Ciència nombres i lletres

No, no va de política, almenys directament, ja que intentar fer pensar en té moltes connotacions. Però avui va bàsicament d’idiomes, representats per una bandera i nombres enters.

Es podria fer per a moltes altres llengües, encara que en algunes no tindria massa sentit i en altres no hi hauria solució.

En tot cas, aquí el problema fa servir anglès, francès, castellà, italià, català i basc, essent l’ordre en el gràfic totalment irrellevant, em va venir bé així quan dibuixava el gràfic.

Com sovint, la pregunta és «Què és?»

Aquest problema, me’l vaig trobar per casualitat. Va ser en un paper força brut i vell, de la dècada dels setanta, en una caixa de components electrònics. Era un full ple de nombre i parts d’esquemes de circuits senzills, bàsicament digitals. Altres fulls relacionats s’havien perdut.

La part del problema era un gràfic, fet a mà, que vaig trigar una mica en deduir què era. Només en aquest punt vaig recordar què estava fent. O sigui que en la resolució del petit enigma, no hi va intervenir de manera conscient la memòria. El gràfic, tornat a dibuixar a l’ordinador, que escanejat no es veia gaire bé, és aquest:

La gràfica del paper vell, més o menys reproduïda en més gran

Com sempre la pregunta és: «Què és?»

Sovint se m’ha dit que els meus problemes —i específicament en la sèrie «Què és?» són massa difícils. I probablement és cert, però que això pugui semblar negatiu és fruit d’haver assumit un mètode pedagògic molt més basat en l’exercici que en el problema. Quan hom proposa als alumnes —i no vull dir específicament escolars— una sèrie d’exercicis, se suposa que l’objectiu és que gairebé tots els alumnes els solucionin tots. Cas contrari voldria dir que el procediment a aplicar en la solució no ha estat explicat, après o assumit pels alumnes.

Els problemes són diferents, d’entrada no sabem ni tan sols si tenen solució. O si aquesta serà trivial, de «feliç idea» o dependrà d’alguna mena de coneixement previ que es pot tenir o no.

Té sentit, doncs, proposar-los a qui potser no els podrà solucionar? No és molt frustrant això per l’alumne?

La clau de tot plegat és que els problemes no han d’anar sols, han de ser un conjunt i l’objectiu primari és solucionar-ne alguns. El secundari és aconseguir un efecte «eureka» —Què bo que sóc, em pensava que això no ho aconseguiria mai tot sol—. El terciari és més proper a l’efecte «merda!» —hauria d’haver descobert la solució tot sol, però realment l’he trobada d’una altra font— , però també és útil si és que realment s’ha treballat en el problema.

Avui presento un problema senzill, dels que anomeno «de peces», ja que es podria plantejar amb peces reals que sovint i malaurada, no tinc.

Què és?

Veiem un conjunt de peces de fusta disposades irregularment. Com deia abans, no tinc aquestes peces, són una imatge de síntesi: amb un programa vectorial vaig dibuixar totes les peces; a continuació hi vaig copiar al damunt una textura de fusta treta de la foto d’un moble de casa; les peces les vaig passar a un programa bitmap on les vaig girar i desordenar a l’atzar; i finalment vaig afegir-hi un fons i una mica d’ombra.

El primer pas per solucionar l’enigma és caracteritzar la imatge.

Hi ha peces repetides?
A primera vista no, potser valdria la pena començar a fer una cerca exhaustiva, però és una mica llarg i ho podem deixar per més endavant si ens cal.

Totes les peces tenen aproximadament la mateixa mida i tots els costats són ortogonals llevat d’un girat 45º, sempre de la mateixa mida. Ens podríem preguntar aquí, per exemple, si totes tenen el mateix perímetre, però no; en unitats arbitràries la peça de dalt a la dreta mesuraria 8 + √2 i la que té sota —de fet la majoria de les altres— 10 + √2. Pista falsa.

Són tots els costats ortogonals múltiples d’una dimensió mínima?
Aquí és fàcil veure que aproximadament sí. Hi ha costats de llargada 1, 2, 3, 4 i fins i tot en un cas —el de la peça de dalt a l’esquerra— 5. Continuem aleshores amb la hipòtesi que les dimensions són realment sempre nombres enters, múltiples d’un segment mínim que anomenem de mida 1; moltes peces tenen parts d’aquesta dimensió; i les que no —només n’hi ha dues, a dalt a la dreta i a dalt al mig— contenen un quadrat de 2 × 2.

Mirem ara la superfície. Cada peça conté un mig quadrat —unitari— tallat per la diagonal. I la resta? Si ens hi fixem una mica veurem que sempre hi ha quatre quadrats més, mai ni tres ni cinc. Aquest és el punt clau del problema.

Ara una lògica senzilla seria començar a generar figures formades per quatre quadrats i mig quadrat tallat per la diagonal. D’entrada sembla que qualsevol figura formada així apareix a la imatge. N’estem realment segurs del «qualsevol»?

Caldria comprovar-ho i per això no hi ha més remei que generar totes les figures que quatre quadrats i mig.

Un mètode podria ser el que vaig mostrar en aquesta entrada.

Però, com en tots els problemes inductius, n’hi ha més.

Un altre és veure que una figura formada per quatre quadrats i mig, és un pentòmino al que hem escapçat mig dels cinc quadrats. De pentòminos n’hi ha dotze:

Els dotze pentòminos i les lletres que convencionalment els designen.

I hem de mirar la manera d’eliminar mig quadrat de totes les maneres possibles en cadascun d’ells. Amb unes precaucions: el mig quadrat eliminat no pot dividir el pentòmino en dues parts i cal eliminar duplicats. Em primer lloc duplicats sobre la mateixa peça; en el cas dels pentòminos simètrics —I, T, U, V, W, X, Z— eliminar simètricament el mateix mig quadrat es proporcionaria la mateixa peça de quatre i mig, cal evitar-ho. La segona qüestió, que seria més difícil d’evitar, és veure si en treure el mig quadrat de dos pentòminos diferents podem obtenir la mateixa peça de quatre i mig. Afortunadament és impossible com podem veure raonant a la inversa: si a qualsevol peça de quatre i mig li afegim el mig quadrat per la diagonal, ens resulta un pentòmino concret, precisament els que els generaria la peça en escapçar-lo, aleshores és impossible obtenir el mateix «quatre i mig» escapçant dos pentòminos diferents.

Una vegada generades totes les peces que quatre quadrats i mig, cal fer la comprovació: són tots a la imatge?
I el resultat és que no, n’hi ha un que no hi surt, precisament el de baix a la dreta de la imatge solució.

Imatge solució

Difícil? Sota el meu parer no pas gaire. Segurament sí una mica treballós, però comparat amb fer exercicis és una feina molt més interessant. Això sí, cansada, ja se sap que pensar és, precisament, molt cansat. Sobre tot per a qui no hi està acostumat. Un corol·lari d’això és que, dins l’ensenyament, si es vol que els alumnes aprenguin a pensar —afegeixo «tot solets»—, cal que tinguin temps per fer-ho, sense que tot ple de feines normalment inútils els prenguin totes les hores que els caldria. Podeu mirar una mica la meva teoria al respecte.

Els poliòminos, les figures formades per diversos quadrats iguals adjacents pels costats, permeten una gran varietat de problemes, molts d’ells inductius. Avui en presento dos relativament similars, que fan servir el joc dels 35 hexòminos.

És impossible col·locar els 35 hexòminos en un rectangle, però la demostració d’això, basada en la paritat és un tema que tocaré un altre dia. Però és possible col·locar-los en altres figures com per exemple un rectangle de 11 × 19 més una casella adjacent al mig del costat llarg. No és gaire fàcil fer-ho a mà amb un conjunt de les trenta-cinc peces, però amb un programa d’ordinador se’n poden treure milions de solucions, no l’he pogut deixar en marxa prou estona per saber el nombre.

Pels problemes d’avui parteixo de dues solucions d’aquest cas, però simplement com a il·lustració per mostrar les trenta cinc peces. La seva posició o orientació no hi té cap importància.

Els dos problemes són part d’una col·lecció de 12. Segurament seria exagerat posar-los tots aquí, però a l’hora de solucionar problemes d’aquesta mena, quants més n’hi ha, més possibilitats de solucionar-ne algun…

En el primer cas veiem els hexòminos pintats de dues maneres, uns de color rosa, i els altres verds.

Trenta-cinc hexòminos: 12 roses i 23 verds.

La pregunta és quin és el criteri.

Òbviament hi ha moltíssims possibles criteris per acolorir els hexòminos en diversos colors, aquesta és la gràcia i la dificultat dels problemes inductius. Fins i tot, algunes vegades passa que dos criteris que no tenen res o gaire a veure, ens porten al mateix acoloriment. Això vol dir que la solució a un problema inductiu sempre és probabilística, cal escollir el criteri subjectivament més senzill, és el que s’anomena navalla d’Occam.

En una entrada no fa gaire, en un problema també amb hexòminos, vam veure un criteri que era si la figura era el desenvolupament d’un cub o no. El criteri d’avui és subjectivament més senzill. Altres criteris a considerar poden ser: dimensions màximes, nombre de costats, nombre de costats d’una determinada mida, angles interns, enrajolats per peces més petites, mida màxima de una diagonal, caselles blanques s o negres sobre un tauler d’escacs, diàmetre màxim de la peça… Aquest problema té a veure amb algun d’aquests criteris.

Però potser una pista tangible i misteriosa sigui la primera que hi vaig veure: la dels «cucs». Un poliòmino pertany a la categoria dels cucs, si és possible fer per tot ell un recorregut quadrat a quadrat, pel costat, de manera que no es repeteixi cap casella. I la observació és que tots els cucs són verds i no hi ha cap hexòmino rosa que ho sigui. De totes maneres aquest no és el criteri perquè hi ha cinc hexòminos pintats de verd que no són cucs, per exemple el que sobresurt per la part superior.

Aquestes cinc peces són les que ens donen una pista definitiva si ens adonem que en totes elles hi ha un quadrat amb tres costats exteriors, que si comencem el camí de «cuc» per ell al següent pas ens trobem que hi hauria dues possibilitats de continuar de la mateixa mida, dues caselles. En els cucs normals, després de dues caselles, en podem fer dues més i dues més. En canvi en cap de les peces roses, en entrar des d’una punta i seguir una casella més, no trobem mai dues possibles continuacions de dues caselles. Aquest és la pista definitiva, en les peces verdes sempre podem fer dues dues i dues caselles per cobrir-les, en altre paraules, es poden recobrir amb tres dòminos i les roses, no.

En aquesta figura podem veure que les peces verdes es poden cobrir per tres dòminos.

En el següent problema, del qual avui no donaré més pistes llevat que el criteri té alguna semblança amb l’anterior, podem veure els hexòminos pintats de cinc colors.

Trenta-cinc hexòminos: 2 carabasses, 12 roses, 11 verds, 6 grocs i 4 blaus.

La pregunta torna a ser quin és el criteri.

Hi ha jocs com els escacs o el go, de regles relativament senzilles però d’anàlisi extremadament complex. Altres són més fàcils, potser fins arribar a l’extrem del tres en ratlla o per pura observació d”unes quantes partides és possible de manera gairebé intuïtiva trobar l’estratègia òptima.

Vull presentar aquí un altre joc també amb les regles molt senzilles, inventat a principis del segle XX per un matemàtic neerlandès, amb un anàlisi no tan senzill, però fàcilment abastable.

El material del joc són dos munts de fitxes, palets, mongetes o qualsevol objecte fàcilment comptable. S’enfronten dos jugadors per torns i a cada jugada poden enretirar el nombre d’objectes que vulguin de qualsevol dels dos munts, o la mateixa quantitat de tots dos.

Guanya qui s’enduu el darrer objecte.

Naturalment, si en començar els dos munts tinguessin la mateixa quantitat, el primer jugador guanyaria enretirant aquesta quantitat dels dos munts, cal començar doncs amb munts diferents, i cal posar-se d’acord en el sistema.

L’anàlisi bàsic per a petites quantitats és senzill, però el podem visualitzar molt més fàcilment si canviem el joc per un d’equivalent en un altre format.

En lloc de considerar les dues quantitats de peces dels munts, pensem en una fitxa col·locada en una casella d’un tauler quadriculat de mida arbitràriament gran. A partir de l’angle inferior esquerra numerem files i columnes començant per zero. La fitxa en una casella la podem assimilar a les seves coordinades, els nombres de la fila i la columna on rau. Aleshores, treure fitxes d’un munt equival a desplaçar la peça, com una torre, cap avall o a l’esquerra, i treure la mateixa quantitat de fitxes dels dos muts a desplaçar la peça en diagonal, com un alfil, cap avall i l’esquerra. L’objectiu del joc és ara arribar a la casella inferior esquerra, la que tindria les coordinades (0, 0).

Versió del joc en un tauler, els tres primers passos de la solució.

Aquesta casella és guanyadora si un jugador hi porta la peça, i la pintem en taronja al diagrama de l’esquerra. Totes les caselles pintades en blau, permeten al jugador que té el torn arribar a la casella guanyadora. En conseqüència, l’altra jugador ha d’evitar col·locar la peça en qualsevol casella blava, i sempre ho pot fer llevat que estigui en qualsevol de les dues caselles marcades en taronja, (2, 1) i (1, 2) des d’elles no hi ha cap moviment bo, o sigui que són perdedores pel jugador que té el torn (i guanyadores per l’altre).

Passem al segon diagrama on també s’han pintat de blau totes les caselles que ens porten a la sortida o a les anteriors vistes com a perdedores. Ara podem veure que les caselles (5, 3) i (3, 5) també són perdedores, des d’elles només es pot anar a una casella blava que asseguraria la victòria a l’altre jugador. Repetint el procediment de pintar de blau les caselles que ens poden conduir a les darreres perdedores, podem veure que (7, 4) i (4, 7) també ho són, des d’elles només es pot moure a caselles blaves. Sempre són perdedores les caselles més properes a l’angle inferior esquerra que no estiguin pintades de blau.

Amb un tauler més gran veuríem que les caselles crítiques són les de coordinades: (2, 1), (5, 3), (7, 4), (10, 6), (13, 8), (15, 9), (18, 11), (20, 12), (23, 14), (26, 16), (28, 17), (31, 19), (34, 21)… o les mateixes invertides: (1, 2), (3, 5), (4, 7)…

Per posar un exemple, si ens toca jugar i als munts hi ha 9 i 5 fitxes —o jugant amb el sistema del taulell la fitxa és a (9, 5)— la jugada bona és prendre sis fitxes del munt de nou per deixar 3 i 5 fitxes que és una posició perdedora per a l’altre jugador. En el tauler podem veure que des de qualsevol casella blava, sempre hi ha un moviment a l’esquerra, avall o en diagonal avall a l’esquerra, que ens duu a una casella dolenta per a l’altra jugador. I, recíprocament, des d’una casella taronja només ens podríem moure a una casella blava.

Si els munts continguessin 12 i 15 fitxes, una jugada bona seria enretirar-ne vuit de cada munt per passar a 4 i 7 que és una posició perdedora per a l’altre jugador. O treure’n tres del munt de dotze fitxes, que ens portaria a 9 i 15 que també és perdedora per a l’altre.

El problema que plantejo és trobar quines son les caselles crítiques, quina lògica hi ha en la sèrie de parelles de nombres.

Subsidiàriament, trobar com es deia el matemàtic que va publicar el joc per primera vegada i amb quin nom és coneix.

Els problemes de la col·lecció «què és?» poden ser força variats, encara que aproximadament dins les meves aficions i dèries. Aquí en presento un amb la solució per mostrar un possible procès mental per resoldre’l.

La figura és volgudament imprecisa, com un esquema més que un plànol. Amb possibles errades o imprecisions.

Un problema de la sèrie «què és?» amb deu figures

Hi veiem deu figures de colors grisos sobre un fons esmorteït entre groc, blau cel  verd. Probablement el fons no és significatiu, no es lliga de cap manera visible amb les figures.

Totes les figures consten de sis quadrats llevat de la primera, la de dalt a l’esquerra, que té alguns detalls més, com unes pestanyes disposades alternativament en els costats dels quadrats.

Aquí, ve un pas fàcil, la primera figura representa el desenvolupament d’un cub, allò que amb cartolina ens feien fer a l’escola en diversos treballs manuals. Incidentalment quan tenim una figura plana que es pot convertir a base de plegar-la, afegir-hi pestanyes i enganxar-les, la manera més fàcil de situar les pestanyes és alternativament en els costats de la figura plana: un sí i un no… Es pot demostrar que funciona sempre, com en el cas de la primera figura de la imatge. Òbviament, no és l’única disposició de pestanyes possible.

I si la primera pestanya és el desenvolupament d’un cub, què són les altres?

Si les numerem, és fàcil veure que tant la 1, com les 2, 3, 4, 6, 8, tenen quatre quadrats en vertical que farien una volta horitzontal a un cub, i una altra quadrat a cada banda que es podria plegar con les bases superior i inferior: són desenvolupaments del cub similars al primer i més conegut.

Les altres també? Efectivament unes poques manipulacions mentals o físiques ens mostren que també es poden plegar e forma de cub. De fet és l’única menara de plegar-les possible per formar un objecte de tres dimensions.

Aquí recordo una anècdota escolar. Un professor de ciències naturals, quan teníem uns tretze anys ens va donar uns dissenys per passar a cartolina i muntar uns objectes que representessin els sistemes cristal·logràfics bàsics —sí, es veia a aquella edat—. En el cas del sistema cúbic hi havia dues figures, el cub i l’octaedre regular que té les mateixes simetries. El professor en qüestió —a qui anomenàvem «l’Indi» perquè era molt vermell de cara— tenia un curiós sistema de puntuar aquell exercici, feia posar sobre la taula els cossos de cartró que havíem muntat, i els que estaven mal fets o enganxats o els erronis, els esclafava amb el puny… Bàsicament esclafava algun on n0 s’havien posat correctament les pestanyes o no s’havien enganxat, però recordo un cas curiós, un company havia muntat l’octaedre en una disposició alternativa, en lloc de ser dues piràmides quadrangulars unides per la base, li van resultar dos tetràedres regulars units per una aresta comuna i dues cares triangulars més formant una figura còncava. En uns pocs segons abans de morir esclafada ho vaig veure. I vaig pensar: l’Indi no ens donar cap mena d’instrucció més enllà de muntar les figures, o sigui que si na tenia diverses possibilitats, qualsevol d’elles podia ser vàlida. No tinc ni idea si l’alumne afectat ho recorda, però aquell dia, al menys jo, vaig aprendre inesperadament una cosa nova d’aquelles que recordaré tota la vida.

Però el problema del «què és?» no s’ha acabat, caldria comprovar tres coses més, si hi ha alguna figura incorrecta —bé, això ja ho hem fet i no—, si hi ha alguna figura duplicada, i si en manca alguna de la mateixa categoria.

Per veure si hi ha duplicats només cal posar cada figura en les quatre orientacions ortogonals possibles i les seves imatges especulars i veure si coincideixen amb alguna altra figura. No.

Trobar si en manca alguna és més delicat. Aquí cal posar els sis quadrats adjacents  de totes les maneres possibles, sense ni oblidar-ne cap ni duplicar-ne. N’hi ha 35 que són les figures anomenades hexòminos. Si aquí busquem la paraula a Google potser trobarem la solució al problema dels cubs, però en certa manera és fer trampa si, prèviament, no coneixíem la paraula.

Dels 35 hexòminos cal eliminar els 10 que ja tenim i comprovar tots els altres d’un en un. Pot semblar una mica feixuc però aquí rau l’interès de molts problemes heurístics, cal cercar —en principi inventar— un mètode que sigui pràctic, eficient i segur per fer-ho. Quan el tinguem, podrem comprova de dels 25 hexòminos que ens queden, 24 no es poden plegar en quadrat, només n’hi ha un altre que sí.

Aquest:

L’altre possible desenvolupament d’un cub

Sempre m’han agradat els problemes amb poques dades i ocasionalment n’he escrit-compost-inventat algun. Per exemple:

❀ La Maria col·leccionava baletes i ja en tenia entre cent i dues-centes. Un dia va decidir posar-les en una disposició en forma de trapezi o triangle, això és: una sèrie de rengles decreixents. Per exemple amb quinze baletes hagués pogut fer una figura amb 5, 4, 3, 2 i 1, o també 6, 5 i 4, o finalment 8 i 7. Normalment es podia fer la figura de moltes maneres. Però aquell dia, que havia aconseguit una nova peça per a la seva col·lecció, es va trobar que no ho podia fer de cap de les maneres.

Quantes baletes tenia?

La solució és única. Si considerem que els triangles no són trapezis, hi hauria més possibilitats. Quines o quina?

De manera més general, de quantes maneres un nombre natural es pot descompondre en suma de nombres consecutius? Si la resposta és 1, vol dir que només es pot fer amb un trapezi «degenerat», d’una sola línia que no el considerem trapezi. Si caracteritzem els nombres d’aquesta mena, tenim la solució al problema anterior.

Una imatge, pot ajudar una mica, a veure per on pot anar la solució:

Diverses disposicions d’entre 1 i 31 baletes.

Avui, una petita broma molt curta que no se’m va acudir ahir, dia dels innocents.

A les il·lustracions, totes amb llicència lliure i extretes de la Viquipèdia, s’hi poden veure una sèrie de personatges o símbols amb un número sota. La primera fila és internacional.

La segona és més nostrada…

Es tracta d’esbrinar què representen els números sota els personatges.

En el meu primer any d’universitat vaig cursar una assignatura de química general, en aquells dies el primer curs era comú a totes les carreres de ciències i a la enginyeria industrial, de manera que s’ajornava un any l’elecció de carrera, això sí, en haver-hi més assignatures que carreres, calia descartar-ne un parell que en certa manera feien ja una primer pas d’eliminació. En el meu cas vaig descartar dibuix tècnic —no tenia intenció de fer enginyeria— i biologia —no perquè no m’interessés, sinó perquè encara sobrava una assignatura—. Però la química si que la vaig escollir també sense intenció de continuar amb aquesta carrera.

El cas és que em va tocar un catedràtic, diguem-ne conflictiu. Era en ple franquisme, era del règim i no ho amagava, les seves avaluacions tenien fama d’arbitràries, el tracte amb els alumnes absolutament distant i els ajudants que ens van donar les pràctiques no estaven al nivell. Però he de reconèixer que de química en sabia un niu.

I per a mi, el curs que ens va fer va ser d’allò més interessant. Va ser un curs «historicista», per qualificar-lo amb una sola paraula. Començava al segle XVII explicant les teories prèvies, per exemple la del flogist, i com Cavendish, Scheele o Lavoisier van començar a formular noves teories que es basaven en la conservació de la matèria. Va descriure les observacions, experiments i mesures que es van fer, i la seva interpretació en termes actuals; així com els punts que encara restaven misteriosos.

Va continuar amb tota la química del segle XIX, des de Dalton, Berzelius, Mendeléiev, Kekulé o Moissan, entre molts d’altres —he escrit de memòria els químics que més recordo d’aquell curs—. Fins acabar als començaments del segle XX amb l’aplicació de la mecànica quàntica a la química per part de Bohr. Val a dir, que en tot aquest curs, mai no ens va proposar llegir els textos originals de l’època, tot era sota una formulació actual i al nivell que s’esperava d’alumnes de primer curs.

Una taula periòdica una mica peculiar

Jo havia tingut la sort d’haver tingut al batxillerat un gran professor de química i de tenir a casa un manual de química general dels anys 30 o 40 anomenat Babor entre altres llibres del nivell que s’espera en un primer de carrera. Vull dir que possiblement ja tenia el curs aprovat quan hi vaig entrar. I les explicacions de con s’havien anat descobrint i desenvolupant aquells coneixements que ja tenia, em van resultar molt útils dins una cultura generals científica.

I va arribar l’examen final. Però allí no ens va preguntar sobre la serp de Kekulé, l’enverinament de Moissan o de perquè van guillotinar Lavoiser, les preguntes anaven de reaccions d’obtenció de substàncies químiques, de solubilitats, entalpies de reaccions i similars, com els problemes que havia vist al batxillerat però a un nivell superior. Vaig aprovar i amb nota, però en general va ser una massacre, els curs, als alumnes que no tenien gaire nivell no els va ajudar a saber solucionar problemes de química.

La conclusió que vaig treure de tot això, és que l’aproximació històrica a les matèries, i ara no parlo de química sinó que estic pensant el la literatura i la filosofia al batxillerat, només serveix quan l’alumnat ja té un nivell teòric i pràctic prou gran en la matèria. Pensar que explicant el desenvolupament històric o, encara pitjor, fent llegir textos originals, s’adquireix de retruc el nivell general bàsic, ho trobo francament utòpic, per molt que aquesta aproximació pedagògica porti segles aplicant-se. Segurament té l’origen en la manca de textos explicatius adaptats al moment, que feia que els únic disponibles fossin els originals i les seves crítiques contemporànies.

Tornant a les ciències, un geni com Maxwell, va trobar unes equacions —són equacions diferencials en derivades parcials— que unificaven les lleis de l’electricitat i el magnetisme. Equacions importantíssimes que, entre altre corol·laris impliquen que una càrrega elèctrica accelerada emet energia en forma d’ones que es propaguen a una velocitat que té a veure amb les propietats elèctriques i magnètiques de la matèria i que, en el buid, resulta coincidir amb la velocitat de la llum. D’aquí, pensar que la llum és precisament una radiació electromagnètica. I molts altres desenvolupaments pràctics com les emissions i recepcions d’ones de ràdio. Ara bé, les equacions que va escriure en Maxwell no me les sé. Realment només les he vist pel damunt, i mai no les he hagut d’estudiar. Afortunadament perquè són d’una complexitat extrema. Va ser un altre geni que treballava en solitari de manera força autodidacta, Heaviside —simultàniament amb Gibbs, el primer gran científic americà després de Franklin—, que hi va descobrir una sèrie de simetries que van permetre reduir les equacions de Maxwell de vint a quatre, amb una formulació vectorial molt més manejable que sí que he estudiat. De fet, a hores d’ara, les equacions «de Maxwell» són quatre. Amb això vull dir que una obra enorme, pot ser difícilment comprensible en la seva formulació original i que de totes maneres les conseqüències són més importants que el descobriment primitiu.

Les quatre equacions de Maxwell, en principi eren 20 i força més complexes

Una cosa similar em va passar a filosofia del batxillerat amb els sil·logismes aristotèlics. Me’ls vaig aprendre de memòria per passar l’examen, sense intentar desenvolupar-los ni comprendre la seva gènesi. Però durant el mateix curs, va arribar a les meves mans un text o s’explicava l’àlgebra de proposicions, i en un parell de paràgrafs ho vaig veure tot clar. Tot allò que semblava tan complicat, a causa d’un llenguatge molt allunyat a mi, esdevenia trivial. Una lamentable conclusió que n’he tret és que un principi, que Russell va expressar en fora de famosa paradoxa, normalment no és assumit pels que van aprendre lògica a base de Barbara, celarent, darii, fira, eneas i companyia que creuen que quan dic que si —és només un exemple— una constitució diu que espanya és una nació, però que té «diverses nacionalitats», o sigui que una = diverses, cosa que és una contradicció lògica, del text se’n pot extreure qualsevol altre enunciat que serà cert dins el seu marc. I no és allò de «bé, però ja sabem que no és així…», no, és pura lògica irrefutable.

Per cert, la imatge és un «Què és?»

Hi ha una de les idees, originàriament del projecte «Què és?», que s’hauria de presentar sense enunciat, que la vaig treure del conjunt per incorporar-la a un projecte de novel·la. No com a part del text principal, sinó en forma d’apèndix —no essencial per a seguir la trama del llibre— on la protagonista explica els mètodes pedagògics que s’hi apliquen i els raonaments que ella ha de fer en aquell escenari, concretament una ucrònia feminista situada als anys cinquanta del segle XX.

En definitiva, un «Què és?», relativament difícil però explicat, ni que sigui superficialment.

La idea d’aquest enigma em va sorgir tot jugant amb un programa autòmats cel·lulars anomenat Golly. És lliure i es pot baixar per a qualsevol sistema operatiu d’ordinador o telèfon intel·ligent. Una de les regles que proposava s’anomenava precisament «replicator». Ignoro si John Horton Conway, que va idear els autòmats cel·lulars anomenats «joc de la vida», va desenvolupar aquesta regla alternativa, no he sabut trobar a la xarxa cap altra referència i mai no he vist res similar al problema que proposo.

Passo a copiar una part de l’apèndix de la novel·la en curs.

El paper que ens va donar l’Oscar —n’havia fet setze còpies, una per a cadascuna de nosaltres—, era un diagrama força senzill però sense cap explicació, només uns dibuixos sobre una quadrícula.

D’entrada, no li veia la més mínima connexió entre les diverses formes o patrons, més enllà de ser alguna cosa que «anava creixent». Per això, el primer que vaig fer va ser intentar veure quina relació tenia cada figura amb la següent, ja que semblava força evident que la figura inicial anava creixent a cada passa: al principi mesurava 5 × 6, al segon pas 7 × 8, i així, cada vegada augmentava en una unitat la mida en totes direccions, una mica com un cultiu de bacteris en una placa de Petri. Una placa de Petri una mica rara, concretament quadriculada.

Però una cosa és pensar en un creixement i una altra trobar-ne les regles. Com que la figura creixia per les vores, em vaig concentrar en les del primer i segon quadre. Les vaig dibuixar una al costat de l’altra en paper quadriculat, la primera en vermell amb un punt blanc i la segona en negre. Després les vaig superposar.

Aleshores, vaig observar que una línia de diversos quadres creixia una unitat cap a l’exterior, llevat del extrems. Per exemple dels sis quadres vermells de l’esquerra, els quatre del mig creixien un quadre cap a l’exterior, però els de les puntes es desplaçaven amunt i avall. Massa rebuscat.

Raonant en sentit contrari, tots els quadres de la segona figura, els negres, tocaven ni que fos per la diagonal un de la primera. Això anava una mica millor. De totes maneres, totes les caselles, amb punt o sense, de la vora de la segona figura, tocaven algun punt de la primera, però algunes contenien punt i altres no. I a quants punts de la generació anterior tocava cadascun de la nova?

Va ser fàcil veure que a un o a tres, mai dos. Examinant la vora de la tercera figura vaig poder constatar que també tenia els punts on se’n tocaven un o tres de la segona. Segur que anava pel bon camí. La regla del creixement exterior era aquesta, es complia en totes les figures. Què passava, aleshores, si a la perifèria hi havia caselles que no tocaven cap punt de la figura anterior?

El cas més clar era entre la sisena i la setena figura del paper original, a la vora dreta, a la part de baix. Hi havia cinc caselles en blanc a la sisena que a la setena corresponien a dos punts als extrems, punts que en tocaven a un de la generació anterior, i tres espais en blanc, que corresponien als llocs on no hi havia cap punt veí.

I la regla general de creixement interior?

No va ser difícil, a base de dibuixar les figures superposades —ho vaig fer en paper vegetal—, veure que en cada cas apareixia un punt a la casella que en el diagrama anterior tenia una, tres, cinc o set veïnes ocupades per un punt.

Bé, ja tenia la regla, i era simple. A cada generació apareix un punt a la casella que a la generació anterior tenia un nombre senar de caselles veïnes ocupades. Ara calia veure què passava a la novena generació del diagrama. Sense gaire esperances de veure res especial a la figura, vaig començar a dibuixar el novè requadre seguint la mateixa regla.

Ben aviat vaig veure una cosa estranya, que es va anar confirmat a mesura que vaig acabar de calcular tota la figura.

Extraordinari, apareixien vuit còpies de la figura inicial, com per art de màgia. De l’aparent caos de la vuitena figura sorgia l’orde. Ja convençuda a priori del que passaria —que la multiplicació de la imatge depenia de la regla i no de la figura inicial—, en vaig provar una altra sobre paper mil·limetrat; desprès de força feina i alguns errors va passar el que ja pensava, a la vuitena generació, apareixien vuit còpies del disseny de punts original.

I si seguia el procés?

Encara amb moltíssima més feina, vaig veure que a la generació setze, tornaven a sortir una altra vegada vuit còpies idèntiques, però més allunyades.

Ara, la pregunta era, per què?

Potser aquí, es mètodes de raonament matemàtics més clàssics em van ajudar una mica, en un problema on realment de càlcul n’hi ha ben poc. En primer lloc, buscar la versió més simple del problema: què passa quan es parteix d’un sol punt?

Aquí es pot veure que als passos 2, 4, 8 i, continuant, a totes les potències de dos, el resultat són vuit punts formant un quadrat separats per 2, 4, 8… caselles.

La segona constatació és que si hi ha dos punts, cadascun evoluciona de la mateixa manera i mantenint les posicions relatives. I quan els descendents de cadascun d’ells es troben a la mateixa casella, s’anul·len, és una superposició on buid + buid = buid, buid + punt = punt i punt + punt = buid.

Amb aquestes regles, és fàcil veure que quan una figura de mida menor que 8 evoluciona, a la vuitena generació cadascun dels punts inicials s’haurà multiplicat per vuit i estarà a una distància dels altres que ja no hi haurà superposicions; i com que manté les posicions relatives respecte els altres punts inicials, el resultat seran vuit figures idèntiques en disposició de quadre, que no es superposaran. Naturalment que si la figura inicial és més gran, caldrà esperar 16, 32, 64… o un nombre de generacions igual a una potència de dos prou gran, perquè les figures no es superposin i sigui visible la replicació.

Un dels elements en que he treballat durant molts anys dins l’àmbit que anomeno «gimnàstica mental», són les polifigures.

Una polifigura, en definició elemental, és una figura formada per diversos elements més petits, d’una sola o de molt poques classes, combinats en totes les disposicions geomètriques possibles.

Un exemple clàssic —i molt útil— de polifigures són els pentominós, figures formades per cinc quadrats iguals adjacents. De pentominós, n’hi ha dotze de diferents i es poden comprar en forma de trencaclosques. O fabricar-los de manera casolana que també és interessant. Però hi ha d’altres menes de polifigures, per exemple fetes amb triangles equilàters —anomenats aleshores poliamons—, hexàgons —polihexes— o altres menes d’elements.

En general, la tasca bàsica amb polifigures consisteix en encabir-les en una determinada figura el més senzilla possible. Per exemple col·locar els dotze pentominós en un rectangle.

★ Un joc de pentominós, exemple molt conegut de polifigures ★

Ara, aquí vull presentar un problema del projecte «Què és?» que hi està relacionat.

Les tasques d’aquest projecte consisteixen en interpretar una imatge, sense paraules. Cal esbrinar o imaginar què representa la figura, veure si és correcta. Per exemple pot ser d’un conjunt d’elements que tenen algunes propietats en comú —com és el cas de les polifigures— i mancar-ne algun, o haver-hi duplicats, o algun element discordant. Com a la vida real, la imatge pot contenir errades, deliberades o no.

Encara no tinc definit el mètode per donar pistes a les persones interessades en solucionar els problemes de «Què és?», això espero que anirà sorgint de la interacció amb el públic. El que sí és important, és que les pistes no han de ser públiques en el sentit de poder-se trobar posteriorment cercant a Google, per exemple. Això desvirtuaria totalment el problema, cosa que no vol dir que alguns «Què és?» es puguin solucionar a partir d’una cerca adequada, però mai de resultats d’altres persones sobre el mateix problema.

Algunes persones, en veure «Què és?», creuen que els problemes tenen tots caire matemàtic. No és cert, només una minoria ho són, emprant només conceptes elementals que, això sí, poden amagar raonaments complexes. La major part, però, no passen gaire de saber comptar, ordenar objectes o paraules, o comparar formes. Aquí es tracta d’aprendre a solucionar problemes, més aviat abstractes i acotats, cosa que pot ser útil per aprendre matemàtiques, entre altres moltes coses.

També cal dir que el nivell de dificultat o enginy és molt variable, va des d’elemental a francament difícil, com a la vida real que, en general, mai no sabem com de difícil serà un problema abans d’abordar-lo. Cal fugir del pensament que s’han de solucionar amb una «idea feliç», d’aquelles que o venen de sobte, o no arriben mai. No és el cas, tots els «Què és?» es poden solucionar via raonament i treball sobre les dades que veiem, cosa que no treu que en alguns casos, algunes persones els puguin resoldre a primera vista, però aquesta no és la idea pedagògica del tema.

En posaré un exemple al final de la entrada, naturalment sense paraules. No representatiu del tot perquè hi ha alguna pista, per exemple que el seu nivell és mitjà o la temàtica que va de polifigures. Un exemple on sí que la seva solució quedarà en obert, potser en forma de comentaris —o autocomentaris— a aquesta entrada. En definitiva, un «Què és?» amb la solució, o part d’ella, pública.