Un joc força senzill
Hi ha jocs com els escacs o el go, de regles relativament senzilles però d’anàlisi extremadament complex. Altres són més fàcils, potser fins arribar a l’extrem del tres en ratlla o per pura observació d”unes quantes partides és possible de manera gairebé intuïtiva trobar l’estratègia òptima.
Vull presentar aquí un altre joc també amb les regles molt senzilles, inventat a principis del segle XX per un matemàtic neerlandès, amb un anàlisi no tan senzill, però fàcilment abastable.
El material del joc són dos munts de fitxes, palets, mongetes o qualsevol objecte fàcilment comptable. S’enfronten dos jugadors per torns i a cada jugada poden enretirar el nombre d’objectes que vulguin de qualsevol dels dos munts, o la mateixa quantitat de tots dos.
Guanya qui s’enduu el darrer objecte.
Naturalment, si en començar els dos munts tinguessin la mateixa quantitat, el primer jugador guanyaria enretirant aquesta quantitat dels dos munts, cal començar doncs amb munts diferents, i cal posar-se d’acord en el sistema.
L’anàlisi bàsic per a petites quantitats és senzill, però el podem visualitzar molt més fàcilment si canviem el joc per un d’equivalent en un altre format.
En lloc de considerar les dues quantitats de peces dels munts, pensem en una fitxa col·locada en una casella d’un tauler quadriculat de mida arbitràriament gran. A partir de l’angle inferior esquerra numerem files i columnes començant per zero. La fitxa en una casella la podem assimilar a les seves coordinades, els nombres de la fila i la columna on rau. Aleshores, treure fitxes d’un munt equival a desplaçar la peça, com una torre, cap avall o a l’esquerra, i treure la mateixa quantitat de fitxes dels dos muts a desplaçar la peça en diagonal, com un alfil, cap avall i l’esquerra. L’objectiu del joc és ara arribar a la casella inferior esquerra, la que tindria les coordinades (0, 0).
Versió del joc en un tauler, els tres primers passos de la solució.
Aquesta casella és guanyadora si un jugador hi porta la peça, i la pintem en taronja al diagrama de l’esquerra. Totes les caselles pintades en blau, permeten al jugador que té el torn arribar a la casella guanyadora. En conseqüència, l’altra jugador ha d’evitar col·locar la peça en qualsevol casella blava, i sempre ho pot fer llevat que estigui en qualsevol de les dues caselles marcades en taronja, (2, 1) i (1, 2) des d’elles no hi ha cap moviment bo, o sigui que són perdedores pel jugador que té el torn (i guanyadores per l’altre).
Passem al segon diagrama on també s’han pintat de blau totes les caselles que ens porten a la sortida o a les anteriors vistes com a perdedores. Ara podem veure que les caselles (5, 3) i (3, 5) també són perdedores, des d’elles només es pot anar a una casella blava que asseguraria la victòria a l’altre jugador. Repetint el procediment de pintar de blau les caselles que ens poden conduir a les darreres perdedores, podem veure que (7, 4) i (4, 7) també ho són, des d’elles només es pot moure a caselles blaves. Sempre són perdedores les caselles més properes a l’angle inferior esquerra que no estiguin pintades de blau.
Amb un tauler més gran veuríem que les caselles crítiques són les de coordinades: (2, 1), (5, 3), (7, 4), (10, 6), (13, 8), (15, 9), (18, 11), (20, 12), (23, 14), (26, 16), (28, 17), (31, 19), (34, 21)… o les mateixes invertides: (1, 2), (3, 5), (4, 7)…
Per posar un exemple, si ens toca jugar i als munts hi ha 9 i 5 fitxes —o jugant amb el sistema del taulell la fitxa és a (9, 5)— la jugada bona és prendre sis fitxes del munt de nou per deixar 3 i 5 fitxes que és una posició perdedora per a l’altre jugador. En el tauler podem veure que des de qualsevol casella blava, sempre hi ha un moviment a l’esquerra, avall o en diagonal avall a l’esquerra, que ens duu a una casella dolenta per a l’altra jugador. I, recíprocament, des d’una casella taronja només ens podríem moure a una casella blava.
Si els munts continguessin 12 i 15 fitxes, una jugada bona seria enretirar-ne vuit de cada munt per passar a 4 i 7 que és una posició perdedora per a l’altre jugador. O treure’n tres del munt de dotze fitxes, que ens portaria a 9 i 15 que també és perdedora per a l’altre.
El problema que plantejo és trobar quines son les caselles crítiques, quina lògica hi ha en la sèrie de parelles de nombres.
Subsidiàriament, trobar com es deia el matemàtic que va publicar el joc per primera vegada i amb quin nom és coneix.