Problemes i metaproblemes: multiplicacions amb sets

A una determinada edat, tots hem après a fer multiplicacions, vull dir multiplicacions amb números de diverses xifres.

[Aquí opto per la convenció d’emprar número per a un nombre natural concret, deixant el terme nombre com a genèric per a qualsevol magnitud matemàtica, per molt que algun diccionari digui que les paraules són sinònimes i que número pot ser un castellanisme. Visc al número 75 d’un cert carrer, no al nombre 75]

Recordo perfectament que una vegada en veure el mestre que les havia acabat el primer i que totes estaven bé, se li va acudir fer-me fer més multiplicacions, el doble que els altres. Només em va passar una vegada. Mai més el mestre va veure que les feia més ràpid.

Això és un clar exemple d’exercici, aplicar rutinàriament un procediment ja après, en contraposició al problema, on cal decidir un mètode a partir de coneixements previs. La meva teoria és que els exercicis, i parlo de qualsevol matèria, en tot cas només serveixen per a adquirir seguretat i velocitat, però no fan pensar gaire. En contrapartida, un problema, que en general són més difícils que els exercicis, sí que prepara per a la vida real on les qüestions amb que ens enfrontem no acostumen a poder-se resoldre amb la pura aplicació d’un mètode memoritzat. Protocol, en diuen ara del mètode d’espolsar-se les responsabilitats per no haver pensat.

Tornant a les multiplicacions i assumit que en sabem fer amb paper i llapis, podem passar a problemes basats en multiplicacions.
Imaginem una multiplicació —desenvolupada— com la del gràfic amb fons verd. Les lletres representen xifres amb una restricció d’entrada: A, D, G, K, O i S no poden ser zeros, perquè aleshores no s’escriurien. També hi ha la lletra J que apareix dos cops, és evident que la J del resultat és idèntica a la darrera xifra del primer producte parcial. Un altre fet és que ni D, ni E, ni F poden valer ni zero ni un, perquè els productes parcials tenen quatre xifres.

Forma general i dos problemes que mostren els 7 i amaguen les altres xifres

Ara plantejarem un problema sobre una multiplicació d’aquesta forma, el del gràfic del mig amb fons blau. Aquí, algunes xifres estan tapades per cercles amb el número 7. Evidentment vol dir que aquest és el seu valor. I afegim la dada suplementària que cap de les xifres no tapades és un 7. Podem reconstruir la multiplicació?

Això ja no és aplicar una regla, sinó treballar a partir dels coneixements que tenim sobre la regla. Senzillament cal ser sistemàtic i escollir els fets que ens aportin dades.

❀ En primer lloc tenim que 7BC × F = G777. No hi ha gaire possibilitats, tenim poques xifres incògnites. F × C ha de ser un nombre acabat en 7, la primera conclusió és que F i C han de ser ambdós senars diferents de 7. Tampoc cap d’ells no pot ser 1 ja que implicaria que l’altre és 7, cosa que sabem que no és possible. Tampoc cap dels dos no pot ser 5, perquè un nombre acabat en 5 multiplicat per un senar, acaba en 5, i el nostre resultat ha d’acabar en 7. Només ens queden el 3 i el 9.

❀ Un altre fet és que O ha de valer precisament 6. A la seva columna només podem arrossegar un 1 de l’anterior —la suma de K i 7—, en conseqüència el tercer producte parcial —7BC × D— és precisament 6777. Dels números entre 2 i 9, els únics que són divisors de 6777 i poden ser D, són el 3 i el 9, però 6777 ÷ 3 = 2259 que és un nombre de quatre xifres mentre que 7BC en té 3. Només ens queda la possibilitat que D valgui 9 i en conseqüència 7BC és 6777 ÷ 9 = 753.

❀ Com que l’únic múltiple de 753 que acaba en tres 7 és 6777, resulta que E i F també valen 9 i que K i G, 6. Ja tenim tota la multiplicació. Si efectuem el producte 753 × 999 = 752247 que, com és pot veure, té els dos únics 7 en les posicions correctes del problema.

Fàcil? Difícil? tot és relatiu. Si hom no ho veu clar, repetint diverses vegades atentament els tres passos anteriors s’acaba veient que no hi ha cap operació difícil més enllà de saber multiplicar i observar algunes propietats elementals de la mena que un nombre acabat en 5 per un senar, sempre acaba en 5. Probablement això a l’escola no s’ensenya explícitament, però un aprenentatge que no hi arribi, és manifestament incomplet i que no hagi assolit fites elementals com aquestes, difícilment en podrà assolir de més complexes que sí estan en el programa, llevat que decideixi aprendre tots els procediments de memòria sense més, am l’esperança que mai li posin un problema, només exercicis en els que aplicar cegament el memoritzat.

I el problema de la dreta amb fons rosa? El deixo per l’estimat lector. Certament és una mica, només mica, més difícil. I com a pista, puc afirmar que la clau del meu mètode per resoldre’l —n’hi poden haver molts més— és basa en els possibles valors de E i C, amb un raonament similar al d’un dels punts del problema anterior de fons blau.

I d’on han sortit aquests problemes? De la imaginació d’algun ésser d’intel·ligència superior? En absolut, generar aquests problemes és un altre problema, o més exactament un metaproblema —problema sobre problemes— que vaig resoldre amb un full de càlcul —incidentalment no va ser amb Excel, que li tinc moltíssima mania—. La idea és generar totes les multiplicacions de la forma de la de l’esquerra del fons verd, substituir tots els caràcters no 7 per un símbol, els 7 per un altre, i de la llista dels les moltíssims resultats, separar els que només hi apareixen un cop. Cadascun d’ells correspon a un problema amb solució única. Concretament hi ha 6738 de diferents, en multiplicacions amb la forma de la del problema, on donant els 7 podem deduir totes les altres xifres. Si algú les vol, que em demani el llistat.

Aquesta entrada ha esta publicada en Divulgació, Educació, Problemes. Afegeix a les adreces d'interès l'enllaç permanent.

Deixa un comentari

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *

*