Sempre m’han agradat els problemes que sembla que no hi ha prou dades per resoldre’ls o que n’hi ha que a primera vista semblen irrellevants. Avui en proposo dos.

El primer problema me’l van posar quan anava a escola —un company, no pas el mestre que aquestes coses no les feien gaire—. L’he tornat a veure una infinitat de vegades, fins i tot en textos de fa més de cent anys, per a mi és un clàssic. Com molts problemes d’aquesta mena, es presenta en forma de diàleg entre dues persones que es suposen lògiques i sense errors de càlcul.

—Jo tinc tres filles.
—I quines edats tenen?
—Si les multipliques et resulta trenta-sis.
—Amb això no puc esbrinar les edats.
—Et puc dir que si les sumes, obtindràs aquest número que està escrit aquí.
—Amb això tampoc no puc esbrinar les edats.
—La gran toca el piano.
—Ara sí que sé les edats.

Quines són les edats de les tres filles.

❀ ❀ ❀

El segon problema és meu i se’m va acudir fa uns dies mentre examinava unes dades que ja tenia des de feia molts anys, sobre els nombres escrits en català. He de reconèixer que el podria estendre a nombres més grans, potser i tot fins l’infinit, però tal com el tinc ara crec que ja és prou interessant. Com la majoria dels problemes relacionats amb l’escriptura en lletres dels nombres, és intraduïble. A més, faig servir unes poques convencions arbitràries per tal de no convertir-lo en un problema múltiple sense valor afegit: així cada nombre s’escriu exclusivament d’una sola manera.

• Ens referim exclusivament als nombres naturals, ni fraccions, decimals o negatius.
• Emprem sempre la forma «un» en detriment d’«u».
• També sempre el masculí, ni «una» ni «dues».
• Tampoc variants dialectals.
• Els guionets d’alguns nombres no compten.

—Tinc escrit un nombre natural, en lletres i en català, en un paper dins d’aquest sobre. L‘has d’esbrinar.
—Em pots donar alguna pista?
—És menor que deu mil.
—Amb aquesta pista no en tinc prou.
—Si et dic la divisió entre el nombre de consonants i de vocals que he fet servir, sí que podràs trobar quin és.
—No cal que em diguis el resultat, ja sé quin nombre has escrit.

Quin és aquests nombre?

Aprofitant que és el darrer dia de l’any, avui posaré pistes i solucions d’alguns dels enigmes que he anat posat al bloc, concretament dels més antics. No sempre serà la solució explícita, en alguns casos només una indicació de com trobar-la o el resultat final deixat a l’aire algun pas intermedi.

▉ Un problema per començar
H o V: FISIC • EDITA • REMER • RIERA • INOIT ••• V o H: FERRI • IDEIN • SIMEO • ITERI • CARAT

▉ A mi, això no m’ho han ensenyat a fer
Cada figura és simètrica respecte un eix vertical, només cal mirar la meitat de la dreta per veure què són.

▉ Què és? Exemple 1, “cadenes de moto”
Cada cadena té cinc baules, plegades d’una manera diferent, però no hi ha tots els plecs possibles d’una cadena de cinc baules. Cal, en conseqüència, cercar-les totes i col·locar-les en un rectangle.

▉ Pentòminos, joc i eina educativa
És el número de «puntes» que té cadascun dels pentòminos, entenent per punta un quadrat amb tres costats exteriors. Les figures verdes en tenen tres, les brunes dos, la blava un, i la vermella quatre. He de confessar que quan he volgut posar aquesta solució, no la recordava i m’he passat una bona estona provant hipòtesis, bàsicament en el sentit de veure quantes i de quina manera, peces més petites com dòminos, per exemple, cabien en cadascun dels pentòminos, que era el que em semblava recordar de la clau de l’enigma. Era una falsa memòria, segurament ho vaig pensar quan escrivia l’entrada, però al final em vaig decidir pel problema de les puntes.

A l’esquerra, els pentominós amb les «puntes» destacades.

▉ La velocitat de la llum, a casa
Treu el plat giratori del forn de microones. Col·loca-hi, sobre un paper, dues llesques de formatge una a continuació de l’altre. Encén el microones uns pocs segons fins que el formatge es comenci a fondre. Observa que s’ha fos a franges, cadascuna correspon a un màxim o un mínim de les microones generades pel forn. Mesura amb el regle o cinta mètrica la distància entre dues franges no consecutives, seran dos màxims o mínims o sigui que mesuraràs la longitud, d’ona. Probablement et resultaran uns o,12 metres. Gira el microones i a la placa llegeix la freqüència. Probablement serà 2,45 GHz. Sabent la longitud d’ona (λ) i la freqüència (ν), la velocitat (c) s’obté per la fórmula c = λ·ν, o sigui 0,12 × 2,45·10⁹, o sigui 2,94·10⁸, amb un error de només el 2%.

▉ L’Enciclopèdia desordenada
Els volums estan per ordre alfabètic, escrivint en nombre en lletres.

▉ Un triangle misteriós, per pensar una mica
Aquí, una manera de resoldre el problema és escriure un programa que faci el procés descrit i veure’n el resultat. La figura que surt és precisament la D, el triangle de Sierpinski. El motiu és que els punts de la figura, desplaçats a escala meitat en direcció a qualsevol dels vèrtex, han de correspondre a punts de la figura, que és precisament una de les definicions del triangle de Sierpinski.

▉ Horitzons llunyans. Foto incògnita
La muntanya del fons, esquerra fins el centre, és la serra del Cadí. La de la dreta el Pedraforca, amb el pollegó inferior ocultant gran part del superior. El poble és Calaf, identificable pel campanar. La foto es va fer des del costat del dolmen dels Plans de Ferran, al límit entre l’Anoia i la Conca de Barberà.

▉ Els rellotges, per exemple
El gnòmon s’ha d’orientar paral·lel al eix de la terra. A Catalunya això vol dir en direcció nord-sud inclinat uns 42 graus respecte la vertical.

▉ Problemes i metaproblemes: multiplicacions amb sets
953 × 298 = 283994

▉ Petits misteris a la foto
La foto travessa pràcticament tot Barcelona. El requadre verd correspon al calvari amb la creu al Parc Güell. El requadre groc és la cúpula de la Rotonda, i la foto es va fer des del mirador de la carretera de Vallvidrera.

▉ 2019 a la calculadora
((22*2+2)*22-2)*2-2/2 = 2019

▉ Seixanta-quatre igual a seixanta-cinc?
La il·lustració és tramposa, les peces de la dreta, col·locades al rectangle de l’esquerra, no encaixen perfectament i deixarien a la diagonal una mica d’espai, que en concret té la superfície d’un quadret.

▉ Daus i dòminos
La solució és la imatge de la dreta.

▉ Una muntanya massa llunyana
La muntanya es pot veure per culpa de la refracció atmosfèrica que fa que la llum, en direccions properes a l’horitzontal, es desvii de la línia recta degut al diferent índex de refracció de les capes atmosfèriques a diferents alçades. L’efecte és prou gran prop de l’horitzó, una mica més de mig grau, aproximadament el diàmetre del Sol.
O sigui que no hi ha trampa, es poden veure muntanyes per sota la línia de l’horitzó degut a l’atmosfera.
La muntanya és el Canigó, de 2785 metres d’alçada. La foto de la dreta és des de Perpinyà i la de l’esquerra des de Marsella, a gairebé 251 km. aprofitant un dels dos dies de l’any que el Sol es lleva des de darrera la muntanya.

▉ Quatre estanys al Principat
Estany d’Ivars i Vila-Sana, era molt més reduït i sovint sec fins que les aigües sobrants dels regadius del canal d’Urgell van elevar considerablement el nivell. Amb posterioritat, l’any 1951 és va assecar artificialment —posteriorment hi havia una plantació de pereres al centre— i vers el 2003 es va començar la recuperació.
Estany de Graugés. Gran bassa o embassament creat l’any 1909 al terme d’Avià al Berguedà. Actualment està en desús respecte la finalitat original.
Estany de Montcortès, natural, d’origen càrstic provinent de l’esfondrament de coves sota d’ell. La major part de l’aigua que rep és subterrània.
Pèlags de Vilobí del Penedès. Antigues pedreres de guix, explotades des d’època romana, que en quedar en desús l’any 1993 es van inundar. La gran fa més de 400 metres de llarg.

Avui, una petita broma molt curta que no se’m va acudir ahir, dia dels innocents.

A les il·lustracions, totes amb llicència lliure i extretes de la Viquipèdia, s’hi poden veure una sèrie de personatges o símbols amb un número sota. La primera fila és internacional.

La segona és més nostrada…

Es tracta d’esbrinar què representen els números sota els personatges.

Radical ho empro aquí en sentit d’anar a l’arrel, de cercar solucions no a base de canviar els detalls concrets, sinó en la manera global de fer des del començament.

❀ ❀ ❀

Encara que no explícitament, de ben petit vaig veure la diferència pedagògica entre posar problemes i exercicis.

Un dia, a classe, a l’edat que es suposava que els nens havien d’aprendre a multiplicar per diverses xifres una vegada assolides les taules, el mestre ens va posar una sèrie de multiplicacions. Eren d’un quadern que començava amb les més senzilles d’una sola xifra fins arribar a algunes de molt grosses a les darreres pàgines. En aquell cas ens va fer fer com una dotzena de multiplicacions entre nombres, crec recordar, de tres xifres.

Feia anys que en sabia fer, i les vaig fer molt més ràpid que el que el mestre esperava. Quan em vaig aixecar i li vaig dur el quadern, ell ràpidament va consultar «el quadern del mestre» on estaven resoltes totes les multiplicacions i, aproximadament, em va dir:

—Molt bé, molt bé. Vinga! mentre els teus companys acaben la feina, tu pots fer aquesta dotzena més de multiplicacions.

Vaig deduir ràpidament que no era bo que el mestre sabés que multiplicava més ràpid que els altres.

I intuïtivament vaig anar pensant que fer exercicis d’aquella mena no em servia de res, ja era prou ràpid, exacte i ni tan sols amb multiplicacions de les grosses hagués après res de nou, ja en sabia fer. Però omplir el quadern era una rutina, com la majoria de les activitats de l’escola, per la qual s’havia de passar independentment de que servís o no. Per cert, que va ser a conseqüència de l’episodi dels exercicis extres que vaig decidir, per pura revenja, que a partir d’aquell moment, tots els exercicis d’aritmètica de deures a casa, els faria amb la calculadora —una Brunsviga— que tenia el pare, copiant els resultats sense fer realment l’operació. I no, treballar amb calculadora molt abans de l’arribada de les electròniques no em va representar cap minva en la capacitat de calcular de memòria o a mà.

Calculadora com la que feia servir per fer les operacions dels deures. No és la original i funciona perfectament.

A canvi de l’exercici de multiplicar, per a mi, fer-ho a màquina sí que va resultar un problema interessant i emocionant: aprendre a fer funcionar la Brunsviga —sense instruccions— amb agilitat i precisió i, encara més, entendre com s’ho feia per multiplicar o dividir. Cada pas que aconseguies en aquests sentits, tenies una gran satisfacció.

Certament que alguna vegada a l’escola hi apareixia un problema, definint-lo com una activitat que no es podia resoldre aplicant maquinalment unes regles més o menys explícites. Però poques, i en ocasions em resultava un problema senzillament perquè volia veure si em sortia per mètodes totalment diferents als que ens havien explicat.

Se’m pot dir que la majoria dels nens no eren com jo. Probablement era cert, però malauradament crec que ho era perquè ja els havien matat la curiositat.

I fer molts exercicis és una bona manera de matar la curiositat.

Molts anys més tard, em vaig dedicar a recopilar problemes, naturalment que dels temes als que era més aficionat. I més endavant en vaig començar a crear de propis. La majoria amb nombres o geometria elemental, o sigui que no cal gaire cultura específica pròpia per resoldre’ls com seria el cas de problemes sobre literatura on cal normalment conèixer un corpus gran d’elements per poder-hi treballar. De totes maneres, des que hi ha internet, en tenir a l’abast bases de dades, en sentit genèric, molt més grans que els llibres que hom pot consultar habitualment, he anat introduint altres temes, com el de la localització geogràfica.

Problema meu: cal trobar quina xifra representa cada lletra per tal que la suma sigui correcta. La solució és única

Potser sí que sé crear problemes, però altra cosa és introduir la pedagogia del problema a l’ensenyament. Potser el que jo faig és el primer pas més fàcil.

El problema s’adapta malament al sistema usual. Per una banda, el temps necessari per resoldre’l —i amb resultats pedagògics similars— pot anar de pocs minuts a molts dies de reflexió, cosa que no agrada gens a l’hora de fer una programació. Sobre això apunto a alguna solució, com a la vida real, de problemes en podem tenir diversos simultàniament, i no tots estar al nostre abast o fins i tot no tenir solucions. A l’escola no s’haurien de proposar problemes d’un en un i no passar al proper fins acabar el precedent, sinó tenir una sèrie de problemes en curs i no demanar la solució sistemàtica de tots ells. En la pedagogia del problema hi entra l’efecte eureka, la gran satisfacció d’haver solucionat quelcom per compte propi, però no es pot comptar que hagi de ser sempre així, molts problemes s’assoleixen més aviat per l’efecte «merda: hauria d’haver vist abans això —per exemple en rebre una pista— i m’hauria estalviat molta feina, m’ho apunto».

Sovint es critica que els problemes són «d’idea feliç», com si això fos una cosa que algunes persones tenen i altres no, amb un alt component d’atzar. Fals, qui practica i avança en la resolució de problemes, és precisament qui té les idees felices. Quan hom no sap per on agafar el problema i confia que li caigui la inspiració del cel, va pel mal camí. Mai no em va agradar el mètode d’Edison que deia que els seus invents eren un 1% d’inspiració i un 99% de transpiració, traspuava la idea de la rutina i, en definitiva, la va formular una persona que mai no va arribar a entendre el corrent altern o molts altres conceptes bàsics de la ciència o enginyeria, per molt que fos un gran venedor. En pedagogia crec que el que interessa és comprendre i assumir els conceptes bàsics.

Per altra banda, a nivell operatiu, els problemes són molt més difícils de corregir que els exercicis on només cal veure si es mantenen dins el patró. Probablement s’hauria d’escriure una guia d’avaluació una vegada provat el problema i vistes les diverses possibilitats que se li acudeixen als que l’intenten fer.

També hi ha la qüestió que algunes vegades els problemes tenen una clau, coneguda la qual passen a ser molt més fàcils. Això obliga a pensar sistemes on no sigui fàcil cercar a internet o passar la clau als companys. De totes maneres hi ha molts problemes que no depenen d’una clau d’aquesta mena, per exemple el de la suma que poso a la il·lustració, solucionar-lo són una sèrie de passos successius cap d’ells especialment determinant; en aquest cas concret el perill és que trobin la solució per internet, que poc o molt els meus escrits i problemes corren. Per emprar-lo més enllà del exemple, en caldria un de similar però inèdit, que també en tinc molts i sé com generar-ne més.

Sovint se’m diu que per alguns alumnes aniria bé, però que la majoria no serien capaços gairebé mai de fer un problema que passi de trivial que s’encallarien. Segurament si partim d’alumnes que ja han assumit el sistema actual, pot ser cert. Però per culpa d’un mal sistema no podem hipotecar el que hauran de fer els que vinguin a continuació. La transició hauria de ser començant pels petits. I la resolució dels problemes no s’ha d’esperar que aparegui per generació espontània, cal per part del mestre anar introduint pistes fins, o gestionar les pistes que puguin generara alguna alumnes en benefici d’altres. Tot això fins fer el problema assequible per a la majoria i poder avançar cada vegada més en altres problemes que hi presentin similituds o estratègies parcialment comunes.

Finalment hi ha la qüestió que «pensar cansa molt». Sí, això és cert sobre tot per a qui no ho fa mai, és com pujar una muntanya. Però la psicologia subjacent al sistema escolar imperant, fa que avorrir-se no es consideri cansat ni molest, sinó que formi part de la normalitat. És com si implícitament es donés per bo que els nens, quan siguin adults hauran de fer feines avorrides i que hauran d’haver estat ensinistrats per no adonar-se’n o, en tot cas, no protestar.

I per cert que les feines tipus «exercici», són de les que els ordinadors o els robots eliminaran primer.

Aquí deixo vuit enllaços a entrades anteriors del bloc amb problemes de collita pròpia, de diferent temàtica i nivell.

•1•   •2•   •3•   •4•   •5•   •6•   •7•   •8•

Alguns astres del sistema solar es presenten. Les il·lustracions, totalment desordenades, són fetes amb fotos amb llicència Creative Commons [by sa], extretes dels respectius articles de la Viquipèdia. D’un dels astres no n’he trobat foto ni dibuix, en principi perquè mai no s’ha observat de prop.

① Potser és que visc en un barri perillós del sistema solar, però els darrers anys he sofert al menys en tres ocasions l’impacte de grans cossos que em van deixar marques visibles durant força temps.

② Alguns planetes tenen anells al seu voltant. Però són anells formats per petits blocs de material en òrbita al seu entorn, lluny de la superfície. Jo sóc més original, tinc un anell que és una serralada que recorre el meu equador, i no pas baixa, en general fa més de 10 km d’alçada amb algun pic que podria arribar als 20.

③ A mi em va descobrir un capellà el primer dia d’un segle.

④ Tinc els pols molt més freds que l’equador, això és el normal, però a l’equador tinc quatres punts igualment espaiats, dos on a migdia la temperatura puja molt més que als altres dos que, a més, tenen la peculiaritat de gaudir d’unes sortides i postes de Sol molt especials.

Cinc dels astres que es presenten a l’article

⑤ Tinc un oceà d’aigua líquida entre la meva escorça gelada i el nucli de roca i metall. Les forces de marea el mantenen líquid, però quan l’escorça de gel es trenca i l’aigua surt a l’exterior, es congela ràpidament.

⑥ De tots els meus companys, i en tinc moltíssims, no sóc el més gran però sí l’únic que es pot veure a ull nu en circumstàncies favorables.

⑦ Vaig de corcoll, per motius desconeguts giro, amb l’acompanyament d’uns quants satèl·lits més de 90 graus inclinat respecte la meva òrbita, això fa que les estacions i els moviments del Sol al llarg de l’any siguin força més complexos que els que es veuen des de la Terra.

⑧ Hi ha un planeta que és més petit que jo. I tinc una atmosfera amb una pressió superior a la de la Terra que, per cert, va descobrir un català des de Barcelona.

Sis dels astres que es presenten a l’article

⑨ Porto el nom del pare d’una nació que va morir afusellat pels espanyols. De la nació on, en un congrés d’astrònoms, es va anunciar la meva descoberta prèvia. I tinc una òrbita molt peculiar que durant dècades es va creure única.

⑩ Volto sobre el meu eix molt lentament, i cada vegada en la meva òrbita m’aproximo a la Terra, la miro amb la mateixa cara. Potser és casualitat, potser és per la seva influència gravitatòria? No se sap del cert.

⑪ El meu descobridor havia decidit deixar estar la meva recerca, però la seva dona, que també era científica, va insistir que ho intentés uns dies més. I aleshores em va trobar, a mi, i al meu germà petit. Ara, el més gran dels meus cràters, que és enorme comparat amb la meva mida, porta el cognom de soltera de l’esposa del descobridor.

⑫ Quan em van descobrir, van pensar que era un asteroide amb una òrbita allargassada situat en una zona on no hi ha asteroides, més tard van veure que tinc una cabellera i cua, i ara estic classificat tant d’asteroide com de cometa. Encara més, probablement tinc anells. I sóc el representant de tota una família de cossos que habitem aquesta zona del sistema solar encara que no el primer en ser descobert.

Quants d’aquests astres podeu reconèixer?

Fa uns dies esmentava que el segon nom d’element químic que més apareix en les cerques de Google en llengua catalana és l’estany, just desprès de l’inevitable or. Clar que la gran majoria de les aparicions d’estany no es refereixen al metall, sinó a un llac no gaire gran.

I és que al menys al Principat n’hi ha força, especialment al Pirineu. De totes maneres, les fotos que presento avui, són d’estants relativament grans del Principat, de centenars de metres de mida, i no són pirinencs. Tampoc no són dels més coneguts.

Es tracta d’un estany natural i tres d’artificials. D’aquests darrers un prové d’una explotació minera abandonada, un altre és fruit de les escorrenties d’una zona agrícola regada per un canar i el tercer és va ser deliberat, una fondalada on s’hi va construir una presa per a ús industrial, actualment en desús.

El repte és identificar-los. Les pistes, no ho són gaire, més aviat anècdotes subjectives.

El més extens dels quatre. Per casualitat, de quatre cops que hi he estat, tres plovia

On hi he vist més pescadors. Tot i un bonic camí de ronda, no és possible fer-hi tota la volta

Aquest té moltíssimes canyes que dificulten arribar a la vora. La foto és una diapositiva dels anys vuitanta

Té dos «germanets» petits i un tercer totalment sec amb un prat al fons. Hi havia passat sovint prop sense veure’l

Bon Nadal a tots els lectors.

Malauradament vaig curt de temps i no he sabut inventar una entrada nadalenca, avui en poso una, en forma de diàleg, de les que tenia «en conserva».

—Avui, a classe de didàctica de les matemàtiques ens han posat un problema curiós —em va dir un dia la meva filla en tornar de la facultat fa una dotzena d’anys.

—Quin problema?

—Hi ha un hotel amb 1000 cambres numerades de l’1 al 1000 amb les portes tancades. 1000 cambrers passen successivament per totes les portes. El primer d’una en una, si la troba tancada l’obra i si és oberta, la tanca. El cambrer número dos, començant per la segona, passa les cambres de dos en dos fent el mateix. El tercer cambrer, igual però començant per la cambra tres i anant de tres en tres. I així fins el cambrer 1000 que va directament a la porta 1000 i la canvia. La pregunta és: quantes portes queden obertes al final?

Foto feta des d’Eina, a uns 5 km en línia recta de l’hotel de Font Romeu, a la Cerdanya, que va ser el de la primera estació d’esquí dels Pirineus. Té una certa retirada al de «The Shining», la pel·lícula de Kubric.

—Mira: és molt fàcil —vaig dir immediatament parlant sense pauses.
»El cambrer 1, canvia totes les portes que siguin múltiples d’1. El 2, totes les múltiples de dos, les parells. El tres les que duen un nombre múltiple de 3. I així fins el cambrer 1000 que només canvia la porta 1000.
»Cada porta canvia un nombre de vegades igual al de divisors del seu número.
»Les que canviïn un nombre parell de vegades restaran tancades al final; les que el nombre de canvis —que és el de divisors— sigui senar, quedaran obertes.
»En general un enter té un nombre parell de divisors, per exemple en el cas del 12 els podem agrupar per parelles que multiplicades ens donen precisament 12: 1 × 12; 2 × 6; 3 × 4, i ja està, tres parelles, sis divisors.
»Però tots els enters són així? No, si un és quadrat perfecte, la seva arrel quadrada queda desaparellada, per exemple el 36: 1 × 36; 2 × 18; 3 × 12; 4 × 9 i ens resta el 6 que formaria parella amb ell mateix.
»I quants nombres quadrats hi ha fins a 1000? La part entera de l’arrel quadrada de 1000 que és 31.

Ho vaig trigar ni un minut en dir tot això.

—Tu ja sabies el problema, oi? —va respondre la meva filla.

—Sí, clar, i la primera vegada potser vaig trigar una mica més d’un minut a resoldre’l, fins i tot recordo que vaig escriure alguna fórmula en un paper. Aproximadament va ser:

»Raonem a partir d’un exemple, pensem, per exemple, amb la porta 12. El primer cambrer la canviarà ja que les canvia totes; el segon també ja que passa de dos en dos, o sigui que canvia les portes 2, 4, 6… i la 12 cau en la seqüència; el tercer canvia 3, 6, 9, 12… també; el quart 4, 8, 12, també, el cinquè 5, 10, 15… no; el sisè 6, 12… sí; del 7 a l’onze passa de llarg; el cambrer 12 torna a canviar la porta, precisament la primera que canvia; a partir d’aquí, ningú no torna a tocar la porta 12. La conclusió és fàcil, la porta 12 s’ha canviat quan hi han passat els cambrers 1, 2, 3, 4, 6 i 12, en tres paraules, els divisors de 12. Si el nombre de cambrers que canvien la porta és parell, al fina quedarà tancada, i si és senar, oberta.
»I quins nombres naturals tenen un nombre senar de divisors?
»La fórmula, al menys jo me la sé de memòria des que em van ensenyar a descompondre un nombre en factors primers. Si un nombre natural n té una descomposició: p^a × q^b × r^c × s^d… on p, q, r, s… són els factors primers i a, b, c, d… els respectius exponents —ho escric així perquè aquí no puc posar-hi ni superíndexs ni subíndexs—, el nombre de divisors del nombre ve donat per la fórmula (a + 1) × (b + 1) × (c + 1) × (d + 1)…
»A veure, per que aquest resultat sigui senar, ho han de ser tots els termes que multipliquen, i com que tots són de la dorma x + 1, resultara que a, b, c, d… que són els exponents que apareixen a la descomposició de n, són tots parells, i es poden dividir exactament per dos. Aleshores el nombre: p^(a/2) × q^(b/2) × r^(c/2) × s^(d/2)… serà un enter i també l’arrel quadrada de n. O sigui que n és un quadrat. Només els enters quadrats tenen un nombre de divisors quadrats.
»La conclusió és que totes les portes quedaran tancades llevat de les que portin un nombre que sigui quadrat perfecte. I quantes n’hi ha? Si el quadrat de 1000 és 31 i escaig, ja que el quadrat de 32 és 1024 i es passa, restaran exactament 31 portes obertes. La resta, que corresponen a enters no quadrats amb un nombre de divisors parells, quedaran tancades.
»Clar que una vegada fet aquest raonament, que és més ràpid fer-lo de cap que escriure’l o llegir-lo, vaig buscar una simplificació que és la que t’he explicat al començament, sense necessitat de recordar la fórmula del nombre de divisors.

No sé com li va anar quan va tornar a classe d’aquella assignatura, l’únic que recordo és que, a final del curs, va treure matrícula d’honor. Com el seu germà en càlcul d’una carrera de ciències. No crec que sigui genètic, hi ha coses que s’encomanen d’altres maneres.

Des de molts punts elevats i relativament prop de la costa del Principat de Catalunya, és ben sabut que si les boires no ho impedeixen, es pot veure per damunt del mar la serra de Tramuntana de Mallorca, i també en sentit contrari. I això és possible ja que hi ha una línia de visió directa que passa per damunt de la superfície del mar.

Per exemple des del cim de Collserola, a 512 metres sobre el nivell del mar, es veu perfectament Puig Major, de 1436, a una distància de 185 km. De fet es veu un bon tros de la muntanya per damunt l’horitzó marí, no tan sols el cim.

Naturalment, com més alta és una muntanya, des de més lluny es pot veure.

I el càlcul d’aquesta distància es podria fer per geometria elemental. Per simplificar, suposem que la volem veure des d’un punt situat a nivell del mar. A l’esquema suposem que volem saber quina alçada h ha de tenir una muntanya, marcada en verd i amb el cim a B, per ser visible des del punt A a nivell del mar. Si anomenem O al centre de la Terra, que per a aquests càlculs podem suposar esfèrica de radi r = 6371 km, veiem que el triangle OAB és rectangle de costats r, d i r + h. Aplicant el teorema de Pitàgores tenim que r² + d² = (r + h)². I desenvolupant una mica: r² + d² = r² + 2hr + h²; restant r² d’ambdós costats de l’expressió: d² =2hr + h².

Esquema de la Terra amb una muntanya d’alçada h que es pot veure des d’un punt A situat a una distància d

Amb això podem calcular que, per exemple, si l’alçada h de la muntanya són 3000 metres, d² = 2·3· 6371 + 3². I fent els càlculs corresponents resulta que d² = 38325; i d = 195,53 km.

Ara passem a un cas concret, a la imatge hi veiem dues fotos de la mateixa muntanya fetes aproximadament des de la mateixa direcció. La de la dreta és meva des d’uns 40 quilòmetres del cim de la muntanya; la de l’esquerra, és una foto lliure extreta de la Viquipèdia, està presa amb un potent teleobjectiu des d’una ciutat a una mica més de 250 km en línia recta de la muntanya. Si una muntanya de 3000 metres, hem calculat abans que es pot veure des de 195 km, una que es pugui veure des de 250 quilòmetres ha de ser força més alta, concretament segons la formula, uns 4900 metres, més que el Mont Blanc dels Alps que en fa 4808.

Muntanya incògnita observada des d’un punt llunyà i des de més prop. Fotos de la Viquipèdia i meva.

Però la muntanya no és tan alta, de fet ni tan sols arriba als 3000 metres.

Con és possible, doncs, que es pugi veure, i no tan sols el cim sinó un bon tros més, des d’un punt al nivell del mar a 250 km?

On hi ha la trampa, si és que és una trampa?

La segona qüestió és quina és la muntanya i quina la ciutat a ran de mar des d’on s’ha fet la foto on sobresurt per damunt l’horitzó?

A la Galàxia hi ha grans núvols de gas i pols. Fa 4650 milions d’anys, en un d’aquests núvols, una part es va desestabilitzar, la densitat va augmentar i en augmentar també ho va fer la gravetat que, al seu torn, va fer caure més gas i pols sobre la zona, desencadenant un procés que hauria estat imparable si res no l’hagués aturat i tornat a un equilibri diferent.

Què va aturar el col·lapse del núvol?

La zona central, a més de ser la mes densa, també va ser la més calenta. La compressió del gas, al igual que quan inflem una roda, l’escalfa. I com més gas absorbia la gravetat del centre, més s’escalfava fins posar-se incandescent. Aquesta incandescència va provocar un gran flux d’energia en forma de llum —i altres radiacions infraroges o ultraviolades— que va començar a incidir sobre el gas que queia, fins el punt de donar-li un impuls cap a l’exterior superior a la gravetat.

Havia nascut el Sol i ja no anava acumulant més matèria.

La major part del material de núvol es va condensar en l’esfera del Sol, que en aquells temps era inestable, com les estrelles conegudes per t Tauri, però una part hi va que dar en òrbita sense arribar-hi, per un mecanisme ben conegut: El núvol aïllat havia de conservar el seu moment angular, de la mateixa manera que l’aigua de la pica quan traiem el tap. Com més es condensava, més ràpidament girava i les parts més externes van acabar format un disc giratori, a la manera d’uns gegantins anells de Saturn.

En aquest disc, la pols es va anar condensant en grans cada vegada més grans. El gas va ser escombrat de les zones més internes per la pressió de la radiació solar. I a partir d’aquí, es van començar a condensar els planetes. Prop del sol el material preponderant eren els silicats, els òxids metàl·lics i el ferro que no s’havia pogut combinar amb l’oxigen per fer òxid. A la zona més llunyana la temperatura era prou baixa perquè l’aigua formés gel. amb una gran abundància d’hidrogen, l’oxigen, el carboni i el nitrogen s’hi van combinar i l’aigua, els hidrocarburs i l’amoníac resultants es van congelar en forma de grans sòlids.

El material condensat, anava creixent per contacte a baixa velocitat de les partícules de la zona. Primer van ser grans microscòpics, més tard van anar creixent fins a centenars de metres. O aleshores es va produir un nou efecte, aquestes condensacions, que s’anomenen protoplanetes, tenien gravetat i van començar a atreure’s mútuament. Al principi lentament, en col·lisions que acumulaven els dos protoplanetes, però a mesura que creixien, per una banda la seva gravetat era més gran i per altra queien des de més lluny i amb més velocitat d’impacte. En aquests impactes part del material «esquitxava» i tornava a formar cossos més petits, i l’altra s’escalfava molt per l’impacte. Quan els protoplanetes van assolir uns mil quilòmetres, els impactes eren prou forts com per poder provocar la fusió, al menys parcial, dels cossos impactants. I en una massa líquida els materials més densos van cap al centre.

De la matèria que formava els grans primitius de la zona interna del sistema solar, el material abundant més dens és el ferro —i alguns metalls com el níquel que s’hi barregen fàcilment—, o sigui que va anar a parar al centre dels planetes en formació, arrossegant en el camí altres elements fàcilment solubles en ferro com l’or o els del grup del platí, i també el sofre que era abundant i té força afinitat química pel ferro. Les altres partícules abundants eren de silicats i òxids, que van fer capes al voltant del nucli de ferro.

En un període relativament curt en termes astronòmics, a la zona interna del sistema, la gran majoria del material s’havia acumulat en quatre cossos —planetes— Mercuri, Venus, la Terra i Mart. La Lluna és una altra història, fruit d’un dels darrers impactes de protoplaneta gran contra la Terra.

Amb posterioritat aquesta planetes van adquirir atmosferes i aigua procedents de les zones més exteriors del sistema solar, allà on l’aigua i altres volàtils s’havien pogut condensar.

Mentre això començava a passar, lluny del Sol, els protoplanetes també es van anar condensat, però allà la composició era diferent, hi havia molta més aigua i compostos lleugers. I també encara quedava molt del gas primordial. Quan els protoplanetes van tenir prou gravetat, van començar a atreure l’hidrogen i l’heli que eren sobreabundants i van créixer bàsicament a partir d’aquests dos elements, Així es van formar Júpiter i Saturn. També Urà, Neptú i possiblement alguna altre planeta de mida similar format bàsicament per gels, sense una proporció tan aclaparadora de gas.

Júpiter, que pesa més que tots els altres planetes junts, va tenir prou gravetat per atreure una ran part del material que quedava entre ell i la zona on s’estava formant Mart. El material que va quedar, va restar en forma de protoplanetes petits, d’uns centenars de quilòmetres màxim. Són els anomenats asteroides del cinturó principal.

Però ens han permès descobrir una pregunta inicial:

Per què es va desestabilitzar el núvol de gas i pols que va donar origen al Sistema Solar?

Aquests protoplanetes eren, en principi, massa petits per poder-se fondre en els impactes i generar un nucli de ferro. Però l’observació de meteorits provinents d’aquella zona ens mostra que molts d’elles estan diferenciats, amb nucli de ferro. O no tan nucli, en alguns casos els impactes, que no podien fondre l’asteroide, si que el podien trencar deixant fragments, uns fets de silicats, i altres de ferro. Alguns asteroides són clarament nuclis metàl·lics d’un anterior diferenciat, és el cas de Psyche, un asteroide de més de 200 km, format molt majoritàriament per metalls, bàsicament ferro.

I com es van poder formar aquests nuclis de ferro si l’energia dels impactes no era prou per fondre l’asteroide?

La nebulosa del cranc, restes d’una explosió de supernova i l’asteroide 4 Vesta, de 500 km i que té un nucli diferenciat de ferro. Fotos del telescopi Hubble i de la sonda Dawn de la NASA

El mecanisme que s’ha descobert per explicar-ho, ens explica també com es va desestabilitzar el núvol solar primordial.

La resposta és l’alumini 26.

A més dels impactes i la compressió gravitatòria, l’altra font de calor coneguda en un planeta és la radioactivitat. Però hi pot haver prou material radioactiu per generar prou calor per a poder fondre l’interior d’un protoplaneta de menys de 1000 km?

Actualment, els elements radioactius a la terra com l’urani el tori o el potassi 40, són poc abundants i amb activitats baixes. Quan es va formar el sistema solar, d’urani n’hi havia el doble, i de potassi 40 unes tretze vegades més abundant, però ni així generaven prou calor com per fondre un nucli asteroidal.

Podia existir algun altre element radioactiu de vida curta, actualment ja desaparegut, que generés més calor?

De vida molt curta no podia ser, fins que no es van començar a formar asteroides d’una mida relativament gran, van passar diversos milions d’anys, una substància tipus carboni 14, amb una semivida de 5700 anys, s’hauria ja exhaurit totalment. Tenia que ser un isòtop amb un període de semidesintegració d’entre mig milió i deu milions d’anys, per tal que encara n’hi hagués prou, tingués prou activitat i que actualment ja no en quedi. A més, raonablement n’hi hauria d’haver una certa quantitat al núvol inicial.

I resulta que pràcticament l’únic isòtop que reuneix els condicions és l’alumini 26. Actualment, al sistema solar, pràcticament ja no en queda ja que cada 700000 anys la meitat es desintegra en magnesi 26. Generant calor, com totes les desintegracions radioactives.

Però si l’alumini 26 és una substància que en terminis de milions d’anys es desintegra gairebé del tot, com n’hi podia haver en el núvol da gas i pols on es va formar el sistema solar?

La resposta evident és que s’havia format feia poc.

I on es pot formar alumini 26?

En les explosions d’estrelles massives en forma de supernoves.

Perquè encara en quedés al núvol, l’explosió havia hagut de ser d’una o diverses estrelles del propi núvol, condensades abans que el Sol. I precisament les ones de xoc de les explosions de supernova, comprimeixen el material circumdant tot fent que pugui col·lapsar per la gravetat i donant naixença a altres estrelles, com el Sol i el seu sistema planetari.

O sigui que l’existència de ferro en forma metàl·lica condensada en asteroides del cinturó principal, és la pista crucial sobre com va començar la història del nostre sistema.

Com en Sherlock Holmens, una mica de deducció i molta inducció, encara que això darrer normalment no es reconeix tant.

Avui, quan escric que és 21 de desembre de 2019, fa exactament cinquanta anys de l’enlairament de l’Apollo 8, la primera nau tripulada que va anar a la Lluna. No hi va allunar, va arribar a la seva proximitat, hi va fer deu òrbites i va tornar a la Terra. Els tres tripulants de la nau, són l’única tripulació dels Apollo que són tots tres vius amb 90, 90 i 85 anys. I són vius perquè tot, gairebé tot, va sortir bé.

No les tenien totes: No s’havia fet un assaig sense tripulació del vol. La càpsula Apollo, només havia volat una vegada amb tripulació en òrbita terrestre. El coet Saturn V, era la tercera vegada que volava, però la segona havia tingut uns greus problemes que haurien abocat la missió a una catàstrofe. Un enginyer de la NASA, a pilota passada, va comentar que creia que la missió només tenia un 50% de probabilitats d’acabar bé. Cal recordar aquí que si l’accident de l’Apollo 13 els hagués passat a ells, no se n’haurien sortit, els tripulants del 13 van sobreviure perquè van poder emprar els sistemes de suport vital, electricitat, oxigen, depuració de l’aire i aigua del mòdul lunar, però en el vol d’Apollo 8 no en tenien.

Del primer incident del vol, en aquells moments no se’n va fer publicitat. El comandant Borman, tot i que ja havia volat a l’òrbita terrestre prèviament, va tenir un atac de mal de l’espai amb vòmits i diarrees. A la terra, en el pitjor dels casos, tot això cau a terra, però sense gravetat… es veu que no van comunicar el problema a la Terra fins haver-lo solucionat, en la mesura del possible.

Foto de la Terra sobre la Lluna, presa per William Anders el 1968. Posada per la NASA en domini públic.

De cara al públic, potser el més interessant d’aquella missió va ser la foto que Anders va prendre de la Terra emergit de l’horitzó lunar, més o menys quan es reemprenien les comunicacions amb la càpsula. Val a dir que quan sobrevolaven la cara oculta de la Lluna, i ho van fer deu cops, no tenien sistema de comunicació.

Durant gairebé 50 anys, sempre ha estat així, no hi ha comunicació des de la cara oculta de la lluna. Fins que els xinesos van posar en òrbita la sonda Queqiao, en una òrbita anomenada d’halo a l’entorn de l’anomenat punt de Lagrange L2 de la Lluna, que està 65000 km més enllà vist des de la Terra. Aquest satèl·lit com a primera missió tindrà la de fer d’enllaç amb Chang’e 4 que allunarà a la cara oculta, precisament en la zona més profunda de la Lluna, al fons de la conca Pol Sud-Aitken.

Tota aquesta història m’ha fet recordar la història fictícia d’Hergé de l’any 1952, dins les aventures de Tintin en els volums «Objectiu: la Lluna» i «Hem caminat damunt la Lluna».
Els dos àlbums són prou divertits però em vull centrar en les errades tècniques que a primera vista recordo.

La primera és la disposició dels viatgers en lliteres bocaterrosa. És gairebé la pitjor possible per resistir una acceleració forta. No és d’estranyar que tots perdessin el sentit en enlairar-se el coet.

Un altre problema és més estructural. Als àlbums figura que el coet està tot el viatge amb el motor en funcionament, la primera meitat accelerant i la segona frenant. Això donaria gravetat artificial als astronautes, llevat dels moment de les maniobres, per exemple el canvi d’orientació. Però no és possible de cap de les maneres. Fins i tot imaginant que amb el motor atòmic disposem d’una quantitat il·limitada d’energia, del que no és pot disposar és d’una massa il·limitada de material per ejectar amb el motor. Amb una acceleració mínima que permetés caminar als viatgers, posem-hi 0,1 g, les lleis de la física començant per la conservació del moment, ens indiquen que la massa a ejectar hauria hagut de ser milers de vegades superior a la que cap dins d’un coet d’aquella mida. Llàstima.

Un viatge a la Lluna ha de ser com el d’Apollo 8 o quasi, la major part del trajecte amb vol balístic sense motors en marxa o, en tot cas, amb una acceleració molt petita, que no faria efecte de gravetat a l’interior de la nau.

Una altra errada és l’encontre amb l’asteroide Adonis. Deixant de banda que l’aproximació màxima entre Adonis i la Terra és més de quatre vegades la distància de la Lluna, o sigui que mai ens el podríem trobar en un viatge al nostre satèl·lit, la velocitat de l’encontre seria al menys d’uns 4 km/s, probablement força més, o sigui un vist i no vist. També la gravetat d’un cos mida Adonis és insignificant per atreure el capità Haddock o el propi coet. Aquesta errada l’he vist repetida en pel·lícules modernes de pretesa ciència-ficció, en general, si no és buscant un encontre deliberat en la mateixa òrbita, dos objectes a l’espai es mouen en velocitats relatives de, com a mínim, quilòmetres per segon.

Una altra errada, al final. Quan figura que se’ls exhaureix l’oxigen, els símptomes dels viatgers són els de la intoxicació per diòxid de carboni, que és el que causaria la mort d’algú tancat amb un espai petit sense subministrament d’aire fresc. En submarins i naus espacials, el diòxid de carboni emès per la respiració es captura químicament amb un hidròxid alcalí, de sodi en el submarins, pel seu baix cost, o de liti en les naus espacials pel seu poc pes. Cas que en una nau espacial s’acabi l’oxigen, el problema és l’anòxia, de la qual els astronautes no en serien pràcticament conscients, s’adormirien i es moririen però sense sensació d’ofegar-se, potser amb alguna al·lucinació quan comences a minvar l’oxigen.

Sovint em diuen que molts dels problemes heurístics que elaboro, són massa difícils, que ningú no ha explicat als seus receptors com es resolen.

Evidentment, si l’objectiu d’un d’aquests problemes és precisament trobar, via assaig i error, un procediment raonable per resoldre’l no és pot explicar el sistema precís, el problema s’hauria convertit en un exercici que és precisament el que vull evitar.

Però a vegades, fins i tot explicat o esbossat el procediment, resta encara una mica de problema, en el sentit de trobar com completar tot el procediment evitat errades, per exemple omissions o duplicacions.

També em diuen que sempre els faig sobre temes similars i és en part cert i en part fals. Cert en el sentit que sovint treballo amb peces com les polifigures, com aquí, els nombres o la lògica, però fals en que no són temes exclusius, a vegades, per exemple empro fotografies o mapes com a base pels problemes. Que no faig servir la literatura? Per dos motius: segurament no en sé prou i tampoc no puc pensar que els destinataris dels problemes tinguin fàcilment prou dades a l’abast per poder resoldre problemes «literaris» amb una certa complexitat. Hi ha també els problemes lèxics, que en general no practico, però estan normalment adreçats a ampliar els coneixements de llengua, no al meu objectiu primari que són les tècniques de pensament i resolució.

Avui seguint amb els temes en que em trobo més còmode, plantejo un problema amb figures geomètriques elementals, quadrats i mitjos quadrats per la diagonal.

Partim de la figura de color rosa formada per un quadrat i mig quadrat tallat per la diagonal, en rosa, que apareix quatre vegades a l’esquerra de la il·lustració. És l’única figura possible amb aquestes dues formes contigües amb els costats «ajustats» que vol dir que un costat ha de coincidir exactament amb un altre costat igual de llarg. Aquesta figura té una àrea de 1,5. Aquí cal dir que considerem una figura igual a la seva imatge especular, si la tenim feta sòlida, la podem tombar cap per avall i continuarà sent la mateixa.

Afegint dos quadrats a la peça rosa de totes les maners possibles, generem 14 figures formades per tres quadrats i mig.

Ara, a aquesta figura d’àrea 1,5 li afegim un altre quadrat igual al primer de manera ajustada, de manera que formem una figura de 2,5. Això ho podem fer de quatre maneres diferents. que ens generen les quatre figures de color verd de la il·lustració, marcades amb les lletres a, b, c i d. Fixem-nos que la d és l’única que té un eix de simetria, concretament inclinat 45º.

Si continuem el procés d’afegir un quadrat, obtindrem figures amb una superfície de 3,5. Però aquí cal ser una mica més curós ja que, a banda de no ometre cap possibilitat, ens podem trobar amb figures duplicades.

Podem veure a la dreta de les quatre figures verdes, duplicats d’ella en taronja amb l’afegitó del quadrat blau en totes les posicions possibles. Cada forma està anomenada amb una lletra que correspon a la figura de 2,5 amb un número que indica cada posició.

Una vegada formades totes les figures possibles, cal veure si hi ha algun duplicat. Efectivament, ens en trobem alguns casos que els he marcat amb la vora vermella. Ens resten catorze figures diferents amb la vora negra, que són totes les possibilitats amb àrea 3,5 dins la lògica d’aquest problema. Aquí també podem veure que la figura c5 és l’única amb un eix de simetria, també inclinat 45º.

Fins aquí, relativament fàcil. El que és una mica més complicat, és generar totes les figures d’àrea 4,5 o 5,5 amb la mateixa tècnica o alguna altra que pugui ser més efectiva.Com a pista per a comprovar si s’ha fet bé la feina puc dir que de quatre quadrats i mig n’hi ha 54 i de cinc quadrats i mig 209.

Amb les catorze figures de 3,5, que naturalment cobreixen una àrea total de 14 × 3,5 = 49, es pot formar un quadrat. De moltes maneres diferents. Un càlcul aproximat em diu que d’unes 18000 formes diferents. No he vist mai el trencaclosques comercialitzat, potser perquè malgrat les moltes solucions és bastant difícil. La imatge és una vil falsificació fotogràfica del que voldria tenir.

Imatge a partir d’un joc infantil, les vores entre les tessel·les han estat eliminades amb l’ordinador, i els colors modificats per tal de tenir-ne 14 de diferents.

Sempre he pensat que aquest trencaclosques podria ser una decoració fàcil per el terra d’una plaça que es podria denominar oficialment o popular, la Plaça del Trencaclosques. I podria atreure turistes aficionats a questes coses… A veure si algun ajuntament es decideix, que la idea és de franc i el disseny està amb llicència lliure (cc, by, sa). Ep, i tinc més dissenys per l’estil, en dues dimensions per a terres o parets o en tres per a monuments variats.

En el camp educatiu, més enllà de generar les peces de manera sistemàtica, en principi amb paper quadriculat i llapis, hi pot haver la tasca de construir realment el trencaclosques, cosa que vol dir prendre decisions de compromís entre la facilitat i el ben acabat i utilitzable que quedi. Fer-ho amb paper, és molt fàcil, però el resultat és difícil de manipular i en respirar les peces poden volar. Fer-ho amb fusta, metall o plàstic… és més feina.

A la premsa, ocasionalment surten notícies sobre descobriments astronòmics, aquests darrers dies n’ha sortit una sobre l’objecte anomenat 2018 VG18

El primer nombre és l’any del descobriment, La primera lletra designa el mig mes: A = primera meitat de gener i així successivament ometent la «I». La segona lletra és l’ordre de descobriment dins el mig mes i va d’A a Z ometent la I, cada vegada que es superen 25 asteroides en aquell mig mes, s’augmenta el nombre final de la designació i es torna a la lletra A. Així, 2018 VG18 significa que l’asteroide es va descobrir la primera meitat de novembre de 2018 i que va ser el 7è —ordre de la lletra G— descobriment del cicle 19 —el primer cicle no duu nombre—, o sigui 7 + 18 × 25 = 467. Certament cada quinze dies es descobreixen milers d’objectes asteroïdals, o sigui que el darrer nombre pot ser força alt.

La denominació Farout, és senzillament un mot que li han atorgat els descobridors, sense validesa oficial, que quan l’òrbita de l’astre sigui prou ben coneguda, rebrà un nombre d’ordre entre els asteroides i un nom definitiu, en principi, pels astres descoberts en aquella zona, un nom mitològic relacionat amb els mites de la creació de qualsevol cultura.

De moment, de planeta res, ni tan sols sembla un planeta nan que és una definició molt menys restrictiva. Amb un diàmetre estimat de 500 km, difícilment estarà en equilibri hidrostàtic, que vol dir haver adquirit forma esfèrica per efecte de la pròpia gravetat, condició per a planeta nan.

Contínuament es descobreixen objectes transneptunians, alguns d’ells força llunyans i, necessàriament, de tant en tant se’n descobreix un que és el més llunyà fins el moment, o el que la seva òrbita el portarà un dia més lluny. La peculiaritat de 2018 VG18 és el cos que s’ha detectat més lluny fins ara, tot i que no és el que té l’òrbita que el durà més lluny del Sol, ni molt menys.

Plutó, Ceres, Vesta i 2018 VG18, aproximadament a escala, els dos primers són planetes nans. El darrer segurament és molt fosc, vermellós i, probablement, no esfèric. Imatges de la NASA via la Viquipèdia

El que sí que té un considerable interès és el fet que dels objectes amb òrbites més allargades i que van a parar més lluny del Sol, les seves orientacions estan molt més agrupades que si fossin cossos independents movent-se al atzar. Això podria indicar la presència d’un planeta llunyà, força més massiu que la Terra, que hagués pertorbat les seves òrbites. Però ni és segur que existeixi, ni s’ha detectat encara. Podria ser que un encontre proper del Sol amb una altra estrella, hagués alterat les òrbites d’aquests cossos, per exemple.

Segons la teoria més popular actualment sobre els planetes i cossos menors actuals, anomenada Model de Niça, alguns planetes de mides entre la Terra i Neptú, haurien pogut ésser expulsats del Sistema Solar o haver quedat en òrbites molt llunyanes. I serien molt difícils de detectar. Estem a l’espera que l’any 2020 entri en funcionament el Large Synoptic Survey Telescope que representarà un pas enorme en la possibilitat de detectar objectes llunyans del Sistema Solar.

❀ ❀ ❀

Una vegada escrit això, un company m’ha demanat més aclariments sobre com es podria descobrir aquest hipotètic planeta, i els copio a continuació:

Històricament, a la dècada de 1840, estudiant les desviacions del planeta Urà respecte l’òrbita calculada —i tenint en compte les pertorbacions que li produïen els altres planetes coneguts— es va poder determinar  la probable posició d’un planeta pertorbador desconegut. Curiosament dos astrònoms, un anglès —Adams— i l’altre francès —Le Verrier—, van fer els càlculs gairebé simultàniament, però en el cas de l’anglès els astrònoms que haurien d’haver fet les observacions per trobar el planeta, no van fer correctament la feina. En canvi, en el cas del francès, va passar les dades a l’observatori de Berlín que tenia mitjans bons per fer la recerca —precisament estaven fent un mapa d’estrelles de la zona—, i van trobar Neptú en la primera nit d’observació, a menys d’un grau de distància —com dues vegades el diàmetre de la Lluna— d’on havia calculat Le Verrier.

Però en el cas del possible planeta exterior, les coses són molt més difícils. En particular les distàncies implicades en les pertorbacions són centenars de vegades superiors, cosa que vol dir que la pertorbació és com a màxim 10000 vegades més petita. I més lenta, amb òrbites al voltant del Sol com a mínim unes deu vegades més lentes que les d’Urà, el temps d’observació per aconseguir el mateix arc d’òrbita amb la precisió requerida és al menys cinquanta vedades superior, de l’ordre del segle. Tan difícil i improbable és el càlcul de pertorbacions que es va per altres vies més estadístiques, calculant on seria més probable l’òrbita del nou planeta, per desprès intentar esbrinar quina posició concreta dins aquesta òrbita té actualment.

També cal dir que Neptú es veu perfectament amb uns binocles mitjans amb els que es poden observar uns 50000 objectes de brillantor similar, estrelles gairebé tots. En canvi, el possible nou planeta, requeriria un instrument de més de tres metres de diàmetre per poder ser captat i s’hauria de discriminar entre 10000000000 —deu mil milions— d’objectes celestes de magnitud similar, estrelles i galàxies llunyanes.

No sempre la geometria és abstrusa, a vegades hi ha teoremes que potser tenen una certa dificultat de demostració per a qui no hi està ficat, però que són de fàcil comprensió per a qualsevol.

Sí, qualsevol, fins i tot aquelles persones que afirmen que de matemàtiques no en saben gens i es consideren incapaces d’entendre-les, quan el que realment passa és que de petites els hi van ensenyar tan malament que encara estan atrapades en un embolic i tenen por de tornar a intentar comprendre-les. Encara que aquesta vegada no ho facin malament.

Aquí presento uns fets molt senzills de geometria, sense demostracions que em sembla que són fàcilment compressibles.

Una font inexhaurible de fets interessants són els triangles. Són una figura ben simple, però es poden plantejar innombrables qüestions sobre ells. Veiem-ne una de senzilla:

❀ Tracem un triangle qualsevol. Marquem els punts mitjos de cada costat —són els negres— i tracem les rectes que van des de cada angle al punt mig del costat oposat, en blau a la figura. Aquestes rectes s’anomenen mitjanes. Podem veure que les tres rectes coincideixen en un punt, però no és un cas especial del triangle que hem dibuixat, passa sempre per a qualsevol. Aquest punt marcat en blau, que sempre és interior al triangle, s’anomena baricentre, perquè coincideix amb el centre de masses del triangle suposant que és fet d’un material uniforme. A més, la distància del baricentre a cadascun dels vèrtexs és sempre el doble que la que hi ha entre ell i el punt mig del costat oposat.

❀ Ara, des dels punt mitjos dels tres costats, tracem la recta perpendicular al costat que passa per ells, en vermell a la figura. Aquestes rectes s’anomenen mediatrius, i les mediatrius dels tres costats també coincideixen en un punt, independentment de la forma del triangle. Aquest punt s’anomena circumcentre, ja que és el centre de la circumferència que passa pels tres vèrtex del triangle.

❀ Finalment, des de cada vèrtex tracem la línia recta perpendicular al costat oposat, anomenada altura, en verd a la figura. Un altre cop, les tres rectes coincideixen en un punt anomenat ortocentre.

I ara ve el més curiós, al menys per a mi: circumcentre, baricentre, i ortocentre estan alineats sobre una recta, anomenada recta d’Euler, marcada en negre a la figura, amb el baricentre situat entre els dos altres punts i, a més, la distància entre baricentre i ortocentre és el doble de la que separa el baricentre de l’ortocentre. Tot i ser uns conceptes fàcils, la geometria clàssica grega no coneixia aquesta propietat, va ser Euler al segle XVIII qui les va mostrar per primer cop. Com sempre passa amb matemàtiques, encara n’hi ha molt més; per començar podem dir que el centre de la circumferència que passa pels tres punts mitjos dels costats, també rau sobre la recta. I el centre de la circumferència que passa pels tres punts on les altures intersequen els costats, marcats en blanc a la figura, també, però és que resulta que coincideix amb la circumferència anterior.

Totes aquestes propietats es poden generalitzar a dimensions superiors, per exemple en els tetràedres, però resulta una mica massa complicat per a aquest article elemental.

Quan tenia uns vuit anys, un col·lega estranger del meu pare —no sé de quin país, però parlava francès— va venir uns dies a casa i em va regalar una caixa bàsica de Lego, amb peces blanques per fer parets, vermelles per teulada, unes poques finestres i una porta. Tot i que era limitat, amb allò feia de tot. El nadal d’aquell any, vaig demanar a uns oncles més Lego, i em van portar una caixa amb el mateix contingut , tot i que la caixa crec que era en danès. Perfecte, podia fer cases el doble de grans. I moltes altres coses. De mica en mica vaig anar aconseguit més material.

Era molt diferent a la actualitat o a l’època dels meus fills, el joc no es basava en un muntatge predeterminat a cada caixa, sinó que eren peces genèriques amb les que podies fer el que la imaginació et dictés. Desprès dels maons quadrats van venir peces esbiaixades per fer teulades, peces d’un terç d’alçada per fer plataformes o altres detalls, més colors, encara que alguns com els maons blaus a mi no em resultaven gaire útils quan feia cases.

Ara, de gran tinc acumulada una certa quantitat de material, inclòs el dels fills que en anar-se’n de casa, no se’l van endur. Certament algun dia encara m’agafa la nostàlgia i munto alguna casa, però bàsicament ara faig servir les peces de Lego com a material de trencaclosques o de prototip de jocs.

Peces de gruix ⅓, amb superfície amb pius o llisa que empro per fer diversos jocs

A vegades, senzillament és material per fer una foto, com en el cas d’aquest joc de tetròminos. És una foto retocada, no tinc peces de tots aquests colors. Concretament el taronja i el blau no són «naturals».

Un joc de tetròminos fet amb Lego

En altres casos són muntatges operatius. Per exemple un joc complet de tetracubs, que en el mercat només n’he trobat algun extremadament car i em vaig estimar més muntar-me’l jo mateix. Aquí sí que els colors són els reals. El que no em vaig poder fer va ser un joc de pentacubs, n’hi ha vint-i-nou i ni de lluny tic prou peces per fer-los. Es pot observar que els dos primers, a dalt a l’esquerra, són l’un la imatge especular de l’altre i girant-los en el nostre espai de tres dimensions, és impossible transformar una forma en l’altra. Els altres sis pentacubs són simètrics.

Els vuit tetracubs. En algun cas es poden veure les peces d’alçada ⅓

El següent trencaclosques fet amb Lego, es pot resoldre amb paper quadriculat i llapis, però és més sorprenent presentat en forma de peces sòlides: la peça de l’esquerra es pot dividir en dues d’iguals com es veu a la dreta de la imatge. Naturalment que si es deixa manipular la peça original, la solució és òbvia, i reunir les dues peces de la solució és massa fàcil, el trencaclosques de Lego serveix bàsicament per mostrar la solució.

Una figura divisible en dues d’iguals

Finalment, un trencaclosques relativament difícil, de manipulació, que consisteix a disposar les tres peces en forma d’U i les cinc rectangulars de l’esquerra de la imatge, format la mateixa figura. La solució a la dreta. Potser la dificultat rau en el fet que sovint no es pensa en figures amb forats.

Les peces de l’esquerra es poden disposar per muntar dues figures de la mateixa forma

Malauradament, comprar peces de Lego específiques, sempre ha estat difícil. En particular em trobo amb una curiosa paradoxa: Per internet he vist alguna persona que ven trencaclosques fets de Lego, i el preu al que els ven —inclòs embalatge enviament i el seu benefici— és menys de la meitat del que em costarien a mi les peces comprades directament a l’empresa, encara que les compri a milers. Segur que hi ha algun canal per a aquesta mena de productes, però no l’he sabut trobar.

Al claustre de la catedral de Tortosa, edifici gòtic del segle XIV edificat sobre un anterior romànic, hi podem trobar aquesta peculiar finestra, del segle XIII, aprofitant materials visigòtics molt anteriors i també reaprofitats d’algun edifici de l’època romana.

Columnes al claustre de la catedral de Tortosa

La finestra presenta la curiosa particularitat de tenir dues columnes fetes de pedra de colors, una vermellosa i l’altre verda. Els seus basaments tenen els colors canviats.

La pedra vermellosa és pòrfir i la verdosa de la columna de l’esquerra, gabre, ambdues possiblement provinents d’Egipte. Però el fust, també verd de la columna de la dreta, sembla de marbre verd provinent del Peloponès.

El pòrfir és una roca ígnia vermella, amb grans cristalls de quars dins una matriu de silicats en forma de cristalls molt petits indistingibles a simple vista. Tant pel color vermell, per la reva raresa al menys al centre del món clàssic, com pel fet de ser la roca més dura que es coneixia antigament, va ser emprada en construccions de luxe, tant en època romana com posteriorment. Per exemple a Catalunya és de pòrfir la tomba de Pere el Gran.

El gabre és una roca volcànica, de la mateixa composició que el basalt, però que s’ha refredat més lentament i, en conseqüència, els seus cristalls són més grans. El color verd d’alguns gabres es deu a la presència de cristalls d’olivina, un silicat component majoritari del mantell terrestre. De fet és el mineral més abundant de la Terra, encara que en superfície es degrada ràpidament.

La foto és de l’any 2005 i crec que des d’aleshores és la que sempre ha estat a la Viquipèdia. No la vaig pujar personalment, l’havia publicat en una web de paisatges i edificis ja desapareguda, amb llicència lliure compatible amb la de la Viquipèdia.

El dia que hi torni, si puc, m’agradaria fer unes macrofotografies dels materials, que amb la càmera de fa quinze anys, no podia fer.