Ciència nombres i lletres

Fa uns dies un amic em comentava que feia poc havia fet un viatge a la bonica ciutat de Lisbona —Lisboa en portuguès— i, a banda d’explicar-me’n els nombrosos atractius de la ciutat i de la seva gent, ca comentar de passada que era una de les capitals —d’estat— més properes a Catalunya.

Certament, aquesta és una idea que la major part dels catalans compartim, no és gaire lluny.

Però la pregunta que em vaig fer va ser: Des de Barcelona i en ordre de distàncies a capitals d’estat, quin número ocupa Lisbona? Per simplificar entenc que la distància és en línia recta, de centre a centre de ciutat, no per carretera o ruta marítima.

Vaig pensar un nombre, i quan el vaig comprovar, fent ús de l’eina de mesura del programa GoogleEarth, vaig veure que m’havia quedat curt. I no només jo, totes les persones que vaig preguntar van dir nombres més petits que la realitat, amb una mitjana entre sis i set, i en tot cas no arribant mai a deu.

Quina és la resposta correcta?

Sorprenentment és tretze. Hi ha dotze capitals d’estat més properes a Barcelona. Aquestes són les ciutats amb la distància en quilòmetres a l’ajuntament de Barcelona.

1 Andorra la Vella (135)
2 Ciutat de Mònaco (502)
3 Madrid (506)
4 Alger (518)
5 Berna (747)
6 París (829)
7 Tunis (857)
8 Ciutat del Vaticà (858)
9 Roma (859)
10 Vaduz (866)
11 San Marino (887)
12 Luxemburg (963)

13 Lisboa (1009)

Un mapa amb les línies entre Barcelona i les dotze capitals més properes

Les possibles causes de la subestimació?

Potser el record de mapes de la península Ibèrica on no apareixen la majoria de les capitals de la llista. Sumat això a que hi ha microestats que habitualment no els tenim en compte.

Un altres problema geogràfic amb aquestes ciutats, consisteix en, sense mirar el mapa i a partir de París —que queda justa al nord de Barcelona—, en el sentit de les agulles del rellotge, determinar l’ordre de les ciutats. Sembla fàcil però també ho és cometre errades.

Els problemes de la col·lecció «què és?» poden ser força variats, encara que aproximadament dins les meves aficions i dèries. Aquí en presento un amb la solució per mostrar un possible procès mental per resoldre’l.

La figura és volgudament imprecisa, com un esquema més que un plànol. Amb possibles errades o imprecisions.

Un problema de la sèrie «què és?» amb deu figures

Hi veiem deu figures de colors grisos sobre un fons esmorteït entre groc, blau cel  verd. Probablement el fons no és significatiu, no es lliga de cap manera visible amb les figures.

Totes les figures consten de sis quadrats llevat de la primera, la de dalt a l’esquerra, que té alguns detalls més, com unes pestanyes disposades alternativament en els costats dels quadrats.

Aquí, ve un pas fàcil, la primera figura representa el desenvolupament d’un cub, allò que amb cartolina ens feien fer a l’escola en diversos treballs manuals. Incidentalment quan tenim una figura plana que es pot convertir a base de plegar-la, afegir-hi pestanyes i enganxar-les, la manera més fàcil de situar les pestanyes és alternativament en els costats de la figura plana: un sí i un no… Es pot demostrar que funciona sempre, com en el cas de la primera figura de la imatge. Òbviament, no és l’única disposició de pestanyes possible.

I si la primera pestanya és el desenvolupament d’un cub, què són les altres?

Si les numerem, és fàcil veure que tant la 1, com les 2, 3, 4, 6, 8, tenen quatre quadrats en vertical que farien una volta horitzontal a un cub, i una altra quadrat a cada banda que es podria plegar con les bases superior i inferior: són desenvolupaments del cub similars al primer i més conegut.

Les altres també? Efectivament unes poques manipulacions mentals o físiques ens mostren que també es poden plegar e forma de cub. De fet és l’única menara de plegar-les possible per formar un objecte de tres dimensions.

Aquí recordo una anècdota escolar. Un professor de ciències naturals, quan teníem uns tretze anys ens va donar uns dissenys per passar a cartolina i muntar uns objectes que representessin els sistemes cristal·logràfics bàsics —sí, es veia a aquella edat—. En el cas del sistema cúbic hi havia dues figures, el cub i l’octaedre regular que té les mateixes simetries. El professor en qüestió —a qui anomenàvem «l’Indi» perquè era molt vermell de cara— tenia un curiós sistema de puntuar aquell exercici, feia posar sobre la taula els cossos de cartró que havíem muntat, i els que estaven mal fets o enganxats o els erronis, els esclafava amb el puny… Bàsicament esclafava algun on n0 s’havien posat correctament les pestanyes o no s’havien enganxat, però recordo un cas curiós, un company havia muntat l’octaedre en una disposició alternativa, en lloc de ser dues piràmides quadrangulars unides per la base, li van resultar dos tetràedres regulars units per una aresta comuna i dues cares triangulars més formant una figura còncava. En uns pocs segons abans de morir esclafada ho vaig veure. I vaig pensar: l’Indi no ens donar cap mena d’instrucció més enllà de muntar les figures, o sigui que si na tenia diverses possibilitats, qualsevol d’elles podia ser vàlida. No tinc ni idea si l’alumne afectat ho recorda, però aquell dia, al menys jo, vaig aprendre inesperadament una cosa nova d’aquelles que recordaré tota la vida.

Però el problema del «què és?» no s’ha acabat, caldria comprovar tres coses més, si hi ha alguna figura incorrecta —bé, això ja ho hem fet i no—, si hi ha alguna figura duplicada, i si en manca alguna de la mateixa categoria.

Per veure si hi ha duplicats només cal posar cada figura en les quatre orientacions ortogonals possibles i les seves imatges especulars i veure si coincideixen amb alguna altra figura. No.

Trobar si en manca alguna és més delicat. Aquí cal posar els sis quadrats adjacents  de totes les maneres possibles, sense ni oblidar-ne cap ni duplicar-ne. N’hi ha 35 que són les figures anomenades hexòminos. Si aquí busquem la paraula a Google potser trobarem la solució al problema dels cubs, però en certa manera és fer trampa si, prèviament, no coneixíem la paraula.

Dels 35 hexòminos cal eliminar els 10 que ja tenim i comprovar tots els altres d’un en un. Pot semblar una mica feixuc però aquí rau l’interès de molts problemes heurístics, cal cercar —en principi inventar— un mètode que sigui pràctic, eficient i segur per fer-ho. Quan el tinguem, podrem comprova de dels 25 hexòminos que ens queden, 24 no es poden plegar en quadrat, només n’hi ha un altre que sí.

Aquest:

L’altre possible desenvolupament d’un cub

Sempre m’han agradat els problemes amb poques dades i ocasionalment n’he escrit-compost-inventat algun. Per exemple:

❀ La Maria col·leccionava baletes i ja en tenia entre cent i dues-centes. Un dia va decidir posar-les en una disposició en forma de trapezi o triangle, això és: una sèrie de rengles decreixents. Per exemple amb quinze baletes hagués pogut fer una figura amb 5, 4, 3, 2 i 1, o també 6, 5 i 4, o finalment 8 i 7. Normalment es podia fer la figura de moltes maneres. Però aquell dia, que havia aconseguit una nova peça per a la seva col·lecció, es va trobar que no ho podia fer de cap de les maneres.

Quantes baletes tenia?

La solució és única. Si considerem que els triangles no són trapezis, hi hauria més possibilitats. Quines o quina?

De manera més general, de quantes maneres un nombre natural es pot descompondre en suma de nombres consecutius? Si la resposta és 1, vol dir que només es pot fer amb un trapezi «degenerat», d’una sola línia que no el considerem trapezi. Si caracteritzem els nombres d’aquesta mena, tenim la solució al problema anterior.

Una imatge, pot ajudar una mica, a veure per on pot anar la solució:

Diverses disposicions d’entre 1 i 31 baletes.

A simple vista, si la tenim prou bona, podem apreciar marques fosques a la superfície de la Lluna. A principis del segle XVII, quan els astrònoms van començar a observar-la amb telescopis, les xones fosques es van prendre per mars i les més clares per terres. Ben aviat va ser evident que els «mars» no ho eren, ja que al millorar la qualitat dels telescopis es va veure que també tenien cràters com les «terres», encara que menys, i altres detalls orogràfics com muntanyes o esquerdes. Però el nom va restar, les zones fosques s’anomenen mars, encara que ningú no anomena terres les clares, en tot cas terres altes, ja que ara sabem que, al menys a la cara visible de la Lluna, tenen força més elevació topogràfica.

No va ser fins els començaments de la dècada de 1960 que va quedar clar que la majoria, tant dels cràters lunars com dels mars —que es denominen amb el mot llatí mare— havien estat produïts per l’impacte d’asteroides, de mida i velocitat variable. En definitiva molts mars eren un cràter gran. I la seva coloració fosca es devia a que van ser posteriorment inundats per laves procedents de l’interior lunar.

Filant més prim, no sempre és així, alguns mars podrien no correspondre a un impacte, o al menys a un únic impacte, i no tots els grans impactes han originat cràters posteriorment inundats per lava. Especialment els grans impactes a la cara oculta de la Lluna que, per raons no clares del tot, té l’escora molt més gruixuda que la cara visible. Es pot observar en un mar que queda a cavall entre l’hemisferi visible i l’ocult, el mare Orientale, que només està parcialment inundat per laves.

Foto domèstica de la Lluna, amb una càmera «bridge», amb els mars més visibles marcats.
A Procellarum (oceanus), B Imbrium, C Serenitatis, D Tranquilitatis, E Crisium, F Fecunditatis, G Nectaris, H Nubium i I Humorum.

Dels grans maria —és el plural llatí de mare— que podem observar des de la Terra, Procellarum —que com que és el més gran no és mare sinó oceanus— i Tranquilitatis no semblen correspondre a antics impactes. Entre altres coses perquè no presenten rastres d’un o diversos anells muntanyosos concèntrics com els altres mars. Podrien ser depressions tectòniques prèvies a l’època dels grans impactes asteroïdals que van formar les conques dels altres maria i es van produir entre fa 4100 i 3800 milions d’anys.

Els que sí corresponen a conques d’impacte asteroidal, són, aproximadament dels més antics als més recents: Nubium (H), Serenitatis (C), Nectaris (G), Humorum (I), Crisium (E), Imbrium (B) i, finalment, Orientale que és veu gairebé de gairell a la vora del disc lunar i no s’aprecia a la foto.

Mare Orientale, foto de la NASA. Només la part central està parcialment inundada per laves.

A la cara oculta de la lluna, hi ha força conques d’impacte de mida similar o més gran —pol sud-Aitken, que és la més gran i antiga de les conques lunars clarament identificables— que les de la cara visible. L’única que conté quantitats apreciables de terreny fosc que són fruit d’erupcions de material profunds, és el mare Moscoviense, totes les altres són clares, amb materials procedents de l’escorça lunar.

Tinc el costum de publicar tot el meu material públic, sota llicència Creative Commons By Sa.

És una llicència adequada per a la Viquipèdia, i, deixant de banda que la feina cultural no la faig amb intenció lucrativa, permet que tercers es puguin aprofitar del meu material, bàsicament textos, fotos i il·lustracions.

En aquest bloc, les fotos que hi incloc, o són meves, o provinents de la Viquipèdia o d’entitats com la NASA que posen en domini públic la major part del seu material.

El fet de publicar amb llicència lliure permet divulgar l’obra pròpia i alguna vegada l’acabo veient en llocs que no sabia, és el cas d’aquest matí quan mirant blocs de VilaWeb, he vist aquesta foto:

Can Ferrer de la Cogullada, km 7,4 carretera TV-2443, de Vila-rodona a Aiguaviva
Foto del 8 de juliol de 2011

L’he reconegut instantàniament i he avisat a l’autor del bolc, no per ser perepunyetes sinó per divulgar la llicència lliure, que havia de respectar les condicions, bàsicament reconeixement (by) i compartir per igual (sa), que sovint entre la font original i l’usuari es poden perdre.

Això de publicar amb llicència lliure fa que es donin situacions curioses, com la veure la meva dona per televisió en una notícia sobre els crims de Tor. Bé, jo sé que és la meva dona perquè vaig fer la foto, força abans dels crims…

Tor, Pallars Sobirà. El punt blau cel al mig de la foto és la meva dona…

També la podeu veure a les fotos a la Viquipèdia de Capafons o el pont de Malafogassa, entre altres.

Fa unes setmanes vaig escriure una rèplica a qui de bona fe, tenia por que la creació d’una «reserva» de cel fosc, amb limitacions a la il·luminació nocturna, especialment a la que es perd a l’espai o es reflecteix en el núvols, podria portar a una degradació del territori, aquí el reprodueixo una mica. També parlava dels astròlegs, una mena de persona que mai a la vida he vist al camp, en zones no contaminades lumínicament, fent observacions.

❀ ❀ ❀

En tres ocasions en la meva vida, he estat cridat per artistes o responsables de monuments, per tal que calculés la seva orientació o posició relativa respecte a algun fet astronòmic com pot ser la sortida del Sol determinat dia. Sense cobrar. En les tres ocasions, en la inauguració del monument, l’artista o responsable, en el seu discurs, m’ha anomenat l’«astròleg».

Monument a la consulta d’Arenys de Munt, que vaig ajudar a orientar, amb la Lluna pel forat i la contaminació lumínica al fons.

I això és com anomenar l’«alquimista» a algú que treballa a l’ajuntament per garantir la potabilitat de l’aigua. No, un astròleg, en èpoques antigues podia ser un astrònom que inventava històries personals per tal de fer-se un sobresou, o fins i tot sou. Però des de fa segles que és clar que és un estafador malgrat el que pugui creure fins i tot una majoria de la població, desinformada i amb necessitats psicològiques.

Com desinformació és pensar que el tema del cel fosc és una dèria d’uns quants extremistes amb ganes de molestar. No, l’alerta l’han donat científics. Potser sí que els primers van ser astrònoms, professionals, als quals la llum artificial destorbava a les seves observacions, però van venir desprès biòlegs, fisiòlegs i enginyers, explicant el seguit de problemes que genera el fet d’il·luminar el cel de manera desaforada. Des de problemes de migració o recerca de parella en molts animals nocturns; canvis en les preses i els seus predadors que ara poden actuar en qualsevol horari: problemes de son i vigília en els humans —que també es donen molt sovint en interiors per emprar il·luminacions inadequades—; fins arribar a unes emissions extres de CO₂ que contribueixen a l’escalfament de la Terra.

Sabem que hi ha polítics, que no creuen en el canvi climàtic, malgrat que la immensa majoria de científics el tingui clar del tot. Passa el mateix amb el cel nocturn, no és una collonada de quatre bojos, les evidències del problema són aclaparadores i les conseqüències si no s’actua, desastroses. Per això, qualsevol acció per conscienciar sobre ell, és prioritària. Fer reserves amb limitacions sobre la llum que dilapidem al cel, n’és una. Com la del Montsec al Principat de Catalunya o la de la illa de la Palma a les illes Canàries.

I crear «reserves» de cel fosc, no és una acció que portarà al lloc un turismes astronòmic massiu, deixant de banda que qui va a la muntanya a fer observacions astronòmiques, acostuma a ser força respectuós amb el medi ambient.

Relacionat amb tot això, uns petits enigmes científics sobre els que tinc intenció d’escriure algun dia:

• Per què papallones nocturnes i altres insectes s’acumulen prop dels fanals i altres llums nocturns? Realment les atreu la llum?
• Quina relació hi ha entre això i el concepte matemàtic de «passejades aleatòries»?

Avui, una petita broma molt curta que no se’m va acudir ahir, dia dels innocents.

A les il·lustracions, totes amb llicència lliure i extretes de la Viquipèdia, s’hi poden veure una sèrie de personatges o símbols amb un número sota. La primera fila és internacional.

La segona és més nostrada…

Es tracta d’esbrinar què representen els números sota els personatges.

Fa uns dies esmentava que el segon nom d’element químic que més apareix en les cerques de Google en llengua catalana és l’estany, just desprès de l’inevitable or. Clar que la gran majoria de les aparicions d’estany no es refereixen al metall, sinó a un llac no gaire gran.

I és que al menys al Principat n’hi ha força, especialment al Pirineu. De totes maneres, les fotos que presento avui, són d’estants relativament grans del Principat, de centenars de metres de mida, i no són pirinencs. Tampoc no són dels més coneguts.

Es tracta d’un estany natural i tres d’artificials. D’aquests darrers un prové d’una explotació minera abandonada, un altre és fruit de les escorrenties d’una zona agrícola regada per un canar i el tercer és va ser deliberat, una fondalada on s’hi va construir una presa per a ús industrial, actualment en desús.

El repte és identificar-los. Les pistes, no ho són gaire, més aviat anècdotes subjectives.

El més extens dels quatre. Per casualitat, de quatre cops que hi he estat, tres plovia

On hi he vist més pescadors. Tot i un bonic camí de ronda, no és possible fer-hi tota la volta

Aquest té moltíssimes canyes que dificulten arribar a la vora. La foto és una diapositiva dels anys vuitanta

Té dos «germanets» petits i un tercer totalment sec amb un prat al fons. Hi havia passat sovint prop sense veure’l

Bon Nadal a tots els lectors.

Malauradament vaig curt de temps i no he sabut inventar una entrada nadalenca, avui en poso una, en forma de diàleg, de les que tenia «en conserva».

—Avui, a classe de didàctica de les matemàtiques ens han posat un problema curiós —em va dir un dia la meva filla en tornar de la facultat fa una dotzena d’anys.

—Quin problema?

—Hi ha un hotel amb 1000 cambres numerades de l’1 al 1000 amb les portes tancades. 1000 cambrers passen successivament per totes les portes. El primer d’una en una, si la troba tancada l’obra i si és oberta, la tanca. El cambrer número dos, començant per la segona, passa les cambres de dos en dos fent el mateix. El tercer cambrer, igual però començant per la cambra tres i anant de tres en tres. I així fins el cambrer 1000 que va directament a la porta 1000 i la canvia. La pregunta és: quantes portes queden obertes al final?

Foto feta des d’Eina, a uns 5 km en línia recta de l’hotel de Font Romeu, a la Cerdanya, que va ser el de la primera estació d’esquí dels Pirineus. Té una certa retirada al de «The Shining», la pel·lícula de Kubric.

—Mira: és molt fàcil —vaig dir immediatament parlant sense pauses.
»El cambrer 1, canvia totes les portes que siguin múltiples d’1. El 2, totes les múltiples de dos, les parells. El tres les que duen un nombre múltiple de 3. I així fins el cambrer 1000 que només canvia la porta 1000.
»Cada porta canvia un nombre de vegades igual al de divisors del seu número.
»Les que canviïn un nombre parell de vegades restaran tancades al final; les que el nombre de canvis —que és el de divisors— sigui senar, quedaran obertes.
»En general un enter té un nombre parell de divisors, per exemple en el cas del 12 els podem agrupar per parelles que multiplicades ens donen precisament 12: 1 × 12; 2 × 6; 3 × 4, i ja està, tres parelles, sis divisors.
»Però tots els enters són així? No, si un és quadrat perfecte, la seva arrel quadrada queda desaparellada, per exemple el 36: 1 × 36; 2 × 18; 3 × 12; 4 × 9 i ens resta el 6 que formaria parella amb ell mateix.
»I quants nombres quadrats hi ha fins a 1000? La part entera de l’arrel quadrada de 1000 que és 31.

Ho vaig trigar ni un minut en dir tot això.

—Tu ja sabies el problema, oi? —va respondre la meva filla.

—Sí, clar, i la primera vegada potser vaig trigar una mica més d’un minut a resoldre’l, fins i tot recordo que vaig escriure alguna fórmula en un paper. Aproximadament va ser:

»Raonem a partir d’un exemple, pensem, per exemple, amb la porta 12. El primer cambrer la canviarà ja que les canvia totes; el segon també ja que passa de dos en dos, o sigui que canvia les portes 2, 4, 6… i la 12 cau en la seqüència; el tercer canvia 3, 6, 9, 12… també; el quart 4, 8, 12, també, el cinquè 5, 10, 15… no; el sisè 6, 12… sí; del 7 a l’onze passa de llarg; el cambrer 12 torna a canviar la porta, precisament la primera que canvia; a partir d’aquí, ningú no torna a tocar la porta 12. La conclusió és fàcil, la porta 12 s’ha canviat quan hi han passat els cambrers 1, 2, 3, 4, 6 i 12, en tres paraules, els divisors de 12. Si el nombre de cambrers que canvien la porta és parell, al fina quedarà tancada, i si és senar, oberta.
»I quins nombres naturals tenen un nombre senar de divisors?
»La fórmula, al menys jo me la sé de memòria des que em van ensenyar a descompondre un nombre en factors primers. Si un nombre natural n té una descomposició: p^a × q^b × r^c × s^d… on p, q, r, s… són els factors primers i a, b, c, d… els respectius exponents —ho escric així perquè aquí no puc posar-hi ni superíndexs ni subíndexs—, el nombre de divisors del nombre ve donat per la fórmula (a + 1) × (b + 1) × (c + 1) × (d + 1)…
»A veure, per que aquest resultat sigui senar, ho han de ser tots els termes que multipliquen, i com que tots són de la dorma x + 1, resultara que a, b, c, d… que són els exponents que apareixen a la descomposició de n, són tots parells, i es poden dividir exactament per dos. Aleshores el nombre: p^(a/2) × q^(b/2) × r^(c/2) × s^(d/2)… serà un enter i també l’arrel quadrada de n. O sigui que n és un quadrat. Només els enters quadrats tenen un nombre de divisors quadrats.
»La conclusió és que totes les portes quedaran tancades llevat de les que portin un nombre que sigui quadrat perfecte. I quantes n’hi ha? Si el quadrat de 1000 és 31 i escaig, ja que el quadrat de 32 és 1024 i es passa, restaran exactament 31 portes obertes. La resta, que corresponen a enters no quadrats amb un nombre de divisors parells, quedaran tancades.
»Clar que una vegada fet aquest raonament, que és més ràpid fer-lo de cap que escriure’l o llegir-lo, vaig buscar una simplificació que és la que t’he explicat al començament, sense necessitat de recordar la fórmula del nombre de divisors.

No sé com li va anar quan va tornar a classe d’aquella assignatura, l’únic que recordo és que, a final del curs, va treure matrícula d’honor. Com el seu germà en càlcul d’una carrera de ciències. No crec que sigui genètic, hi ha coses que s’encomanen d’altres maneres.

Des de molts punts elevats i relativament prop de la costa del Principat de Catalunya, és ben sabut que si les boires no ho impedeixen, es pot veure per damunt del mar la serra de Tramuntana de Mallorca, i també en sentit contrari. I això és possible ja que hi ha una línia de visió directa que passa per damunt de la superfície del mar.

Per exemple des del cim de Collserola, a 512 metres sobre el nivell del mar, es veu perfectament Puig Major, de 1436, a una distància de 185 km. De fet es veu un bon tros de la muntanya per damunt l’horitzó marí, no tan sols el cim.

Naturalment, com més alta és una muntanya, des de més lluny es pot veure.

I el càlcul d’aquesta distància es podria fer per geometria elemental. Per simplificar, suposem que la volem veure des d’un punt situat a nivell del mar. A l’esquema suposem que volem saber quina alçada h ha de tenir una muntanya, marcada en verd i amb el cim a B, per ser visible des del punt A a nivell del mar. Si anomenem O al centre de la Terra, que per a aquests càlculs podem suposar esfèrica de radi r = 6371 km, veiem que el triangle OAB és rectangle de costats r, d i r + h. Aplicant el teorema de Pitàgores tenim que r² + d² = (r + h)². I desenvolupant una mica: r² + d² = r² + 2hr + h²; restant r² d’ambdós costats de l’expressió: d² =2hr + h².

Esquema de la Terra amb una muntanya d’alçada h que es pot veure des d’un punt A situat a una distància d

Amb això podem calcular que, per exemple, si l’alçada h de la muntanya són 3000 metres, d² = 2·3· 6371 + 3². I fent els càlculs corresponents resulta que d² = 38325; i d = 195,53 km.

Ara passem a un cas concret, a la imatge hi veiem dues fotos de la mateixa muntanya fetes aproximadament des de la mateixa direcció. La de la dreta és meva des d’uns 40 quilòmetres del cim de la muntanya; la de l’esquerra, és una foto lliure extreta de la Viquipèdia, està presa amb un potent teleobjectiu des d’una ciutat a una mica més de 250 km en línia recta de la muntanya. Si una muntanya de 3000 metres, hem calculat abans que es pot veure des de 195 km, una que es pugui veure des de 250 quilòmetres ha de ser força més alta, concretament segons la formula, uns 4900 metres, més que el Mont Blanc dels Alps que en fa 4808.

Muntanya incògnita observada des d’un punt llunyà i des de més prop. Fotos de la Viquipèdia i meva.

Però la muntanya no és tan alta, de fet ni tan sols arriba als 3000 metres.

Con és possible, doncs, que es pugi veure, i no tan sols el cim sinó un bon tros més, des d’un punt al nivell del mar a 250 km?

On hi ha la trampa, si és que és una trampa?

La segona qüestió és quina és la muntanya i quina la ciutat a ran de mar des d’on s’ha fet la foto on sobresurt per damunt l’horitzó?

A la Galàxia hi ha grans núvols de gas i pols. Fa 4650 milions d’anys, en un d’aquests núvols, una part es va desestabilitzar, la densitat va augmentar i en augmentar també ho va fer la gravetat que, al seu torn, va fer caure més gas i pols sobre la zona, desencadenant un procés que hauria estat imparable si res no l’hagués aturat i tornat a un equilibri diferent.

Què va aturar el col·lapse del núvol?

La zona central, a més de ser la mes densa, també va ser la més calenta. La compressió del gas, al igual que quan inflem una roda, l’escalfa. I com més gas absorbia la gravetat del centre, més s’escalfava fins posar-se incandescent. Aquesta incandescència va provocar un gran flux d’energia en forma de llum —i altres radiacions infraroges o ultraviolades— que va començar a incidir sobre el gas que queia, fins el punt de donar-li un impuls cap a l’exterior superior a la gravetat.

Havia nascut el Sol i ja no anava acumulant més matèria.

La major part del material de núvol es va condensar en l’esfera del Sol, que en aquells temps era inestable, com les estrelles conegudes per t Tauri, però una part hi va que dar en òrbita sense arribar-hi, per un mecanisme ben conegut: El núvol aïllat havia de conservar el seu moment angular, de la mateixa manera que l’aigua de la pica quan traiem el tap. Com més es condensava, més ràpidament girava i les parts més externes van acabar format un disc giratori, a la manera d’uns gegantins anells de Saturn.

En aquest disc, la pols es va anar condensant en grans cada vegada més grans. El gas va ser escombrat de les zones més internes per la pressió de la radiació solar. I a partir d’aquí, es van començar a condensar els planetes. Prop del sol el material preponderant eren els silicats, els òxids metàl·lics i el ferro que no s’havia pogut combinar amb l’oxigen per fer òxid. A la zona més llunyana la temperatura era prou baixa perquè l’aigua formés gel. amb una gran abundància d’hidrogen, l’oxigen, el carboni i el nitrogen s’hi van combinar i l’aigua, els hidrocarburs i l’amoníac resultants es van congelar en forma de grans sòlids.

El material condensat, anava creixent per contacte a baixa velocitat de les partícules de la zona. Primer van ser grans microscòpics, més tard van anar creixent fins a centenars de metres. O aleshores es va produir un nou efecte, aquestes condensacions, que s’anomenen protoplanetes, tenien gravetat i van començar a atreure’s mútuament. Al principi lentament, en col·lisions que acumulaven els dos protoplanetes, però a mesura que creixien, per una banda la seva gravetat era més gran i per altra queien des de més lluny i amb més velocitat d’impacte. En aquests impactes part del material «esquitxava» i tornava a formar cossos més petits, i l’altra s’escalfava molt per l’impacte. Quan els protoplanetes van assolir uns mil quilòmetres, els impactes eren prou forts com per poder provocar la fusió, al menys parcial, dels cossos impactants. I en una massa líquida els materials més densos van cap al centre.

De la matèria que formava els grans primitius de la zona interna del sistema solar, el material abundant més dens és el ferro —i alguns metalls com el níquel que s’hi barregen fàcilment—, o sigui que va anar a parar al centre dels planetes en formació, arrossegant en el camí altres elements fàcilment solubles en ferro com l’or o els del grup del platí, i també el sofre que era abundant i té força afinitat química pel ferro. Les altres partícules abundants eren de silicats i òxids, que van fer capes al voltant del nucli de ferro.

En un període relativament curt en termes astronòmics, a la zona interna del sistema, la gran majoria del material s’havia acumulat en quatre cossos —planetes— Mercuri, Venus, la Terra i Mart. La Lluna és una altra història, fruit d’un dels darrers impactes de protoplaneta gran contra la Terra.

Amb posterioritat aquesta planetes van adquirir atmosferes i aigua procedents de les zones més exteriors del sistema solar, allà on l’aigua i altres volàtils s’havien pogut condensar.

Mentre això començava a passar, lluny del Sol, els protoplanetes també es van anar condensat, però allà la composició era diferent, hi havia molta més aigua i compostos lleugers. I també encara quedava molt del gas primordial. Quan els protoplanetes van tenir prou gravetat, van començar a atreure l’hidrogen i l’heli que eren sobreabundants i van créixer bàsicament a partir d’aquests dos elements, Així es van formar Júpiter i Saturn. També Urà, Neptú i possiblement alguna altre planeta de mida similar format bàsicament per gels, sense una proporció tan aclaparadora de gas.

Júpiter, que pesa més que tots els altres planetes junts, va tenir prou gravetat per atreure una ran part del material que quedava entre ell i la zona on s’estava formant Mart. El material que va quedar, va restar en forma de protoplanetes petits, d’uns centenars de quilòmetres màxim. Són els anomenats asteroides del cinturó principal.

Però ens han permès descobrir una pregunta inicial:

Per què es va desestabilitzar el núvol de gas i pols que va donar origen al Sistema Solar?

Aquests protoplanetes eren, en principi, massa petits per poder-se fondre en els impactes i generar un nucli de ferro. Però l’observació de meteorits provinents d’aquella zona ens mostra que molts d’elles estan diferenciats, amb nucli de ferro. O no tan nucli, en alguns casos els impactes, que no podien fondre l’asteroide, si que el podien trencar deixant fragments, uns fets de silicats, i altres de ferro. Alguns asteroides són clarament nuclis metàl·lics d’un anterior diferenciat, és el cas de Psyche, un asteroide de més de 200 km, format molt majoritàriament per metalls, bàsicament ferro.

I com es van poder formar aquests nuclis de ferro si l’energia dels impactes no era prou per fondre l’asteroide?

La nebulosa del cranc, restes d’una explosió de supernova i l’asteroide 4 Vesta, de 500 km i que té un nucli diferenciat de ferro. Fotos del telescopi Hubble i de la sonda Dawn de la NASA

El mecanisme que s’ha descobert per explicar-ho, ens explica també com es va desestabilitzar el núvol solar primordial.

La resposta és l’alumini 26.

A més dels impactes i la compressió gravitatòria, l’altra font de calor coneguda en un planeta és la radioactivitat. Però hi pot haver prou material radioactiu per generar prou calor per a poder fondre l’interior d’un protoplaneta de menys de 1000 km?

Actualment, els elements radioactius a la terra com l’urani el tori o el potassi 40, són poc abundants i amb activitats baixes. Quan es va formar el sistema solar, d’urani n’hi havia el doble, i de potassi 40 unes tretze vegades més abundant, però ni així generaven prou calor com per fondre un nucli asteroidal.

Podia existir algun altre element radioactiu de vida curta, actualment ja desaparegut, que generés més calor?

De vida molt curta no podia ser, fins que no es van començar a formar asteroides d’una mida relativament gran, van passar diversos milions d’anys, una substància tipus carboni 14, amb una semivida de 5700 anys, s’hauria ja exhaurit totalment. Tenia que ser un isòtop amb un període de semidesintegració d’entre mig milió i deu milions d’anys, per tal que encara n’hi hagués prou, tingués prou activitat i que actualment ja no en quedi. A més, raonablement n’hi hauria d’haver una certa quantitat al núvol inicial.

I resulta que pràcticament l’únic isòtop que reuneix els condicions és l’alumini 26. Actualment, al sistema solar, pràcticament ja no en queda ja que cada 700000 anys la meitat es desintegra en magnesi 26. Generant calor, com totes les desintegracions radioactives.

Però si l’alumini 26 és una substància que en terminis de milions d’anys es desintegra gairebé del tot, com n’hi podia haver en el núvol da gas i pols on es va formar el sistema solar?

La resposta evident és que s’havia format feia poc.

I on es pot formar alumini 26?

En les explosions d’estrelles massives en forma de supernoves.

Perquè encara en quedés al núvol, l’explosió havia hagut de ser d’una o diverses estrelles del propi núvol, condensades abans que el Sol. I precisament les ones de xoc de les explosions de supernova, comprimeixen el material circumdant tot fent que pugui col·lapsar per la gravetat i donant naixença a altres estrelles, com el Sol i el seu sistema planetari.

O sigui que l’existència de ferro en forma metàl·lica condensada en asteroides del cinturó principal, és la pista crucial sobre com va començar la història del nostre sistema.

Com en Sherlock Holmens, una mica de deducció i molta inducció, encara que això darrer normalment no es reconeix tant.

Avui, quan escric que és 21 de desembre de 2019, fa exactament cinquanta anys de l’enlairament de l’Apollo 8, la primera nau tripulada que va anar a la Lluna. No hi va allunar, va arribar a la seva proximitat, hi va fer deu òrbites i va tornar a la Terra. Els tres tripulants de la nau, són l’única tripulació dels Apollo que són tots tres vius amb 90, 90 i 85 anys. I són vius perquè tot, gairebé tot, va sortir bé.

No les tenien totes: No s’havia fet un assaig sense tripulació del vol. La càpsula Apollo, només havia volat una vegada amb tripulació en òrbita terrestre. El coet Saturn V, era la tercera vegada que volava, però la segona havia tingut uns greus problemes que haurien abocat la missió a una catàstrofe. Un enginyer de la NASA, a pilota passada, va comentar que creia que la missió només tenia un 50% de probabilitats d’acabar bé. Cal recordar aquí que si l’accident de l’Apollo 13 els hagués passat a ells, no se n’haurien sortit, els tripulants del 13 van sobreviure perquè van poder emprar els sistemes de suport vital, electricitat, oxigen, depuració de l’aire i aigua del mòdul lunar, però en el vol d’Apollo 8 no en tenien.

Del primer incident del vol, en aquells moments no se’n va fer publicitat. El comandant Borman, tot i que ja havia volat a l’òrbita terrestre prèviament, va tenir un atac de mal de l’espai amb vòmits i diarrees. A la terra, en el pitjor dels casos, tot això cau a terra, però sense gravetat… es veu que no van comunicar el problema a la Terra fins haver-lo solucionat, en la mesura del possible.

Foto de la Terra sobre la Lluna, presa per William Anders el 1968. Posada per la NASA en domini públic.

De cara al públic, potser el més interessant d’aquella missió va ser la foto que Anders va prendre de la Terra emergit de l’horitzó lunar, més o menys quan es reemprenien les comunicacions amb la càpsula. Val a dir que quan sobrevolaven la cara oculta de la Lluna, i ho van fer deu cops, no tenien sistema de comunicació.

Durant gairebé 50 anys, sempre ha estat així, no hi ha comunicació des de la cara oculta de la lluna. Fins que els xinesos van posar en òrbita la sonda Queqiao, en una òrbita anomenada d’halo a l’entorn de l’anomenat punt de Lagrange L2 de la Lluna, que està 65000 km més enllà vist des de la Terra. Aquest satèl·lit com a primera missió tindrà la de fer d’enllaç amb Chang’e 4 que allunarà a la cara oculta, precisament en la zona més profunda de la Lluna, al fons de la conca Pol Sud-Aitken.

Tota aquesta història m’ha fet recordar la història fictícia d’Hergé de l’any 1952, dins les aventures de Tintin en els volums «Objectiu: la Lluna» i «Hem caminat damunt la Lluna».
Els dos àlbums són prou divertits però em vull centrar en les errades tècniques que a primera vista recordo.

La primera és la disposició dels viatgers en lliteres bocaterrosa. És gairebé la pitjor possible per resistir una acceleració forta. No és d’estranyar que tots perdessin el sentit en enlairar-se el coet.

Un altre problema és més estructural. Als àlbums figura que el coet està tot el viatge amb el motor en funcionament, la primera meitat accelerant i la segona frenant. Això donaria gravetat artificial als astronautes, llevat dels moment de les maniobres, per exemple el canvi d’orientació. Però no és possible de cap de les maneres. Fins i tot imaginant que amb el motor atòmic disposem d’una quantitat il·limitada d’energia, del que no és pot disposar és d’una massa il·limitada de material per ejectar amb el motor. Amb una acceleració mínima que permetés caminar als viatgers, posem-hi 0,1 g, les lleis de la física començant per la conservació del moment, ens indiquen que la massa a ejectar hauria hagut de ser milers de vegades superior a la que cap dins d’un coet d’aquella mida. Llàstima.

Un viatge a la Lluna ha de ser com el d’Apollo 8 o quasi, la major part del trajecte amb vol balístic sense motors en marxa o, en tot cas, amb una acceleració molt petita, que no faria efecte de gravetat a l’interior de la nau.

Una altra errada és l’encontre amb l’asteroide Adonis. Deixant de banda que l’aproximació màxima entre Adonis i la Terra és més de quatre vegades la distància de la Lluna, o sigui que mai ens el podríem trobar en un viatge al nostre satèl·lit, la velocitat de l’encontre seria al menys d’uns 4 km/s, probablement força més, o sigui un vist i no vist. També la gravetat d’un cos mida Adonis és insignificant per atreure el capità Haddock o el propi coet. Aquesta errada l’he vist repetida en pel·lícules modernes de pretesa ciència-ficció, en general, si no és buscant un encontre deliberat en la mateixa òrbita, dos objectes a l’espai es mouen en velocitats relatives de, com a mínim, quilòmetres per segon.

Una altra errada, al final. Quan figura que se’ls exhaureix l’oxigen, els símptomes dels viatgers són els de la intoxicació per diòxid de carboni, que és el que causaria la mort d’algú tancat amb un espai petit sense subministrament d’aire fresc. En submarins i naus espacials, el diòxid de carboni emès per la respiració es captura químicament amb un hidròxid alcalí, de sodi en el submarins, pel seu baix cost, o de liti en les naus espacials pel seu poc pes. Cas que en una nau espacial s’acabi l’oxigen, el problema és l’anòxia, de la qual els astronautes no en serien pràcticament conscients, s’adormirien i es moririen però sense sensació d’ofegar-se, potser amb alguna al·lucinació quan comences a minvar l’oxigen.

Sovint em diuen que molts dels problemes heurístics que elaboro, són massa difícils, que ningú no ha explicat als seus receptors com es resolen.

Evidentment, si l’objectiu d’un d’aquests problemes és precisament trobar, via assaig i error, un procediment raonable per resoldre’l no és pot explicar el sistema precís, el problema s’hauria convertit en un exercici que és precisament el que vull evitar.

Però a vegades, fins i tot explicat o esbossat el procediment, resta encara una mica de problema, en el sentit de trobar com completar tot el procediment evitat errades, per exemple omissions o duplicacions.

També em diuen que sempre els faig sobre temes similars i és en part cert i en part fals. Cert en el sentit que sovint treballo amb peces com les polifigures, com aquí, els nombres o la lògica, però fals en que no són temes exclusius, a vegades, per exemple empro fotografies o mapes com a base pels problemes. Que no faig servir la literatura? Per dos motius: segurament no en sé prou i tampoc no puc pensar que els destinataris dels problemes tinguin fàcilment prou dades a l’abast per poder resoldre problemes «literaris» amb una certa complexitat. Hi ha també els problemes lèxics, que en general no practico, però estan normalment adreçats a ampliar els coneixements de llengua, no al meu objectiu primari que són les tècniques de pensament i resolució.

Avui seguint amb els temes en que em trobo més còmode, plantejo un problema amb figures geomètriques elementals, quadrats i mitjos quadrats per la diagonal.

Partim de la figura de color rosa formada per un quadrat i mig quadrat tallat per la diagonal, en rosa, que apareix quatre vegades a l’esquerra de la il·lustració. És l’única figura possible amb aquestes dues formes contigües amb els costats «ajustats» que vol dir que un costat ha de coincidir exactament amb un altre costat igual de llarg. Aquesta figura té una àrea de 1,5. Aquí cal dir que considerem una figura igual a la seva imatge especular, si la tenim feta sòlida, la podem tombar cap per avall i continuarà sent la mateixa.

Afegint dos quadrats a la peça rosa de totes les maners possibles, generem 14 figures formades per tres quadrats i mig.

Ara, a aquesta figura d’àrea 1,5 li afegim un altre quadrat igual al primer de manera ajustada, de manera que formem una figura de 2,5. Això ho podem fer de quatre maneres diferents. que ens generen les quatre figures de color verd de la il·lustració, marcades amb les lletres a, b, c i d. Fixem-nos que la d és l’única que té un eix de simetria, concretament inclinat 45º.

Si continuem el procés d’afegir un quadrat, obtindrem figures amb una superfície de 3,5. Però aquí cal ser una mica més curós ja que, a banda de no ometre cap possibilitat, ens podem trobar amb figures duplicades.

Podem veure a la dreta de les quatre figures verdes, duplicats d’ella en taronja amb l’afegitó del quadrat blau en totes les posicions possibles. Cada forma està anomenada amb una lletra que correspon a la figura de 2,5 amb un número que indica cada posició.

Una vegada formades totes les figures possibles, cal veure si hi ha algun duplicat. Efectivament, ens en trobem alguns casos que els he marcat amb la vora vermella. Ens resten catorze figures diferents amb la vora negra, que són totes les possibilitats amb àrea 3,5 dins la lògica d’aquest problema. Aquí també podem veure que la figura c5 és l’única amb un eix de simetria, també inclinat 45º.

Fins aquí, relativament fàcil. El que és una mica més complicat, és generar totes les figures d’àrea 4,5 o 5,5 amb la mateixa tècnica o alguna altra que pugui ser més efectiva.Com a pista per a comprovar si s’ha fet bé la feina puc dir que de quatre quadrats i mig n’hi ha 54 i de cinc quadrats i mig 209.

Amb les catorze figures de 3,5, que naturalment cobreixen una àrea total de 14 × 3,5 = 49, es pot formar un quadrat. De moltes maneres diferents. Un càlcul aproximat em diu que d’unes 18000 formes diferents. No he vist mai el trencaclosques comercialitzat, potser perquè malgrat les moltes solucions és bastant difícil. La imatge és una vil falsificació fotogràfica del que voldria tenir.

Imatge a partir d’un joc infantil, les vores entre les tessel·les han estat eliminades amb l’ordinador, i els colors modificats per tal de tenir-ne 14 de diferents.

Sempre he pensat que aquest trencaclosques podria ser una decoració fàcil per el terra d’una plaça que es podria denominar oficialment o popular, la Plaça del Trencaclosques. I podria atreure turistes aficionats a questes coses… A veure si algun ajuntament es decideix, que la idea és de franc i el disseny està amb llicència lliure (cc, by, sa). Ep, i tinc més dissenys per l’estil, en dues dimensions per a terres o parets o en tres per a monuments variats.

En el camp educatiu, més enllà de generar les peces de manera sistemàtica, en principi amb paper quadriculat i llapis, hi pot haver la tasca de construir realment el trencaclosques, cosa que vol dir prendre decisions de compromís entre la facilitat i el ben acabat i utilitzable que quedi. Fer-ho amb paper, és molt fàcil, però el resultat és difícil de manipular i en respirar les peces poden volar. Fer-ho amb fusta, metall o plàstic… és més feina.

A la premsa, ocasionalment surten notícies sobre descobriments astronòmics, aquests darrers dies n’ha sortit una sobre l’objecte anomenat 2018 VG18

El primer nombre és l’any del descobriment, La primera lletra designa el mig mes: A = primera meitat de gener i així successivament ometent la «I». La segona lletra és l’ordre de descobriment dins el mig mes i va d’A a Z ometent la I, cada vegada que es superen 25 asteroides en aquell mig mes, s’augmenta el nombre final de la designació i es torna a la lletra A. Així, 2018 VG18 significa que l’asteroide es va descobrir la primera meitat de novembre de 2018 i que va ser el 7è —ordre de la lletra G— descobriment del cicle 19 —el primer cicle no duu nombre—, o sigui 7 + 18 × 25 = 467. Certament cada quinze dies es descobreixen milers d’objectes asteroïdals, o sigui que el darrer nombre pot ser força alt.

La denominació Farout, és senzillament un mot que li han atorgat els descobridors, sense validesa oficial, que quan l’òrbita de l’astre sigui prou ben coneguda, rebrà un nombre d’ordre entre els asteroides i un nom definitiu, en principi, pels astres descoberts en aquella zona, un nom mitològic relacionat amb els mites de la creació de qualsevol cultura.

De moment, de planeta res, ni tan sols sembla un planeta nan que és una definició molt menys restrictiva. Amb un diàmetre estimat de 500 km, difícilment estarà en equilibri hidrostàtic, que vol dir haver adquirit forma esfèrica per efecte de la pròpia gravetat, condició per a planeta nan.

Contínuament es descobreixen objectes transneptunians, alguns d’ells força llunyans i, necessàriament, de tant en tant se’n descobreix un que és el més llunyà fins el moment, o el que la seva òrbita el portarà un dia més lluny. La peculiaritat de 2018 VG18 és el cos que s’ha detectat més lluny fins ara, tot i que no és el que té l’òrbita que el durà més lluny del Sol, ni molt menys.

Plutó, Ceres, Vesta i 2018 VG18, aproximadament a escala, els dos primers són planetes nans. El darrer segurament és molt fosc, vermellós i, probablement, no esfèric. Imatges de la NASA via la Viquipèdia

El que sí que té un considerable interès és el fet que dels objectes amb òrbites més allargades i que van a parar més lluny del Sol, les seves orientacions estan molt més agrupades que si fossin cossos independents movent-se al atzar. Això podria indicar la presència d’un planeta llunyà, força més massiu que la Terra, que hagués pertorbat les seves òrbites. Però ni és segur que existeixi, ni s’ha detectat encara. Podria ser que un encontre proper del Sol amb una altra estrella, hagués alterat les òrbites d’aquests cossos, per exemple.

Segons la teoria més popular actualment sobre els planetes i cossos menors actuals, anomenada Model de Niça, alguns planetes de mides entre la Terra i Neptú, haurien pogut ésser expulsats del Sistema Solar o haver quedat en òrbites molt llunyanes. I serien molt difícils de detectar. Estem a l’espera que l’any 2020 entri en funcionament el Large Synoptic Survey Telescope que representarà un pas enorme en la possibilitat de detectar objectes llunyans del Sistema Solar.

❀ ❀ ❀

Una vegada escrit això, un company m’ha demanat més aclariments sobre com es podria descobrir aquest hipotètic planeta, i els copio a continuació:

Històricament, a la dècada de 1840, estudiant les desviacions del planeta Urà respecte l’òrbita calculada —i tenint en compte les pertorbacions que li produïen els altres planetes coneguts— es va poder determinar  la probable posició d’un planeta pertorbador desconegut. Curiosament dos astrònoms, un anglès —Adams— i l’altre francès —Le Verrier—, van fer els càlculs gairebé simultàniament, però en el cas de l’anglès els astrònoms que haurien d’haver fet les observacions per trobar el planeta, no van fer correctament la feina. En canvi, en el cas del francès, va passar les dades a l’observatori de Berlín que tenia mitjans bons per fer la recerca —precisament estaven fent un mapa d’estrelles de la zona—, i van trobar Neptú en la primera nit d’observació, a menys d’un grau de distància —com dues vegades el diàmetre de la Lluna— d’on havia calculat Le Verrier.

Però en el cas del possible planeta exterior, les coses són molt més difícils. En particular les distàncies implicades en les pertorbacions són centenars de vegades superiors, cosa que vol dir que la pertorbació és com a màxim 10000 vegades més petita. I més lenta, amb òrbites al voltant del Sol com a mínim unes deu vegades més lentes que les d’Urà, el temps d’observació per aconseguir el mateix arc d’òrbita amb la precisió requerida és al menys cinquanta vedades superior, de l’ordre del segle. Tan difícil i improbable és el càlcul de pertorbacions que es va per altres vies més estadístiques, calculant on seria més probable l’òrbita del nou planeta, per desprès intentar esbrinar quina posició concreta dins aquesta òrbita té actualment.

També cal dir que Neptú es veu perfectament amb uns binocles mitjans amb els que es poden observar uns 50000 objectes de brillantor similar, estrelles gairebé tots. En canvi, el possible nou planeta, requeriria un instrument de més de tres metres de diàmetre per poder ser captat i s’hauria de discriminar entre 10000000000 —deu mil milions— d’objectes celestes de magnitud similar, estrelles i galàxies llunyanes.

No sempre la geometria és abstrusa, a vegades hi ha teoremes que potser tenen una certa dificultat de demostració per a qui no hi està ficat, però que són de fàcil comprensió per a qualsevol.

Sí, qualsevol, fins i tot aquelles persones que afirmen que de matemàtiques no en saben gens i es consideren incapaces d’entendre-les, quan el que realment passa és que de petites els hi van ensenyar tan malament que encara estan atrapades en un embolic i tenen por de tornar a intentar comprendre-les. Encara que aquesta vegada no ho facin malament.

Aquí presento uns fets molt senzills de geometria, sense demostracions que em sembla que són fàcilment compressibles.

Una font inexhaurible de fets interessants són els triangles. Són una figura ben simple, però es poden plantejar innombrables qüestions sobre ells. Veiem-ne una de senzilla:

❀ Tracem un triangle qualsevol. Marquem els punts mitjos de cada costat —són els negres— i tracem les rectes que van des de cada angle al punt mig del costat oposat, en blau a la figura. Aquestes rectes s’anomenen mitjanes. Podem veure que les tres rectes coincideixen en un punt, però no és un cas especial del triangle que hem dibuixat, passa sempre per a qualsevol. Aquest punt marcat en blau, que sempre és interior al triangle, s’anomena baricentre, perquè coincideix amb el centre de masses del triangle suposant que és fet d’un material uniforme. A més, la distància del baricentre a cadascun dels vèrtexs és sempre el doble que la que hi ha entre ell i el punt mig del costat oposat.

❀ Ara, des dels punt mitjos dels tres costats, tracem la recta perpendicular al costat que passa per ells, en vermell a la figura. Aquestes rectes s’anomenen mediatrius, i les mediatrius dels tres costats també coincideixen en un punt, independentment de la forma del triangle. Aquest punt s’anomena circumcentre, ja que és el centre de la circumferència que passa pels tres vèrtex del triangle.

❀ Finalment, des de cada vèrtex tracem la línia recta perpendicular al costat oposat, anomenada altura, en verd a la figura. Un altre cop, les tres rectes coincideixen en un punt anomenat ortocentre.

I ara ve el més curiós, al menys per a mi: circumcentre, baricentre, i ortocentre estan alineats sobre una recta, anomenada recta d’Euler, marcada en negre a la figura, amb el baricentre situat entre els dos altres punts i, a més, la distància entre baricentre i ortocentre és el doble de la que separa el baricentre de l’ortocentre. Tot i ser uns conceptes fàcils, la geometria clàssica grega no coneixia aquesta propietat, va ser Euler al segle XVIII qui les va mostrar per primer cop. Com sempre passa amb matemàtiques, encara n’hi ha molt més; per començar podem dir que el centre de la circumferència que passa pels tres punts mitjos dels costats, també rau sobre la recta. I el centre de la circumferència que passa pels tres punts on les altures intersequen els costats, marcats en blanc a la figura, també, però és que resulta que coincideix amb la circumferència anterior.

Totes aquestes propietats es poden generalitzar a dimensions superiors, per exemple en els tetràedres, però resulta una mica massa complicat per a aquest article elemental.