Ciència nombres i lletres

Activitats per descobrir la intel·ligència. Divulgació científica i cultural.

Arxiu de la categoria: Educació

Memòries d’un calculista (1) El regle de càlcul

Publicat el 27 de novembre de 2018 per Jordi Domènech i Arnau

Certament no sóc un calculista, sinó només una mica aficionat al càlcul numèric des que era ben petit. Tan petit que no recordo allò d’aprendre’m les taules, va succeir dins el núvol que es té a la memòria de la majoria dels esdeveniments d’abans dels quatre anys. La memòria de familiars diu que sumar em va agradar molt, restar no gaire, multiplicar altre vegada sí i que dividir em va resultar fascinant.

El primer «descobriment» matemàtic que vaig fer, deuria ser als cinc anys, recordo que no va impressionar ningú fins que no li vaig anar a explicar al meu avi, catedràtic jubilat de l’escola d’arquitectura que entenia de nombres de manera més professional i a més tenia sentit de l’humor. A casa, la carta als Reis Mags de l’Orient, era gràfica en forma de petita auca dibuixada per ell —incidentalment, des d’ulls de nen, dibuixava tan bé, que pensava que jo mai serviria per tenir el seu ofici—; i la carta, el dia sis de gener, apareixia amb les joguines retornada i signada pels reis. En llapis d’aquells que per una banda eren vermells i per l’altra blaus, i les signatures eren integrals, equacions diferencials i altres expressions matemàtiques d’aquelles que impressionen la gent del carrer, amb abundància de símbols estranys i lletres gregues. Suposo que de fer lletres hebrees, àrabs o índies, no en deuria saber, integrals, sí.

Però a l’escola, l’any 1963 i sense calculadores, va arribar el dia que va aparèixer el tema dels logaritmes. Segons molts eren molt difícils, però precisament per les explicacions d’un dia del meu avi, i un dia vol dir una sola sessió i no gaire llarga, vaig veure immediatament de què anaven. Les taules aquell primer anys eren una cartolina plegada amb logaritmes i antilogaritmes de quatre xifres de precisió. La veritat era que per a un calculador compulsiu no era gaire avantatge de temps respecte fer les multiplicacions o divisions amb aquesta precisió. En arrels quadrades sí que era una mica més avantatjós.

El curs següent ens van fer comprar les taules «Sanchez Ramos» un llibre bastant gruixut amb logaritmes i taules trigonomètriques amb sis decimals i també una taula més curta de logaritmes amb onze i explicacions de com interpolar, sense res de teoria. Vaig preguntar al professor de matemàtiques, matemàtic de carrera, que com s’ho havien fet per poder calcular les taules de logaritmes sense tenir taules de logaritmes… i em va engegar, com ja havia fet un parell de vegades que li havia preguntat privadament per temes, elementals per a un matemàtic, però que «no tocaven». Es va guanyar el meu odi etern.

En contrapartida, el professor de física i química —en aquell curs es veien en una única assignatura— que es deia Joan Cuadrenys Obea, tenia tota la meva devoció. Segurament hagués respost les meves qüestions matemàtiques, però només recordo haver-li preguntat per qüestions de les seves matèries. I va ser en el curs que impartia aquell senyor, on sovint s’havien de fer càlculs amb dos, tres o quatre xifres significatives, quan vaig fer un descobriment. Al meu pare, que era el que ara anomenaríem enginyer de so, a l’empresa li van canviar —potser va ser ell que se’n va comprar un de nou— el regla de càlcul. I el vell, de butxaca, marca Castell, va venir a parar a casa.

Ràpidament me’n vaig apoderar i amb el fulletó en vaig tenir prou per saber-lo fer anar. A classe era l’únic que en duia —el curs següent ja érem dos— i per a molts companys era un estri misteriós o fins i tot una mica màgic. Curiosament estava autoritzat, al costat de les taules de logaritmes de quatre xifres, a l’examen de «revàlida de quart». Encara el conservo —o no, perquè amb els anys en vaig obtenir un altre de molt similar i un dels dos es va trencar—.

Primer model de regle de càlcul que vaig emprar

No recordo si va ser quan feia el preuniversitari o el primer any de carrera que vaig tenir el segon regle. Era un Aristo de 25 cm i amb escales «LL» que permetien fer càlculs de potències arbitràries. Aquest regle, pobre, va desaparèixer en combat, en una ràtzia de la policia nacional —grisos— a la facultat, a les corredisses em va caure la carpeta per terra, sé que la policia se la va endur, i tot i que a la funda del regle hi havia escrit el telèfon, no va tornar. Fa relativament poc en vaig obtenir, via herència que ningú ja no apreciava, una de similar, que és la que mostro a la imatge.

Regle similar al que em va desaparèixer

Era l’època de les primeres calculadores científiques, concretament de la Hewlett Packard HP-35, fora de l’abast de qualsevol estudiant. Una meravella tot i que era senzillament una calculadora científica bàsica. Tot i que era car, i sabia que el regle de càlcul aviat entraria en declivi, me’n vaig comprar un altre. Era dels anomenats de «doble precisió» Amb una escala partida, per una banda entre 1 i √10 i per l’altra entre √10 i 10, cosa que permetia en un model curt de 15 cm, gairebé de butxaca, tenir la mateixa precisió que amb el regle més llarg. Va ser el cant del cigne del regle de càlcul. Ja no recordo més moderns d’ús general.

Cara principal del regle de «doble precisió», per l’altra banda hi ha les escales exponencials

Ara els regles de càlcul són un instrument retro i aviat de museu. De totes maneres el seu ús encara té unes possibilitats educatives interessants, més enllà de fer descobrir els principis del càlcul analògic, són interessants en el sentit d’aprendre a llegir escales amb agilitat i, conseqüentment, interpretar gràfiques.

Més que pentòminos: poliòminos

Publicat el 26 de novembre de 2018 per Jordi Domènech i Arnau

Fa un parell de setmanes publicava una entrada sobre pentòminos. Continuo avui sobre poliòminos, figures formades per diversos quadrats adjacents, dels que els pentòminos en són el cas amb cinc quadrats.

Hom es pot preguntar si realment tenen interès educatiu, a primera vista no serveixen per a res. Però tenen força punts al seu favor. D’entrada poden ser objectes reals, que es poden construir físicament amb una certa facilitat, no meres abstraccions mentals o sobre paper. En segon lloc, no impliquen gaire coneixements previs, cosa que fa que qui treballa amb ells, normalment no parteix amb avantatge degut a experiències anteriors. En tercer lloc són una gran eina en dos temes essencials sobre els que normalment no es centra l’atenció: comptar i classificar. I, finalment, amb ells es poden plantejar multitud de problemes —que podem anomenar també trencaclosques, enigmes o jocs— que poden fer el seu ús menys àrid que molts altres temes més allunyats de la visualització directa.

Aprendre a comptar té més importància que la que generalment es pensa. És l’origen i la base de les matemàtiques, tant les «teòriques» com les útils per a la vida diària. I amb poliòminos es poden comptar moltes coses, fàcils i difícils. Per començar: quants n’hi ha amb cada nombre de quadrats? I es pot continuar amb molts més problemes, de trivials a impossibles, deductius i inductius. Problemes, tots ells, basats en elements senzills però no abstractes, els poliòminos són tangibles i visualitzables.

Amb un quadrat —monòmino— en tenim 1; amb dos, també n’hi ha 1 de sol, conegut com a dòmino que ha donat nom a totes aquestes figures; de tres quadrats —tròminos— ja n’hi ha 2, el format per tres quadrats en línia recta i el que té forma d’angle; de quatre quadrats —tetròminos— n’hi ha 5, encara fàcils de trobar, són precisament les peces negres de la foto. A partir d’aquí la cosa es comença a complicar, de cinc n’hi ha 12, els pentòminos que esmentava fa uns dies, però ja comença a ser freqüent descomptar-se, duplicar-ne algun o no trobar-lo. Trobar quants n’hi ha de sis, set o més, ja implica una certa planificació, la idea primària d’anar ajuntant quadrats no funciona, és massa fàcil deixar-se alguna combinació. A mà suposo que es pot arribar als de vuit, però a partir d’aquí deu ser una feinada espantosa. Amb ordinador, es poden comptar, actualment s’ha arribat a comptar els poliòminos de fins a vint-i-vuit quadrats, n’hi ha exactament 153511100594603. I no és coneix cap funció matemàtica exacta que ens doni el nombre de poliòminos d’un ordre determinat.

Alguns poliòminos —tetròminos, pentòminos i hexòminos— autoconstruïts amb cubs de plàstic

És trivial veure que amb els dos tròminos no podem formar un rectangle. Amb els cinc tetròminos, que en total farien vint quadrats, tampoc no es pot fer, i la prova curta d’aquest fet és subtil. Els dotze pentòminos, que totalitzen seixanta quadrats, sí que poden formar rectangles, de 3 × 20, 4 × 15, 5 × 12 o de 6 × 10. En el cas dels trenta-cinc hexòminos tornem a trobar que no és possible omplir amb ells un rectangle de 210 quadrats, per una raó una mica més subtil que la dels tetròminos. En el cas de tots els ordres superiors torna a ser trivial veure que no és pot formar un rectangle. Sí, trivial, a partir dels heptòminos hi ha peces amb forats interiors, que naturalment no es poden cobrir amb altres peces.

Imatge de síntesi dels dotze pentòminos en un rectangle de 6 × 10

Deixant absolutament de banda tots els problemes de caire numèric, geomètric o lògic, hi ha la qüestió de com construir models físics. Retallar paper és fàcil, però els resultats deplorables, quan hom intenta posar una peça, mou les veïnes, i fins i tot respirant pot engegar a dida la figura formada. Cartolina és una mica millor, mica, és difícil de tallar amb tisores sense passar-se ni corbar-la, i amb cúter tampoc no és que sigui fàcil. Depenent del gruix té problemes similars al paper, i de totes maneres les peces no són gaire duradores. Cartró «ploma» o altres fulls gruixuts i tous són una millor solució a l’hora de tallar amb cúter, però cal, en general, optar per peces grans, a partir d’uns cinc centímetres de mida del quadrat unitat.

No, cap dels jocs artesanals que conservo és fet així. Una opció que havia fet servir i encara conservo per un petit conjunt de peces particular, és fer-les amb «Lego», cal tenir-ne i és una mica car però reutilitzable. Un altra mètode obvi és fer les peces de fusta. També convé aquí optar per peces grans, Si cal emprar serra és feinós encara que entra sins el raonable si no s’han de fer massa peces. Tinc un joc de 14 peces especials —realment no són exactament poliòminos, però gairebé— fet així, a partir d’un llistó de fusta bona, d’amplada igual a dos quadrats base. I també tinc un joc dels dotze pentòminos pensat per dur a fires o tallers i ser manipulat per nens que en part el van construir els meus fills quan eren nens: a partir d’un llistó ample i prim es tallen peces —de una a cinc vegades més llargues que amples— per fer dos pentòminos iguals però amb els talls mai situats coincidents; posteriorment es superposen, s’enganxen —o claven— i en el meu cas es pinten.

Una nena jugant amb un joc de pentòminos de fusta de dues capes en una fira a la Ciutadella de Barcelona

Amb aquests antecedents al cap volia fer-me un joc d’hexòminos —35— que sí que es pot trobar al comerç, però a preu prohibitiu, i no em decidia. Fins que un dia vaig trobar en una botiga de manualitats escolars, una bossa amb centenars de cubs de plàstic de diversos colors i un centímetre de mida amb els que, enganxats amb una pega adequada —aquesta no sé si era adequada per nens per allò dels solvents—, podia formar tots els poliòminos que volia i fins i tot els «policubs», la mateixa idea en tres dimensions. Així, vaig poder fabricar un conjunt amb tots els poliòminos de fins a sis quadres, tots els policubs fins a cinc, i algun altre que volia per a problemes específics. I enganxar cubs amb una pega ràpida, és molt més fàcil que començar a tallar.

Què és? Exemple 2 “autòmat cel·lular”

Publicat el 24 de novembre de 2018 per Jordi Domènech i Arnau

Hi ha una de les idees, originàriament del projecte «Què és?», que s’hauria de presentar sense enunciat, que la vaig treure del conjunt per incorporar-la a un projecte de novel·la. No com a part del text principal, sinó en forma d’apèndix —no essencial per a seguir la trama del llibre— on la protagonista explica els mètodes pedagògics que s’hi apliquen i els raonaments que ella ha de fer en aquell escenari, concretament una ucrònia feminista situada als anys cinquanta del segle XX.

En definitiva, un «Què és?», relativament difícil però explicat, ni que sigui superficialment.

La idea d’aquest enigma em va sorgir tot jugant amb un programa autòmats cel·lulars anomenat Golly. És lliure i es pot baixar per a qualsevol sistema operatiu d’ordinador o telèfon intel·ligent. Una de les regles que proposava s’anomenava precisament «replicator». Ignoro si John Horton Conway, que va idear els autòmats cel·lulars anomenats «joc de la vida», va desenvolupar aquesta regla alternativa, no he sabut trobar a la xarxa cap altra referència i mai no he vist res similar al problema que proposo.

Passo a copiar una part de l’apèndix de la novel·la en curs.

El paper que ens va donar l’Oscar —n’havia fet setze còpies, una per a cadascuna de nosaltres—, era un diagrama força senzill però sense cap explicació, només uns dibuixos sobre una quadrícula.

D’entrada, no li veia la més mínima connexió entre les diverses formes o patrons, més enllà de ser alguna cosa que «anava creixent». Per això, el primer que vaig fer va ser intentar veure quina relació tenia cada figura amb la següent, ja que semblava força evident que la figura inicial anava creixent a cada passa: al principi mesurava 5 × 6, al segon pas 7 × 8, i així, cada vegada augmentava en una unitat la mida en totes direccions, una mica com un cultiu de bacteris en una placa de Petri. Una placa de Petri una mica rara, concretament quadriculada.

Però una cosa és pensar en un creixement i una altra trobar-ne les regles. Com que la figura creixia per les vores, em vaig concentrar en les del primer i segon quadre. Les vaig dibuixar una al costat de l’altra en paper quadriculat, la primera en vermell amb un punt blanc i la segona en negre. Després les vaig superposar.

Aleshores, vaig observar que una línia de diversos quadres creixia una unitat cap a l’exterior, llevat del extrems. Per exemple dels sis quadres vermells de l’esquerra, els quatre del mig creixien un quadre cap a l’exterior, però els de les puntes es desplaçaven amunt i avall. Massa rebuscat.

Raonant en sentit contrari, tots els quadres de la segona figura, els negres, tocaven ni que fos per la diagonal un de la primera. Això anava una mica millor. De totes maneres, totes les caselles, amb punt o sense, de la vora de la segona figura, tocaven algun punt de la primera, però algunes contenien punt i altres no. I a quants punts de la generació anterior tocava cadascun de la nova?

Va ser fàcil veure que a un o a tres, mai dos. Examinant la vora de la tercera figura vaig poder constatar que també tenia els punts on se’n tocaven un o tres de la segona. Segur que anava pel bon camí. La regla del creixement exterior era aquesta, es complia en totes les figures. Què passava, aleshores, si a la perifèria hi havia caselles que no tocaven cap punt de la figura anterior?

El cas més clar era entre la sisena i la setena figura del paper original, a la vora dreta, a la part de baix. Hi havia cinc caselles en blanc a la sisena que a la setena corresponien a dos punts als extrems, punts que en tocaven a un de la generació anterior, i tres espais en blanc, que corresponien als llocs on no hi havia cap punt veí.

I la regla general de creixement interior?

No va ser difícil, a base de dibuixar les figures superposades —ho vaig fer en paper vegetal—, veure que en cada cas apareixia un punt a la casella que en el diagrama anterior tenia una, tres, cinc o set veïnes ocupades per un punt.

Bé, ja tenia la regla, i era simple. A cada generació apareix un punt a la casella que a la generació anterior tenia un nombre senar de caselles veïnes ocupades. Ara calia veure què passava a la novena generació del diagrama. Sense gaire esperances de veure res especial a la figura, vaig començar a dibuixar el novè requadre seguint la mateixa regla.

Ben aviat vaig veure una cosa estranya, que es va anar confirmat a mesura que vaig acabar de calcular tota la figura.

Extraordinari, apareixien vuit còpies de la figura inicial, com per art de màgia. De l’aparent caos de la vuitena figura sorgia l’orde. Ja convençuda a priori del que passaria —que la multiplicació de la imatge depenia de la regla i no de la figura inicial—, en vaig provar una altra sobre paper mil·limetrat; desprès de força feina i alguns errors va passar el que ja pensava, a la vuitena generació, apareixien vuit còpies del disseny de punts original.

I si seguia el procés?

Encara amb moltíssima més feina, vaig veure que a la generació setze, tornaven a sortir una altra vegada vuit còpies idèntiques, però més allunyades.

Ara, la pregunta era, per què?

Potser aquí, es mètodes de raonament matemàtics més clàssics em van ajudar una mica, en un problema on realment de càlcul n’hi ha ben poc. En primer lloc, buscar la versió més simple del problema: què passa quan es parteix d’un sol punt?

Aquí es pot veure que als passos 2, 4, 8 i, continuant, a totes les potències de dos, el resultat són vuit punts formant un quadrat separats per 2, 4, 8… caselles.

La segona constatació és que si hi ha dos punts, cadascun evoluciona de la mateixa manera i mantenint les posicions relatives. I quan els descendents de cadascun d’ells es troben a la mateixa casella, s’anul·len, és una superposició on buid + buid = buid, buid + punt = punt i punt + punt = buid.

Amb aquestes regles, és fàcil veure que quan una figura de mida menor que 8 evoluciona, a la vuitena generació cadascun dels punts inicials s’haurà multiplicat per vuit i estarà a una distància dels altres que ja no hi haurà superposicions; i com que manté les posicions relatives respecte els altres punts inicials, el resultat seran vuit figures idèntiques en disposició de quadre, que no es superposaran. Naturalment que si la figura inicial és més gran, caldrà esperar 16, 32, 64… o un nombre de generacions igual a una potència de dos prou gran, perquè les figures no es superposin i sigui visible la replicació.

Aprendre de memòria

Publicat el 23 de novembre de 2018 per Jordi Domènech i Arnau

En general, no recomanaria mai a un estudiant aprendre’s la lliçó de memòria. Per una banda, en general això només serveix per passar una prova i a mig termini en resta poc. Segon, en aprendre de memòria, sense més, en general no es distingeix entre els conceptes troncals dels accessoris, distinció que acostuma a venir més del aspecte «emprar les dades» que no pas del concepte «incorporar les dades». Tercer, en la majoria dels temes, aprendre de memòria requereix molt més esforç que comprendre i integrar, per molt que molts estudiants, probablement per manca de costum els sembli el contrari.

No obstant això, algunes vegades cal aprendre algunes coses de memòria, des del meu punt de vista elements arbitraris —vull dir que no es poden deduir— i imprescindibles per formar l’estructura dels coneixements de la matèria. Per exemple, les declinacions llatines, llengua que gairebé ningú aprèn actualment per mètodes més naturals basats en conversa o similars. En general, en aquests temes es pot dosificar i no fer-ne un costum general. Per posar un cas que m’ha afectat molt més que el llatí, Algunes fórmules de trigonometria cal sabeer-les sense haver de pensar, però realment de memòria només en cales unes poques, diria que, a banda de les definicions, recordant el teorema del sinus, el del cosinus, les fórmules dels angles doble, meitat i suma d’angles, totes les altres són «trivialment» deduïbles; cinc formules per tota la trigonometria que es veu actualment al batxillerat de ciències, perquè a l’humanístic, seria com si als científics no ens calgués saber qui era Aristòtil o Plató.

«Trivialment» és la clau, qualsevol aprenentatge memorístic no serveix per a res si no s’és capaç de fer-lo servir per bastir l’estructura de la matèria. Continuant amb la trigonometria, si hom no sap l’àlgebra prèvia, manipular expressions, bàsicament, aprendre de memòria les fórmules, ni tan sols les bàsiques, no serveix per a res. Bé, en alguns casos serveix per aprovar, però això és un frau i no precisament per part de l’alumne.

De totes maners un alumne es pot trobar amb la imminència d’una prova o s’avaluarà si sap o no sap una llista de noms de memòria, passa força més del que seria necessari. Aleshores existeixen les regles mnemotècniques, una de les més conegudes és la del recorregut: cal imaginar un recorregut quotidià: l’habitació, el passadís, el bany, la cuina el menjador, el rebedor, el replà, l’ascensor, en vestíbul, la vorera… fins arribar a l’aula, per exemple. I a cada indret imaginar la paraula que volem aprendre, especialment de manera exagerada, com una pintada en colors llampants. Per recordar-les tornar a fer el recorregut invers i fer venir la paraula que havíem escrit a cada lloc. El problema és que per tornar a fer servir aquest sistema, cal esborrar les paraules que hi havíem posat el cop anterior.

Hi ha alumnes que fan «txuletes». Gran sistema, a mi m’anava molt bé, en feia una, dissenyada ben petita però clara, i l’endemà, a l’examen, era indistint si la duia perquè recordava com l’havia feta…

De totes maneres, la millor regla mnemotècnica que vaig imaginar, requeria prèviament haver fet un altre esforç de memòria i saber-se el codi morse. En arribar pel matí a l’escola dibuixava una o unes poques línies horitzontals a la part alta de la pissarra, i amb un dit n’esborrava parts per tal de deixar en morse, a base de punts i ratlles, la llista de paraules que havia de recordar. Normalment ningú no ho esborrava i quedava allà a la vista de tothom per poder-les transcriure al paper de la prova. L’altra opció era fer-ho amb llapis sobre la «fòrmica» del pupitre.

A la vida real, més que recordar una lliçó de memòria, el que cal és saber on trobar-la ràpidament: és molt important saber preguntar adequadament a Sant Google Gloriós o a qualsevol altre sistema que ens ajudi en la memòria. El que realment té mèrit, és saber emprar les dades. Ara mateix no recordo la massa atòmica del molibdè, però la sé cercar i emprar quan la necessito.

Horitzons llunyans. Foto incògnita

Publicat el 20 de novembre de 2018 per Jordi Domènech i Arnau

Una de les maneres que he fet servir per ensenyar geografia de Catalunya, no vull dir al món de l’ensenyament, sinó a la vida real, ha estat el d’identificar fotos. I la idea em va venir perquè alguna vegada m’havia trobat amb alguna fotografia —bàsicament diapositiva o en paper— que ja no recordava on era.

Clar que la memòria i el context, jugaven a favor meu, però per exemple me’n va sortir una, d’un poble amb un carretera en primer terme, que l’únic que recordava és que havia estat en una ruta per carreteres secundàries entre la Terra Alta i Barcelona. I més o menys la data que va resultar ser irrellevant. Una altra vegada, tenia la presa de la foto delimitada al nord de la Segarra o voltants, però feta amb una càmera digital on aquell dia només hi havia unes poques fotos d’interiors o primers plans; s’hi veien dos pobles, un proper i un més enllà, alineats…

De totes maneres la foto, misteriosa, que us vull mostrar avui us diré recordo perfectament quan —primavera de 2015— i on la vaig fer —carretera entre Igualada i Santa Coloma de Queralt—. La foto era força dolenta en el sentit que hi havia una certa boirina. Això ho vaig poder arreglar una mica a costa del realisme dels colors: el vermell es veu menys afectat que el verd o el blau, i a l’ordinador es pot tractar la imatge de tal manera que la lluminositat la determini el canal vermell amb el contrast pujat. No és gaire artístic ni realista, però permet veure allò que a primera vista costaria. Puc afegir que la foto és feta amb un zoom equivalent a 576 mm sobre un quadre de 35.

Un paisatge de finals de primavera, un dia no tan clar com sembla.

Les preguntes són: Quines són les muntanyes del fons,  esquerra i dreta? Quin és el poble de mig pla? Des d’on exactament es va fer la foto? Aquí la pista és que al costat mateix d’un monument.

En el meu cas, l’eina fonamental que empro per identificar fotos és GoogleEarth, les fotos que hi té col·locades i la vista a nivell de carretera anomenada StreetView.

Subsidiàriament: podeu identificar alguna altra cosa a la foto?

 

E-3: Tocat i enfonsat

Publicat el 18 de novembre de 2018 per Jordi Domènech i Arnau

L’altre dia, tot llegint un article de VilaWeb anomenat «Gamificació, quan els jocs t’ajuden a aprovar», vaig estar pensant en una mena de jocs una mica diferents dels que mostraven. Jocs com algun dels que jugava de nen. Concretament em vaig centrar en els aspectes educatius de dos d’ells: el lloc dels vaixells o el nim, també anomenat joc de Marienbad que, de fet, n’és una petita variació trivial que apareixia a la pel·lícula «El darrer estiu a Marienbad», de l’any 1961.

Tots dos poden semblar jocs trivials, però l’interès educatiu potser va en una línia una mica diferent a la de l’article: tots dos són jocs «resolts» i l’anàlisi està a l’abast, sinó d’un nen, sí d’un adolescent.

Joc resolt vol dir que es coneix un conjunt de regles, probabilistes en el cas dels vaixells i deterministes en el nim, que ens asseguren la partida òptima, fer màximes les probabilitats de guanyar.

He de confessar que amb el joc de vaixells no me’n vaig adonar, vaig cometre l’errada de creure que com que la posició de les naus era a l’atzar, la d’encertar-les també, i que si es jugava sense fer jugades inútils com tirar al costat d’un vaixell ja detectat, ja era el màxim que es podia fer.

I realment era cert, però aquí l’estratègia òptima passa per la col·locació dels vaixells, no pas per la fase de torns. I va ser en un llibre dels anys trenta de Iàkov Perelman, que no és parent del famós matemàtic Grigori Perelman, on un dia vaig descobrir l’estratègia bona. Merda! vaig pensar, me n’hauria d’haver adonat. I potser ho hagués fet si algú m’hagués animat a fer un anàlisi tot dient-me que el joc no era del tot a l’atzar. Un dia tornaré per explicar com l’efecte merda! té un gran interès pedagògic, per damunt, fins i tot, de l’efecte eureka!

I és que l’estratègia es basa en un fet molt senzill: al joc dels vaixells no compta descobrir o destruir ràpidament els vaixells de l’adversari, qui guanya és qui aconsegueix el darrer vaixell supervivent. I els vaixells més difícils de tocar són els d’una sola casella —els submarins—. Aleshores és tracta de que sigui el màxim de difícil trobar-los i això es pot aconseguir posant tots els vaixells de més d’una casella, el més agrupats possible, de tal manera que l’espai entre ells sigui mínim. Aleshores els submarins es posen a l’atzar a la resta del tauler. Com que aquesta darrera superfície amb els vaixells grans agrupats és màxima, la dificultat d’enfonsar el darrer submarí, també.

En canvi, el nim, que el coneixia d’abans de la pel·lícula, curiosament venia en un joc de màgia amb unes explicacions mínimes pel cas de relativament pocs palets, ja d’entrada, quan vaig tenir prou capacitat d’abstracció, vaig veure que era determinista, que hi havia d’haver una estratègia òptima.

Va ser quan tenia dotze anys, a l’escola, en una classe avorrida de no recordo en absolut quina assignatura, que a les pàgines del quadern d’esborranys en vaig trobar la solució. Solució parcial, de fins a deu palets per grup i amb una errada irrellevant de cara a jugar el joc a la pràctica.

Aproximadament un any i mig més tard, estant de vacances vaig reproduir l’anàlisi fins a vint palets per grup, vaig descobrir la meva errada anterior —una xifra canviada— i ho vaig passar en net en una llibreta que tenia per a aquesta mena de coses.

Potser als quinze o setze anys, repassant la llibreta vaig esbrinar la solució general, per a qualsevol nombre de palets i grups. No en vaig trobar una formulació òptima, però sí correcta, ja sabia com guanyar en els casos que fos possible, en qualsevol situació del joc.

Tinc la sensació que amb l’anàlisi del nim vaig aprendre molt —segur que molt més que a la classe en que no estava atent—. També hagués après molt si se m’hagués incentivat a analitzar el joc de vaixells. Aprendre sistemàtica, a elaborar hipòtesis i a confirmar-les o infirmar-les, a simplificar resultats… activitats totes comunes amb qualsevol problema de la vida real.

Ara ve la part polèmica: quants mestres i professors coneixen, no l’anàlisi en sí, sinó el fet que aquesta mena de jocs són analitzables? I quants coneixen altres jocs simples que permetin a l’alumne fer descobriments per compte propi o aprofitat treball en grup?

Em temo que en els màsters de formació de professorat, aquest tema es toca poc, i si és toca, no és programàtic sinó per la bona voluntat d’algunes persones.

La velocitat de la llum, a casa

Publicat el 14 de novembre de 2018 per Jordi Domènech i Arnau

Encara que sembli que els grecs clàssics tinguessin una física totalment especulativa i no experimental, això no és cert del tot. Aristòtil en persona, va intentar mesurar la velocitat de la llum. Alguns estudiosos especulen que pel mateix sistema hagués pogut mesurar realment la velocitat del so, però en no haver-hi constància que hagi arribat als nostres temps, és una simple especulació.

I per mesurar la velocitat de la llum va imaginar un experiment molt senzill. Va pujar de nit a un cim amb un fanal i una pantalla i va enviar un col·laborador a un altre cim separat uns quants quilòmetres, visible des del primer amb el mateix material. Quan les llanternes de l’altre van ser clarament visibles, va col·locar la pantalla davant la seva amb l’ordre que l’altre, en veure apagar-se el llum, fes el mateix.

Va detectar un interval, però ràpidament va constatar que era independent de la distància entre els dos experimentadors. Cosa que encertadament va explicar dient que el temps de reacció de l’experimentador era molt més gran que el de la llum fent el trajecte.

Ja ho hagués pogut deduir d’una altra observació. Quan pel vespre, en una tempesta cau un gran llamp, tota l’escena s’il·lumina instantàniament des del punt de vista dels nostres ulls, la llum del llamp ens arriba al mateix temps que la resplendor reflectida en muntanyes o núvols del fons molt més llunyans. Aquest argument no va aparèixer —que ens hagi arribat— fins el renaixement.

No va ser fins molt més tard que Galileo va tenir una idea que finalment va resultar en el mètode que va permetre mesurar aproximadament la velocitat de la llim. Galileo havia descobert els quatre satèl·lits més grans de Júpiter —els satèl·lits galileans— i va pensar que com que les seves òrbites, inclosos eclipses i passos davant el planeta eren molt regulars, amb una taula predictiva adequada, seria possible determinar la hora amb una observació relativament senzilla de les posicions. No hi havia en temps de Galileo rellotges prou bons com per fer unes taules prou exactes, però cinquanta anys més tard, sí.

Va ser Ole Rømer, danès, qui des de l’observatori que havia construït Tycho Brae, també danès, però ara amb telescopis i cronòmetres moderns, va fer unes acurades observacions que li van permetre calcular unes taules bastant exactes de les posicions dels satèl·lits galileans. Uns anys més tard, a París, va comprovar que no casaven amb les observacions que havia fet uns anys abans Giovanni Domenico Cassini i va tenir una idea brillant: a les observacions de Cassini els satèl·lits semblaven tenir un retard respecte les seves taules, i el va atribuir a que s’havien observat quan eren més lluny, i que la llum trigava uns minuts més en arribar a la Terra.

Rømer no va arribar al final amb els seus càlculs per determinar la velocitat de la llum, però altres sí, com Huygens que va deduir que era de 213000 km/s, un 30% menys que el valor real, Però al menys, en ordre de magnitud, era prou correcte.

Cap el 1729, James Bradley, va fer una nova mesura indirecta de la velocitat de la llum mentre intentava mesurar la distància a les estrelles. Va observar que totes les estrelles semblaven descriure una petita el·lipse cada any, que només depenia de la seva posició i va deduir correctament mentre anava en barca pel riu Tàmesi —diu la tradició— que la discrepància era deguda a la relació entre la velocitat de la llum incident de l’estrella i el moviment de la Terra al voltant del Sol. Això li va permetre mesurar la velocitat de la llum per un segon mètode, també astronòmic però independent del de Rømer.

El primer que va mesurar la velocitat de la llum a la Terra, va ser Hippolyte Fizeau el 1849, amb una variació remota del mètode d’Aristòtil. En lloc d’un segon experimentador, un mirall; i en lloc d’una d’una pantalla per obstruir la llum, una roda dentada que la dividia en polsos molt curts. Amb la roda parada, la llum arribava al mirall i retornava a l’observador passant entre les mateixes dues dents de la roda. Però en posar la roda en moviment, el raig de retorn, que trigava un cert temps en fer el recorregut d’anada i tornada al mirall, es trobava que la roda havia avançat i ja no hi havia el forat, sinó la dent. Per a l’observador la llum desapareixia. Augmentant més la velocitat de la roda, el raig de llum, quan tornava, es trobava el següent forat de la roda i l’experimentador la tornava a veure. Coneixent la distància del mirall i la velocitat de la roda dentada, es podia calcular la velocitat de la llum.

I l’experiment es va fer fent circular la llum per l’aire, pel buid, per aigua, o per altres materials transparents, trobant sempre velocitats que depenien del medi, sempre més petites que la de la llum al buid que posteriorment es va saber que era la màxima possible per a qualsevol ona o partícula de l’Univers.

A partir d’aquí, les mesures es van anar fent cada vegada més precises amb diversos mètodes, per exemple amb miralls rotatoris, interferències entre ones de ràdio, entre làsers…

En temps moderns, un dia em vaig trobar en una revista —encara no hi havia internet—un mètode molt enginyós per mesurar la velocitat de la llum a casa. I, posteriorment, quan ja hi havia internet però el mètode no era gaire conegut, vaig fer un joc basat amb ell:

Quins tres dels objectes que es veuen a la il·lustració, i que podem trobar fàcilment a casa, podem fer servir per mesurar la velocitat de la llum?

1 Paper d’alumini
2 Sabó neutre (i aigua)
3 Balança
4 Llanterna elèctrica
5 Formatge en llesques per fondre
6 Espelma (i alguna cosa per encendre-la)
7 Forn de microones
8 Mirall
9 Tisores metàl·liques
10 Oli (en un setrill)
11 Rellotge amb agulla de segons
12 Metre (no necessàriament de fusta)

Si algú no ho resol i queda molt intrigat, que em deixi un comentari…

Descobriment geomètric casolà, a base de rajoles

Publicat el 13 de novembre de 2018 per Jordi Domènech i Arnau

Realment el descobriment és vell, segurament del segle XIX, i el vaig conèixer pels llibres. Però el curiós de la història, és haver-ne trobat una demostració a casa, a les rajoles. L’afer va de partir una determinada figura geomètrica en parts que ajuntades d’una altra manera, generen una figura diferent. Està demostrat que això sempre es pot fer entre dos polígons qualsevol, regulars o no, de la mateixa àrea, però tota una altra cosa és fer-ho amb el mínim de divisions possible.

Vers 1900, que és l’any que es va construir la casa, les rajoles hidràuliques dominaven els terres. Gairebé. Al casa, que és un pis llargarut construït en un solar de l’Eixample de Barcelona que no seguia les normes —és molt estret, només un pis per replà, tan estret que si el talles per la meitat només hi ha passadís, lavabo o safareig, i pati interior—, s’hi troben moltes menes d’enrajolat.

A les habitacions, rajola hidràulica amb sanefa, diferent a cada lloc, encara que a vegades només en el color. Al passadís, una altra hidràulica molt bonica a base de quadrats de cinc colors. A la cuina, una de negrosa amb granets, d’aquelles que si hi cau un pèsol no el veus. Al lavabo i el safareig, rajola vermella hexagonal; i al «rebost» també rajola vermella, però de la petita i quadrada.

Les rajoles del passadís. La del mig, és diferent tot seguint una superstició dels paletes del segle XIX

Al bany, que es va construir a posteriori, rajoles llises quadrades blanques, amb una rajoleta petita girada 45º en cada encreuament, de manera que les blanques són quadrats amb els angles en xamfrà, o sigui octògons, però no regulars, amb quatre costats molt més grans que els altres quatre. No és el cas de la «sala» —li diem així per motius històrics, però ara és un dormitori— allí sí que el terra està enrajolat amb octògons regulars blancs i quadrats negres. És el que s’anomena un enrajolat semiregular: totes les rajoles són polígons regulars del mateix costat, i la seva disposició mútua és constant. Les rajoles de la sala són com el cinquè cas de la imatge de la Wikipedia.

Però no acaben aquí les rajoles de casa, en algunes zones de la paret de la cuina hi ha «rajola de valència» blanca quadrada i, al lavabo, també és rajola de València, quadrada, però de dos colors i mides, tot fent un dibuix regular compost pel mateix nombre de rajoles grans blanques, i petites de color rosa.

Tot això, ho coneixia de tota la vida, però fins no fa uns quinze dies, que em vaig adonar d’un fet extraordinari: la demostració de com es pot dividir un quadrat per poder muntar un octògon regular, estava al terra i les parets de casa.

El terra de la sala i la paret del lavabo

Efectivament, si superposem les dues imatges, desprès d’haver-les posat a una escala tal que els quadrats petits siguin de mida idèntica, d’haver-les girat i escalat per tal que els quadrats roses coincideixin amb els centres dels octògons de l’altra foto, obtenim la següent imatge.

Superposició de les dues imatges anteriors

Aleshores podem comprovar que, en ella, el quadrat marcat en vermell està format per cinc parts: en quadrat fosc i quatre figures iguals, pentagonals irregulars numerades de l’1 al 4.

I l’octògon marcat en blau, també està format per les quatre peces pentagonals, idèntiques a les del quadrat vermell, i un quadrat rosa que sabem que és de la mateixa mida del negre de l’altre enrajolat.

En definitiva, tant el quadrat com l’octògon regular, es poden muntar amb les mateixes peces, és la descomposició que volíem.

Quan ho vaig veure, va ser un efecte eureka, com el d’Arquimedes. De fet, en ambdós casos va passar en banys, lavabos o similars, encara que jo no m’estava, precisament, banyant.

Hagués pogut fer l’esquema amb línies i prou, tal com ho havia vist als llibres, però el sorprenent del cas, és poder-ho fer amb fotografies del terra i la paret de casa.

Pentòminos, joc i eina educativa

Publicat el 12 de novembre de 2018 per Jordi Domènech i Arnau

Els pentòminos. En detall els recordo d’un campament a Setcases l’any 1966, quan tenia tretze anys i acabava d’aprovar la «revàlida de quart», però recordo que allí vaig recordar que abans ja havia tingut aquelles peces a les mans.

Com que cada dia ens va ploure a una hora o altra, un dia, dins una tenda, algú en va treure un joc, amb peces de plàstic groc bastant petites i primes, segurament era un producte de propaganda. Va passar per diverses mans fins acabar a les meves. Em va costar, però vaig solucionar el trencaclosques bàsic: tornar les peces a la caixa amb un dibuix diferent al que hi havia a la tapa. I recordo que vaig deduir que la peça F era la més difícil i que era millor col·locar-la de les primeres.

Un joc de pentòminos virtual, és una fotografia acolorida i allisada del meu joc de plàstic vell

Dos o tres anys més tard, vaig tornar a veure el joc a l’aparador d’una botiga, i el vaig reconèixer immediatament. En aquella època ja feia algunes «classes particulars» a gent de la meva edat, i les cobrava prou bé —i mai no em va suspendre cap alumne—, o sigui que duia a la butxaca prou pessetes per comprar el joc, no recordo que em semblés gens car. Era fabricat per l’empresa Cayro de Dénia —que encara el fabrica—, i diria que amb el mateix motlle o quasi, per allò de les rebaves.

Per cert, ara el tinc aquí, al costat del teclat, amb els caires una mica arrodonits per l’ús, però totalment funcionals.

Fins aquí la secció memòries, passem a les «definicions».

Els pentòminos són peces formades per dotze quadrats idèntics posats l’un al costat d’un altre, de la mateixa manera que un dòmino està format per dos quadrats adossats. Dos quadrats només els podem posar d’una manera alineant costats, però amb cinc quadrats es pot fer de dotze maneres, hi ha dotze pentominós, comptant sempre que han de ser reversibles, no tenen cap cara privilegiada i es poden col·locar cap per amunt o cap per avall.

Acabo de fer un dibuix amb l’ordinador dels dotze pentominós i de dotze lletres que remotament s’hi assemblen i que els donen nom segons una idea de Solomon W. Golomb que des de 1953 els va començar a divulgar i que, allà pel 1965, en va fer un llibre amb mols temes de caire matemàtic.

Els dotze pentòminos i les lletres que els designen

Com a joc, la primera idea és aconseguir ficar-los a la base que té la forma d’un rectangle de 6 × 10 quadrats bàsics. Val a dir que també es ven una caixa de 8 × 8 on resten quatre espais buits, cosa que fa el trencaclosques molt més fàcil i molt menys interessant respecte la tasca de posar les peces dins la base de 6 × 10.

Quan portes cinquanta anys fent-ho és molt fàcil, en un minut o dos puc posar les peces intentant no partir de cap de les solucions que em sé de memòria. Però al començament costa, gairebé sembla impossible [Incidentalment, trencaclosques com el tangram que tenen una única solució per entrar a la caixa, són molt més fàcils que els pentòminos que en tenen 2239]. En la dificultat rau l’interès educatiu del trencaclosques:

Per resoldre’l cal elaborar estratègies, trobar regles generals i també tàctiques per solucionar els petits sub-problemes que es poden anar plantejant.

L’estratègia pot començar: «deixa les peces fàcils pel final». Per això de peça fàcil és força subjectiu. Segurament el pentòmino P és dels fàcils, i l’F dels més difícils tal com vaig intuir la primera vegada. Més interessant és obtenir regles generals objectives. Per exemple, ja que cada pentominó ocupa cinc quadrets, si en posar una peca la zona lliure queda dividida en dues o més regions, cadascuna d’elles a de mesurar un múltiple de cinc quadrets; si no fos així, en intentar omplir-la, al final sempre ens quedaria una resta on no s’hi pot posar cap peça. Una altra: cada quadret de la zona lliure ha de poder ser cobert per una peça de les no emprades i, recíprocament, cadascuna de les peces ha de cabre en alguna posició de la zona lliure.

Idees més sistemàtiques van pel camí de posar cadascuna de les peces restants en cadascuna de les posicions possibles —seguint les regles anteriors— de la zona buida, i en totes les orientacions; a continuació una altra peça de la mateixa manera i, quan ens trobem amb una impossibilitat, enretirar la darrera peça intentada i provar-ne una nova. Si no ho aconseguim amb cap de les peces restants, un altre pas enrere i continuar així. Cert, a mà, fer-ho sistemàticament és pràcticament impossible per arribar a trobar totes les 2339 solucions del trencaclosques bàsic, seria un procés llarguíssim. No em consta que ningú ho hagi aconseguit «a mà».

Amb ordinador, és un repte de programació abstracta, segurament és fàcil escriure un programa que ho faci, però cosa molt diferent és que ho faci a una velocitat raonable.

A la xarxa hi ha innombrables problemes sobre pentominós, alguns abordables a mà. Per exemple, trobar les dues maneres de col·locar les dotze peces per fer un rectangle de 3 × 20 o dos rectangles de 5 × 6. O totes les solucions on el pentòmino I no estigui arrambat a un dels costats del rectangle de 6 × 10; n’hi ha 25, que es poden classificar en sis menes, una de les quals coincideix amb les solucions al problema dels dos rectangles de 5 × 6. Per cert, que en el rectangle de 5 × 12, només hi ha una solució amb la peça I interior.

Molts altres problemes sospito que a mà són massa difícils, com trobar les dues solucions on les dotze peces toquin vora. O les nou solucions amb quatre punts quàdruples —on quatre peces es toquen en un punt—; aquest problema crec que és inèdit.

Personalment m’agraden molt els problemes més inductius, aquells on cal fer una hipòtesis raonable per resoldre’ls. Per exemple, mostrar els dotze pentòminos acolorits d’una determinada manera, i demanar qui és el criteri més probable.

Per exemple: F T Y I L N U V W Z PX. Quin és el motiu de cada color?

40 Hores, també a l’escola

Publicat el 5 de novembre de 2018 per Jordi Domènech i Arnau

Me’n vaig adonar quan els meus fills anaven a l’escola. Si volien fer totes les tasques que els encomanaven, no tenien temps per a altres coses, fins i tot per a dormir.

La gota que va fer vessar el vas, va ser un dia que el meu fill, allà pels deu anys, desprès de ben bé una hora i mitja de fer deures dels quals més de la meitat del temps consistia en copiar enunciats, va treure un mapa d’Europa en blanc i va dir que l’havia d’acolorir —curiosament li havien mal dit que cada estat de color diferent ✲—, posar-hi el nom, marcar cada capital i també escriure el seu nom. Una cinquantena.

Com que ja era hora de sopar i desprès d’anar a dormir, vaig decidir fer l’experiment. I, treballant a la manera dels nens, o sigui sense fer servir les meves experiències en grafisme o el fet que jo sí que conec d’esma les capitals, encara que amb alguna tenia dubtes ortogràfics, vaig decidir que aquell «treball» el faria jo, i el cronometraria.

Vaig pintar sense perfeccionisme excessiu, vaig mirar que dos colors similars —quan has de fer servir 50 colors «diferents» és difícil— no tinguessin frontera, vaig decidir on posar els noms, cosa no trivial pels petits on els noms no hi caben. En definitiva, vaig mirar de comportar-me com un nen i, naturalment, no vaig fer servir tècniques simplificadores o esquemàtiques que de gran hagués emprat.

Resultat: una hora i tres quarts.

Dubto que el mestre de torn en fos conscient.

A partir d’aquí, més que fer els treballs als fills —que alguna vegada vaig decidir que seria el millor— em vaig dedicar a explicar-los allò que a l’escola no els havien dit o no els hi havien fet entendre, de com accelerar les feines amb un detriment mínim dels resultats. El primer mètode consistia a dir-los quina era la clau, no en esperar a que d’unes explicacions els nens en poguessin fer una síntesi de manera innata, sense haver-los mostrat com es fa i sense entrenar-los en aquesta tasca concreta abans que tinguessin temptacions de recórrer a la pura memòria. Més val pensar cinc minuts, que estudiar mitja hora, jo sí que ho vaig sintetitzar. De passada, que l’ensenyament consistia en aprendre, no en anar traient notes més o menys bones.

Un altra dia explicaré perquè sovint val la pena aplicar l’efecte merda! més que esperar que els alumnes obtinguin sols l’efecte eureka!

❀❀❀

Deu anys més tard, una noia de batxillerat a qui coneixia d’un fòrum d’internet en català, em va donar la idea.

Si els treballadors han aconseguit limitar —en principi— les seves hores de feina a quaranta a la setmana, hauria de ser igual pels estudiants.

—És que no n’hi ha prou, és que els programes són molt llargs, que baixaria el nivell…
Van clamar quaranta veus quan vaig fer córrer una mica la idea.

❀❀❀

Vint anys més tard, tornant a analitzar la idea amb la meva filla que ja en feia uns deu que havia acabat magisteri —encara que exercint molt poc per motius ideològics— vaig tornar al tema, em va dir una solució en la que no havia pensat.

Que en els llibres de text, obligatòriament, hi hagués de venir el temps que es calcula que un alumne mitjà trigarà en aprendre cada tema i fer cada exercici o problema. Basat en mesures tan aproximades com es vulgui, però objectives i revisables.

I que l’escola tingués la obligació de coordinar totes les tasques que es proposen a un alumne, per tal que les hores d’assistència al centre, les d’estudi i deures a casa, les de lectura dels llibres necessaris, no sumessin en total més de 40 hores per setmana.

—Però és que els estudiants tenen moltes vacances —ja imagino algunes veus clamant.

Descomptem, doncs, un més com el de tots els treballadors, descomptem també les hores d’unes colònies, campaments o camp de treball a l’estiu —si un estudiant no pot o no ho vol fer, això no ha de perjudicar els altres— i apliquem les 40 hores a la resta. I de passada, també descomptem qualsevol activitat cultural o social durant el curs, que també són essencials als alumnes.

I si l’escola considera aquesta regla inaplicable, que s’ho faci mirar.

En primer lloc voldria dir que la intensitat d’ensenyament és massa fluixa, amb moltes pèrdues de temps. Potser amb els esquemes actuals —com poden ser alumnes agrupats per edats en cadascuna de les matèries— això sigui difícil de canviar. Potser la necessitat de programar respectant la regla de les quaranta hores, ajudaria a augmentar l’eficàcia, fen estalvis en aquelles activitats que no requereixin tant temps, com un exemple de l’època dels meus fills: fer «deures» de gimnàstica…

Estic convençut que un alleujament de la tensió horària en la majoria dels alumnes, milloraria de manera notable el nivell general. Per una banda els estudiants farien menys trampes i es concentrarien en els conceptes clau, i per una altra, disposarien de més temps per poder obtenir cultura.

Que molts aprofitarien el temps extra per perdre’l?

Probable, però al menys no perjudicarien els que el volguessin aprofitar.

Cada persona pot tenir uns interessos culturals. Malauradament l’escola no és actualment la promotora principal d’aquests interessos i, en no ser-ho, perpetua una diferenciació entre classes socials. No és qüestió de fer de la cultura una altra assignatura i complicar encara més el programa, es tracta que no sigui una raresa, per exemple, que un alumne s’aficioni a la música clàssica si els seus pares no ho són i probablement no en saben gens.

El bonic poble de Montellà, a l’extrem occidental de la Cerdanya, l’estiu de 2018, amb un rètol manipulat

✲ Tinc una caixa amb quinze colors, incloent-hi el negre. I una paleta dels mateixos setze colors, aquí afegint-hi el blanc, al programa de disseny vectorial que empro a l’ordinador. És el màxim de colors que he aconseguit que la majoria de les persones, sense comptar els daltònics, puguin distingir a primera vista. Algú més hàbil, potser podria fer una selecció amb més colors, però estic convençut que molt pocs. En el mateix tema, coneixia el mestre el teorema del mapa dels quatre colors? L’haurien de conèixer tots els professors. No la demostració que és monstruosa, sinó la seva aplicació que és elemental.

Publicat dins de Educació | Deixa un comentari

Copieu les meves fotos

Publicat el 3 de novembre de 2018 per Jordi Domènech i Arnau

Havia de passar i ha passat. Per a mi no ha estat la primera vegada, abans posava les fotos de paisatges i edificis a Panoramio i va desaparèixer; també a Google fotos, però van canviar el sistema de geolocalització fins fer-lo inoperant o, al menys incomodíssim.

Darrerament pujava les fotos a Flickr on ja n’hi havia pujat unes quantes allà pel 2005 i on ho vaig deixar de fer en arribar al límit de les 200 fotos de franc. Però el límit es va acabar i des de 2016 n’hi havia pujat unes 3000. Ara, però han tornat a reduir a 1000 fotos en els comptes gratuïts.

Que no vull pagar? Que és que ho vull tot de franc?

No, no vull pagar 50€ cada any per tal de regalar les fotos. Sí, regalar, totes estan sota llicència Creative Commons by sa, cosa que vol dir que es poden fer servir per a qualsevol finalitat sense demanar-me permís, fins i tot per a activitats comercials, amb les úniques condicions de no atribuir la foto a terceres persones i de deixar-la recopiar amb les mateixes regles.

És exactament com si ara em demanessin pagar per poder escriure a la Viquipèdia. Em recorda aquella escena de Tom Sawyer on aconsegueix fer pagar a altres nens per deixar-los fer la feina que li havien encomanat de pintar la tanca. No cauré al parany que ja sóc massa grandet.

I aquí torno a tenir un problema, no tinc cap inconvenient a passar tot el meu estoc de fotos a Wikimedia Commons, però la veritat és que no en sé. El sistema de marques ―tag― que fa servir per a classificar-les, o no el sé fer servir o no l’entenc. I la geolocalització, tampoc; una cosa és punxar en un mapa per tal de marcar la situació, i una altra haver d’esbrinar i desprès copiar a mà latitud i longitud.

De les fotos que ara tinc a Flickr, n’hi ha un centenar que he seleccionat per a la Viquipèdia —vaig deixar de seleccionar-ne en veure que no sabia continuar el procés―. Les vaig triar, sigui perquè ara no hi ha imatge, sigui perquè la que hi ha és menys informativa o representativa que la meva, però no les he sabut pujar. I en tinc moltes més de no seleccionades.

Diverses miniatures d’imatges meves a flickr.com per posar a la Viquipèdia. ✲ Descripcions al final

Afortunadament, altres viquipedistes sí en saben, i de les fotos que havia anat pujant, bàsicament a Panoramio, sí que n’hi ha moltes il·lustrant articles. De les dels darrers anys, no gaires.

I entenc el model comercial de Flickr que cerquen un públic molt diferent a mi. Fotògrafs professionals o aficionats interessats en l’art o potser en el negoci fotogràfic. Ho demostra que només una petita minoria de les fotos que hi ha, són d’us lliure. En el meu cas, deixant de banda l’objectiu de posar fotos en comú, només cerco potser la vista insòlita o una mica documentada sense pretensions d’art fotogràfic.

I per cert que totes les fotos són fetes als Països Catalans; no és que no surti mai a l’estranger i no hi faci fotos, és que culturalment m’interessa prioritàriament divulgar les de les nostres terres, i les de les meves aficions ―la fotografia no entraria entre les meves cinc primeres―. També afegir que totes les fotos que publico tenen un títol, una mínima descripció, i estan localitzades al mapa. Cosa no gaire habitual en llocs de fotografia.

La qüestió que deixo oberta aquí és: on em recomanaríeu pujar les fotos per tal que siguin visibles i usables per altres persones?

★★★ Copieu ara les meves fotos ★★★
★★★ que a principis de 2019 en desapareixeran les dues terceres parts ★★★

✲ Les tretze fotos de la il·lustració. Amb el títol i la descripció.

Pont de Sant Martí d’Albars, prop de la casa del Molí del Pont, a 200 metres al sud-est, i 50 metres més baix de nivell que el poble.
Pla de Busa, al Solsonès és una plana d’uns 3 × 1 km, a uns 1300 metres sobre el nivell del mar, envoltada de cingles. Pel seu aïllament i fàcil defensa, s’havia fet servir militarment quan la guerra del francès i les dels carlins. Foto des de l’accés per carretera, superat el cingle de la Creu, al sud est de la plana. A la dreta el Rial, a l’esquerra la Casa Vila, els dos masos habitats que té.
Campanar de Sant Martí d’Ars. Un dels més bonics campanars romànics rodons de Catalunya.
Escala modernista a Canet. A la Casa Museu Lluís Domènech i Montaner, feta amb els guixos que van servir de model per a la trona de l’església de Comillas, prop de Santander, obra del mateix arquitecte.
Sant Martí Sarroca. Part de la població, des del castell de Sant Martí, a uns 400 metres de distància en línia recta i a 60 de desnivell
Estació de Faió la Pobla de Massaluca. Prop de l’antic poble inundat de Faió, però a la banda de la Terra Alta.
Pèlag gran de Vilobí del Penedès. Els pèlags de Vilobí del Penedès són un paratge antigament ocupat per pedreres de guix, explotades des de l’època romana. N’hi ha quatre, tres dels quals s’han inundat en acabar l’activitat extractiva vers l’any 1993. El més gran fa més de 400 metres de llargada, i el seu entorn està sent colonitzat per un ecosistema propi de les riberes i zones humides.
El Bac de Collsacabra. Can Bac és una gran masia situada al terme de Pruit, a Osona. Va ser bastida al segle XVIII sobre un antic edifici ja esmentat el segle XII. Està vinculada a la figura de Jacint Verdaguer que hi feu estades entre 1885 i 1889. Just davant, a l’altra banda de la carretera, hi ha un gran roure amb una capelleta —de la Mare de Déu del Roure— on es poden llegir uns goigs del poeta.
Verdú venint de llevant. Verdú, poble de l’Urgell conegut per la seva ceràmica negra, destaca pel castell amb la seva torre del segle XI, visible des de gran distància. En aquesta foto podem veure el poble des de llevant.
Observatori de Castelltallat. Castelltallat és un poble dispers que pertany al municipi de Sant Mateu de Bages. A l’indret de l’antic castell hi trobem l’església de Sant Miquel i un observatori astronòmic privat, que organitza sessions d’observació pel públic.
Funicular de Queralt. O més exactament ascensor inclinat, entre l’aparcament i el santuari. Cobreix un desnivell de 26 metres entre l’aparcament i el santuari. Aquest és el segon funicular que es va construir a Queralt, l’any 1991. El 1996, el règim franquista n’havia construït un altre aprofitant que el dictador hi havia de fer una visita. Gaire segur no era, ja que a l’hora de tornar va decidir baixar a peu.
Tangram anoditzat. Petit tangram de cinc centímetres, de peces metàl·liques acolorides, suposo que pel mètode de l’anodització.
Carrilet entrant a l’estació de la Pobla de Lillet. Trenet turístic que fa el recorregut fins el Clot del Moro, passant pels jardins Artigas.

La temperatura de color, incidència en la vida quotidiana

Publicat el 2 de novembre de 2018 per Jordi Domènech i Arnau

A finals del segle XIX, els físics teòrics estaven força cofois, l’electromagnetisme de Maxwell, la termodinàmica i la teoria cinètica dels gasos, conreaven grans èxits i explicaven una munió de fenòmens, fins i tot en predeien de nous que van resultar ser absolutament útils, com les ones electromagnètiques i la manera d’emetre-les o detectar-les.

Evidentment, tots eren conscients que una cosa és tenir les equacions, i una altra molt diferent poder-les resoldre en els casos pràctics. Per exemple, les equacions de la gravetat de Newton, són força exactes i descriuen perfectament els moviments de dos cossos a l’espai. El convenciment general és que funcionen igualment bé quan hi ha tres o més cossos, encara que en aquest cas passar a una solució analítica  —amb equacions que descriguin les posicions dels cossos respecte el temps— sigui impossible en la gran majoria de casos reals i no hi hagi més remei que conformar-se amb solucions numèriques o aproximades.

Però hi havia encara alguns «petits» problemes.

Per exemple, la radiació del «cos negre».

Un cos a alta temperatura radia energia, I ho fa en forma d’ones electromagnètiques. Si la temperatura no és gaire elevada serà bàsicament en forma d’infrarojos i si augmenta més començarà a emetre llum visible. Això era l’experiència quotidiana i també la del laboratori. Un cas és el de les bombetes incandescents, emeten llum degut a l’alta temperatura del filament, però el mateix val per a la flama d’una espelma.

El problema va arribar quan es va voler veure com s’emetia aquesta radiació. Es va considera que un cos estava format per una munió de petits oscil·ladors electromagnètics que podien emetre o absorbir energia. I aplicant les lleis de la termodinàmica i l’electromagnetisme, s’esperava que en sortís una equació que expliqués la distribució d’aquesta energia en funció de la longitud d’ona.

Però aquí va succeir l’anomenada «catàstrofe ultraviolada»: les equacions indicaven clarament que com més alta fos la freqüència de la radiació, més energia s’hi emetria. Una energia que tendiria a l’infinit per a freqüències prou elevades —o longituds d’ona curta, que és el mateix—, per exemple les freqüències de la llum ultraviolada, que eren les més elevades que es coneixien abans del descobriment dels rajos X i gamma.

I els infinits són molt lletjos en física. A més, l’experimentació deia que realment no n’hi havia, de fet, com més alta era la freqüència, menys energia s’hi emetia.

Les equacions emprades semblaven correctes, però quelcom no funcionava. Va ser el darrer any del segle XIX, el 1900 que Max Plank, va formular una hipòtesi mental que deia que l’energia, en lloc de poder-se emetre en qualsevol quantitat, s’emetia com a mínim en una quantitat depenent de la freqüència ν (la lletra grega ni). Concretament segons al formula e = h·ν, on e és l’energia i h una constant que Plank pensava originàriament que valdria zero. Però no, es va comprovar que si adoptava un determinat valor —molt petit— per a h, la formula teòrica que en resultava de la distribució de l’energia emesa per un cos a una determinada temperatura es corresponia a la realitat. h es coneix com a constant de Plank, i el fet que l’energia no pugui transferir.se en quantitats arbitràriament petites, va ser el que va donar origen a tota la mecànica quàntica.

A la pràctica, la formula que es va deduir explica el comportament de la radiació emesa pels cossos. Quan la temperatura és prou elevada, qualsevol cos emet llum.

El concepte de cos «negre», és teòric, és un hipotètic cos que pot absorbir qualsevol radiació electromagnètica que li arribi sense reflectir-ne gens. Això vol dir que seria una substància absolutament negra. El carbó, per exemple s’hi aproxima, però encara reflecteix una mica de la llum incident. Un model pràctic de cos negre és un petit forat en una gran caixa buida: la llum que va a parar al forat, es va reflectint a les parets interiors de la caixa, però cada vegada se n’absorbeix més, de tal manera que la que acabaria tornant a sortir reflectida pel forat, seria una quantitat arbitràriament petita. Aquest forat negre, és independent del material i del color de l’interior de la caixa, a la llarga, tota la llum incident acabarà absorbida, i el que veurem serà un forat negre, que no té res a veure amb un «forat negre» com el que hi ha al centre de la Galàxia.

De totes maneres, a temperatures prou elevades, totes les substàncies es comporten gairebé com cossos negres.

Un cos negre, posem a 1000 K —kelvins, anomenats abans graus kelvin (si restem 273 ens resulten els graus centígrads habituals)— en llum visible emet bàsicament en la banda del vermell, encara que la majoria de l’energia és en la banda de l’infraroig; és el cas d’un ferro escalfat al roig. A mesura que elevem la temperatura, el vermell es torna taronjós i a uns 3.000 K ja veiem aquest llum com a blanca, és el color d’una bombeta d’incandescència. Però no tots els blancs són iguals, la llum del Sol, també la veiem blanca i es correspon força bé amb la d’un cos negre —curiós que el Sol sigui negre— a uns 5.700 K. Aquest blanc és el canònic, si no el veiem tan diferent al de la bombeta és per un efecte fisiològic: el cervell interpreta la llum ambient que li transmet l’ull com a blanca en una gran varietat de condicions per tal d’atribuir colors als cossos que només en reflecteixen una part de l’espectre. Aquest és el motiu que si canviem la bombeta d’incandescència per una altra amb llum més blavosa, al cap d’una estona ja no notem la diferència.

Les fons reals de llum, sovint s’allunyen de la radiació del cos negre. Per exemple, el tubs fluorescents emeten uns distribució força diferent, o una pantalla de televisió o d’ordinador posada en blanc, emet la suma de tres colors, tres bandes estretes centrades al vermell, verd i blau que els nostres ulls interpreten com a blanc.

És possible en aquest casos definir una temperatura de color: informalment i aproximada, seria la temperatura d’un cos negre que faria que els nostres ulls tinguessin la mateixa percepció, encara que al final el cervell ho acaba interpretant com a blanc. Una llum amb temperatura de color de 2.000k, com la d’una espelma, té molt més vermell que verd o blau, un tub fluorescent amb una temperatura de color de 6.500 K emet més proporció de blau que la llum solar.

la mateixa imatge a temperatura de color baixa i alta

Però encara que en general i sense poder fer comparacions ens és difícil apreciar la temperatura de color de la llum que ens il·lumina, té importants connotacions fisiològiques.

Els humans vam evolucionar sense gens de llum artificial fins que es va descobrir el foc. Aquesta llum tenia al migdia una temperatura de color elevada, i a mesura que s’aproximava el capvespre anava disminuint, ja que la radiació solar cada vegada travessa més atmosfera i perd més llum blava que no pas vermella. El cervell no se n’adona gaire, però la retina emet senyals que arriben a la glàndula pineal, productora, entre altres de la melatonina, l’hormona que regula els ritmes de són i vetlla.

Durant la major part de la història de la humanitat, la llum artificial ha estat d‘una temperatura de color força baixa, o sigui que no enganyava la glàndula pineal fent-li «creure» que era de dia quan estàvem sota llum d’una espelma o fins i tot, molt més tars i fins fa poc, d’una bombeta d’incandescència.

Però actualment s’estan imposant les anomenades bombetes de baix consum —les fluorescents no consumeixen tan poc i sobre tot no duren tant com la propaganda oficial vol fer creure, però això és un altre tema— que sovint tenen temperatures de color molt elevades, de l’ordre dels 6.000 K  i que si les emprem pel vespre poden pertorbar els ritmes de la son i els de un seguit de sistemes que hi estan associats, com pot ser el de la glucosa i la producció d’insulina. Els efectes sobre la salut física o mental, són perfectament mesurables tot i que a curt termini no gaire significatius. El consell és clar, quan s’aproximi l’hora de dormir, cal fer servir llum de baixa temperatura de color. Hi ha làmpades de baix consum —fluorescents o de LED— retolades 2.700 K. Són les adequades per a les cases. Altra cosa és en espais de treball, treball diürn, on sí són adequades les de 6.000K que fan pensar al nostre cos que estem amb llum solar. Un problema addicional són les pantalles, normalment estan ajustades a temperatures de color elevades. Si hi hem de treballar de nit, és molt convenient aconseguir abaixar-les. Alguns monitors de qualitat tenen ajust per això, també es pot en alguns casos canviar les preferències per aconseguir el mateix efecte. Hi ha aplicacions per a mòbils o tauletes amb el mateix objectiu. En cas de no poder emprar cap d’aquestes opcions, una possibilitat és canviar els colors de fons de les finestres i documents, canviant també el de les lletres a efectes de visibilitat. Existeixen diversos processadors de text o navegadors on això es pot fer.

Part de pantalla d’ordinador ajustades a temperatures de color baixa i alta

La recomanació és, quan sigui possible, emprar de fons colors càlids, o sigui blancs groguencs o vermellosos, sempre que treballem de nit. O fins i tot, si és possible, fons negres amb lletres ambre, que semblen millors que les vermelles clàssiques d’il·luminació nocturna.

★ Què és? Exemple 1, “cadenes de moto”

Publicat el 30 d'octubre de 2018 per Jordi Domènech i Arnau

Un dels elements en que he treballat durant molts anys dins l’àmbit que anomeno «gimnàstica mental», són les polifigures.

Una polifigura, en definició elemental, és una figura formada per diversos elements més petits, d’una sola o de molt poques classes, combinats en totes les disposicions geomètriques possibles.

Un exemple clàssic —i molt útil— de polifigures són els pentominós, figures formades per cinc quadrats iguals adjacents. De pentominós, n’hi ha dotze de diferents i es poden comprar en forma de trencaclosques. O fabricar-los de manera casolana que també és interessant. Però hi ha d’altres menes de polifigures, per exemple fetes amb triangles equilàters —anomenats aleshores poliamons—, hexàgons —polihexes— o altres menes d’elements.

En general, la tasca bàsica amb polifigures consisteix en encabir-les en una determinada figura el més senzilla possible. Per exemple col·locar els dotze pentominós en un rectangle.

★ Un joc de pentominós, exemple molt conegut de polifigures ★

Ara, aquí vull presentar un problema del projecte «Què és?» que hi està relacionat.

Les tasques d’aquest projecte consisteixen en interpretar una imatge, sense paraules. Cal esbrinar o imaginar què representa la figura, veure si és correcta. Per exemple pot ser d’un conjunt d’elements que tenen algunes propietats en comú —com és el cas de les polifigures— i mancar-ne algun, o haver-hi duplicats, o algun element discordant. Com a la vida real, la imatge pot contenir errades, deliberades o no.

Encara no tinc definit el mètode per donar pistes a les persones interessades en solucionar els problemes de «Què és?», això espero que anirà sorgint de la interacció amb el públic. El que sí és important, és que les pistes no han de ser públiques en el sentit de poder-se trobar posteriorment cercant a Google, per exemple. Això desvirtuaria totalment el problema, cosa que no vol dir que alguns «Què és?» es puguin solucionar a partir d’una cerca adequada, però mai de resultats d’altres persones sobre el mateix problema.

Algunes persones, en veure «Què és?», creuen que els problemes tenen tots caire matemàtic. No és cert, només una minoria ho són, emprant només conceptes elementals que, això sí, poden amagar raonaments complexes. La major part, però, no passen gaire de saber comptar, ordenar objectes o paraules, o comparar formes. Aquí es tracta d’aprendre a solucionar problemes, més aviat abstractes i acotats, cosa que pot ser útil per aprendre matemàtiques, entre altres moltes coses.

També cal dir que el nivell de dificultat o enginy és molt variable, va des d’elemental a francament difícil, com a la vida real que, en general, mai no sabem com de difícil serà un problema abans d’abordar-lo. Cal fugir del pensament que s’han de solucionar amb una «idea feliç», d’aquelles que o venen de sobte, o no arriben mai. No és el cas, tots els «Què és?» es poden solucionar via raonament i treball sobre les dades que veiem, cosa que no treu que en alguns casos, algunes persones els puguin resoldre a primera vista, però aquesta no és la idea pedagògica del tema.

En posaré un exemple al final de la entrada, naturalment sense paraules. No representatiu del tot perquè hi ha alguna pista, per exemple que el seu nivell és mitjà o la temàtica que va de polifigures. Un exemple on sí que la seva solució quedarà en obert, potser en forma de comentaris —o autocomentaris— a aquesta entrada. En definitiva, un «Què és?» amb la solució, o part d’ella, pública.

A mi, això no m’ho han ensenyat a fer, o que cansat que és pensar

Publicat el 25 d'octubre de 2018 per Jordi Domènech i Arnau

Tinc la creença que la intel·ligència, en gran part és adquirida, que es transmet més per la via cultural que la genètica, encara que en alguns casos, malaurats, sí que algun problema hereditari la pot afectar a la baixa, cosa que faria que es mostrés una certa correlació. Sí, és una creença i com a tal sotmesa a possibles canvis.

Però possiblement sigui un concepte poc definit i no mesurable, el que hi ha són persones més capaces d’afrontar reptes complexos —mai de totes menes— i més ràpides en solucionar-los, per aquí va la visió general de la intel·ligència per a moltes persones. I això és el que penso que es pot entrenar. Ara parlaré una mica d’aquest possible entrenament en el marc de la educació.

Malgrat la feina ben feta de molts mestres, el sistema i el programa escolar no faciliten aquest entrenament. Per a mi el punt clau ve de la dicotomia entre exercici i problema. Podem definir l’exercici com allò que ens han ensenyat a fer i que, senzillament, aplicant unes regles podem resoldre. És el cas de la immensa majoria de les tasques escolars. El principal defecte —per no dir problema que aquí podria ser ambigu— que li veig, és que per una banda hi ha alumnes que ja tenen assumides les regles, i aleshores l’exercici no aporta res de nou, com a molt u increment de la seguretat o la velocitat que sovint no tenen gaire sentit. Per a alumnes que no han assumit les regles, cosa que pot passar encara que les sàpiguen de memòria, l’exercici és prou inútil, en el millor dels caos és un seguiment d’una mena de programa que porta a la solució encara que no s’entengui el com. Resten els alumnes entre els dos grups, però la meva observació em diu que són minoria, força petita. Val la pena aleshores basar el sistema —especialment en temps de feina— en exercicis que a la majoria li aporten ben poc? El que s’hagi fet així «tota la vida» o que «a tot arreu» sigui el que es fa, són arguments molt fluixos.

Un problema, en la meva definició, és una altra cosa. Aquí no hi ha un mètode predefinit per arribar a la solució. Fins i tot, d’entrada no tenim perquè saber el seu nivell de dificultat que pot anar de trivial a impossible. El problema generalment té una part d’exercici en la seva resolució, però amb un avantatge important, aquesta part d’exercici és útil a la vista de l’alumne, de la mateixa manera que pujar muntanyes és fer exercici, però amb una utilitat molt per damunt de pujar i baixar escales que també ens podria posar en forma però, al menys per a mi, seria massa avorrit. I, en aspecte psicològic, s’aprèn més de la necessitat que no pas de la obligació imposada arbitràriament.

En aquest bloc i en altres mitjans, aniré desenvolupant aquesta dicotomia problema exercici. Amb un un incís previ: que molt sovint els problemes que proposo siguin de caire matemàtic, no vol dir de cap manera que vulgui incidir específicament en l’estudi d’aquesta matèria, vull incidir en uns procediments útils per a qualsevol activitat, fins i tot l’estudi de les matemàtiques. L’explicació és que amb elements elementals comunament associats a aquesta matèria es poden plantejar problemes subtils o complexos a partir de molt poques dades, cosa que en altres àmbits, posem la literatura, la geografia o la història, requereix moltíssima més cultura o informació prèvia: per saber quin és el nombre més gran que escrit en català no repeteix cap lletra, només cal saber comptar; per saber quina és la població de Catalunya amb les mateixes condicions, cal tenir, físicament o al cap, una llista amb molts centenars de noms, deixant de banda que pràcticament l’únic mètode per esbrinar-la, serà la força bruta, repassar tota la llista i trobar el resultat; amb els números, es poden idear mètodes que no impliquen, ni de lluny, comprovar-los tots fins trobar el bo. De totes maneres alguns problemes que he treballat són d’un caire no matemàtic o lògic, per exemple identificar una fotografia, de totes maneres, en general, cal accedir a grans bases de dades gràfiques.

Acabo amb el títol de l’entrada.

Sovint, quan proposo problemes, sigui a joves o sigui a adults, la resposta que n’obtinc és:

—A mi, això no m’ho han ensenyat a fer.

Cosa que és absolutament certa, però l’inconvenient és que no han après gaire a solucionar problemes, que és el que es trobaran a la vida real, sinó simplement a fer exercicis amb l’esperança, que en general crec vana, que així aprenen a resoldre problemes.

Encara que segurament és el mateix sentiment que té una persona sense gaire forma física al peu d’una gran muntanya:

—Pujar allà dalt (o pensar el problema), deu ser molt cansat.

I un exemple per acabar, quin és el següent element de la sèrie? (aplicant la navalla d’Occam, cal cercar una lògica senzilla):

Un problema per començar

Publicat el 23 d'octubre de 2018 per Jordi Domènech i Arnau

Encara que sóc de ciències, creo sovint problemes relacionats amb les lletres. Per exemple encreuats. Però segurament no dels més convencionals i tampoc no especialment dedicats a cercar l’enginy en les definicions.

En aquest cas les definicions són «rectilínies» i la dificultat rau en que no sabem a quina fila o columna corresponen. Tampoc no hi ha quadrets negres. El que sí hi ha és una pista important, totes les vint-i-cinc lletres que formen l’encreuat.

És un exemple del meu mètode, un problema que hem de cercar un mètode de resolució sense gaire relació amb altres que prèviament haguem après. També és part del meu mètode no publicar obertament la solució, en cas contrari resoldre el problema seria saber fer la pregunta correcta al senyor Google.