A simple vista, si la tenim prou bona, podem apreciar marques fosques a la superfície de la Lluna. A principis del segle XVII, quan els astrònoms van començar a observar-la amb telescopis, les xones fosques es van prendre per mars i les més clares per terres. Ben aviat va ser evident que els «mars» no ho eren, ja que al millorar la qualitat dels telescopis es va veure que també tenien cràters com les «terres», encara que menys, i altres detalls orogràfics com muntanyes o esquerdes. Però el nom va restar, les zones fosques s’anomenen mars, encara que ningú no anomena terres les clares, en tot cas terres altes, ja que ara sabem que, al menys a la cara visible de la Lluna, tenen força més elevació topogràfica.

No va ser fins els començaments de la dècada de 1960 que va quedar clar que la majoria, tant dels cràters lunars com dels mars —que es denominen amb el mot llatí mare— havien estat produïts per l’impacte d’asteroides, de mida i velocitat variable. En definitiva molts mars eren un cràter gran. I la seva coloració fosca es devia a que van ser posteriorment inundats per laves procedents de l’interior lunar.

Filant més prim, no sempre és així, alguns mars podrien no correspondre a un impacte, o al menys a un únic impacte, i no tots els grans impactes han originat cràters posteriorment inundats per lava. Especialment els grans impactes a la cara oculta de la Lluna que, per raons no clares del tot, té l’escora molt més gruixuda que la cara visible. Es pot observar en un mar que queda a cavall entre l’hemisferi visible i l’ocult, el mare Orientale, que només està parcialment inundat per laves.

Foto domèstica de la Lluna, amb una càmera «bridge», amb els mars més visibles marcats.
A Procellarum (oceanus), B Imbrium, C Serenitatis, D Tranquilitatis, E Crisium, F Fecunditatis, G Nectaris, H Nubium i I Humorum.

Dels grans maria —és el plural llatí de mare— que podem observar des de la Terra, Procellarum —que com que és el més gran no és mare sinó oceanus— i Tranquilitatis no semblen correspondre a antics impactes. Entre altres coses perquè no presenten rastres d’un o diversos anells muntanyosos concèntrics com els altres mars. Podrien ser depressions tectòniques prèvies a l’època dels grans impactes asteroïdals que van formar les conques dels altres maria i es van produir entre fa 4100 i 3800 milions d’anys.

Els que sí corresponen a conques d’impacte asteroidal, són, aproximadament dels més antics als més recents: Nubium (H), Serenitatis (C), Nectaris (G), Humorum (I), Crisium (E), Imbrium (B) i, finalment, Orientale que és veu gairebé de gairell a la vora del disc lunar i no s’aprecia a la foto.

Mare Orientale, foto de la NASA. Només la part central està parcialment inundada per laves.

A la cara oculta de la lluna, hi ha força conques d’impacte de mida similar o més gran —pol sud-Aitken, que és la més gran i antiga de les conques lunars clarament identificables— que les de la cara visible. L’única que conté quantitats apreciables de terreny fosc que són fruit d’erupcions de material profunds, és el mare Moscoviense, totes les altres són clares, amb materials procedents de l’escorça lunar.

Fa unes setmanes vaig escriure una rèplica a qui de bona fe, tenia por que la creació d’una «reserva» de cel fosc, amb limitacions a la il·luminació nocturna, especialment a la que es perd a l’espai o es reflecteix en el núvols, podria portar a una degradació del territori, aquí el reprodueixo una mica. També parlava dels astròlegs, una mena de persona que mai a la vida he vist al camp, en zones no contaminades lumínicament, fent observacions.

❀ ❀ ❀

En tres ocasions en la meva vida, he estat cridat per artistes o responsables de monuments, per tal que calculés la seva orientació o posició relativa respecte a algun fet astronòmic com pot ser la sortida del Sol determinat dia. Sense cobrar. En les tres ocasions, en la inauguració del monument, l’artista o responsable, en el seu discurs, m’ha anomenat l’«astròleg».

Monument a la consulta d’Arenys de Munt, que vaig ajudar a orientar, amb la Lluna pel forat i la contaminació lumínica al fons.

I això és com anomenar l’«alquimista» a algú que treballa a l’ajuntament per garantir la potabilitat de l’aigua. No, un astròleg, en èpoques antigues podia ser un astrònom que inventava històries personals per tal de fer-se un sobresou, o fins i tot sou. Però des de fa segles que és clar que és un estafador malgrat el que pugui creure fins i tot una majoria de la població, desinformada i amb necessitats psicològiques.

Com desinformació és pensar que el tema del cel fosc és una dèria d’uns quants extremistes amb ganes de molestar. No, l’alerta l’han donat científics. Potser sí que els primers van ser astrònoms, professionals, als quals la llum artificial destorbava a les seves observacions, però van venir desprès biòlegs, fisiòlegs i enginyers, explicant el seguit de problemes que genera el fet d’il·luminar el cel de manera desaforada. Des de problemes de migració o recerca de parella en molts animals nocturns; canvis en les preses i els seus predadors que ara poden actuar en qualsevol horari: problemes de son i vigília en els humans —que també es donen molt sovint en interiors per emprar il·luminacions inadequades—; fins arribar a unes emissions extres de CO₂ que contribueixen a l’escalfament de la Terra.

Sabem que hi ha polítics, que no creuen en el canvi climàtic, malgrat que la immensa majoria de científics el tingui clar del tot. Passa el mateix amb el cel nocturn, no és una collonada de quatre bojos, les evidències del problema són aclaparadores i les conseqüències si no s’actua, desastroses. Per això, qualsevol acció per conscienciar sobre ell, és prioritària. Fer reserves amb limitacions sobre la llum que dilapidem al cel, n’és una. Com la del Montsec al Principat de Catalunya o la de la illa de la Palma a les illes Canàries.

I crear «reserves» de cel fosc, no és una acció que portarà al lloc un turismes astronòmic massiu, deixant de banda que qui va a la muntanya a fer observacions astronòmiques, acostuma a ser força respectuós amb el medi ambient.

Relacionat amb tot això, uns petits enigmes científics sobre els que tinc intenció d’escriure algun dia:

• Per què papallones nocturnes i altres insectes s’acumulen prop dels fanals i altres llums nocturns? Realment les atreu la llum?
• Quina relació hi ha entre això i el concepte matemàtic de «passejades aleatòries»?

Radical ho empro aquí en sentit d’anar a l’arrel, de cercar solucions no a base de canviar els detalls concrets, sinó en la manera global de fer des del començament.

❀ ❀ ❀

Encara que no explícitament, de ben petit vaig veure la diferència pedagògica entre posar problemes i exercicis.

Un dia, a classe, a l’edat que es suposava que els nens havien d’aprendre a multiplicar per diverses xifres una vegada assolides les taules, el mestre ens va posar una sèrie de multiplicacions. Eren d’un quadern que començava amb les més senzilles d’una sola xifra fins arribar a algunes de molt grosses a les darreres pàgines. En aquell cas ens va fer fer com una dotzena de multiplicacions entre nombres, crec recordar, de tres xifres.

Feia anys que en sabia fer, i les vaig fer molt més ràpid que el que el mestre esperava. Quan em vaig aixecar i li vaig dur el quadern, ell ràpidament va consultar «el quadern del mestre» on estaven resoltes totes les multiplicacions i, aproximadament, em va dir:

—Molt bé, molt bé. Vinga! mentre els teus companys acaben la feina, tu pots fer aquesta dotzena més de multiplicacions.

Vaig deduir ràpidament que no era bo que el mestre sabés que multiplicava més ràpid que els altres.

I intuïtivament vaig anar pensant que fer exercicis d’aquella mena no em servia de res, ja era prou ràpid, exacte i ni tan sols amb multiplicacions de les grosses hagués après res de nou, ja en sabia fer. Però omplir el quadern era una rutina, com la majoria de les activitats de l’escola, per la qual s’havia de passar independentment de que servís o no. Per cert, que va ser a conseqüència de l’episodi dels exercicis extres que vaig decidir, per pura revenja, que a partir d’aquell moment, tots els exercicis d’aritmètica de deures a casa, els faria amb la calculadora —una Brunsviga— que tenia el pare, copiant els resultats sense fer realment l’operació. I no, treballar amb calculadora molt abans de l’arribada de les electròniques no em va representar cap minva en la capacitat de calcular de memòria o a mà.

Calculadora com la que feia servir per fer les operacions dels deures. No és la original i funciona perfectament.

A canvi de l’exercici de multiplicar, per a mi, fer-ho a màquina sí que va resultar un problema interessant i emocionant: aprendre a fer funcionar la Brunsviga —sense instruccions— amb agilitat i precisió i, encara més, entendre com s’ho feia per multiplicar o dividir. Cada pas que aconseguies en aquests sentits, tenies una gran satisfacció.

Certament que alguna vegada a l’escola hi apareixia un problema, definint-lo com una activitat que no es podia resoldre aplicant maquinalment unes regles més o menys explícites. Però poques, i en ocasions em resultava un problema senzillament perquè volia veure si em sortia per mètodes totalment diferents als que ens havien explicat.

Se’m pot dir que la majoria dels nens no eren com jo. Probablement era cert, però malauradament crec que ho era perquè ja els havien matat la curiositat.

I fer molts exercicis és una bona manera de matar la curiositat.

Molts anys més tard, em vaig dedicar a recopilar problemes, naturalment que dels temes als que era més aficionat. I més endavant en vaig començar a crear de propis. La majoria amb nombres o geometria elemental, o sigui que no cal gaire cultura específica pròpia per resoldre’ls com seria el cas de problemes sobre literatura on cal normalment conèixer un corpus gran d’elements per poder-hi treballar. De totes maneres, des que hi ha internet, en tenir a l’abast bases de dades, en sentit genèric, molt més grans que els llibres que hom pot consultar habitualment, he anat introduint altres temes, com el de la localització geogràfica.

Problema meu: cal trobar quina xifra representa cada lletra per tal que la suma sigui correcta. La solució és única

Potser sí que sé crear problemes, però altra cosa és introduir la pedagogia del problema a l’ensenyament. Potser el que jo faig és el primer pas més fàcil.

El problema s’adapta malament al sistema usual. Per una banda, el temps necessari per resoldre’l —i amb resultats pedagògics similars— pot anar de pocs minuts a molts dies de reflexió, cosa que no agrada gens a l’hora de fer una programació. Sobre això apunto a alguna solució, com a la vida real, de problemes en podem tenir diversos simultàniament, i no tots estar al nostre abast o fins i tot no tenir solucions. A l’escola no s’haurien de proposar problemes d’un en un i no passar al proper fins acabar el precedent, sinó tenir una sèrie de problemes en curs i no demanar la solució sistemàtica de tots ells. En la pedagogia del problema hi entra l’efecte eureka, la gran satisfacció d’haver solucionat quelcom per compte propi, però no es pot comptar que hagi de ser sempre així, molts problemes s’assoleixen més aviat per l’efecte «merda: hauria d’haver vist abans això —per exemple en rebre una pista— i m’hauria estalviat molta feina, m’ho apunto».

Sovint es critica que els problemes són «d’idea feliç», com si això fos una cosa que algunes persones tenen i altres no, amb un alt component d’atzar. Fals, qui practica i avança en la resolució de problemes, és precisament qui té les idees felices. Quan hom no sap per on agafar el problema i confia que li caigui la inspiració del cel, va pel mal camí. Mai no em va agradar el mètode d’Edison que deia que els seus invents eren un 1% d’inspiració i un 99% de transpiració, traspuava la idea de la rutina i, en definitiva, la va formular una persona que mai no va arribar a entendre el corrent altern o molts altres conceptes bàsics de la ciència o enginyeria, per molt que fos un gran venedor. En pedagogia crec que el que interessa és comprendre i assumir els conceptes bàsics.

Per altra banda, a nivell operatiu, els problemes són molt més difícils de corregir que els exercicis on només cal veure si es mantenen dins el patró. Probablement s’hauria d’escriure una guia d’avaluació una vegada provat el problema i vistes les diverses possibilitats que se li acudeixen als que l’intenten fer.

També hi ha la qüestió que algunes vegades els problemes tenen una clau, coneguda la qual passen a ser molt més fàcils. Això obliga a pensar sistemes on no sigui fàcil cercar a internet o passar la clau als companys. De totes maneres hi ha molts problemes que no depenen d’una clau d’aquesta mena, per exemple el de la suma que poso a la il·lustració, solucionar-lo són una sèrie de passos successius cap d’ells especialment determinant; en aquest cas concret el perill és que trobin la solució per internet, que poc o molt els meus escrits i problemes corren. Per emprar-lo més enllà del exemple, en caldria un de similar però inèdit, que també en tinc molts i sé com generar-ne més.

Sovint se’m diu que per alguns alumnes aniria bé, però que la majoria no serien capaços gairebé mai de fer un problema que passi de trivial que s’encallarien. Segurament si partim d’alumnes que ja han assumit el sistema actual, pot ser cert. Però per culpa d’un mal sistema no podem hipotecar el que hauran de fer els que vinguin a continuació. La transició hauria de ser començant pels petits. I la resolució dels problemes no s’ha d’esperar que aparegui per generació espontània, cal per part del mestre anar introduint pistes fins, o gestionar les pistes que puguin generara alguna alumnes en benefici d’altres. Tot això fins fer el problema assequible per a la majoria i poder avançar cada vegada més en altres problemes que hi presentin similituds o estratègies parcialment comunes.

Finalment hi ha la qüestió que «pensar cansa molt». Sí, això és cert sobre tot per a qui no ho fa mai, és com pujar una muntanya. Però la psicologia subjacent al sistema escolar imperant, fa que avorrir-se no es consideri cansat ni molest, sinó que formi part de la normalitat. És com si implícitament es donés per bo que els nens, quan siguin adults hauran de fer feines avorrides i que hauran d’haver estat ensinistrats per no adonar-se’n o, en tot cas, no protestar.

I per cert que les feines tipus «exercici», són de les que els ordinadors o els robots eliminaran primer.

Aquí deixo vuit enllaços a entrades anteriors del bloc amb problemes de collita pròpia, de diferent temàtica i nivell.

•1•   •2•   •3•   •4•   •5•   •6•   •7•   •8•

Bon Nadal a tots els lectors.

Malauradament vaig curt de temps i no he sabut inventar una entrada nadalenca, avui en poso una, en forma de diàleg, de les que tenia «en conserva».

—Avui, a classe de didàctica de les matemàtiques ens han posat un problema curiós —em va dir un dia la meva filla en tornar de la facultat fa una dotzena d’anys.

—Quin problema?

—Hi ha un hotel amb 1000 cambres numerades de l’1 al 1000 amb les portes tancades. 1000 cambrers passen successivament per totes les portes. El primer d’una en una, si la troba tancada l’obra i si és oberta, la tanca. El cambrer número dos, començant per la segona, passa les cambres de dos en dos fent el mateix. El tercer cambrer, igual però començant per la cambra tres i anant de tres en tres. I així fins el cambrer 1000 que va directament a la porta 1000 i la canvia. La pregunta és: quantes portes queden obertes al final?

Foto feta des d’Eina, a uns 5 km en línia recta de l’hotel de Font Romeu, a la Cerdanya, que va ser el de la primera estació d’esquí dels Pirineus. Té una certa retirada al de «The Shining», la pel·lícula de Kubric.

—Mira: és molt fàcil —vaig dir immediatament parlant sense pauses.
»El cambrer 1, canvia totes les portes que siguin múltiples d’1. El 2, totes les múltiples de dos, les parells. El tres les que duen un nombre múltiple de 3. I així fins el cambrer 1000 que només canvia la porta 1000.
»Cada porta canvia un nombre de vegades igual al de divisors del seu número.
»Les que canviïn un nombre parell de vegades restaran tancades al final; les que el nombre de canvis —que és el de divisors— sigui senar, quedaran obertes.
»En general un enter té un nombre parell de divisors, per exemple en el cas del 12 els podem agrupar per parelles que multiplicades ens donen precisament 12: 1 × 12; 2 × 6; 3 × 4, i ja està, tres parelles, sis divisors.
»Però tots els enters són així? No, si un és quadrat perfecte, la seva arrel quadrada queda desaparellada, per exemple el 36: 1 × 36; 2 × 18; 3 × 12; 4 × 9 i ens resta el 6 que formaria parella amb ell mateix.
»I quants nombres quadrats hi ha fins a 1000? La part entera de l’arrel quadrada de 1000 que és 31.

Ho vaig trigar ni un minut en dir tot això.

—Tu ja sabies el problema, oi? —va respondre la meva filla.

—Sí, clar, i la primera vegada potser vaig trigar una mica més d’un minut a resoldre’l, fins i tot recordo que vaig escriure alguna fórmula en un paper. Aproximadament va ser:

»Raonem a partir d’un exemple, pensem, per exemple, amb la porta 12. El primer cambrer la canviarà ja que les canvia totes; el segon també ja que passa de dos en dos, o sigui que canvia les portes 2, 4, 6… i la 12 cau en la seqüència; el tercer canvia 3, 6, 9, 12… també; el quart 4, 8, 12, també, el cinquè 5, 10, 15… no; el sisè 6, 12… sí; del 7 a l’onze passa de llarg; el cambrer 12 torna a canviar la porta, precisament la primera que canvia; a partir d’aquí, ningú no torna a tocar la porta 12. La conclusió és fàcil, la porta 12 s’ha canviat quan hi han passat els cambrers 1, 2, 3, 4, 6 i 12, en tres paraules, els divisors de 12. Si el nombre de cambrers que canvien la porta és parell, al fina quedarà tancada, i si és senar, oberta.
»I quins nombres naturals tenen un nombre senar de divisors?
»La fórmula, al menys jo me la sé de memòria des que em van ensenyar a descompondre un nombre en factors primers. Si un nombre natural n té una descomposició: p^a × q^b × r^c × s^d… on p, q, r, s… són els factors primers i a, b, c, d… els respectius exponents —ho escric així perquè aquí no puc posar-hi ni superíndexs ni subíndexs—, el nombre de divisors del nombre ve donat per la fórmula (a + 1) × (b + 1) × (c + 1) × (d + 1)…
»A veure, per que aquest resultat sigui senar, ho han de ser tots els termes que multipliquen, i com que tots són de la dorma x + 1, resultara que a, b, c, d… que són els exponents que apareixen a la descomposició de n, són tots parells, i es poden dividir exactament per dos. Aleshores el nombre: p^(a/2) × q^(b/2) × r^(c/2) × s^(d/2)… serà un enter i també l’arrel quadrada de n. O sigui que n és un quadrat. Només els enters quadrats tenen un nombre de divisors quadrats.
»La conclusió és que totes les portes quedaran tancades llevat de les que portin un nombre que sigui quadrat perfecte. I quantes n’hi ha? Si el quadrat de 1000 és 31 i escaig, ja que el quadrat de 32 és 1024 i es passa, restaran exactament 31 portes obertes. La resta, que corresponen a enters no quadrats amb un nombre de divisors parells, quedaran tancades.
»Clar que una vegada fet aquest raonament, que és més ràpid fer-lo de cap que escriure’l o llegir-lo, vaig buscar una simplificació que és la que t’he explicat al començament, sense necessitat de recordar la fórmula del nombre de divisors.

No sé com li va anar quan va tornar a classe d’aquella assignatura, l’únic que recordo és que, a final del curs, va treure matrícula d’honor. Com el seu germà en càlcul d’una carrera de ciències. No crec que sigui genètic, hi ha coses que s’encomanen d’altres maneres.

Sovint em diuen que molts dels problemes heurístics que elaboro, són massa difícils, que ningú no ha explicat als seus receptors com es resolen.

Evidentment, si l’objectiu d’un d’aquests problemes és precisament trobar, via assaig i error, un procediment raonable per resoldre’l no és pot explicar el sistema precís, el problema s’hauria convertit en un exercici que és precisament el que vull evitar.

Però a vegades, fins i tot explicat o esbossat el procediment, resta encara una mica de problema, en el sentit de trobar com completar tot el procediment evitat errades, per exemple omissions o duplicacions.

També em diuen que sempre els faig sobre temes similars i és en part cert i en part fals. Cert en el sentit que sovint treballo amb peces com les polifigures, com aquí, els nombres o la lògica, però fals en que no són temes exclusius, a vegades, per exemple empro fotografies o mapes com a base pels problemes. Que no faig servir la literatura? Per dos motius: segurament no en sé prou i tampoc no puc pensar que els destinataris dels problemes tinguin fàcilment prou dades a l’abast per poder resoldre problemes «literaris» amb una certa complexitat. Hi ha també els problemes lèxics, que en general no practico, però estan normalment adreçats a ampliar els coneixements de llengua, no al meu objectiu primari que són les tècniques de pensament i resolució.

Avui seguint amb els temes en que em trobo més còmode, plantejo un problema amb figures geomètriques elementals, quadrats i mitjos quadrats per la diagonal.

Partim de la figura de color rosa formada per un quadrat i mig quadrat tallat per la diagonal, en rosa, que apareix quatre vegades a l’esquerra de la il·lustració. És l’única figura possible amb aquestes dues formes contigües amb els costats «ajustats» que vol dir que un costat ha de coincidir exactament amb un altre costat igual de llarg. Aquesta figura té una àrea de 1,5. Aquí cal dir que considerem una figura igual a la seva imatge especular, si la tenim feta sòlida, la podem tombar cap per avall i continuarà sent la mateixa.

Afegint dos quadrats a la peça rosa de totes les maners possibles, generem 14 figures formades per tres quadrats i mig.

Ara, a aquesta figura d’àrea 1,5 li afegim un altre quadrat igual al primer de manera ajustada, de manera que formem una figura de 2,5. Això ho podem fer de quatre maneres diferents. que ens generen les quatre figures de color verd de la il·lustració, marcades amb les lletres a, b, c i d. Fixem-nos que la d és l’única que té un eix de simetria, concretament inclinat 45º.

Si continuem el procés d’afegir un quadrat, obtindrem figures amb una superfície de 3,5. Però aquí cal ser una mica més curós ja que, a banda de no ometre cap possibilitat, ens podem trobar amb figures duplicades.

Podem veure a la dreta de les quatre figures verdes, duplicats d’ella en taronja amb l’afegitó del quadrat blau en totes les posicions possibles. Cada forma està anomenada amb una lletra que correspon a la figura de 2,5 amb un número que indica cada posició.

Una vegada formades totes les figures possibles, cal veure si hi ha algun duplicat. Efectivament, ens en trobem alguns casos que els he marcat amb la vora vermella. Ens resten catorze figures diferents amb la vora negra, que són totes les possibilitats amb àrea 3,5 dins la lògica d’aquest problema. Aquí també podem veure que la figura c5 és l’única amb un eix de simetria, també inclinat 45º.

Fins aquí, relativament fàcil. El que és una mica més complicat, és generar totes les figures d’àrea 4,5 o 5,5 amb la mateixa tècnica o alguna altra que pugui ser més efectiva.Com a pista per a comprovar si s’ha fet bé la feina puc dir que de quatre quadrats i mig n’hi ha 54 i de cinc quadrats i mig 209.

Amb les catorze figures de 3,5, que naturalment cobreixen una àrea total de 14 × 3,5 = 49, es pot formar un quadrat. De moltes maneres diferents. Un càlcul aproximat em diu que d’unes 18000 formes diferents. No he vist mai el trencaclosques comercialitzat, potser perquè malgrat les moltes solucions és bastant difícil. La imatge és una vil falsificació fotogràfica del que voldria tenir.

Imatge a partir d’un joc infantil, les vores entre les tessel·les han estat eliminades amb l’ordinador, i els colors modificats per tal de tenir-ne 14 de diferents.

Sempre he pensat que aquest trencaclosques podria ser una decoració fàcil per el terra d’una plaça que es podria denominar oficialment o popular, la Plaça del Trencaclosques. I podria atreure turistes aficionats a questes coses… A veure si algun ajuntament es decideix, que la idea és de franc i el disseny està amb llicència lliure (cc, by, sa). Ep, i tinc més dissenys per l’estil, en dues dimensions per a terres o parets o en tres per a monuments variats.

En el camp educatiu, més enllà de generar les peces de manera sistemàtica, en principi amb paper quadriculat i llapis, hi pot haver la tasca de construir realment el trencaclosques, cosa que vol dir prendre decisions de compromís entre la facilitat i el ben acabat i utilitzable que quedi. Fer-ho amb paper, és molt fàcil, però el resultat és difícil de manipular i en respirar les peces poden volar. Fer-ho amb fusta, metall o plàstic… és més feina.

A la premsa, ocasionalment surten notícies sobre descobriments astronòmics, aquests darrers dies n’ha sortit una sobre l’objecte anomenat 2018 VG18

El primer nombre és l’any del descobriment, La primera lletra designa el mig mes: A = primera meitat de gener i així successivament ometent la «I». La segona lletra és l’ordre de descobriment dins el mig mes i va d’A a Z ometent la I, cada vegada que es superen 25 asteroides en aquell mig mes, s’augmenta el nombre final de la designació i es torna a la lletra A. Així, 2018 VG18 significa que l’asteroide es va descobrir la primera meitat de novembre de 2018 i que va ser el 7è —ordre de la lletra G— descobriment del cicle 19 —el primer cicle no duu nombre—, o sigui 7 + 18 × 25 = 467. Certament cada quinze dies es descobreixen milers d’objectes asteroïdals, o sigui que el darrer nombre pot ser força alt.

La denominació Farout, és senzillament un mot que li han atorgat els descobridors, sense validesa oficial, que quan l’òrbita de l’astre sigui prou ben coneguda, rebrà un nombre d’ordre entre els asteroides i un nom definitiu, en principi, pels astres descoberts en aquella zona, un nom mitològic relacionat amb els mites de la creació de qualsevol cultura.

De moment, de planeta res, ni tan sols sembla un planeta nan que és una definició molt menys restrictiva. Amb un diàmetre estimat de 500 km, difícilment estarà en equilibri hidrostàtic, que vol dir haver adquirit forma esfèrica per efecte de la pròpia gravetat, condició per a planeta nan.

Contínuament es descobreixen objectes transneptunians, alguns d’ells força llunyans i, necessàriament, de tant en tant se’n descobreix un que és el més llunyà fins el moment, o el que la seva òrbita el portarà un dia més lluny. La peculiaritat de 2018 VG18 és el cos que s’ha detectat més lluny fins ara, tot i que no és el que té l’òrbita que el durà més lluny del Sol, ni molt menys.

Plutó, Ceres, Vesta i 2018 VG18, aproximadament a escala, els dos primers són planetes nans. El darrer segurament és molt fosc, vermellós i, probablement, no esfèric. Imatges de la NASA via la Viquipèdia

El que sí que té un considerable interès és el fet que dels objectes amb òrbites més allargades i que van a parar més lluny del Sol, les seves orientacions estan molt més agrupades que si fossin cossos independents movent-se al atzar. Això podria indicar la presència d’un planeta llunyà, força més massiu que la Terra, que hagués pertorbat les seves òrbites. Però ni és segur que existeixi, ni s’ha detectat encara. Podria ser que un encontre proper del Sol amb una altra estrella, hagués alterat les òrbites d’aquests cossos, per exemple.

Segons la teoria més popular actualment sobre els planetes i cossos menors actuals, anomenada Model de Niça, alguns planetes de mides entre la Terra i Neptú, haurien pogut ésser expulsats del Sistema Solar o haver quedat en òrbites molt llunyanes. I serien molt difícils de detectar. Estem a l’espera que l’any 2020 entri en funcionament el Large Synoptic Survey Telescope que representarà un pas enorme en la possibilitat de detectar objectes llunyans del Sistema Solar.

❀ ❀ ❀

Una vegada escrit això, un company m’ha demanat més aclariments sobre com es podria descobrir aquest hipotètic planeta, i els copio a continuació:

Històricament, a la dècada de 1840, estudiant les desviacions del planeta Urà respecte l’òrbita calculada —i tenint en compte les pertorbacions que li produïen els altres planetes coneguts— es va poder determinar  la probable posició d’un planeta pertorbador desconegut. Curiosament dos astrònoms, un anglès —Adams— i l’altre francès —Le Verrier—, van fer els càlculs gairebé simultàniament, però en el cas de l’anglès els astrònoms que haurien d’haver fet les observacions per trobar el planeta, no van fer correctament la feina. En canvi, en el cas del francès, va passar les dades a l’observatori de Berlín que tenia mitjans bons per fer la recerca —precisament estaven fent un mapa d’estrelles de la zona—, i van trobar Neptú en la primera nit d’observació, a menys d’un grau de distància —com dues vegades el diàmetre de la Lluna— d’on havia calculat Le Verrier.

Però en el cas del possible planeta exterior, les coses són molt més difícils. En particular les distàncies implicades en les pertorbacions són centenars de vegades superiors, cosa que vol dir que la pertorbació és com a màxim 10000 vegades més petita. I més lenta, amb òrbites al voltant del Sol com a mínim unes deu vegades més lentes que les d’Urà, el temps d’observació per aconseguir el mateix arc d’òrbita amb la precisió requerida és al menys cinquanta vedades superior, de l’ordre del segle. Tan difícil i improbable és el càlcul de pertorbacions que es va per altres vies més estadístiques, calculant on seria més probable l’òrbita del nou planeta, per desprès intentar esbrinar quina posició concreta dins aquesta òrbita té actualment.

També cal dir que Neptú es veu perfectament amb uns binocles mitjans amb els que es poden observar uns 50000 objectes de brillantor similar, estrelles gairebé tots. En canvi, el possible nou planeta, requeriria un instrument de més de tres metres de diàmetre per poder ser captat i s’hauria de discriminar entre 10000000000 —deu mil milions— d’objectes celestes de magnitud similar, estrelles i galàxies llunyanes.

No sempre la geometria és abstrusa, a vegades hi ha teoremes que potser tenen una certa dificultat de demostració per a qui no hi està ficat, però que són de fàcil comprensió per a qualsevol.

Sí, qualsevol, fins i tot aquelles persones que afirmen que de matemàtiques no en saben gens i es consideren incapaces d’entendre-les, quan el que realment passa és que de petites els hi van ensenyar tan malament que encara estan atrapades en un embolic i tenen por de tornar a intentar comprendre-les. Encara que aquesta vegada no ho facin malament.

Aquí presento uns fets molt senzills de geometria, sense demostracions que em sembla que són fàcilment compressibles.

Una font inexhaurible de fets interessants són els triangles. Són una figura ben simple, però es poden plantejar innombrables qüestions sobre ells. Veiem-ne una de senzilla:

❀ Tracem un triangle qualsevol. Marquem els punts mitjos de cada costat —són els negres— i tracem les rectes que van des de cada angle al punt mig del costat oposat, en blau a la figura. Aquestes rectes s’anomenen mitjanes. Podem veure que les tres rectes coincideixen en un punt, però no és un cas especial del triangle que hem dibuixat, passa sempre per a qualsevol. Aquest punt marcat en blau, que sempre és interior al triangle, s’anomena baricentre, perquè coincideix amb el centre de masses del triangle suposant que és fet d’un material uniforme. A més, la distància del baricentre a cadascun dels vèrtexs és sempre el doble que la que hi ha entre ell i el punt mig del costat oposat.

❀ Ara, des dels punt mitjos dels tres costats, tracem la recta perpendicular al costat que passa per ells, en vermell a la figura. Aquestes rectes s’anomenen mediatrius, i les mediatrius dels tres costats també coincideixen en un punt, independentment de la forma del triangle. Aquest punt s’anomena circumcentre, ja que és el centre de la circumferència que passa pels tres vèrtex del triangle.

❀ Finalment, des de cada vèrtex tracem la línia recta perpendicular al costat oposat, anomenada altura, en verd a la figura. Un altre cop, les tres rectes coincideixen en un punt anomenat ortocentre.

I ara ve el més curiós, al menys per a mi: circumcentre, baricentre, i ortocentre estan alineats sobre una recta, anomenada recta d’Euler, marcada en negre a la figura, amb el baricentre situat entre els dos altres punts i, a més, la distància entre baricentre i ortocentre és el doble de la que separa el baricentre de l’ortocentre. Tot i ser uns conceptes fàcils, la geometria clàssica grega no coneixia aquesta propietat, va ser Euler al segle XVIII qui les va mostrar per primer cop. Com sempre passa amb matemàtiques, encara n’hi ha molt més; per començar podem dir que el centre de la circumferència que passa pels tres punts mitjos dels costats, també rau sobre la recta. I el centre de la circumferència que passa pels tres punts on les altures intersequen els costats, marcats en blanc a la figura, també, però és que resulta que coincideix amb la circumferència anterior.

Totes aquestes propietats es poden generalitzar a dimensions superiors, per exemple en els tetràedres, però resulta una mica massa complicat per a aquest article elemental.

Quan tenia uns vuit anys, un col·lega estranger del meu pare —no sé de quin país, però parlava francès— va venir uns dies a casa i em va regalar una caixa bàsica de Lego, amb peces blanques per fer parets, vermelles per teulada, unes poques finestres i una porta. Tot i que era limitat, amb allò feia de tot. El nadal d’aquell any, vaig demanar a uns oncles més Lego, i em van portar una caixa amb el mateix contingut , tot i que la caixa crec que era en danès. Perfecte, podia fer cases el doble de grans. I moltes altres coses. De mica en mica vaig anar aconseguit més material.

Era molt diferent a la actualitat o a l’època dels meus fills, el joc no es basava en un muntatge predeterminat a cada caixa, sinó que eren peces genèriques amb les que podies fer el que la imaginació et dictés. Desprès dels maons quadrats van venir peces esbiaixades per fer teulades, peces d’un terç d’alçada per fer plataformes o altres detalls, més colors, encara que alguns com els maons blaus a mi no em resultaven gaire útils quan feia cases.

Ara, de gran tinc acumulada una certa quantitat de material, inclòs el dels fills que en anar-se’n de casa, no se’l van endur. Certament algun dia encara m’agafa la nostàlgia i munto alguna casa, però bàsicament ara faig servir les peces de Lego com a material de trencaclosques o de prototip de jocs.

Peces de gruix ⅓, amb superfície amb pius o llisa que empro per fer diversos jocs

A vegades, senzillament és material per fer una foto, com en el cas d’aquest joc de tetròminos. És una foto retocada, no tinc peces de tots aquests colors. Concretament el taronja i el blau no són «naturals».

Un joc de tetròminos fet amb Lego

En altres casos són muntatges operatius. Per exemple un joc complet de tetracubs, que en el mercat només n’he trobat algun extremadament car i em vaig estimar més muntar-me’l jo mateix. Aquí sí que els colors són els reals. El que no em vaig poder fer va ser un joc de pentacubs, n’hi ha vint-i-nou i ni de lluny tic prou peces per fer-los. Es pot observar que els dos primers, a dalt a l’esquerra, són l’un la imatge especular de l’altre i girant-los en el nostre espai de tres dimensions, és impossible transformar una forma en l’altra. Els altres sis pentacubs són simètrics.

Els vuit tetracubs. En algun cas es poden veure les peces d’alçada ⅓

El següent trencaclosques fet amb Lego, es pot resoldre amb paper quadriculat i llapis, però és més sorprenent presentat en forma de peces sòlides: la peça de l’esquerra es pot dividir en dues d’iguals com es veu a la dreta de la imatge. Naturalment que si es deixa manipular la peça original, la solució és òbvia, i reunir les dues peces de la solució és massa fàcil, el trencaclosques de Lego serveix bàsicament per mostrar la solució.

Una figura divisible en dues d’iguals

Finalment, un trencaclosques relativament difícil, de manipulació, que consisteix a disposar les tres peces en forma d’U i les cinc rectangulars de l’esquerra de la imatge, format la mateixa figura. La solució a la dreta. Potser la dificultat rau en el fet que sovint no es pensa en figures amb forats.

Les peces de l’esquerra es poden disposar per muntar dues figures de la mateixa forma

Malauradament, comprar peces de Lego específiques, sempre ha estat difícil. En particular em trobo amb una curiosa paradoxa: Per internet he vist alguna persona que ven trencaclosques fets de Lego, i el preu al que els ven —inclòs embalatge enviament i el seu benefici— és menys de la meitat del que em costarien a mi les peces comprades directament a l’empresa, encara que les compri a milers. Segur que hi ha algun canal per a aquesta mena de productes, però no l’he sabut trobar.

Sempre m’ha agradat la ciència ficció, ja he escrit en aquest bloc que de petit llegia Verne i, més tard, Asimov, Clarke i altres autors, especialment del subgènere anomenat hard.

Fins que no tenia gairebé cinquanta anys, no vaig intentar escriure’n, i em va sortir a rodolons, desprès d’un replanteig global de trama, que no d’escenari, una novel·la anomenada «Memòria prohibida», situada en un futur llunyà. Naturalment que vaig haver de fer conscientment moltes trampes de guió per tal de fer-la coherent, començant per un cert «assassinat» d’intel·ligències artificials i robots, que sincerament no goso especular on haurien pogut arribar en milers d’anys. Un assassinat similar al que hi ha explícitament a la sèrie «Duna» o implícitament a «la Guerra de les galàxies», deixant de banda si aquesta darrera té gaire de ciència-ficció.

Quinze anys més tard, conscientment de les dificultats que té preveure el futur, em vaig decidir per la ucrònia, un escenari passat alternatiu, a partir d’un fet que el bifurca respecte en nostre present. En el cas d’una ucrònia «científica», la dificultat rau en pensar una bifurcació mínimament raonable en un camp científic o tecnològic.

I com que m’agraden les complicacions, una divergència a finals dels anys trenta, una tècnica desenvolupada per una enginyera britànica jove, porta a que pels anys cinquanta, els ordinadors en sentit modern, es desenvolupin a Catalunya, en secret, i a que la persona que ho va començar tot, decideixi tirar endavant una experiència educativa per demostrar que les dones poden, també en el camp científic i tecnològic, arribar tan amunt com els homes.

El punt marca l’indret precís on es desenvolupa gran part de la novel·la, a Estamariu, Alt Urgell

La narradora, en primera persona, és una noieta que s’incorpora al projecte als tretze anys, però que ho escriu ja d’adulta. Una noia d’altes capacitats rescatada d’un asil franquista.

Òbviament, una cosa que vull en aquesta novel·la és explicar i desenvolupar una mica les meves idees sobre ensenyament, per això, paral·lelament, estic escrivint un apèndix, que no llegir-lo no afecta a la trama principal, on explicito parts del mètode concret d’ensenyament, bàsicament de lògica i heurística, el mètode de resoldre problemes complementari a la deducció, on cal formular hipòtesis i anar-se decantant per les més versemblants.

Part del plano de l’escola on passa gran part de la trama

Com ja vaig fer amb «Memòria prohibida», no tinc la més mínima intenció d’editar-la tradicionalment, no escric per guanyar diners sinó per afició i militància ideològica. En conseqüència, posar-hi un preu és limitar la difusió de les idees, o sigui que també la posaré a internet amb llicència lliure, fins i tot sense restriccions comercials, com la Viquipèdia- Tothom en podrà fer el que vulgui, fins i tot imprimir-ne i vendre’n, sense demanar permís, mentre respecti l’autoria i ho faci amb les mateixes condicions de llicència lliure. Ja fa vint anys que ho vaig fent així amb tots els meus escrits i fotografies públiques.

I com que no hi ha cap restricció pel mig, copio a continuació el començament del la novel·la, tal com el tinc escrit ara, que és molt possible que el vagi modificant en el procés.

En aquest tros, de ciència només una mica en el cap d’una nena de tretze anys que pensa en nombres per foragitar idees negatives. És una escena d’«escola sinistra» per contraposar a l’escola lliure que vindrà més endavant. No s’hi revela cap secret del que vindrà més endavant.

Capítol 1. Centre

dijous 11 de setembre de 1952, 07:00

Un fet de quan tenia vuit anys em va marcar. M’havien de posar una injecció i estava morta de por. La infermera brandava una xeringa enorme i terriblement amenaçadora sota el meu punt de vista. I em mirava dient sense paraules:
—Ara et toca a tu.
—Digues-me que no em farà mal… —li vaig pregar amb veu tremolosa.
—No, noieta, no t’ho puc dir, seria mentida, aquesta mena d’injeccions fa força mal, però durarà poc, uns minuts. Desprès serà una molèstia, més tard només ho notaràs si t’hi fixes i, finalment, desapareixerà —mentre parlava va posar un cert somriure, però vaig veure que no era un somriure de menyspreu, sinó de complicitat—. Vine aquí —va continuar, agafant-me suaument—. La por és el que et fa patir, la por és preocupar-se per no saber el que esdevindrà. Ara que ja saps quin mal farà la injecció, pensa que al final desapareixerà, pensa que ets prou forta per suportar els pocs minuts que en tindràs. I també que és inevitable, el doctor que te l’ha receptat, sap el que es fa, i és per curar-te un problema més gran que et podria fer sentir malament durant molt més que uns minutets. Xiscla si vols, però per desfogar-te, no pas per intentar evitar que jo faci la meva feina, no et consideraré covarda ni res d’això si ho fas.
Tot aquell vespre i matinada, tancada per primer cop a l’anomenat entre les noies «quarto de les rates» —creia que de rates, precisament, allí no n’hi havia—, recordava la conversa amb la infermera i totes les conclusions que n’havia anat traient amb els temps sobre la por i el dolor físic. No, no volia deixar que em controlessin per la por.
El dia anterior, just abans de sopar, la supervisora m’havia arrencat literalment de la fila on esperàvem per entrar al menjador, sense cap mena d’explicació, a empentes i estirades de cabell. Al despatx, amb la seva ajudanta, entre insults m’havien apallissat amb una corretja. No era la primera vegada que em pegaven per motius desconeguts o absurds, segurament era un altre complot de les males companyes de sempre, però aquest cop les cares de les que em castigaven estaven més rabioses que de costum. I aquella vegada, en lloc de tornar-me amb les altres, em van tancar i van dir alguna cosa de que l’endemà em durien a «Prevención».
Prevenció era quelcom que al feien servir per fer por. Molta por, terror. No es sabia exactament que hi passava allí, però corrien rumors i llegendes esgarrifoses. Que et despullaven del tot, que et lligaven mans i peus, que t’apallissaven amb tovalloles mullades o cable elèctric, que també amb un regle a la planta dels peus… No, no ho sabia i no hi volia pensar: «la por és preocupar-se per no saber el que esdevindrà», m’anava repetint mentalment. No especularia. I hi adoptaria l’estratègia que havia desenvolupat cada vegada que em pegaven: ni resistència a ultrança, ja que això comportava cops extres incontrolats o torçades de braços, ni submissió absoluta, que implicava que encara et peguessin més fort perquè semblava que no et feia mal. Ni assumir la por, el més important. Com m’havia ensenyat la infermera, el millor era desfogar-me xisclant, fins i tot més del que hauria xisclat de natural.
A les noies que, segurament, havien provocat aquella situació, ni tan sols les odiava. Havien sucumbit al sistema del terror, se n’havien fet còmplices involuntàries i més aviat em feien pena. Per a elles jo era l’«empollona» tot i que el que més les molestava era que aparentment no necessitava estudiar gairebé mai per superar-les de llarg. Per combatre l’avorriment d’una escola amb continguts molt minsos —per molt que m’havien avançat un curs perquè no tot em fos tan fàcil—, mirava de fer de memòria tot allò que podia, començant per les operacions matemàtiques, només escrivia en el paper quan ja tenia el problema ja fet al cap. I a algunes que se’n van adonar, els molestava molt, s’ho prenien com una provocació. De totes maneres jo estava convençuda, i encara ho estic, que tot és posar-s’hi, que no cal cap ment privilegiada per fer-ho.
Altra cosa era el personal del centre, potser ni s’adonaven de com estudiava, tampoc no els importava ni jo ni cap de les altres més de mil nenes i noies recloses en aquella mena d’híbrid entre asil, escola i presó. No me’n refiava de gairebé cap persona adulta, només un parell de professors i sor Josephine em queien bé. La resta, especialment les «Cruzadas», eren absolutament odioses. La supervisora de tardes, la que més. De més gran he pensat que segurament tenia una parella que la maltractava i es desfogava amb nosaltres. O que, directament, era psicòpata. No ho sabré mai.
Tota la nit a les fosques ajaguda a terra, sense ni una manta. Afortunadament era estiu, dijous onze de setembre de 1952, una data que en aquells temps no em deia res d’especial. Només un cubell de zinc per si hi havia alguna «necessitat».
Algunes persones pensaven que estava boja, o que era molt rara. Jo em sentia perfectament normal, si tenia aficions diferents era el meu problema i per molt que em diguessin que eren una pèrdua de temps, jo intuïa que no i defensava aferrissadament el meu dret a tenir-les. I la meva gran afició eren els nombres. No recordo quan els vaig aprendre, segur que abans dels quatre anys que és de quan tinc els record fiables més antics. Ni quan vaig aprendre les taules ni perquè. Suposo que ma mare o els messieurs Dreyfus me les van ensenyar i jo m’hi divertia. El que sí recordo perfectament és que quan vaig entrar a l’escola als sis anys, que en aquella època no era obligatori abans, els nens no sabien ni llegir ni fer les operacions i em va estranyar moltíssim.
Quan, en morir la meva mare, vaig anar a parar al centro, em vaig aferrar a la meva afició. Amb papers o purament de cap.
De totes maneres ara, al quarto de les rates, per ocupar la ment i foragitar la por, podia fer servir els meus estimats números. De memòria —quin remei a les fosques—. Vaig començar a pensar en els nombres quadrats: 1 × 1 = 1, 2 × 2 = 4; 3 × 3 = 9… que els grecs van anomenar quadrats perquè són els que resulten de comptar uns disposició quadrada d’objectes, pedretes per exemple, allò que en grec anomenaven χάλικος i en llatí calculus, d’on ve precisament la paraula calcular. També podia obtenir els quadrats sumant els senars: 1, 1 + 3 = 4, 1 + 3 + 5 = 9… en aquell temps ja tenia totalment assumit el perquè. [1]
Finalment vaig anar dormint per etapes, i vull pensar que m’anava despertant per la incomoditat i no pas per haver sucumbit a la por. Sentia les hores d’un campanar. Quan ja clarejava —ho veia per sota la porta—, vaig sentir la sirena d’una fàbrica; sabia que poc desprès sonaria la campana de llevar-se, però potser des d’on estava tancada no la sentiria. No sabia quan vindrien a buscar-me, però intentava no pensar-hi.
Vaig sentir passes, la porta de la cel·la es va obrir i, sorpresa, va aparèixer la directora en persona, vestida amb l’uniforme negre de cruzada, igual que la seva ajudanta. Més valia no especular sobre la «Prevenció», per allò de la por.
—«Monzerrá Guics» —pronunciat a l’espanyola—, sígame! —i ho vaig fer, posant el que més endavant vaig aprendre que s’anomenava cara de pòquer.

Avui, un problema molt senzill.

A la foto hi podem veure 56 daus de colors variats. Amb algunes peculiaritats, hi a cares que estan en blanc. Òbviament són manipulades, no tinc daus amb una cara en blanc. En aquest joc el color o l’orientació de la cara superior del dau són irrellevants.

Si ens hi fixem bé, veurem que de cada puntuació, del zero al sis, n’hi ha vuit. També n’hi ha vuit de cada color, però repeteixo, aquí els colors no compten.

Cinquanta-sis daus de colors

Si agafem un joc normal de dòminos, de 28 peces, també veiem que hi ha vuit meitats de dòmino amb cada puntuació possible, del blanc al sis.

Ara es tracta de disposar-los de manera que reprodueixin les puntuacions dels daus. És relativament senzill…

El joc de les Torres de Hanoi, publicat pel matemàtic francès Édouard Lucas l’any 1883, no té a veure amb la ciutat de Hanoi, senzillament és la que apareix al conte de l’enunciat. Físicament consta de tres varetes verticals, a la primera de les quals hi ha inserits un conjunt de discs ―foradats― de mides creixents. L’objectiu del joc és passar tots els discs de la primera a la tercera vareta, respectant les següents condicions:

❀ En cada moviment només podem transferir un sol disc d’una vareta a una altra.
❀ No es pot mai col·locar un disc sobre un altre que sigui més petit que ell.

Foto d’unes Torres de Hanoi amb vuit discs de colors alternats

El mínim de moviments necessaris per assolir l’objectiu del joc, si anomenem n al nombre de discs, és de 2n–1, o sigui que pels vuit discs de la foto serien 255 moviments; o, pels casos d’entre 2 i 7 discs: 3, 7, 15, 31, 63 o 127 moviments respectivament.

Quins són precisament aquests moviments mínims?

Existeix un algorisme per poder-los fer, d’una manera quasi automàtica, sense haver de pensar gaire.

❀ Imaginem els discs, a la vareta inicial, pintats alternativament començant per la base, de dos colors, per exemple clar i fosc ―a la foto, que és manipulada, els veiem realment així.
❀ Tots els moviments que fem en el joc, han de respectar aquesta alternança de colors. No es pot posar mai un disc clar sobre clar, ni fosc sobre fosc.
❀ Com a primer moviment, si el nombre de discs total és senar, el movem a la vareta de destí, si és parell, el movem a l’altre vareta.
❀ A partir d’aquí, sempre ens trobarem que a cada torn només hi ha un moviment possible ―respectant l’alternança de color― diferent al de retrocedir la peça que acabem de moure. Aquest moviment ens porta automàticament a la solució en el nombre de jugades mínim possible.

Solució del cas de 4 discs. Aquí podem considerar clar els discs verds i fosc els vermells.

Aquest joc, curiosament, és similar a un altre, també amb nom oriental, les «anelles xineses», també estudiat per Édouard Lucas. El joc  consisteix en treure —o posar fent els moviments contraris— un passador en un conjunt d’anelles penjades d’una tija, cadascuna de les quals abraça la tija de l’anterior. També té solucions en 3, 7, 15, 31, 63 o 127 moviments per a dues a set anelles. I, en la solució, els avenços i retrocessos del passador també tenen a cada pas una única possibilitat que alterni passar per dins i per fora de la següent anella, i no sigui retrocedir a la posició anterior.

Les meves anelles xineses, cal treure la peça daurada (que no ho és, és pintada a la foto)

Mai no m’he considerat gaire fotògraf, més aviat algú que quan surt fa fotos. I algunes vegades, en tornar a casa, a les fotos hi ha alguna sorpresa.

És el cas d’una vegada, pel maig del 2017, que amb uns parents de fora de Barcelona vam anar a alguns llocs amb bones vistes sobre la ciutat i, com sempre, vag fer fotos, algunes panoràmiques, altres amb el zoom al màxim…

Mesos més tard, revisant i ordenant-les a casa, en una d’elles, el motiu principal que havia volgut fotografiar es distingia a cop d’ull, clar: les tres xemeneies de Sant Adrià, conegudes amb el sobrenom de Txernòbil.

—premeu boto dret i marqueu «visualitza la imatge» per veure-la un xic més gran—

També en primer terme, moltes cases de la conurbació barcelonina.

Però mirant la foto detingudament, hi vaig trobar un parell més de detalls curiosos que marco i els amplio en les imatges que segueixen.

Els tres punts clau de la imatge

Potser la qualitat de les ampliacions no és gaire bona, però la càmera té les seves limitacions i, a més, vaig disparar sense trípode.

Què són els detalls marcats en verd i en groc?
Des d’on vaig fer la foto?

En aquesta classe d’enigmes les eines són els mapes que hom troba a internet, des de GoogleEarth als de l’Institut Cartogràfic i Geològic de Catalunya. També fotos en general que ens poden mostrar els cercadors. Encara que conèixer la zona, també hi ajuda una mica.

Tot això forma part de la meva idea pedagògica sobre els problemes, en aquest cas no se’n pot dir que sempre van de matemàtiques. I són problemes reals, tot revisant fotos me’n trobo alguna que no recordo on les vaig fer però que per algun detall potser es podria deduir, i també altres que presenten detalls que en el moment de fer-les no vaig notar, o senzillament no es podien veure al visor.

A una determinada edat, tots hem après a fer multiplicacions, vull dir multiplicacions amb números de diverses xifres.

[Aquí opto per la convenció d’emprar número per a un nombre natural concret, deixant el terme nombre com a genèric per a qualsevol magnitud matemàtica, per molt que algun diccionari digui que les paraules són sinònimes i que número pot ser un castellanisme. Visc al número 75 d’un cert carrer, no al nombre 75]

Recordo perfectament que una vegada en veure el mestre que les havia acabat el primer i que totes estaven bé, se li va acudir fer-me fer més multiplicacions, el doble que els altres. Només em va passar una vegada. Mai més el mestre va veure que les feia més ràpid.

Això és un clar exemple d’exercici, aplicar rutinàriament un procediment ja après, en contraposició al problema, on cal decidir un mètode a partir de coneixements previs. La meva teoria és que els exercicis, i parlo de qualsevol matèria, en tot cas només serveixen per a adquirir seguretat i velocitat, però no fan pensar gaire. En contrapartida, un problema, que en general són més difícils que els exercicis, sí que prepara per a la vida real on les qüestions amb que ens enfrontem no acostumen a poder-se resoldre amb la pura aplicació d’un mètode memoritzat. Protocol, en diuen ara del mètode d’espolsar-se les responsabilitats per no haver pensat.

Tornant a les multiplicacions i assumit que en sabem fer amb paper i llapis, podem passar a problemes basats en multiplicacions.
Imaginem una multiplicació —desenvolupada— com la del gràfic amb fons verd. Les lletres representen xifres amb una restricció d’entrada: A, D, G, K, O i S no poden ser zeros, perquè aleshores no s’escriurien. També hi ha la lletra J que apareix dos cops, és evident que la J del resultat és idèntica a la darrera xifra del primer producte parcial. Un altre fet és que ni D, ni E, ni F poden valer ni zero ni un, perquè els productes parcials tenen quatre xifres.

Forma general i dos problemes que mostren els 7 i amaguen les altres xifres

Ara plantejarem un problema sobre una multiplicació d’aquesta forma, el del gràfic del mig amb fons blau. Aquí, algunes xifres estan tapades per cercles amb el número 7. Evidentment vol dir que aquest és el seu valor. I afegim la dada suplementària que cap de les xifres no tapades és un 7. Podem reconstruir la multiplicació?

Això ja no és aplicar una regla, sinó treballar a partir dels coneixements que tenim sobre la regla. Senzillament cal ser sistemàtic i escollir els fets que ens aportin dades.

❀ En primer lloc tenim que 7BC × F = G777. No hi ha gaire possibilitats, tenim poques xifres incògnites. F × C ha de ser un nombre acabat en 7, la primera conclusió és que F i C han de ser ambdós senars diferents de 7. Tampoc cap d’ells no pot ser 1 ja que implicaria que l’altre és 7, cosa que sabem que no és possible. Tampoc cap dels dos no pot ser 5, perquè un nombre acabat en 5 multiplicat per un senar, acaba en 5, i el nostre resultat ha d’acabar en 7. Només ens queden el 3 i el 9.

❀ Un altre fet és que O ha de valer precisament 6. A la seva columna només podem arrossegar un 1 de l’anterior —la suma de K i 7—, en conseqüència el tercer producte parcial —7BC × D— és precisament 6777. Dels números entre 2 i 9, els únics que són divisors de 6777 i poden ser D, són el 3 i el 9, però 6777 ÷ 3 = 2259 que és un nombre de quatre xifres mentre que 7BC en té 3. Només ens queda la possibilitat que D valgui 9 i en conseqüència 7BC és 6777 ÷ 9 = 753.

❀ Com que l’únic múltiple de 753 que acaba en tres 7 és 6777, resulta que E i F també valen 9 i que K i G, 6. Ja tenim tota la multiplicació. Si efectuem el producte 753 × 999 = 752247 que, com és pot veure, té els dos únics 7 en les posicions correctes del problema.

Fàcil? Difícil? tot és relatiu. Si hom no ho veu clar, repetint diverses vegades atentament els tres passos anteriors s’acaba veient que no hi ha cap operació difícil més enllà de saber multiplicar i observar algunes propietats elementals de la mena que un nombre acabat en 5 per un senar, sempre acaba en 5. Probablement això a l’escola no s’ensenya explícitament, però un aprenentatge que no hi arribi, és manifestament incomplet i que no hagi assolit fites elementals com aquestes, difícilment en podrà assolir de més complexes que sí estan en el programa, llevat que decideixi aprendre tots els procediments de memòria sense més, am l’esperança que mai li posin un problema, només exercicis en els que aplicar cegament el memoritzat.

I el problema de la dreta amb fons rosa? El deixo per l’estimat lector. Certament és una mica, només mica, més difícil. I com a pista, puc afirmar que la clau del meu mètode per resoldre’l —n’hi poden haver molts més— és basa en els possibles valors de E i C, amb un raonament similar al d’un dels punts del problema anterior de fons blau.

I d’on han sortit aquests problemes? De la imaginació d’algun ésser d’intel·ligència superior? En absolut, generar aquests problemes és un altre problema, o més exactament un metaproblema —problema sobre problemes— que vaig resoldre amb un full de càlcul —incidentalment no va ser amb Excel, que li tinc moltíssima mania—. La idea és generar totes les multiplicacions de la forma de la de l’esquerra del fons verd, substituir tots els caràcters no 7 per un símbol, els 7 per un altre, i de la llista dels les moltíssims resultats, separar els que només hi apareixen un cop. Cadascun d’ells correspon a un problema amb solució única. Concretament hi ha 6738 de diferents, en multiplicacions amb la forma de la del problema, on donant els 7 podem deduir totes les altres xifres. Si algú les vol, que em demani el llistat.

A les darreries dels anys cinquanta i començaments dels seixanta, el meu avi matern, ja jubilat de les empreses tèxtils on havia treballat bàsicament en qüestions de mecànica, feia de rellotger. El recordo amb un vidre d’augment enganxat a un ull i sota el focus d’un llum potent, manipulant rellotges de polsera amb pinces i tornavisos petitíssims. Però llevat de la fascinació de nen, en aquella època mai no vaig tocar un rellotge per dins.

Durant l’ensenyament, oficialment, l’únic que em van ensenyar dels rellotges era la teoria bàsica del pèndol, que manté la freqüència encara que canvii l’amplitud; cosa que per compte propi vaig saber que havia descobert Galileo a partir de l’observació dels llums de la catedral de Pisa —que balancejaven ja que en ser d’espelmes o potser d’oli, calia moure’ls per tal d’encendre’ls—, tot comparant el seu període amb el del seu cor que li feia de cronòmetre aproximat. Newton, més tard, en va explicar els motius teòrics.

Però de veure que el pèndol oscil·lava regularment al moviment de les busques, hi havia un món del que a l’escola ni me’n van parlar. Per a mi, la clau va ser quan vaig veure com anava el mecanisme d’escapament, que a cada oscil·lació del pèndol per una banda feia avançar una dent una roda dentada, i per altre adquiria una mica d’energia, provinent d’uns pesos, que compensava les pèrdues per fregament que fan que un pèndol solitari s’esmorteeixi relativament de pressa. No, no m’ho van ensenyar a l’escola, ni ho vaig trobar en un llibre, sinó en el fulletó d’instruccions d’una joguina de plàstic i eixos metàl·lics d’uns parents; joguina que entre altres muntatges proposava un rellotge de pèndol. De fet ni el vaig acabar, quan em vaig adonar de com anava el mecanisme d’escapament, ja vaig quedar satisfet, a banda que em sembla que ja no tenia més temps.

Rellotge «català». Rellotge exterior. Rellotge d’un besavi

Però abans d’acabar el batxillerat, vers 1968, se’m va acudir construir un rellotge, un rellotge pràctic. No tenia a casa ni les eines del meu avi ni, encara menys, sistema de construir les peces mecàniques necessàries. Però sí components electrònics, la gran majoria reciclats d’una empresa que li era més barat comprar components nous que desmuntar les plaques de circuits inútils que de totes maneres llençaria. Circuits integrats de la tecnologia TTL, de la sèrie anomenada 74XX, relativament lents i que s’escalfaven molt. Comprant uns pocs circuits integrats específics que no havia obtingut del reciclatge, i muntant-los tots sobre una placa genèrica, vaig aconseguir un rellotge amb quatre dígits vermells d’hores i minuts que aprofitava com a generador de freqüència estable els 50 Hz del subministrament elèctric. Sí, és força estable, a nivell de centrals es va compensant de manera que la freqüència no es desvia gaire de la mitjana. Quan un rellotge amb xifres lluminoses encara era una raresa.

Alguna cosa a veure amb el que m’havien ensenyat a escola? Més aviat poca, fins i tot recordo haver après la llei d’Ohm pel meu compte a revistes d’electrònica popular, un parell d’anys abans de veure-la al curs que ara correspondria a 2n d’ESO. Recordo que qui em va ensenyar a llegir les bandes de colors de les resistències, va ser als onze anys un cap que tenia als escoltes que es deia Miquel Bertran.

No estic dient que tothom hagi de construir un rellotge abans d’acabar el batxillerat, ni molt menys, però sí que tothom hauria de poder desenvolupar alguna activitat equivalent en qualsevol camp. I aquí, equivalent vol dir iniciativa i disseny propi. I no dependre de la sort d’haver tingut un avi rellotger —o el que sigui—, o una font de materials a l’abast, que són factors aleatoris.

Rellotge enigma. Rellotge de sol mirant el nord. Rellotge de caixa. Cronòmetre de Harrison

El sistema educatiu hauria de propiciar activitats de cultura personal. Per una banda hi ha els que diuen que seria molt car. Al menys el projecte del meu rellotge va ser econòmic, i si els projectes són més intangibles, que no depenen de res mecànic ni elèctric, encara ho poden ser més. Actualment la informàtica abarateix molt: per exemple, ara fer fotos, és a la pràctica gratuït llevat d’una minsa inversió inicial en sistemes que són d’ús general. Per altre banda hi ha qui diu que els mestres no estan preparats. Potser és que estan tan encotillats pel sistema, que imaginar alternatives els és massa difícil. Potser senzillament és que reduir els estudis a un programa, no garanteix en absolut que el global dels mestres surti amb algunes aficions —ho he dit en plural— i amb una cultura prou àmplia; i aquí afegeixo específicament també la científica i tècnica, en el sentit de comprensió del món i del seu funcionament. Només manifesto les mancances que hi veig, com es podrien solucionar és un altre tema on els implicats haurien de tenir la primera paraula.

Per cert, forma part de l’ensenyament una cosa tan senzilla com saber com s’ha d’orientar el gnòmon —l’agulla— d’un rellotge de sol bàsic?

En el meu primer any d’universitat vaig cursar una assignatura de química general, en aquells dies el primer curs era comú a totes les carreres de ciències i a la enginyeria industrial, de manera que s’ajornava un any l’elecció de carrera, això sí, en haver-hi més assignatures que carreres, calia descartar-ne un parell que en certa manera feien ja una primer pas d’eliminació. En el meu cas vaig descartar dibuix tècnic —no tenia intenció de fer enginyeria— i biologia —no perquè no m’interessés, sinó perquè encara sobrava una assignatura—. Però la química si que la vaig escollir també sense intenció de continuar amb aquesta carrera.

El cas és que em va tocar un catedràtic, diguem-ne conflictiu. Era en ple franquisme, era del règim i no ho amagava, les seves avaluacions tenien fama d’arbitràries, el tracte amb els alumnes absolutament distant i els ajudants que ens van donar les pràctiques no estaven al nivell. Però he de reconèixer que de química en sabia un niu.

I per a mi, el curs que ens va fer va ser d’allò més interessant. Va ser un curs «historicista», per qualificar-lo amb una sola paraula. Començava al segle XVII explicant les teories prèvies, per exemple la del flogist, i com Cavendish, Scheele o Lavoisier van començar a formular noves teories que es basaven en la conservació de la matèria. Va descriure les observacions, experiments i mesures que es van fer, i la seva interpretació en termes actuals; així com els punts que encara restaven misteriosos.

Va continuar amb tota la química del segle XIX, des de Dalton, Berzelius, Mendeléiev, Kekulé o Moissan, entre molts d’altres —he escrit de memòria els químics que més recordo d’aquell curs—. Fins acabar als començaments del segle XX amb l’aplicació de la mecànica quàntica a la química per part de Bohr. Val a dir, que en tot aquest curs, mai no ens va proposar llegir els textos originals de l’època, tot era sota una formulació actual i al nivell que s’esperava d’alumnes de primer curs.

Una taula periòdica una mica peculiar

Jo havia tingut la sort d’haver tingut al batxillerat un gran professor de química i de tenir a casa un manual de química general dels anys 30 o 40 anomenat Babor entre altres llibres del nivell que s’espera en un primer de carrera. Vull dir que possiblement ja tenia el curs aprovat quan hi vaig entrar. I les explicacions de con s’havien anat descobrint i desenvolupant aquells coneixements que ja tenia, em van resultar molt útils dins una cultura generals científica.

I va arribar l’examen final. Però allí no ens va preguntar sobre la serp de Kekulé, l’enverinament de Moissan o de perquè van guillotinar Lavoiser, les preguntes anaven de reaccions d’obtenció de substàncies químiques, de solubilitats, entalpies de reaccions i similars, com els problemes que havia vist al batxillerat però a un nivell superior. Vaig aprovar i amb nota, però en general va ser una massacre, els curs, als alumnes que no tenien gaire nivell no els va ajudar a saber solucionar problemes de química.

La conclusió que vaig treure de tot això, és que l’aproximació històrica a les matèries, i ara no parlo de química sinó que estic pensant el la literatura i la filosofia al batxillerat, només serveix quan l’alumnat ja té un nivell teòric i pràctic prou gran en la matèria. Pensar que explicant el desenvolupament històric o, encara pitjor, fent llegir textos originals, s’adquireix de retruc el nivell general bàsic, ho trobo francament utòpic, per molt que aquesta aproximació pedagògica porti segles aplicant-se. Segurament té l’origen en la manca de textos explicatius adaptats al moment, que feia que els únic disponibles fossin els originals i les seves crítiques contemporànies.

Tornant a les ciències, un geni com Maxwell, va trobar unes equacions —són equacions diferencials en derivades parcials— que unificaven les lleis de l’electricitat i el magnetisme. Equacions importantíssimes que, entre altre corol·laris impliquen que una càrrega elèctrica accelerada emet energia en forma d’ones que es propaguen a una velocitat que té a veure amb les propietats elèctriques i magnètiques de la matèria i que, en el buid, resulta coincidir amb la velocitat de la llum. D’aquí, pensar que la llum és precisament una radiació electromagnètica. I molts altres desenvolupaments pràctics com les emissions i recepcions d’ones de ràdio. Ara bé, les equacions que va escriure en Maxwell no me les sé. Realment només les he vist pel damunt, i mai no les he hagut d’estudiar. Afortunadament perquè són d’una complexitat extrema. Va ser un altre geni que treballava en solitari de manera força autodidacta, Heaviside —simultàniament amb Gibbs, el primer gran científic americà després de Franklin—, que hi va descobrir una sèrie de simetries que van permetre reduir les equacions de Maxwell de vint a quatre, amb una formulació vectorial molt més manejable que sí que he estudiat. De fet, a hores d’ara, les equacions «de Maxwell» són quatre. Amb això vull dir que una obra enorme, pot ser difícilment comprensible en la seva formulació original i que de totes maneres les conseqüències són més importants que el descobriment primitiu.

Les quatre equacions de Maxwell, en principi eren 20 i força més complexes

Una cosa similar em va passar a filosofia del batxillerat amb els sil·logismes aristotèlics. Me’ls vaig aprendre de memòria per passar l’examen, sense intentar desenvolupar-los ni comprendre la seva gènesi. Però durant el mateix curs, va arribar a les meves mans un text o s’explicava l’àlgebra de proposicions, i en un parell de paràgrafs ho vaig veure tot clar. Tot allò que semblava tan complicat, a causa d’un llenguatge molt allunyat a mi, esdevenia trivial. Una lamentable conclusió que n’he tret és que un principi, que Russell va expressar en fora de famosa paradoxa, normalment no és assumit pels que van aprendre lògica a base de Barbara, celarent, darii, fira, eneas i companyia que creuen que quan dic que si —és només un exemple— una constitució diu que espanya és una nació, però que té «diverses nacionalitats», o sigui que una = diverses, cosa que és una contradicció lògica, del text se’n pot extreure qualsevol altre enunciat que serà cert dins el seu marc. I no és allò de «bé, però ja sabem que no és així…», no, és pura lògica irrefutable.

Per cert, la imatge és un «Què és?»