Astronomia, inicis de l’afició

Sóc aficionat a l’astronomia des de nen, el meu avi matern, venia de família de gent de mar i tot i que mai no es va dedicar a cap ofici relacionat, coneixia les estrelles i me les havia ensenyat algun cop de petit. Per part de pare, recordo explicacions sobre fases de la Lluna i eclipsis a base d’una làmpada, fruites i pilotetes. Als cinc anys segur que ja hi era força aficionat perquè recordo la portada del diari amb la imatge de la notícia del primer satèl·lit que es va posar en òrbita.

Per aquella època, el meu pare s’havia subscrit a una enciclopèdia temàtica, de l’editorial Labor, i la casualitat va voler que el primer volum fos dedicat a l’astronomia —i també a les ciències de la Terra—. Ja sabia llegir prou com per empassar-me-la, al menys la secció d’astronomia. Curiosament, el tema del Sol no em va interessar gaire. De gran em vaig adonar que era d’un altre autor i que el llenguatge i la redacció eren molt més difícils per a un nen.

Però el tema que primer em van apassionar, van ser els planetes.
A «La Vanguardia», a primers de mes, publicaven un mapa amb les estrelles principals que es veien i les posicions dels planetes. Sempre els cercava, inclòs Mercuri que era una mena de premi gros, perquè no és gens fàcil de veure. Hi ha la història o llegenda que afirma que Copèrnic no el va arribar a veure mai degut a les boires del seu país. Seixanta anys més tard encara tinc aquesta fascinació i al menys una vegada a l’any, en aparicions favorables, l’intento veure.

Venus i Mercuri fotografiats amb una càmera compacta des de la finestra d’un hotel a la Pobla de Lillet. La foto la vaig tractar per disminuir el soroll i augmentar el contrast.

Amb els binocles del pare, de bona qualitat però poc potents, veia fàcilment els quatre satèl·lits més grans de Júpiter. Vaig intentar veure els anells de Saturn o Tità, però no eren a l’abast d’aquell aparell. I encara menys la resta de satèl·lits que apareixien al llibre, i dels que em sabia el nom, inclòs un que no existeix anomenat Temis, presumpte satèl·lit de Saturn descobert l’any 1905 que va resultar ser un error d’observació. Malgrat que ningú no l’havia tornat a veure en 50 anys, continuava apareixent als llibres.

No va ser fins els dotze anys que em vaig dedicar més a les estrelles en general. Fins i tot amb uns binocles poc potents, una carta del cel petita i amb poques estrelles i vivint a Barcelona —que estava molt menys contaminada lumínicament que ara— hi havia força coses a observar.

Per exemple, el cúmul de les Plèiades. Recordo haver agafat angines l’endemà d’una nit de tardor en que, amb els binocles des de la finestra de la meva habitació, en vaig fer un dibuix amb una dotzena i mitja d’estrelles. O el «Penja-robes», una agrupació d’una desena d’estrelles que semblen dibuixar la figura d’un penja-robes, no són estrelles relacionades, és senzillament que per atzar les veiem en la mateixa zona del cel, però estan a distàncies molt diverses.

El Penja-robes, fotografia de la Viquipèdia

Respecte les estrelles, a vegades tenien un cert interès per la seva imatge, com ε de la Lira, que amb binocles es veu fàcilment com a doble, perquè amb un telescopi es pot observar que cadascun dels dos component és també un parell d’estrelles molt properes. 61 Cygni no només es pot veure amb dificultats com a doble amb els binocles, sinó que té un interès específic. És relativament propera a nosaltres, a 11,4 anys llum, i va ser precisament la primera estrella de la que es va poder mesurar la distància. Lalande 21185, una mica més propera i situada a l’Ossa Major té la peculiaritat de ser la nana vermella més brillant de l’hemisferi nord, tot i que a ull nu no es pot veure, amb els binocles s’aprecia la seva tonalitat vermella. Groombridge 1830, també a l’Ossa Major, sí que està al límit de la visió a simple vista, i aquí la peculiaritat és que té el moviment propi més gran entre les estrelles visibles a ull nu, només l’estrella de Barnard i la de Kapteyn tenen moviments més grans però són força menys brillants.

En aquella època també vaig intentar veure des de ciutat objectes difusos com cúmuls, nebuloses o galàxies, però llevat de la Galàxia d’Andròmeda, la nebulosa d’Orió i, potser, M13, a finals dels seixanta eren difícils de veure amb binocles des de ciutat i no en tinc cap record d’observació clara. Mai no vaig aconseguir albirar M51, la galàxia del Remolí, o M57, la nebulosa Anular o M1, la nebulosa del Cranc, per exemple. Posteriorment, amb uns binocles molt més grans, de 80 mm, i fora de ciutat sí que he aconseguit veure aquests objectes.

 

Publicat dins de Divulgació, General | Deixa un comentari

Seixanta-quatre igual a seixanta-cinc?

Avui proposo un enigma molt vell i conegut. De fet la idea de posar-lo m’ha vingut d’un llibre en espanyol de fa cent anys, que en una il·lustració e blanc i negre de l’època el mostrava, i més endavant en donava una explicació, aproximadament correcta però, vista ara, absolutament antiquada.

Senzillament, es tracta de veure on és el parany. Aquí les quatre peces no són simples línies, sinó que són fotos de la fusta d’un moble de casa, acolorides arbitràriament. Si us hi fixeu bé, en el muntatge fotogràfic, les vetes de la fusta són iguals en les peces corresponents dels dos diagrames.

Però en un, la quadrícula superposada ens indica que l’àrea total són 65 quadrets, i en l’altra 64.

Quina és la superfície total de les quatre peces de fusta, 65 o 64?

Realment, aquest enigma és molt més divertit quan es fa amb quatre pecs reals, que segons com es col·loquin, canvien de superfície.

I una pregunta pels una mica friquis de les matemàtiques, què té a veure aquest enigma amb la constant àuria φ = (1 + √5) /2 ?

Publicat dins de Divulgació, Problemes | Deixa un comentari

La visió dels colors, quadricromatisme

Els nostres ulls són capaços de distingit els colors, és una obvietat, però tant el què és un color exactament com la manera com el detectem jo no ho són tant.
La longitud d’ona de la llum —o la freqüència que és el seu invers— és la base del color. La llum de longitud més llarga que podem veure, d’uns 700 nm la veiem vermella, longituds d’ona menors corresponen al taronja (600 nm), groc (580 nm), verd (540 nm), blau (470 nm) i violeta (400 nm), els colors de l’espectre. Però això són colors purs, els de la llum d’una sola longitud d’ona, com la que produeixen els làsers o els LED —no blancs—. La llum blanca, per exemple, és una barreja de llums de diverses, si barregem tots els colors visibles, la suma serà aproximadament blanca.

Aquí cal comprendre que la informació sobre el color concret d’una font de llum, és tot un espectre, una funció que ens diu quanta n’hi ha de cada longitud d’ona. Aquesta funció pot ser contínua, com la llum d’una bombeta d’incandescència, presentar bandes, com la d’un fluorescent o ser força discreta: només uns pics de colors concrets, com en alguna mena de LED blancs.

Però els nostres ulls no tenen capacitat d’analitzar aquesta funció, fonts de llum amb espectres diferents les podem veure exactament igual. Aquest fenomen és força conegut fins i tot pels nens, si sobre un paper guixem amb un llapis blau i al damunt amb un de groc, el resultat que veiem és verd. O el vermell i el groc que donen taronja o el blau i el vermell que fan violeta.

Això és el que s’anomenen colors subtractius. Si partim del full de paper blanc que reflecteix tots els colors de la llum blanca, quan guixem en blau estem fent minvar els colors més allunyats del blau a l’espectre, els que ens queden són bàsicament verds, blaus i violetes, havent eliminat vermells i grocs. Quan guixem en groc, estem eliminant els colors allunyats del groc: blau i violeta. Si guixem groc sobre el blau, els únics colors que ens resten són els verds.

I verds en plural, perquè a una determinada zona de l’espectre, subjectiva, l’anomenem verd, però comprèn colors diferents: des d’un verd grogós a un verd maragda que tira a blau.

Els artistes antics van descobrir aviat, experimentalment, que amb tres pigments, groc, vermell —o més exactament magenta—, i blau —més exactament cian— podien reproduir qualsevol color. Amb dos no n’hi havia prou i quatre no eren necessaris.

Molt més tard, al segle XIX, es va trobar un efecte similar sumant els colors, sobre una pantalla blanca a les fosques, hi projectem llum vermella, hi veurem una taca vermella, amb diversos o un sol dels colors que veiem vermells; sobre aquesta zona hi projectem llum verda,  la zona on es superposen la veurem groga. Aquí, també, amb tres colors podem reproduir aproximadament qualsevol color natural. Dos són insuficients i quatre són massa, o no. Amb quatre o més colors es poden aconseguir alguns colors que amb tres no, però són només uns pocs matisos.

Tres colors són suficients, en termes generals, per crear-ne qualsevol altre. I això és important, des del punt de vista de l’ull humà, i cal precisar: des del punt de vista de l’ull humà normal o majoritari.

És casualitat aquest nombre tres, és una propietat de l’univers com les dimensions de l’espai on vivim?

No, és una propietat de l’ull humà.

A l’ull hi tenim dues menes de cèl·lules sensibles a la llum; els bastonets, nombrosos i petits, són molt sensibles a la llum, es poden activar amb un sol fotó, de qualsevol longitud d’ona de les visibles, encara que la seva màxima sensibilitat està en la zona del verd blavós;  bàsicament no aporten informació de color i són més abundants a la perifèria que al centre de la retina. Tot i que n’hi ha més de 90 milions, no vol dir que els ulls humans es comportin com una càmera de 90 megapíxels, estan agrupats per zones que van a parar a una única neurona del nervi òptic, o sigui que la resolució global que ens proporcionen és molt més petita. Els cons són la segona mena de cèl·lules fotosensibles, necessiten força més llum per activar-se que els bastonets, però cadascun està connectat a la seva pròpia fibra nerviosa, en tenim uns 5 milions i ni ha —i això és essencial—, de tres menes.

Cadascun dels tipus de cons és sensible a una banda concreta de longituds d’ona degut a un pigment específic que contenen. Les bandes de sensibilitat van aproximadament del violeta al verd pels anomenats S —sensibles a les ones més curtes—, dels blau al taronja pels M i del verd al vermell pels L. Aquestes dues menes de receptor solapen força la seva sensibilitat, amb màxims respectius en el verd grogós i el groc.

Amb les intensitats relatives del senyal en cada mena de cons, obtenim la informació sobre el color. Així, si sols s’activen els L, estem veient un vermell, o si s’activen tots tres blau. Al cervell li arriben tres intensitats de senyal i d’aquelles dedueix el color. És per aquest motiu que només calen tres menes de llum per tal que sumades amb les adequades intensitats ens proporcionin la sensació de qualsevol color. És per això que no podem distingir una barreja de vermell i verd d’un groc monocromàtic, totes dues llums activen els cons en les mateixes intensitats globals.

Però no tots els animals amb ulls són igualment sensibles al color. Molts de nocturns o que viuen a una certa fondària a l’aigua, no distingeixen els colors, evolutivament els ha estat més favorable desenvolupar la sensibilitat —els bastonets o el seu equivalent— que la discriminació de color. En canvi, animals que poden treure profit dels colors, sigui per trobar aliments, sigui per motius sexuals de recerca de parella, han vist afavorit el fet de tenir més menes de receptors, fins i tot n’hi ha que en tenen de sensibles a la radiació ultraviolada propera que nosaltres no podem veure. Incidentalment els humans no veiem en ultraviolat perquè el cristal·lí n’és força opac; persones que porten un cristal·lí artificial transparent als ultraviolats, poden veure-hi amb aquesta llum mitjançant els bastonets que en són sensibles, la sensació de color és de blanc.

Entre els animals amb més de tres menes de receptors destaquen alguns peixos, força ocells, i alguns insectes, en especial pol·linitzadors, encara que les abelles només tenen tres menes de receptors: respecte a nosaltres un de suplementari a la banda ultraviolada, però els hi manca el sensible al vermell.

En contrapartida la major part dels mamífers només tenen dues menes de receptors de colors, que pot ser un avantatge per poder discriminar color en condicions de baixa lluminositat. Les excepcions són la majoria dels marsupials, els monotremes, i alguns primats, entre ells catarins com l’home i els grans simis.

Però la qüestió en els humans no és tan simple, a finals del segle XVIII, va descriure per primera vegada el trastorn, que ell mateix patia, anomenat daltonisme; persones amb menys capacitat de discriminar els colors que la majoria dels humans. Normalment és degut a una mutació dels receptors L o M, que fa que siguin sensibles a bandes de longituds d’ones més properes del normal. La carència d’una de les menes de receptors o mutacions en els S, són molt menys freqüents. Més o menys els 10% dels homes són daltònics, amb lleugeres diferències entre les poblacions, en canvi entre les dones el daltonisme és més escàs, molt menys de l’1%. Això es deu a que els pigments que causen la sensibilitat al color en els cons L o M estan codificats per uns gens residents al cromosoma X. Els mascles només tenim un cromosoma X, i si porta informació defectuosa, serem daltònics. En canvi, les dones tenen dues còpies del cromosoma X, i haurien de tenir totes dues el mateix defecte genètic per ser daltòniques, cosa força improbable. Les dones que en una de les seves còpies dels cromosoma X porten el gen mutat, són portadores, la meitat dels seus fills mascles seran daltònics, independentment de si el pare és daltònic o no, l’altra meitat sans; entre les filles la meitat seran portadores i l’altra meitat sanes, llevat que el pare sigui daltònic. Els homes daltònics transmeten el seu gen a les filles, que seran portadores, en canvi als fills no, ja que l’únic cromosoma X que porten ve de la mare i no d’ells.

Però aquí no acaba la qüestió. Què passa amb una dona portadora, que pot tenir una mena de receptor de color suplementari codificat en un dels seus cromosomes X? En molts casos aquest quart tipus de receptor és sensible a una banda intermèdia entre la L i la M. I malgrat que cada cèl·lula femenina només expressi un dels dos cromosomes X, o sigui que només pugui tenir tres menes de receptors, entre tots els cons n’hi haurà la meitat que n’esperesarà un de diferent a l’altra meitat: en resum, podrà tenir quatre menes diferents funcionals de cons a la retina.

L’espai de color majoritari (2D), i el de les dones quadricromàtiques (3D)

És relativament freqüent i les dones portadores, en general, no ho saben. Entre altres coses és impossible un test amb la pantalla d’un ordinador que només té tres menes d’emissors lluminosos malgrat algun hoax que ha circulat per internet. Cal un experiment on la dona distingeixi una barreja de vermell i verd d’un groc monocromàtic que a la resta dels humans ens sembla igual —la pantalla de l’ordinador, en aquest cas només podria generar el groc barreja—. Una pista curiosa sobre les dones amb quatre receptors, les quadricromàtiques, ve de l’astronomia; des de fa més de cent anys s’havia observat que hi havia persones força més capaces que la majoria en distingir les tonalitats de les estrelles, que per a gairebé tothom són només petits matisos rogencs, ataronjats, grogosos o blavosos; sempre eren dones. En la vida ordinària és més difícil, entre altres coses perquè podem distingir moltísimes més tonalitats de color que a les que podem atribuir un nom, només les apreciem quan estan properes i comparem. A més, en fotografies o pantalles, el quart receptors no dóna més poder de discriminació. Fa uns anys vaig dissenyar un experiment on una llum groga procedent de la barreja d’un LED vermell i un altre verd, es comparava a una de taronja obtinguda fent l’espectre de la llum d’una bombeta d’incandescència. Una de les dues dones de la família, ja ho sospitava per les estrelles, va resultar que és quadricromàtica encara que no havia notat mai res especial respecte la seva sensibilitat als colors.

Dalton, va pensar que el problema del daltonisme, al qual va donar nom, venia de l’acoloriment del cristal·lí o algun dels humors del globus ocular, encara que en autòpsies mai s’havia apreciat. Quan va fer testament, va deixar els seus ulls a la ciència perquè es verifiqués la teoria, però anatòmicament no es va trobar res d’especial. L’ull que no es va disseccionar va ser conservat en formol en una universitat britànica. Més de 150 anys més tard de la mort de Dalton, se’n van extreure unes cèl·lules retinianes i es va seqüenciar la part del genoma corresponent als pigments dels receptors de color. El resultat va ser l’esperat: Dalton era daltònic i precisament amb l’anomalia més comú entre els europeus.

Publicat dins de Ciència i pensament, Divulgació, General | Deixa un comentari

Molts ponts i un aqüeducte

Som un país de ponts. Alguns antics, destruïts i reconstruïts moltes vegades, altre més nous. Obres populars o d’enginyeria més o menys avançada, per passar a peu, en tren, en cotxe, o per portar aigua.

N’hi ha de famosos i també algun pràcticament desconegut, grans i petits. I en manquen moltíssims.

Cercant-ne un de concret, n’he començat a trobar al meu arxiu fotogràfic i he decidit penjar-los aquí, senzillament per cridar l’atenció sobre aquesta mena d’obres. Com totes les meves fotos, estan disponibles amb llicència lliure Creative Commons by, sa, i algunes són les que il·lustren els corresponents articles a la Viquipèdia.

Veient-ne aquesta selecció, en començo a recordar molts més que tinc retratats, però crec que per avui ja n’hi ha prou.

Deixant de banda Vikimedia Commons que no és especialment fàcil de consultar pel públic en general, on creieu que es podrien col·locar aquestes fotos —i moltes més, evidentment en format més gran— de tal manera que fossin fàcilment accessibles i cridessin a terceres persones a incorporar-ne més?

Martorell • Pedret (Berga) • Llierca (Sadernes)
Camprodon • Gerri de la Sal • Malafogassa (Vilanova de Sau)
La pobla de Lillet • Osor • Can Prat (Sant Miquel de Campmajor)
Sopeira • Terri • Montblanc
Noguera Pallaresa • Riera de Marmellar • Barcelona, Nou Barris, aqueducte
Mora d’Ebre • Amposta • Matarranya
Pena-roja de Tastavins • Tren de la Pobla • Port de Barcelona
Publicat dins de General, Geografia | Deixa un comentari

Els satèl·lits de Plutó

El juliol de 2015, la sonda New Horizons va sobrevolar el planeta nan Plutó, aportant dades que han aportat informació molt valuosa sobre aquell astre, i també sobre les condicions de la seva zona del sistema solar.

Però de Plutó, no només hi ha informació provinent de les sondes espacials, amb telescopis terrestres o situats prop de la Terra com el Hubble, també s’han obtingut darrerament dades importants.

Plutó, d’uns 2375 km de diàmetre, té un gran satèl·lit, Caront —Charon en anglès—, de 1.200 km, descobert des de la Terra l’any 1978. Els diàmetres van poder ser ben establerts ja que la casualitat va voler que pocs anys desprès del descobriment, l’òrbita dels dos astres quedés orientada de tal manera que a cada volta es produïen eclipsis mutus, observats des de la Terra; estudiant aleshores la corba de llum es poden determinar les mides i la lluminositat relativa dels dos astres. Plutó i Caront formen un sistema de dos cossos en òrbita molt propera, uns 17500 km, al voltant del centre de masses comú, que es troba entre els dos. És el primer cas conegut de planeta nan «doble»; de tots els cossos del sistema solar amb aquesta característica, és el més gran, però no l’únic, per exemple Pàtrocle, un asteroide que segueix la mateixa òrbita que Júpiter, però 60˚ més enrere que el planeta, està format per dos cossos de 140 i 110 km, aproximadament, a uns 700 km de distància orbitant tots dos el centre de masses comú.

A més de ser molt propers, Plutó i Caront tenen la rotació sincronitzada, com el cas de la Lluna amb la Terra però en els dos sentits, Plutó també presenta sempre la mateixa cara a Caront. El període orbital, uns 6 dies i 9 hores és, en conseqüència, igual al període de rotació tant de Plutó com de Caront.

La teoria més versemblant sobre la formació de Caront, és que al principi del sistema solar, Plutó va rebre l’impacte d’un altre cos de gran mida, i part del material ejectat va restar en òrbita i es va condensar. Una explicació similar a la del origen de la Lluna.

Més endavant, s’han descobert quatre satèl·lits més de Plutó —o hauríem de dir de Plutó-Caront, ja que es comporten com un únic cos a aquests efectes—, tots molt més petits i en òrbites relativament pròximes els uns als altres. S’anomenen: Nix, Hidra, Cerber i Estix —en anglès: Nix, Hydra, Kerberos i Styx—. Possiblement aquests cossos també siguin condensacions del material originat a l’impacte inicial que va formar Caront.

Esquema de les òrbites dels satèl·lits de Plutó. Les mides no són reals.

Tot això ens aporta alguns indicis sobre el sistema solar primitiu.

En primer lloc, actualment, la probabilitat d’impacte entre Plutó i un altre cos prou gran com per formar satèl·lits és extremadament baixa. Això vol dir que en els orígens del sistema solar, la zona on hi havia Plutó, estava molt més poblada, al menys cent vegades més i probablement mil. Com que no hi ha explicació per tant material a tanta distància del Sol, es creu que Plutó, i el seu sistema de satèl·lits es van formar més prop del Sol que no estan ara, i que en un procés conegut per «gran bombardament tardà» o «model de Niça» van ser enviats a la seva posició actual. Per cert, el model de Niça és per la ciutat on es va desenvolupar la teoria, encara que una revista espanyola, pretesament de divulgació científica, en un titular, va traduir de l’anglès «Nice model» per «modelo bonito».

Un problema dels quatre satèl·lits menors del sistema és que les seves òrbites, a primer cop d’ull, haurien de ser inestables, i a escala de centenars de milions d’anys, haurien d’escapar-se o impactar amb algun dels altres cossos del sistema.

Aquí, per evitar-ho, és on entra un curiós fenomen anomenat ressonància que estabilitza les òrbites a l’entorn d’una posició mitjana invariable. Resulta que els seus períodes orbitals presenten una relació numèrica senzilla, cada dues òrbites d’Hidra, Nix en fa tres, cada sis òrbites d’Hidra, Estix en fa onze, i respecte Cerber no està del tot establert, però es probable que també hi hagi una relació numèrica simple. Tot això vol dir que al cap d’un determinat nombre enter de voltes, aquests satèl·lits tornen a estar en la mateixa disposició i que les pertorbacions que podrien modificar les òrbites, no tenen prou energia com per treure’ls de la configuració ressonant, de tal manera que a llarg termini, les òrbites esdevenen estables.

Hi ha un altra cosa descoberta darrerament, de la que només se’n coneixia un altre exemple en el sistema solar i que té a veure amb les ressonàncies. La gran majoria dels satèl·lits del sistema solar, començant per la Lluna, i excloent satèl·lits inestables, molt petits i molt llunyans dels planetes gegants, presenten sempre la mateixa cara al planeta. Això es deu a que el camp gravitatori generat pel cos central és més intens en el punt del satèl·lit més proper al planeta que en el punt més allunyat. Presentar sempre la mateixa cara, no deixa de ser una ressonància de períodes 1:1 entre la rotació i la translació del satèl·lit.

Però en el cas de ressonàncies orbitals entre dos satèl·lits, pot passar que l’impuls gravitatori entre els uns i els altres, actuï de manera tal que superi la influència en la rotació de la gravetat del planeta. En aquest cas es pot presentar una rotació caòtica: el satèl·lit no té ni un període de rotació constant, ni un eix de rotació relativament fix. Una mica com aquelles baldufes de joguina que en perdre velocitat es posen de cap per avall. És el cas d’Hidra i de Nix, mesures de la seva lluminositat des de la Terra han confirmat que roten de manera caòtica.

L’altre cas conegut de rotació caòtica és el d’Hiperió, que està en ressonància orbital 4:3 amb el més gran dels satèl·lits de Saturn, Tità, això vol dir que cada quatre voltes que fa Tità a l’entorn de Saturn, Hiperió en fa tres.

El moviment caòtic d’aquest satèl·lit sembla afavorit pel fet que, com en tots els casos coneguts de rotació caòtica, es tracta de cossos força allargats, allunyats de la forma quasi esfèrica que adopten els objectes més grans per la pròpia força de gravetat.

Publicat dins de Ciència i pensament, Divulgació, Llibrets | Deixa un comentari

2019 a la calculadora

Podria dir que és una mania: cada any, intento buscar una combinació numèrica que amb una formula «bonica», resulti el número de l’any.

Hi ha anys que és més fàcil que altres, i he de reconèixer que el proper 2019 no ho és gaire. L’única descomposició en factors és 673 × 3 i no l’he sabut emprar en cap combinació. O potser que la meva inspiració va de baixa.

He trobat expressions com:

(987+65-43)*2+1=2019
3/4*5*67*8+9=2019
(7*6+5)*43-2=2019

…a partir de xifres en ordre ascendent o descendent.

Però que resultin 2019 amb una sola xifra sembla ser més difícil, només n’he trobat una amb deu dosos que poso com a problema per si algú la pot millorar. L’enunciat del problema podria ser: tenim una calculadora senzilla, de quatre regles però amb parèntesis, i se’ns han espatllat totes les tecles dels números, llevat el 2, i també el punt decimal.

Com podem obtenir 2019, emprant el mínim nombre de dosos?

Una calculadora amb tecles espatllades o prohibides, imatge duplicada

Altres anys va ser més fàcil, retrospectivament, per exemple, l’any que vaig nàixer, 1952 es pot representar, entre altres, per:

(8+8+8+8)*8*8-88-8 = 1952
(((4+4)*4*4-4)*4-4-4)*4 = 1952
((22*22+2)*2+2+2)*2 = 1952
12*34*5-6+7-89 = 1952
((9*8-7)*6)*5-4+3+2+1 = 1952
(444+44)*4 = 1952
444*4+44*4 = 1952

Totes elles més boniques al meu parer, que les que representen l’any que ve, 2019.

Si s’autoritzen altres operacions a banda de suma, resta, multiplicació i divisió, com podria ser l’exponenciació o les arrels, augmenten molt les possibilitat i també la complexitat. Introduint funcions com per exemple logaritmes, és pot escriure qualsevol nombre enter emprant com a màxim tres dosos, encara que per aconseguir 2019, la formula seria molt llarga…

Publicat dins de General, Problemes | Deixa un comentari

Científics, acudits i gatets

L’acudit sobre el més famós dels gats de la ciència, el d’Schrödinger, crec que el sabia des de la universitat. Altres acudits sobre científics i gats me’ls van anar explicant o els vaig inventar mes tard, molt no alguns no recordo com i quan, però al menys els de Fibonacci i Turing són meus i se’m van acudir en contexts concrets que recordo. Aquesta recopilació, els acudits, no les explicacions, la vaig recopilar fa uns mesos per a una novel·la que estic escrivint.

Ara els reprodueixo amb alguna explicació més o menys elemental per a qui, en algun cas, no sàpiga de què va. Clar que aleshores perd una mica de gràcia. Ja sé que com a acudits poden ser molt «suats», però la primera idea és una certa mena de divulgació científica, no ser un humorista.

Tres gatets encuriosits a Areny de Noguera • Gata (té tres colors) en un prat del Ripollès

❖ Erwin Schrödinger tenia gat?
—Sí i no.

Erwin Schrödinger és l’autor d’un famós experiment mental on es tanca un gat en una caixa on hi ha un dispositiu que aleatòriament obre la vàlvula d’un gas verinós. Mentre no obrim la caixa no podem saber si el gat és viu o no, una certa semblança amb el principi de la mecànica quàntica on, abans de fer una mesura, un sistema es comporta com si estigués en una superposició de tots els estats possibles. El pobre gat estaria en una superposició de «gat viu» i «gat mort» fins el moment que obrim la caixa i, aleshores, el seu estat «col·lapsa» en un estat únic i definit.

❖ Werner Heisenberg tenia gat?
—Sí, però un dia es va aturar, i ja no va poder saber mai més on era.

Werner Heisenberg va establir el principi d’indeterminació que ens diu, entre altres interpretacions que en una partícula, el producte entre les indeterminacions de la seva posició i de la seva velocitat és una constant. O sigui que si la partícula s’atura —velocitat estrictament determinada i igual a zero— la seva posició està absolutament indeterminada. Una altra de les paradoxes aparents de la mecànica quàntica.

❖ Kurt Gödel tenia gat?
—Sí, però no es pot demostrar.

Kurt Gödel va demostrar que qualsevol sistema axiomàtic, fins i tot els més simples, tenia proposicions que no es podien demostrar dins del sistema. La proposició «Kurt Gödel tenia gat», podria ser indemostrable…

❖ Quants gats tenia Wolfgang Pauli?
—Dos, però voltant sempre en sentits oposats.

Wolfgang Pauli va establir el principi d’exclusió que diu que dues partícules de les anomenades fermions no poden estar en el mateix estat quàntic. Les partícules materials bàsiques, com electrons o protons són fermions; les que transmeten força com els fotons no, i n’hi poden haver moltes en el mateix estat, és el principi del làser, per exemple. I els fermions, tenen una propietat anomenada spin, similar al moment angular dels objectes materials grans, que pot adoptar dos valors, un de positiu i un de negatiu, aleshores dues partícules, com dos electrons, poden estar en el mateix estat quàntic llevat que tindran espins oposats, d’alguna manera com si un girés a la dreta i l’altra a l’esquerra.

Gata duplicada fotogràficament, des de la finestra de casa • Gat negre desconfiat a Tavertet

❖ Alan Turing tenia gat?
—Sí, però quan li va escapar no va poder determinar mai si s’aturaria algun dia o no.

Una de les demostracions més importants de Turing afirma, aproximadament, que no es pot fer un programa que sigui capaç de determinar de manera general, si un altre programa arbitrari, una vegada iniciat en un ordinador, s’aturarà o no.

❖ Com era el gat de Max Plank?
—Tenia tot el cos negre.

Max Plank va resoldre un dels problemes més importants de la física clàssica del segle XIX. El de l’anomenat cos negre. Un cos negre és una substància hipotètica que absorbeix tota la llum que li arriba, en conseqüència no en reflexa cap i es veuria negre. Un petit forat en una gran caixa opaca en seria una bona aproximació. Resultava que amb les teories cinètiques clàssiques, no s’explicava ni de lluny, la distribució de freqüències que emet un cos negre en funció de la temperatura. Plank va introduir la hipòtesi que la emissió de radiació no era contínua sinó que només es podia fer en uns paquets molt petits en que l’energia depenia de la freqüència. Bàsicament que la energia electromagnètica no era contínua. Malgrat que sempre va creure que la seva hipòtesi era un mer artefacte matemàtic, tota l’experiència dels darrers 120 anys indica que la quantificació de matèria i energia són absolutament reals.

❖ Georg Riemann tenia gat?
—Aquesta hipòtesi encara no ha estat demostrada.

Riemann, a mitjans del segle XIX, va formular una conjectura sobre una funció anomenada ζ de Riemann, que per a una variable s val la suma infinita dels inversos dels nombres naturals elevats a s. Per exemple aplicada a 2, ζ(2) = 1/1² + 1/2² + 1/3² + 1/4²… i així fins l’infinit, que com tothom sap, val π²/6. Bé, és un acudit, no ho sap tothom, crec. El cas és que sembla que si s és un nombre complex no real, aquesta funció val zero en alguns casos anomenats no trivials, tots els quals tenen una part real igual a 1/2. És la més famosa conjectura de les matemàtiques, anomenada universalment hipòtesi de Riemann, i porta 160 anys sense que ningú l’hagi pogut demostrar. Té una importància immensa en molts camps de les matemàtiques, molts altres «probables teoremes» només ho són assumint que és certa.

❖ Isaac Newon tenia gat?
—Sí, i sempre se li enfilava a la pomera.

Hi ha la llegenda que Newton, apartat de la ciutat per una epidèmia, va veure caure una poma d’un pomer, o potser ja la va veure a terra desprès d’haver caigut, i al mateix temps va veure, o va pensar, la Lluna al cel. Aleshores es va preguntar perquè si la poma cau cap el centre de la Terra, la Lluna sembla no fer-ho i va cercar una explicació pel fet partint de la hipòtesi que la gravetat afectava tant la poma com la Lluna. D’aquí va sorgir la teoria de la gravitació universal. La presumpta pomera es va ensenyar durant molts fins que va morir, i altres s’han plantat a l’indret per continuar amb la llegenda.

Gat a Tortosa • Gats a Valls, aprofitant l’escalfor que havia deixat un cotxe aparcat

❖ Leonardo de Pisa, conegut com Fibonacci, tenia gat?
—No se sap, però de conillets en tenia molts.

Fibonacci va ser el matemàtic europeu més important a principis del segle XIII, i és molt conegut per un problema, al qual segurament no va donar cap importància, que va escriure el 1202 on explicava com es poden fer les operacions amb xifres anomenades aràbigues —no em vull imaginar com de complicat era abans fer divisions o arrels quadrades amb números romans—. El problema anava de la reproducció d’un conjunt de conills que a partir del segon mes tenien dos conillets cada mes que passava. La solució implica una seqüència on cada terme és la suma dels dos anteriors: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233… coneguda com a successió de Fibonacci que té una gran importància en molts temes de matemàtica discreta. Per cert, que en el problema s’assumeix que els conillets són immortals.

❖ Arquimedes de Siracusa tenia gat?
—Sí, però li va fugir perquè el ficava a la banyera.

És molt coneguda la llegenda que Arquimèdes va trobar el seu principi, tot solucionant un problema que li va proposar un parent seu anomenat Hieró, que resulta que era el rei —tirà— de Siracusa, sobre si era falsa una corona d’or. Per cert que la corona no era d’or pur com havia dit l’orfebre que no vull pas saber com va acabar. La llegenda continua dient que la solució se li va acudir mentre es banyava en una banyera d’unes termes, i que es va emocionar tant que va sortir al carrer despullat tot dient: εὕρηκα, eureka, que vol dir «ho he trobat» en grec. I als gats, no els agrada gens que els fiquin a la banyera, encara que aquesta part de la llegenda és una pura invenció meva.

Totes les fotos són meves, de diverses excursions per Catalunya.

Publicat dins de Divulgació, General, Textos | 1 comentari

Petits misteris a la foto

Mai no m’he considerat gaire fotògraf, més aviat algú que quan surt fa fotos. I algunes vegades, en tornar a casa, a les fotos hi ha alguna sorpresa.

És el cas d’una vegada, pel maig del 2017, que amb uns parents de fora de Barcelona vam anar a alguns llocs amb bones vistes sobre la ciutat i, com sempre, vag fer fotos, algunes panoràmiques, altres amb el zoom al màxim…

Mesos més tard, revisant i ordenant-les a casa, en una d’elles, el motiu principal que havia volgut fotografiar es distingia a cop d’ull, clar: les tres xemeneies de Sant Adrià, conegudes amb el sobrenom de Txernòbil.

—premeu boto dret i marqueu «visualitza la imatge» per veure-la un xic més gran—

També en primer terme, moltes cases de la conurbació barcelonina.

Però mirant la foto detingudament, hi vaig trobar un parell més de detalls curiosos que marco i els amplio en les imatges que segueixen.

Els tres punts clau de la imatge

Potser la qualitat de les ampliacions no és gaire bona, però la càmera té les seves limitacions i, a més, vaig disparar sense trípode.

Què són els detalls marcats en verd i en groc?
Des d’on vaig fer la foto?

En aquesta classe d’enigmes les eines són els mapes que hom troba a internet, des de GoogleEarth als de l’Institut Cartogràfic i Geològic de Catalunya. També fotos en general que ens poden mostrar els cercadors. Encara que conèixer la zona, també hi ajuda una mica.

Tot això forma part de la meva idea pedagògica sobre els problemes, en aquest cas no se’n pot dir que sempre van de matemàtiques. I són problemes reals, tot revisant fotos me’n trobo alguna que no recordo on les vaig fer però que per algun detall potser es podria deduir, i també altres que presenten detalls que en el moment de fer-les no vaig notar, o senzillament no es podien veure al visor.

Publicat dins de Educació, General, Problemes | Deixa un comentari

Problemes i metaproblemes: multiplicacions amb sets

A una determinada edat, tots hem après a fer multiplicacions, vull dir multiplicacions amb números de diverses xifres.

[Aquí opto per la convenció d’emprar número per a un nombre natural concret, deixant el terme nombre com a genèric per a qualsevol magnitud matemàtica, per molt que algun diccionari digui que les paraules són sinònimes i que número pot ser un castellanisme. Visc al número 75 d’un cert carrer, no al nombre 75]

Recordo perfectament que una vegada en veure el mestre que les havia acabat el primer i que totes estaven bé, se li va acudir fer-me fer més multiplicacions, el doble que els altres. Només em va passar una vegada. Mai més el mestre va veure que les feia més ràpid.

Això és un clar exemple d’exercici, aplicar rutinàriament un procediment ja après, en contraposició al problema, on cal decidir un mètode a partir de coneixements previs. La meva teoria és que els exercicis, i parlo de qualsevol matèria, en tot cas només serveixen per a adquirir seguretat i velocitat, però no fan pensar gaire. En contrapartida, un problema, que en general són més difícils que els exercicis, sí que prepara per a la vida real on les qüestions amb que ens enfrontem no acostumen a poder-se resoldre amb la pura aplicació d’un mètode memoritzat. Protocol, en diuen ara del mètode d’espolsar-se les responsabilitats per no haver pensat.

Tornant a les multiplicacions i assumit que en sabem fer amb paper i llapis, podem passar a problemes basats en multiplicacions.
Imaginem una multiplicació —desenvolupada— com la del gràfic amb fons verd. Les lletres representen xifres amb una restricció d’entrada: A, D, G, K, O i S no poden ser zeros, perquè aleshores no s’escriurien. També hi ha la lletra J que apareix dos cops, és evident que la J del resultat és idèntica a la darrera xifra del primer producte parcial. Un altre fet és que ni D, ni E, ni F poden valer ni zero ni un, perquè els productes parcials tenen quatre xifres.

Forma general i dos problemes que mostren els 7 i amaguen les altres xifres

Ara plantejarem un problema sobre una multiplicació d’aquesta forma, el del gràfic del mig amb fons blau. Aquí, algunes xifres estan tapades per cercles amb el número 7. Evidentment vol dir que aquest és el seu valor. I afegim la dada suplementària que cap de les xifres no tapades és un 7. Podem reconstruir la multiplicació?

Això ja no és aplicar una regla, sinó treballar a partir dels coneixements que tenim sobre la regla. Senzillament cal ser sistemàtic i escollir els fets que ens aportin dades.

❀ En primer lloc tenim que 7BC × F = G777. No hi ha gaire possibilitats, tenim poques xifres incògnites. F × C ha de ser un nombre acabat en 7, la primera conclusió és que F i C han de ser ambdós senars diferents de 7. Tampoc cap d’ells no pot ser 1 ja que implicaria que l’altre és 7, cosa que sabem que no és possible. Tampoc cap dels dos no pot ser 5, perquè un nombre acabat en 5 multiplicat per un senar, acaba en 5, i el nostre resultat ha d’acabar en 7. Només ens queden el 3 i el 9.

❀ Un altre fet és que O ha de valer precisament 6. A la seva columna només podem arrossegar un 1 de l’anterior —la suma de K i 7—, en conseqüència el tercer producte parcial —7BC × D— és precisament 6777. Dels números entre 2 i 9, els únics que són divisors de 6777 i poden ser D, són el 3 i el 9, però 6777 ÷ 3 = 2259 que és un nombre de quatre xifres mentre que 7BC en té 3. Només ens queda la possibilitat que D valgui 9 i en conseqüència 7BC és 6777 ÷ 9 = 753.

❀ Com que l’únic múltiple de 753 que acaba en tres 7 és 6777, resulta que E i F també valen 9 i que K i G, 6. Ja tenim tota la multiplicació. Si efectuem el producte 753 × 999 = 752247 que, com és pot veure, té els dos únics 7 en les posicions correctes del problema.

Fàcil? Difícil? tot és relatiu. Si hom no ho veu clar, repetint diverses vegades atentament els tres passos anteriors s’acaba veient que no hi ha cap operació difícil més enllà de saber multiplicar i observar algunes propietats elementals de la mena que un nombre acabat en 5 per un senar, sempre acaba en 5. Probablement això a l’escola no s’ensenya explícitament, però un aprenentatge que no hi arribi, és manifestament incomplet i que no hagi assolit fites elementals com aquestes, difícilment en podrà assolir de més complexes que sí estan en el programa, llevat que decideixi aprendre tots els procediments de memòria sense més, am l’esperança que mai li posin un problema, només exercicis en els que aplicar cegament el memoritzat.

I el problema de la dreta amb fons rosa? El deixo per l’estimat lector. Certament és una mica, només mica, més difícil. I com a pista, puc afirmar que la clau del meu mètode per resoldre’l —n’hi poden haver molts més— és basa en els possibles valors de E i C, amb un raonament similar al d’un dels punts del problema anterior de fons blau.

I d’on han sortit aquests problemes? De la imaginació d’algun ésser d’intel·ligència superior? En absolut, generar aquests problemes és un altre problema, o més exactament un metaproblema —problema sobre problemes— que vaig resoldre amb un full de càlcul —incidentalment no va ser amb Excel, que li tinc moltíssima mania—. La idea és generar totes les multiplicacions de la forma de la de l’esquerra del fons verd, substituir tots els caràcters no 7 per un símbol, els 7 per un altre, i de la llista dels les moltíssims resultats, separar els que només hi apareixen un cop. Cadascun d’ells correspon a un problema amb solució única. Concretament hi ha 6738 de diferents, en multiplicacions amb la forma de la del problema, on donant els 7 podem deduir totes les altres xifres. Si algú les vol, que em demani el llistat.

Publicat dins de Divulgació, Educació, Problemes | Deixa un comentari

Els rellotges, per exemple

A les darreries dels anys cinquanta i començaments dels seixanta, el meu avi matern, ja jubilat de les empreses tèxtils on havia treballat bàsicament en qüestions de mecànica, feia de rellotger. El recordo amb un vidre d’augment enganxat a un ull i sota el focus d’un llum potent, manipulant rellotges de polsera amb pinces i tornavisos petitíssims. Però llevat de la fascinació de nen, en aquella època mai no vaig tocar un rellotge per dins.

Durant l’ensenyament, oficialment, l’únic que em van ensenyar dels rellotges era la teoria bàsica del pèndol, que manté la freqüència encara que canvii l’amplitud; cosa que per compte propi vaig saber que havia descobert Galileo a partir de l’observació dels llums de la catedral de Pisa —que balancejaven ja que en ser d’espelmes o potser d’oli, calia moure’ls per tal d’encendre’ls—, tot comparant el seu període amb el del seu cor que li feia de cronòmetre aproximat. Newton, més tard, en va explicar els motius teòrics.

Però de veure que el pèndol oscil·lava regularment al moviment de les busques, hi havia un món del que a l’escola ni me’n van parlar. Per a mi, la clau va ser quan vaig veure com anava el mecanisme d’escapament, que a cada oscil·lació del pèndol per una banda feia avançar una dent una roda dentada, i per altre adquiria una mica d’energia, provinent d’uns pesos, que compensava les pèrdues per fregament que fan que un pèndol solitari s’esmorteeixi relativament de pressa. No, no m’ho van ensenyar a l’escola, ni ho vaig trobar en un llibre, sinó en el fulletó d’instruccions d’una joguina de plàstic i eixos metàl·lics d’uns parents; joguina que entre altres muntatges proposava un rellotge de pèndol. De fet ni el vaig acabar, quan em vaig adonar de com anava el mecanisme d’escapament, ja vaig quedar satisfet, a banda que em sembla que ja no tenia més temps.

Rellotge «català». Rellotge exterior. Rellotge d’un besavi

Però abans d’acabar el batxillerat, vers 1968, se’m va acudir construir un rellotge, un rellotge pràctic. No tenia a casa ni les eines del meu avi ni, encara menys, sistema de construir les peces mecàniques necessàries. Però sí components electrònics, la gran majoria reciclats d’una empresa que li era més barat comprar components nous que desmuntar les plaques de circuits inútils que de totes maneres llençaria. Circuits integrats de la tecnologia TTL, de la sèrie anomenada 74XX, relativament lents i que s’escalfaven molt. Comprant uns pocs circuits integrats específics que no havia obtingut del reciclatge, i muntant-los tots sobre una placa genèrica, vaig aconseguir un rellotge amb quatre dígits vermells d’hores i minuts que aprofitava com a generador de freqüència estable els 50 Hz del subministrament elèctric. Sí, és força estable, a nivell de centrals es va compensant de manera que la freqüència no es desvia gaire de la mitjana. Quan un rellotge amb xifres lluminoses encara era una raresa.

Alguna cosa a veure amb el que m’havien ensenyat a escola? Més aviat poca, fins i tot recordo haver après la llei d’Ohm pel meu compte a revistes d’electrònica popular, un parell d’anys abans de veure-la al curs que ara correspondria a 2n d’ESO. Recordo que qui em va ensenyar a llegir les bandes de colors de les resistències, va ser als onze anys un cap que tenia als escoltes que es deia Miquel Bertran.

No estic dient que tothom hagi de construir un rellotge abans d’acabar el batxillerat, ni molt menys, però sí que tothom hauria de poder desenvolupar alguna activitat equivalent en qualsevol camp. I aquí, equivalent vol dir iniciativa i disseny propi. I no dependre de la sort d’haver tingut un avi rellotger —o el que sigui—, o una font de materials a l’abast, que són factors aleatoris.

Rellotge enigma. Rellotge de sol mirant el nord. Rellotge de caixa. Cronòmetre de Harrison

El sistema educatiu hauria de propiciar activitats de cultura personal. Per una banda hi ha els que diuen que seria molt car. Al menys el projecte del meu rellotge va ser econòmic, i si els projectes són més intangibles, que no depenen de res mecànic ni elèctric, encara ho poden ser més. Actualment la informàtica abarateix molt: per exemple, ara fer fotos, és a la pràctica gratuït llevat d’una minsa inversió inicial en sistemes que són d’ús general. Per altre banda hi ha qui diu que els mestres no estan preparats. Potser és que estan tan encotillats pel sistema, que imaginar alternatives els és massa difícil. Potser senzillament és que reduir els estudis a un programa, no garanteix en absolut que el global dels mestres surti amb algunes aficions —ho he dit en plural— i amb una cultura prou àmplia; i aquí afegeixo específicament també la científica i tècnica, en el sentit de comprensió del món i del seu funcionament. Només manifesto les mancances que hi veig, com es podrien solucionar és un altre tema on els implicats haurien de tenir la primera paraula.

Per cert, forma part de l’ensenyament una cosa tan senzilla com saber com s’ha d’orientar el gnòmon —l’agulla— d’un rellotge de sol bàsic?

Publicat dins de Ciència i pensament, Divulgació, Educació | Deixa un comentari