb cinc peces.

Una estrella de vuit puntes amb cinc peces.

Tant l’octògon regular com l’estrella de vuit puntes es poden obtenir amb poques peces i formes molt simètriques, això es deu a que en les seves mesures, també n’hi ha que la proporció és arrel de dos, com en el cas dels fulls DIN.

Publicat dins de Ciència i pensament, Divulgació, Educació | Deixa un comentari

Enrajolat Caire

El més freqüent dels enrajolats és el fet amb rajoles quadrades, el podem veure a les voreres de moltes ciutats i pobles, també a parets o fins i tot sostres. Menys freqüents són els enrajolats rectangulars, amb rectangles de diverses proporcions com per exemple 1:2 que és la normal a molts terrats del nostre país. Una tercera que també apareix sovint és la hexagonal, en algunes èpoques era freqüent en els banys i ara n’hi ha una coneguda com model Gaudí a les voreres del Passeig de Gràcia de Barcelona.

Molt menys normal en exteriors, però potser una mica més vistes en enrajolats d’edificis, hi ha els formats per peces de dues menes, com els de la imatge que segueix i que corresponen a un terra i a una paret de la casa on visc.

Un enrajolat semiregular format per quadrats i octògons regulars, i un altre format per quadrats de dues mides diferents.

Altres enrajolats amb peces idèntiques costen més de trobar i n’hi ha un que el conec per llibres de caire més aviat matemàtic, però que no l’he vist mai a la pràctica, tot i que el trobo força bonic. És l’enrajolat «Caire». S’anomena així perquè expliquen que és —o era— emprat en alguns carres de la ciutat del Caire.

És un enrajolat format per peces pentagonals. No són pentàgons regulars, que no hi ha manera que puguin cobrir el pla ja que caldria que diversos dels seus angles sumessin 360º per tal de poder tancar un vèrtex, i els angles d’un pentàgon regular mesuren 108º. Amb pentàgons irregulars iguals i convexos —o sigui sense angles interiors— es poden construir 15 menes diferents d’enrajolats del pla que siguin periòdics que vol dir que un motiu format per diverses peces es va repetint indefinidament sense variacions. Menes aquí vol dir topològicament iguals, que les peces tinguin una connexió determinada amb les veïnes, independentment de deformacions. El problema de robar tots els enrajolats per pentàgons convexes idèntics és molt difícil, el darrer tipus no va ser descobert fins 2015 i fins 2017 no es va provar que no n’hi havia més.

L’enrajolat Caire pertany a un dels 15 tipus i la manera més fàcil de construir-lo és a partir de l’enrajolat format per triangles equilàters i quadrats del mateix costat, de manera que a cada vèrtex i coincideixin, en ordre circular, un quadrat, un triangle, un quadrat i dos triangles:

Enrajolat semiregular, tots els vèrtexs són iguals i tots els polígons regulars

A partir d’aquest enrajolat podem construir el que s’anomena dual format uns nous polígons que tinguin com a vèrtexs els centres dels quadrats i dels triangles:

Les línies negres ens marquen les tessel·les de l’enrajolat Caire. Les podem pintar de quatre colors, de manera que dues peces del mateix color no es toquin, ni tan sols per un vèrtex:

O també el podem mostrar com la superposició de dos enrajolats hexagonals idèntics, en forma de rusc d’abella deformat, girats 90º l’un respecte l’altre:

L’enrajolat Caire com a superposició de dos enrajolats hexagonals

 

Publicat dins de Ciència i pensament, Divulgació | Deixa un comentari

Juncosa de les Garrigues i el turisme interior

Joan Amades ens explica sobre Juncosa de les Garrigues:

Juncosa és el centre del Món:
Hom suposa que l’esfera terrestre fou traçada amb un compàs, la punta fixa del qual fou clavada enmig de la plaça de Juncosa, on encara es conserva el sot que es féu en subjectar-la-hi. Juncosa es troba, per tant, al punt mitjà del món. El sot que la creença popular assenyala com a punt on es clavava el compàs és el clot on en altre temps es plantava l’arbre de maig.

I aquesta llegenda té una representació gràfica en un dels seus carrers, una escultura obra d’un artista local.

De fet, vaig conèixer la llegenda a partir de la pedra a la plaça del Mig del Món, un dia fent turisme per la comarca de les Garrigues.

I és el turisme interior del que voldria parlar avui una mica. És una mena d’assignatura pendent dins la cultura catalana. Quan hom va a conèixer pobles de moltes de les comarques de l’interior del Principat, té la sensació de ser percebut com una mena de rara avis. Amb un parell de problemes secundaris, no hi ha cap sistema general fàcil de poder veure interiors interessants, per exemple de Juncosa, no he vist l’interior de l’església ni encara menys el del dipòsit municipal d’aigua, una interessant construcció de finals del segle XIX. Sí que he vist els «perxis», ja que són un carrer porxat que acaba en dos arcs a banda i banda, curiosament diferents:

Aquestes dues fotos, que aquí ensenyo unides però que havia posat en la mateixa xarxa social, amb la mateixa informació, el mateix dia, em presenten un problema curiós: La de l’esquerra va rebre al llarg dels anys vuit vegades més visites que la de la dreta. Potser és que per casualitat els primers dies en va rebre més, i el sistema de geolocalització que les posava en el mapa la mostrava més destacada, i d’aquí que rebés més visites augmentant encara més la diferència. Això ens indica que els sistemes de valoració pretesament objectius, en definitiva valoren a l’atzar…

Un segon problema del turisme interior, és que hi ha molts museus o altres centres culturals teòricament per atreure visitants, però amb molt poca promoció i amb uns horaris inconvenients.

Certament que en alguns casos concrets —parlo de pobles petits— no és així, ara penso en dos llocs interessants com Beget i Covet —curiós que rimin i tots dos tinguin un monument romànic de primer ordre— que tot i no tenir gran afluència, els he pogut visitar per dins moltes de les vegades que hi he passat. Encara que fora del Principat, per exemple a Serrabona, ho tenen millor organitzat i aconsegueixen visitants fora de temporada i entre setmana.

He posat l’exemple de Juncosa, però hi ha centenars de pobles interessants que mereixerien més visites, i no estic parlant de turisme massiu, sinó cultural amb una densitat sostenible. I parlant de sostenibilitat, precisament la gran majoria d’aquests pobles només es poden visitar —per turisme o qualsevol altre motiu— en cotxe particular. Però no hi ha, ni tan sols des de Barcelona pràcticament cap oferta per anar-los a visitar col·lectivament i, lamentablement, alguna de les poques que he vist, són més cares que anar-hi individualment. Penso així a primer bot que un autocar amb una ruta tal com «Viles closes de la Segarra» o «Paisatges i monuments del Lluçanès», podria tenir bona acollida. Si el preu fos raonable és possible que m’hi apuntés algun cop.

Publicat dins de Divulgació, Educació, General, Geografia, Geografia | Deixa un comentari