Ciència nombres i lletres

Al claustre de la catedral de Tortosa, edifici gòtic del segle XIV edificat sobre un anterior romànic, hi podem trobar aquesta peculiar finestra, del segle XIII, aprofitant materials visigòtics molt anteriors i també reaprofitats d’algun edifici de l’època romana.

Columnes al claustre de la catedral de Tortosa

La finestra presenta la curiosa particularitat de tenir dues columnes fetes de pedra de colors, una vermellosa i l’altre verda. Els seus basaments tenen els colors canviats.

La pedra vermellosa és pòrfir i la verdosa de la columna de l’esquerra, gabre, ambdues possiblement provinents d’Egipte. Però el fust, també verd de la columna de la dreta, sembla de marbre verd provinent del Peloponès.

El pòrfir és una roca ígnia vermella, amb grans cristalls de quars dins una matriu de silicats en forma de cristalls molt petits indistingibles a simple vista. Tant pel color vermell, per la reva raresa al menys al centre del món clàssic, com pel fet de ser la roca més dura que es coneixia antigament, va ser emprada en construccions de luxe, tant en època romana com posteriorment. Per exemple a Catalunya és de pòrfir la tomba de Pere el Gran.

El gabre és una roca volcànica, de la mateixa composició que el basalt, però que s’ha refredat més lentament i, en conseqüència, els seus cristalls són més grans. El color verd d’alguns gabres es deu a la presència de cristalls d’olivina, un silicat component majoritari del mantell terrestre. De fet és el mineral més abundant de la Terra, encara que en superfície es degrada ràpidament.

La foto és de l’any 2005 i crec que des d’aleshores és la que sempre ha estat a la Viquipèdia. No la vaig pujar personalment, l’havia publicat en una web de paisatges i edificis ja desapareguda, amb llicència lliure compatible amb la de la Viquipèdia.

El dia que hi torni, si puc, m’agradaria fer unes macrofotografies dels materials, que amb la càmera de fa quinze anys, no podia fer.

Hi ha grans descobriments anònims, però també molts que es poden atribuir a una persona. I no és gens fàcil fer un gran descobriment.

Fer descobriments «petits» és més fàcil, però aleshores sempre hi ha el dubte que realment hagis estat el primer. Normalment són nimietats que només en raríssimes ocasions tenen conseqüències i és molt possible que ni es publiquin. És allò que un dia veus, no trobes altres referències i penses:

—Potser jo he estat el primer del món —del Món mundial— en descobrir això. I l’ego m’augmenta unes centèsimes.

Com que sóc aficionat als pentòminos i a més egoista, en el sentit d’augmentar l’ego, presento aquí per primera vegada un dels meus «descobriments». Naturalment que agrairé a qualsevol que m’informi si ja s’havia descobert abans.

❀ ❀ ❀

Amb els dotze pentòminos, és ben conegut que es poden formar 2339 rectangles de 6 × 10 unitats, com el que segueix:

Una solució a encabir els dotze pentòminos en un rectangle de 6 × 10

A les fronteres entre els pentòminos, ocasionalment hi ha punts tocats per quatre de diferents. A la figura anterior n’hi ha un, prop del centre, concretament entre els pentòminos Z, Y, I i N (seguint la nomenclatura clàssica de la figura següent:

Els dotze pentòminos i els seus noms

Aquest punt el podem anomenar punt quàdruple o creu. I resulta que en les 2339 solucions al trencaclosques de 6 × 10, n’hi poden haver cap. 1, 2, 3 o 4.

Els més escassos i difícils de trobar, i aquest és el meu inèdit «descobriment», són els que tenen quatre punts quàdruples. N’hi ha precisament nou:

Les nou solucions al problema dels quatre punts quàdruples, anomenats també creus

I com que m’agraden els problemes amb solució única, es poden plantejar cinc problemes més difícils encara:

❀ Troba una solució dels pentominós en un rectangle de 6 × 10, que tingui quatre punts quàdruples i, a més, el pentominó W —o el U, P, L o N— no en toqui cap.

Òbviament les solucions són respectivament, els casos 1, 3, 5, 7 i 9 de la figura.

El joc de les Torres de Hanoi, publicat pel matemàtic francès Édouard Lucas l’any 1883, no té a veure amb la ciutat de Hanoi, senzillament és la que apareix al conte de l’enunciat. Físicament consta de tres varetes verticals, a la primera de les quals hi ha inserits un conjunt de discs ―foradats― de mides creixents. L’objectiu del joc és passar tots els discs de la primera a la tercera vareta, respectant les següents condicions:

❀ En cada moviment només podem transferir un sol disc d’una vareta a una altra.
❀ No es pot mai col·locar un disc sobre un altre que sigui més petit que ell.

Foto d’unes Torres de Hanoi amb vuit discs de colors alternats

El mínim de moviments necessaris per assolir l’objectiu del joc, si anomenem n al nombre de discs, és de 2n–1, o sigui que pels vuit discs de la foto serien 255 moviments; o, pels casos d’entre 2 i 7 discs: 3, 7, 15, 31, 63 o 127 moviments respectivament.

Quins són precisament aquests moviments mínims?

Existeix un algorisme per poder-los fer, d’una manera quasi automàtica, sense haver de pensar gaire.

❀ Imaginem els discs, a la vareta inicial, pintats alternativament començant per la base, de dos colors, per exemple clar i fosc ―a la foto, que és manipulada, els veiem realment així.
❀ Tots els moviments que fem en el joc, han de respectar aquesta alternança de colors. No es pot posar mai un disc clar sobre clar, ni fosc sobre fosc.
❀ Com a primer moviment, si el nombre de discs total és senar, el movem a la vareta de destí, si és parell, el movem a l’altre vareta.
❀ A partir d’aquí, sempre ens trobarem que a cada torn només hi ha un moviment possible ―respectant l’alternança de color― diferent al de retrocedir la peça que acabem de moure. Aquest moviment ens porta automàticament a la solució en el nombre de jugades mínim possible.

Solució del cas de 4 discs. Aquí podem considerar clar els discs verds i fosc els vermells.

Aquest joc, curiosament, és similar a un altre, també amb nom oriental, les «anelles xineses», també estudiat per Édouard Lucas. El joc  consisteix en treure —o posar fent els moviments contraris— un passador en un conjunt d’anelles penjades d’una tija, cadascuna de les quals abraça la tija de l’anterior. També té solucions en 3, 7, 15, 31, 63 o 127 moviments per a dues a set anelles. I, en la solució, els avenços i retrocessos del passador també tenen a cada pas una única possibilitat que alterni passar per dins i per fora de la següent anella, i no sigui retrocedir a la posició anterior.

Les meves anelles xineses, cal treure la peça daurada (que no ho és, és pintada a la foto)

Sóc aficionat a l’astronomia des de nen, el meu avi matern, venia de família de gent de mar i tot i que mai no es va dedicar a cap ofici relacionat, coneixia les estrelles i me les havia ensenyat algun cop de petit. Per part de pare, recordo explicacions sobre fases de la Lluna i eclipsis a base d’una làmpada, fruites i pilotetes. Als cinc anys segur que ja hi era força aficionat perquè recordo la portada del diari amb la imatge de la notícia del primer satèl·lit que es va posar en òrbita.

Per aquella època, el meu pare s’havia subscrit a una enciclopèdia temàtica, de l’editorial Labor, i la casualitat va voler que el primer volum fos dedicat a l’astronomia —i també a les ciències de la Terra—. Ja sabia llegir prou com per empassar-me-la, al menys la secció d’astronomia. Curiosament, el tema del Sol no em va interessar gaire. De gran em vaig adonar que era d’un altre autor i que el llenguatge i la redacció eren molt més difícils per a un nen.

Però el tema que primer em van apassionar, van ser els planetes.
A «La Vanguardia», a primers de mes, publicaven un mapa amb les estrelles principals que es veien i les posicions dels planetes. Sempre els cercava, inclòs Mercuri que era una mena de premi gros, perquè no és gens fàcil de veure. Hi ha la història o llegenda que afirma que Copèrnic no el va arribar a veure mai degut a les boires del seu país. Seixanta anys més tard encara tinc aquesta fascinació i al menys una vegada a l’any, en aparicions favorables, l’intento veure.

Venus i Mercuri fotografiats amb una càmera compacta des de la finestra d’un hotel a la Pobla de Lillet. La foto la vaig tractar per disminuir el soroll i augmentar el contrast.

Amb els binocles del pare, de bona qualitat però poc potents, veia fàcilment els quatre satèl·lits més grans de Júpiter. Vaig intentar veure els anells de Saturn o Tità, però no eren a l’abast d’aquell aparell. I encara menys la resta de satèl·lits que apareixien al llibre, i dels que em sabia el nom, inclòs un que no existeix anomenat Temis, presumpte satèl·lit de Saturn descobert l’any 1905 que va resultar ser un error d’observació. Malgrat que ningú no l’havia tornat a veure en 50 anys, continuava apareixent als llibres.

No va ser fins els dotze anys que em vaig dedicar més a les estrelles en general. Fins i tot amb uns binocles poc potents, una carta del cel petita i amb poques estrelles i vivint a Barcelona —que estava molt menys contaminada lumínicament que ara— hi havia força coses a observar.

Per exemple, el cúmul de les Plèiades. Recordo haver agafat angines l’endemà d’una nit de tardor en que, amb els binocles des de la finestra de la meva habitació, en vaig fer un dibuix amb una dotzena i mitja d’estrelles. O el «Penja-robes», una agrupació d’una desena d’estrelles que semblen dibuixar la figura d’un penja-robes, no són estrelles relacionades, és senzillament que per atzar les veiem en la mateixa zona del cel, però estan a distàncies molt diverses.

El Penja-robes, fotografia de la Viquipèdia

Respecte les estrelles, a vegades tenien un cert interès per la seva imatge, com ε de la Lira, que amb binocles es veu fàcilment com a doble, perquè amb un telescopi es pot observar que cadascun dels dos component és també un parell d’estrelles molt properes. 61 Cygni no només es pot veure amb dificultats com a doble amb els binocles, sinó que té un interès específic. És relativament propera a nosaltres, a 11,4 anys llum, i va ser precisament la primera estrella de la que es va poder mesurar la distància. Lalande 21185, una mica més propera i situada a l’Ossa Major té la peculiaritat de ser la nana vermella més brillant de l’hemisferi nord, tot i que a ull nu no es pot veure, amb els binocles s’aprecia la seva tonalitat vermella. Groombridge 1830, també a l’Ossa Major, sí que està al límit de la visió a simple vista, i aquí la peculiaritat és que té el moviment propi més gran entre les estrelles visibles a ull nu, només l’estrella de Barnard i la de Kapteyn tenen moviments més grans però són força menys brillants.

En aquella època també vaig intentar veure des de ciutat objectes difusos com cúmuls, nebuloses o galàxies, però llevat de la Galàxia d’Andròmeda, la nebulosa d’Orió i, potser, M13, a finals dels seixanta eren difícils de veure amb binocles des de ciutat i no en tinc cap record d’observació clara. Mai no vaig aconseguir albirar M51, la galàxia del Remolí, o M57, la nebulosa Anular o M1, la nebulosa del Cranc, per exemple. Posteriorment, amb uns binocles molt més grans, de 80 mm, i fora de ciutat sí que he aconseguit veure aquests objectes.

Avui proposo un enigma molt vell i conegut. De fet la idea de posar-lo m’ha vingut d’un llibre en espanyol de fa cent anys, que en una il·lustració e blanc i negre de l’època el mostrava, i més endavant en donava una explicació, aproximadament correcta però, vista ara, absolutament antiquada.

Senzillament, es tracta de veure on és el parany. Aquí les quatre peces no són simples línies, sinó que són fotos de la fusta d’un moble de casa, acolorides arbitràriament. Si us hi fixeu bé, en el muntatge fotogràfic, les vetes de la fusta són iguals en les peces corresponents dels dos diagrames.

Però en un, la quadrícula superposada ens indica que l’àrea total són 65 quadrets, i en l’altra 64.

Quina és la superfície total de les quatre peces de fusta, 65 o 64?

Realment, aquest enigma és molt més divertit quan es fa amb quatre pecs reals, que segons com es col·loquin, canvien de superfície.

I una pregunta pels una mica friquis de les matemàtiques, què té a veure aquest enigma amb la constant àuria φ = (1 + √5) /2 ?

Els nostres ulls són capaços de distingit els colors, és una obvietat, però tant el què és un color exactament com la manera com el detectem jo no ho són tant.
La longitud d’ona de la llum —o la freqüència que és el seu invers— és la base del color. La llum de longitud més llarga que podem veure, d’uns 700 nm la veiem vermella, longituds d’ona menors corresponen al taronja (600 nm), groc (580 nm), verd (540 nm), blau (470 nm) i violeta (400 nm), els colors de l’espectre. Però això són colors purs, els de la llum d’una sola longitud d’ona, com la que produeixen els làsers o els LED —no blancs—. La llum blanca, per exemple, és una barreja de llums de diverses, si barregem tots els colors visibles, la suma serà aproximadament blanca.

Aquí cal comprendre que la informació sobre el color concret d’una font de llum, és tot un espectre, una funció que ens diu quanta n’hi ha de cada longitud d’ona. Aquesta funció pot ser contínua, com la llum d’una bombeta d’incandescència, presentar bandes, com la d’un fluorescent o ser força discreta: només uns pics de colors concrets, com en alguna mena de LED blancs.

Però els nostres ulls no tenen capacitat d’analitzar aquesta funció, fonts de llum amb espectres diferents les podem veure exactament igual. Aquest fenomen és força conegut fins i tot pels nens, si sobre un paper guixem amb un llapis blau i al damunt amb un de groc, el resultat que veiem és verd. O el vermell i el groc que donen taronja o el blau i el vermell que fan violeta.

Això és el que s’anomenen colors subtractius. Si partim del full de paper blanc que reflecteix tots els colors de la llum blanca, quan guixem en blau estem fent minvar els colors més allunyats del blau a l’espectre, els que ens queden són bàsicament verds, blaus i violetes, havent eliminat vermells i grocs. Quan guixem en groc, estem eliminant els colors allunyats del groc: blau i violeta. Si guixem groc sobre el blau, els únics colors que ens resten són els verds.

I verds en plural, perquè a una determinada zona de l’espectre, subjectiva, l’anomenem verd, però comprèn colors diferents: des d’un verd grogós a un verd maragda que tira a blau.

Els artistes antics van descobrir aviat, experimentalment, que amb tres pigments, groc, vermell —o més exactament magenta—, i blau —més exactament cian— podien reproduir qualsevol color. Amb dos no n’hi havia prou i quatre no eren necessaris.

Molt més tard, al segle XIX, es va trobar un efecte similar sumant els colors, sobre una pantalla blanca a les fosques, hi projectem llum vermella, hi veurem una taca vermella, amb diversos o un sol dels colors que veiem vermells; sobre aquesta zona hi projectem llum verda,  la zona on es superposen la veurem groga. Aquí, també, amb tres colors podem reproduir aproximadament qualsevol color natural. Dos són insuficients i quatre són massa, o no. Amb quatre o més colors es poden aconseguir alguns colors que amb tres no, però són només uns pocs matisos.

Tres colors són suficients, en termes generals, per crear-ne qualsevol altre. I això és important, des del punt de vista de l’ull humà, i cal precisar: des del punt de vista de l’ull humà normal o majoritari.

És casualitat aquest nombre tres, és una propietat de l’univers com les dimensions de l’espai on vivim?

No, és una propietat de l’ull humà.

A l’ull hi tenim dues menes de cèl·lules sensibles a la llum; els bastonets, nombrosos i petits, són molt sensibles a la llum, es poden activar amb un sol fotó, de qualsevol longitud d’ona de les visibles, encara que la seva màxima sensibilitat està en la zona del verd blavós;  bàsicament no aporten informació de color i són més abundants a la perifèria que al centre de la retina. Tot i que n’hi ha més de 90 milions, no vol dir que els ulls humans es comportin com una càmera de 90 megapíxels, estan agrupats per zones que van a parar a una única neurona del nervi òptic, o sigui que la resolució global que ens proporcionen és molt més petita. Els cons són la segona mena de cèl·lules fotosensibles, necessiten força més llum per activar-se que els bastonets, però cadascun està connectat a la seva pròpia fibra nerviosa, en tenim uns 5 milions i ni ha —i això és essencial—, de tres menes.

Cadascun dels tipus de cons és sensible a una banda concreta de longituds d’ona degut a un pigment específic que contenen. Les bandes de sensibilitat van aproximadament del violeta al verd pels anomenats S —sensibles a les ones més curtes—, dels blau al taronja pels M i del verd al vermell pels L. Aquestes dues menes de receptor solapen força la seva sensibilitat, amb màxims respectius en el verd grogós i el groc.

Amb les intensitats relatives del senyal en cada mena de cons, obtenim la informació sobre el color. Així, si sols s’activen els L, estem veient un vermell, o si s’activen tots tres blau. Al cervell li arriben tres intensitats de senyal i d’aquelles dedueix el color. És per aquest motiu que només calen tres menes de llum per tal que sumades amb les adequades intensitats ens proporcionin la sensació de qualsevol color. És per això que no podem distingir una barreja de vermell i verd d’un groc monocromàtic, totes dues llums activen els cons en les mateixes intensitats globals.

Però no tots els animals amb ulls són igualment sensibles al color. Molts de nocturns o que viuen a una certa fondària a l’aigua, no distingeixen els colors, evolutivament els ha estat més favorable desenvolupar la sensibilitat —els bastonets o el seu equivalent— que la discriminació de color. En canvi, animals que poden treure profit dels colors, sigui per trobar aliments, sigui per motius sexuals de recerca de parella, han vist afavorit el fet de tenir més menes de receptors, fins i tot n’hi ha que en tenen de sensibles a la radiació ultraviolada propera que nosaltres no podem veure. Incidentalment els humans no veiem en ultraviolat perquè el cristal·lí n’és força opac; persones que porten un cristal·lí artificial transparent als ultraviolats, poden veure-hi amb aquesta llum mitjançant els bastonets que en són sensibles, la sensació de color és de blanc.

Entre els animals amb més de tres menes de receptors destaquen alguns peixos, força ocells, i alguns insectes, en especial pol·linitzadors, encara que les abelles només tenen tres menes de receptors: respecte a nosaltres un de suplementari a la banda ultraviolada, però els hi manca el sensible al vermell.

En contrapartida la major part dels mamífers només tenen dues menes de receptors de colors, que pot ser un avantatge per poder discriminar color en condicions de baixa lluminositat. Les excepcions són la majoria dels marsupials, els monotremes, i alguns primats, entre ells catarins com l’home i els grans simis.

Però la qüestió en els humans no és tan simple, a finals del segle XVIII, va descriure per primera vegada el trastorn, que ell mateix patia, anomenat daltonisme; persones amb menys capacitat de discriminar els colors que la majoria dels humans. Normalment és degut a una mutació dels receptors L o M, que fa que siguin sensibles a bandes de longituds d’ones més properes del normal. La carència d’una de les menes de receptors o mutacions en els S, són molt menys freqüents. Més o menys els 10% dels homes són daltònics, amb lleugeres diferències entre les poblacions, en canvi entre les dones el daltonisme és més escàs, molt menys de l’1%. Això es deu a que els pigments que causen la sensibilitat al color en els cons L o M estan codificats per uns gens residents al cromosoma X. Els mascles només tenim un cromosoma X, i si porta informació defectuosa, serem daltònics. En canvi, les dones tenen dues còpies del cromosoma X, i haurien de tenir totes dues el mateix defecte genètic per ser daltòniques, cosa força improbable. Les dones que en una de les seves còpies dels cromosoma X porten el gen mutat, són portadores, la meitat dels seus fills mascles seran daltònics, independentment de si el pare és daltònic o no, l’altra meitat sans; entre les filles la meitat seran portadores i l’altra meitat sanes, llevat que el pare sigui daltònic. Els homes daltònics transmeten el seu gen a les filles, que seran portadores, en canvi als fills no, ja que l’únic cromosoma X que porten ve de la mare i no d’ells.

Però aquí no acaba la qüestió. Què passa amb una dona portadora, que pot tenir una mena de receptor de color suplementari codificat en un dels seus cromosomes X? En molts casos aquest quart tipus de receptor és sensible a una banda intermèdia entre la L i la M. I malgrat que cada cèl·lula femenina només expressi un dels dos cromosomes X, o sigui que només pugui tenir tres menes de receptors, entre tots els cons n’hi haurà la meitat que n’esperesarà un de diferent a l’altra meitat: en resum, podrà tenir quatre menes diferents funcionals de cons a la retina.

L’espai de color majoritari (2D), i el de les dones quadricromàtiques (3D)

És relativament freqüent i les dones portadores, en general, no ho saben. Entre altres coses és impossible un test amb la pantalla d’un ordinador que només té tres menes d’emissors lluminosos malgrat algun hoax que ha circulat per internet. Cal un experiment on la dona distingeixi una barreja de vermell i verd d’un groc monocromàtic que a la resta dels humans ens sembla igual —la pantalla de l’ordinador, en aquest cas només podria generar el groc barreja—. Una pista curiosa sobre les dones amb quatre receptors, les quadricromàtiques, ve de l’astronomia; des de fa més de cent anys s’havia observat que hi havia persones força més capaces que la majoria en distingir les tonalitats de les estrelles, que per a gairebé tothom són només petits matisos rogencs, ataronjats, grogosos o blavosos; sempre eren dones. En la vida ordinària és més difícil, entre altres coses perquè podem distingir moltísimes més tonalitats de color que a les que podem atribuir un nom, només les apreciem quan estan properes i comparem. A més, en fotografies o pantalles, el quart receptors no dóna més poder de discriminació. Fa uns anys vaig dissenyar un experiment on una llum groga procedent de la barreja d’un LED vermell i un altre verd, es comparava a una de taronja obtinguda fent l’espectre de la llum d’una bombeta d’incandescència. Una de les dues dones de la família, ja ho sospitava per les estrelles, va resultar que és quadricromàtica encara que no havia notat mai res especial respecte la seva sensibilitat als colors.

Dalton, va pensar que el problema del daltonisme, al qual va donar nom, venia de l’acoloriment del cristal·lí o algun dels humors del globus ocular, encara que en autòpsies mai s’havia apreciat. Quan va fer testament, va deixar els seus ulls a la ciència perquè es verifiqués la teoria, però anatòmicament no es va trobar res d’especial. L’ull que no es va disseccionar va ser conservat en formol en una universitat britànica. Més de 150 anys més tard de la mort de Dalton, se’n van extreure unes cèl·lules retinianes i es va seqüenciar la part del genoma corresponent als pigments dels receptors de color. El resultat va ser l’esperat: Dalton era daltònic i precisament amb l’anomalia més comú entre els europeus.

El juliol de 2015, la sonda New Horizons va sobrevolar el planeta nan Plutó, aportant dades que han aportat informació molt valuosa sobre aquell astre, i també sobre les condicions de la seva zona del sistema solar.

Però de Plutó, no només hi ha informació provinent de les sondes espacials, amb telescopis terrestres o situats prop de la Terra com el Hubble, també s’han obtingut darrerament dades importants.

Plutó, d’uns 2375 km de diàmetre, té un gran satèl·lit, Caront —Charon en anglès—, de 1.200 km, descobert des de la Terra l’any 1978. Els diàmetres van poder ser ben establerts ja que la casualitat va voler que pocs anys desprès del descobriment, l’òrbita dels dos astres quedés orientada de tal manera que a cada volta es produïen eclipsis mutus, observats des de la Terra; estudiant aleshores la corba de llum es poden determinar les mides i la lluminositat relativa dels dos astres. Plutó i Caront formen un sistema de dos cossos en òrbita molt propera, uns 17500 km, al voltant del centre de masses comú, que es troba entre els dos. És el primer cas conegut de planeta nan «doble»; de tots els cossos del sistema solar amb aquesta característica, és el més gran, però no l’únic, per exemple Pàtrocle, un asteroide que segueix la mateixa òrbita que Júpiter, però 60˚ més enrere que el planeta, està format per dos cossos de 140 i 110 km, aproximadament, a uns 700 km de distància orbitant tots dos el centre de masses comú.

A més de ser molt propers, Plutó i Caront tenen la rotació sincronitzada, com el cas de la Lluna amb la Terra però en els dos sentits, Plutó també presenta sempre la mateixa cara a Caront. El període orbital, uns 6 dies i 9 hores és, en conseqüència, igual al període de rotació tant de Plutó com de Caront.

La teoria més versemblant sobre la formació de Caront, és que al principi del sistema solar, Plutó va rebre l’impacte d’un altre cos de gran mida, i part del material ejectat va restar en òrbita i es va condensar. Una explicació similar a la del origen de la Lluna.

Més endavant, s’han descobert quatre satèl·lits més de Plutó —o hauríem de dir de Plutó-Caront, ja que es comporten com un únic cos a aquests efectes—, tots molt més petits i en òrbites relativament pròximes els uns als altres. S’anomenen: Nix, Hidra, Cerber i Estix —en anglès: Nix, Hydra, Kerberos i Styx—. Possiblement aquests cossos també siguin condensacions del material originat a l’impacte inicial que va formar Caront.

Esquema de les òrbites dels satèl·lits de Plutó. Les mides no són reals.

Tot això ens aporta alguns indicis sobre el sistema solar primitiu.

En primer lloc, actualment, la probabilitat d’impacte entre Plutó i un altre cos prou gran com per formar satèl·lits és extremadament baixa. Això vol dir que en els orígens del sistema solar, la zona on hi havia Plutó, estava molt més poblada, al menys cent vegades més i probablement mil. Com que no hi ha explicació per tant material a tanta distància del Sol, es creu que Plutó, i el seu sistema de satèl·lits es van formar més prop del Sol que no estan ara, i que en un procés conegut per «gran bombardament tardà» o «model de Niça» van ser enviats a la seva posició actual. Per cert, el model de Niça és per la ciutat on es va desenvolupar la teoria, encara que una revista espanyola, pretesament de divulgació científica, en un titular, va traduir de l’anglès «Nice model» per «modelo bonito».

Un problema dels quatre satèl·lits menors del sistema és que les seves òrbites, a primer cop d’ull, haurien de ser inestables, i a escala de centenars de milions d’anys, haurien d’escapar-se o impactar amb algun dels altres cossos del sistema.

Aquí, per evitar-ho, és on entra un curiós fenomen anomenat ressonància que estabilitza les òrbites a l’entorn d’una posició mitjana invariable. Resulta que els seus períodes orbitals presenten una relació numèrica senzilla, cada dues òrbites d’Hidra, Nix en fa tres, cada sis òrbites d’Hidra, Estix en fa onze, i respecte Cerber no està del tot establert, però es probable que també hi hagi una relació numèrica simple. Tot això vol dir que al cap d’un determinat nombre enter de voltes, aquests satèl·lits tornen a estar en la mateixa disposició i que les pertorbacions que podrien modificar les òrbites, no tenen prou energia com per treure’ls de la configuració ressonant, de tal manera que a llarg termini, les òrbites esdevenen estables.

Hi ha un altra cosa descoberta darrerament, de la que només se’n coneixia un altre exemple en el sistema solar i que té a veure amb les ressonàncies. La gran majoria dels satèl·lits del sistema solar, començant per la Lluna, i excloent satèl·lits inestables, molt petits i molt llunyans dels planetes gegants, presenten sempre la mateixa cara al planeta. Això es deu a que el camp gravitatori generat pel cos central és més intens en el punt del satèl·lit més proper al planeta que en el punt més allunyat. Presentar sempre la mateixa cara, no deixa de ser una ressonància de períodes 1:1 entre la rotació i la translació del satèl·lit.

Però en el cas de ressonàncies orbitals entre dos satèl·lits, pot passar que l’impuls gravitatori entre els uns i els altres, actuï de manera tal que superi la influència en la rotació de la gravetat del planeta. En aquest cas es pot presentar una rotació caòtica: el satèl·lit no té ni un període de rotació constant, ni un eix de rotació relativament fix. Una mica com aquelles baldufes de joguina que en perdre velocitat es posen de cap per avall. És el cas d’Hidra i de Nix, mesures de la seva lluminositat des de la Terra han confirmat que roten de manera caòtica.

L’altre cas conegut de rotació caòtica és el d’Hiperió, que està en ressonància orbital 4:3 amb el més gran dels satèl·lits de Saturn, Tità, això vol dir que cada quatre voltes que fa Tità a l’entorn de Saturn, Hiperió en fa tres.

El moviment caòtic d’aquest satèl·lit sembla afavorit pel fet que, com en tots els casos coneguts de rotació caòtica, es tracta de cossos força allargats, allunyats de la forma quasi esfèrica que adopten els objectes més grans per la pròpia força de gravetat.

L’acudit sobre el més famós dels gats de la ciència, el d’Schrödinger, crec que el sabia des de la universitat. Altres acudits sobre científics i gats me’ls van anar explicant o els vaig inventar mes tard, molt no alguns no recordo com i quan, però al menys els de Fibonacci i Turing són meus i se’m van acudir en contexts concrets que recordo. Aquesta recopilació, els acudits, no les explicacions, la vaig recopilar fa uns mesos per a una novel·la que estic escrivint.

Ara els reprodueixo amb alguna explicació més o menys elemental per a qui, en algun cas, no sàpiga de què va. Clar que aleshores perd una mica de gràcia. Ja sé que com a acudits poden ser molt «suats», però la primera idea és una certa mena de divulgació científica, no ser un humorista.

Tres gatets encuriosits a Areny de Noguera • Gata (té tres colors) en un prat del Ripollès

❖ Erwin Schrödinger tenia gat?
—Sí i no.

Erwin Schrödinger és l’autor d’un famós experiment mental on es tanca un gat en una caixa on hi ha un dispositiu que aleatòriament obre la vàlvula d’un gas verinós. Mentre no obrim la caixa no podem saber si el gat és viu o no, una certa semblança amb el principi de la mecànica quàntica on, abans de fer una mesura, un sistema es comporta com si estigués en una superposició de tots els estats possibles. El pobre gat estaria en una superposició de «gat viu» i «gat mort» fins el moment que obrim la caixa i, aleshores, el seu estat «col·lapsa» en un estat únic i definit.

❖ Werner Heisenberg tenia gat?
—Sí, però un dia es va aturar, i ja no va poder saber mai més on era.

Werner Heisenberg va establir el principi d’indeterminació que ens diu, entre altres interpretacions que en una partícula, el producte entre les indeterminacions de la seva posició i de la seva velocitat és una constant. O sigui que si la partícula s’atura —velocitat estrictament determinada i igual a zero— la seva posició està absolutament indeterminada. Una altra de les paradoxes aparents de la mecànica quàntica.

❖ Kurt Gödel tenia gat?
—Sí, però no es pot demostrar.

Kurt Gödel va demostrar que qualsevol sistema axiomàtic, fins i tot els més simples, tenia proposicions que no es podien demostrar dins del sistema. La proposició «Kurt Gödel tenia gat», podria ser indemostrable…

❖ Quants gats tenia Wolfgang Pauli?
—Dos, però voltant sempre en sentits oposats.

Wolfgang Pauli va establir el principi d’exclusió que diu que dues partícules de les anomenades fermions no poden estar en el mateix estat quàntic. Les partícules materials bàsiques, com electrons o protons són fermions; les que transmeten força com els fotons no, i n’hi poden haver moltes en el mateix estat, és el principi del làser, per exemple. I els fermions, tenen una propietat anomenada spin, similar al moment angular dels objectes materials grans, que pot adoptar dos valors, un de positiu i un de negatiu, aleshores dues partícules, com dos electrons, poden estar en el mateix estat quàntic llevat que tindran espins oposats, d’alguna manera com si un girés a la dreta i l’altra a l’esquerra.

Gata duplicada fotogràficament, des de la finestra de casa • Gat negre desconfiat a Tavertet

❖ Alan Turing tenia gat?
—Sí, però quan li va escapar no va poder determinar mai si s’aturaria algun dia o no.

Una de les demostracions més importants de Turing afirma, aproximadament, que no es pot fer un programa que sigui capaç de determinar de manera general, si un altre programa arbitrari, una vegada iniciat en un ordinador, s’aturarà o no.

❖ Com era el gat de Max Plank?
—Tenia tot el cos negre.

Max Plank va resoldre un dels problemes més importants de la física clàssica del segle XIX. El de l’anomenat cos negre. Un cos negre és una substància hipotètica que absorbeix tota la llum que li arriba, en conseqüència no en reflexa cap i es veuria negre. Un petit forat en una gran caixa opaca en seria una bona aproximació. Resultava que amb les teories cinètiques clàssiques, no s’explicava ni de lluny, la distribució de freqüències que emet un cos negre en funció de la temperatura. Plank va introduir la hipòtesi que la emissió de radiació no era contínua sinó que només es podia fer en uns paquets molt petits en que l’energia depenia de la freqüència. Bàsicament que la energia electromagnètica no era contínua. Malgrat que sempre va creure que la seva hipòtesi era un mer artefacte matemàtic, tota l’experiència dels darrers 120 anys indica que la quantificació de matèria i energia són absolutament reals.

❖ Georg Riemann tenia gat?
—Aquesta hipòtesi encara no ha estat demostrada.

Riemann, a mitjans del segle XIX, va formular una conjectura sobre una funció anomenada ζ de Riemann, que per a una variable s val la suma infinita dels inversos dels nombres naturals elevats a s. Per exemple aplicada a 2, ζ(2) = 1/1² + 1/2² + 1/3² + 1/4²… i així fins l’infinit, que com tothom sap, val π²/6. Bé, és un acudit, no ho sap tothom, crec. El cas és que sembla que si s és un nombre complex no real, aquesta funció val zero en alguns casos anomenats no trivials, tots els quals tenen una part real igual a 1/2. És la més famosa conjectura de les matemàtiques, anomenada universalment hipòtesi de Riemann, i porta 160 anys sense que ningú l’hagi pogut demostrar. Té una importància immensa en molts camps de les matemàtiques, molts altres «probables teoremes» només ho són assumint que és certa.

❖ Isaac Newon tenia gat?
—Sí, i sempre se li enfilava a la pomera.

Hi ha la llegenda que Newton, apartat de la ciutat per una epidèmia, va veure caure una poma d’un pomer, o potser ja la va veure a terra desprès d’haver caigut, i al mateix temps va veure, o va pensar, la Lluna al cel. Aleshores es va preguntar perquè si la poma cau cap el centre de la Terra, la Lluna sembla no fer-ho i va cercar una explicació pel fet partint de la hipòtesi que la gravetat afectava tant la poma com la Lluna. D’aquí va sorgir la teoria de la gravitació universal. La presumpta pomera es va ensenyar durant molts fins que va morir, i altres s’han plantat a l’indret per continuar amb la llegenda.

Gat a Tortosa • Gats a Valls, aprofitant l’escalfor que havia deixat un cotxe aparcat

❖ Leonardo de Pisa, conegut com Fibonacci, tenia gat?
—No se sap, però de conillets en tenia molts.

Fibonacci va ser el matemàtic europeu més important a principis del segle XIII, i és molt conegut per un problema, al qual segurament no va donar cap importància, que va escriure el 1202 on explicava com es poden fer les operacions amb xifres anomenades aràbigues —no em vull imaginar com de complicat era abans fer divisions o arrels quadrades amb números romans—. El problema anava de la reproducció d’un conjunt de conills que a partir del segon mes tenien dos conillets cada mes que passava. La solució implica una seqüència on cada terme és la suma dels dos anteriors: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233… coneguda com a successió de Fibonacci que té una gran importància en molts temes de matemàtica discreta. Per cert, que en el problema s’assumeix que els conillets són immortals.

❖ Arquimedes de Siracusa tenia gat?
—Sí, però li va fugir perquè el ficava a la banyera.

És molt coneguda la llegenda que Arquimèdes va trobar el seu principi, tot solucionant un problema que li va proposar un parent seu anomenat Hieró, que resulta que era el rei —tirà— de Siracusa, sobre si era falsa una corona d’or. Per cert que la corona no era d’or pur com havia dit l’orfebre que no vull pas saber com va acabar. La llegenda continua dient que la solució se li va acudir mentre es banyava en una banyera d’unes termes, i que es va emocionar tant que va sortir al carrer despullat tot dient: εὕρηκα, eureka, que vol dir «ho he trobat» en grec. I als gats, no els agrada gens que els fiquin a la banyera, encara que aquesta part de la llegenda és una pura invenció meva.

Totes les fotos són meves, de diverses excursions per Catalunya.

A una determinada edat, tots hem après a fer multiplicacions, vull dir multiplicacions amb números de diverses xifres.

[Aquí opto per la convenció d’emprar número per a un nombre natural concret, deixant el terme nombre com a genèric per a qualsevol magnitud matemàtica, per molt que algun diccionari digui que les paraules són sinònimes i que número pot ser un castellanisme. Visc al número 75 d’un cert carrer, no al nombre 75]

Recordo perfectament que una vegada en veure el mestre que les havia acabat el primer i que totes estaven bé, se li va acudir fer-me fer més multiplicacions, el doble que els altres. Només em va passar una vegada. Mai més el mestre va veure que les feia més ràpid.

Això és un clar exemple d’exercici, aplicar rutinàriament un procediment ja après, en contraposició al problema, on cal decidir un mètode a partir de coneixements previs. La meva teoria és que els exercicis, i parlo de qualsevol matèria, en tot cas només serveixen per a adquirir seguretat i velocitat, però no fan pensar gaire. En contrapartida, un problema, que en general són més difícils que els exercicis, sí que prepara per a la vida real on les qüestions amb que ens enfrontem no acostumen a poder-se resoldre amb la pura aplicació d’un mètode memoritzat. Protocol, en diuen ara del mètode d’espolsar-se les responsabilitats per no haver pensat.

Tornant a les multiplicacions i assumit que en sabem fer amb paper i llapis, podem passar a problemes basats en multiplicacions.
Imaginem una multiplicació —desenvolupada— com la del gràfic amb fons verd. Les lletres representen xifres amb una restricció d’entrada: A, D, G, K, O i S no poden ser zeros, perquè aleshores no s’escriurien. També hi ha la lletra J que apareix dos cops, és evident que la J del resultat és idèntica a la darrera xifra del primer producte parcial. Un altre fet és que ni D, ni E, ni F poden valer ni zero ni un, perquè els productes parcials tenen quatre xifres.

Forma general i dos problemes que mostren els 7 i amaguen les altres xifres

Ara plantejarem un problema sobre una multiplicació d’aquesta forma, el del gràfic del mig amb fons blau. Aquí, algunes xifres estan tapades per cercles amb el número 7. Evidentment vol dir que aquest és el seu valor. I afegim la dada suplementària que cap de les xifres no tapades és un 7. Podem reconstruir la multiplicació?

Això ja no és aplicar una regla, sinó treballar a partir dels coneixements que tenim sobre la regla. Senzillament cal ser sistemàtic i escollir els fets que ens aportin dades.

❀ En primer lloc tenim que 7BC × F = G777. No hi ha gaire possibilitats, tenim poques xifres incògnites. F × C ha de ser un nombre acabat en 7, la primera conclusió és que F i C han de ser ambdós senars diferents de 7. Tampoc cap d’ells no pot ser 1 ja que implicaria que l’altre és 7, cosa que sabem que no és possible. Tampoc cap dels dos no pot ser 5, perquè un nombre acabat en 5 multiplicat per un senar, acaba en 5, i el nostre resultat ha d’acabar en 7. Només ens queden el 3 i el 9.

❀ Un altre fet és que O ha de valer precisament 6. A la seva columna només podem arrossegar un 1 de l’anterior —la suma de K i 7—, en conseqüència el tercer producte parcial —7BC × D— és precisament 6777. Dels números entre 2 i 9, els únics que són divisors de 6777 i poden ser D, són el 3 i el 9, però 6777 ÷ 3 = 2259 que és un nombre de quatre xifres mentre que 7BC en té 3. Només ens queda la possibilitat que D valgui 9 i en conseqüència 7BC és 6777 ÷ 9 = 753.

❀ Com que l’únic múltiple de 753 que acaba en tres 7 és 6777, resulta que E i F també valen 9 i que K i G, 6. Ja tenim tota la multiplicació. Si efectuem el producte 753 × 999 = 752247 que, com és pot veure, té els dos únics 7 en les posicions correctes del problema.

Fàcil? Difícil? tot és relatiu. Si hom no ho veu clar, repetint diverses vegades atentament els tres passos anteriors s’acaba veient que no hi ha cap operació difícil més enllà de saber multiplicar i observar algunes propietats elementals de la mena que un nombre acabat en 5 per un senar, sempre acaba en 5. Probablement això a l’escola no s’ensenya explícitament, però un aprenentatge que no hi arribi, és manifestament incomplet i que no hagi assolit fites elementals com aquestes, difícilment en podrà assolir de més complexes que sí estan en el programa, llevat que decideixi aprendre tots els procediments de memòria sense més, am l’esperança que mai li posin un problema, només exercicis en els que aplicar cegament el memoritzat.

I el problema de la dreta amb fons rosa? El deixo per l’estimat lector. Certament és una mica, només mica, més difícil. I com a pista, puc afirmar que la clau del meu mètode per resoldre’l —n’hi poden haver molts més— és basa en els possibles valors de E i C, amb un raonament similar al d’un dels punts del problema anterior de fons blau.

I d’on han sortit aquests problemes? De la imaginació d’algun ésser d’intel·ligència superior? En absolut, generar aquests problemes és un altre problema, o més exactament un metaproblema —problema sobre problemes— que vaig resoldre amb un full de càlcul —incidentalment no va ser amb Excel, que li tinc moltíssima mania—. La idea és generar totes les multiplicacions de la forma de la de l’esquerra del fons verd, substituir tots els caràcters no 7 per un símbol, els 7 per un altre, i de la llista dels les moltíssims resultats, separar els que només hi apareixen un cop. Cadascun d’ells correspon a un problema amb solució única. Concretament hi ha 6738 de diferents, en multiplicacions amb la forma de la del problema, on donant els 7 podem deduir totes les altres xifres. Si algú les vol, que em demani el llistat.

A les darreries dels anys cinquanta i començaments dels seixanta, el meu avi matern, ja jubilat de les empreses tèxtils on havia treballat bàsicament en qüestions de mecànica, feia de rellotger. El recordo amb un vidre d’augment enganxat a un ull i sota el focus d’un llum potent, manipulant rellotges de polsera amb pinces i tornavisos petitíssims. Però llevat de la fascinació de nen, en aquella època mai no vaig tocar un rellotge per dins.

Durant l’ensenyament, oficialment, l’únic que em van ensenyar dels rellotges era la teoria bàsica del pèndol, que manté la freqüència encara que canvii l’amplitud; cosa que per compte propi vaig saber que havia descobert Galileo a partir de l’observació dels llums de la catedral de Pisa —que balancejaven ja que en ser d’espelmes o potser d’oli, calia moure’ls per tal d’encendre’ls—, tot comparant el seu període amb el del seu cor que li feia de cronòmetre aproximat. Newton, més tard, en va explicar els motius teòrics.

Però de veure que el pèndol oscil·lava regularment al moviment de les busques, hi havia un món del que a l’escola ni me’n van parlar. Per a mi, la clau va ser quan vaig veure com anava el mecanisme d’escapament, que a cada oscil·lació del pèndol per una banda feia avançar una dent una roda dentada, i per altre adquiria una mica d’energia, provinent d’uns pesos, que compensava les pèrdues per fregament que fan que un pèndol solitari s’esmorteeixi relativament de pressa. No, no m’ho van ensenyar a l’escola, ni ho vaig trobar en un llibre, sinó en el fulletó d’instruccions d’una joguina de plàstic i eixos metàl·lics d’uns parents; joguina que entre altres muntatges proposava un rellotge de pèndol. De fet ni el vaig acabar, quan em vaig adonar de com anava el mecanisme d’escapament, ja vaig quedar satisfet, a banda que em sembla que ja no tenia més temps.

Rellotge «català». Rellotge exterior. Rellotge d’un besavi

Però abans d’acabar el batxillerat, vers 1968, se’m va acudir construir un rellotge, un rellotge pràctic. No tenia a casa ni les eines del meu avi ni, encara menys, sistema de construir les peces mecàniques necessàries. Però sí components electrònics, la gran majoria reciclats d’una empresa que li era més barat comprar components nous que desmuntar les plaques de circuits inútils que de totes maneres llençaria. Circuits integrats de la tecnologia TTL, de la sèrie anomenada 74XX, relativament lents i que s’escalfaven molt. Comprant uns pocs circuits integrats específics que no havia obtingut del reciclatge, i muntant-los tots sobre una placa genèrica, vaig aconseguir un rellotge amb quatre dígits vermells d’hores i minuts que aprofitava com a generador de freqüència estable els 50 Hz del subministrament elèctric. Sí, és força estable, a nivell de centrals es va compensant de manera que la freqüència no es desvia gaire de la mitjana. Quan un rellotge amb xifres lluminoses encara era una raresa.

Alguna cosa a veure amb el que m’havien ensenyat a escola? Més aviat poca, fins i tot recordo haver après la llei d’Ohm pel meu compte a revistes d’electrònica popular, un parell d’anys abans de veure-la al curs que ara correspondria a 2n d’ESO. Recordo que qui em va ensenyar a llegir les bandes de colors de les resistències, va ser als onze anys un cap que tenia als escoltes que es deia Miquel Bertran.

No estic dient que tothom hagi de construir un rellotge abans d’acabar el batxillerat, ni molt menys, però sí que tothom hauria de poder desenvolupar alguna activitat equivalent en qualsevol camp. I aquí, equivalent vol dir iniciativa i disseny propi. I no dependre de la sort d’haver tingut un avi rellotger —o el que sigui—, o una font de materials a l’abast, que són factors aleatoris.

Rellotge enigma. Rellotge de sol mirant el nord. Rellotge de caixa. Cronòmetre de Harrison

El sistema educatiu hauria de propiciar activitats de cultura personal. Per una banda hi ha els que diuen que seria molt car. Al menys el projecte del meu rellotge va ser econòmic, i si els projectes són més intangibles, que no depenen de res mecànic ni elèctric, encara ho poden ser més. Actualment la informàtica abarateix molt: per exemple, ara fer fotos, és a la pràctica gratuït llevat d’una minsa inversió inicial en sistemes que són d’ús general. Per altre banda hi ha qui diu que els mestres no estan preparats. Potser és que estan tan encotillats pel sistema, que imaginar alternatives els és massa difícil. Potser senzillament és que reduir els estudis a un programa, no garanteix en absolut que el global dels mestres surti amb algunes aficions —ho he dit en plural— i amb una cultura prou àmplia; i aquí afegeixo específicament també la científica i tècnica, en el sentit de comprensió del món i del seu funcionament. Només manifesto les mancances que hi veig, com es podrien solucionar és un altre tema on els implicats haurien de tenir la primera paraula.

Per cert, forma part de l’ensenyament una cosa tan senzilla com saber com s’ha d’orientar el gnòmon —l’agulla— d’un rellotge de sol bàsic?

Força sovint, quan hom presenta una teoria científica revolucionària, la comunitat establerta s’hi oposa ferotgement. Cert que en molts casos el conservadorisme inherent al sistema hi pesa molt, i que aquesta és l’explicació que apareix a la majoria de llibres d’història. Però sovint és una explicació a posteriori, feta des de fora de l’àmbit científic del moment.

Un cas força conegut és el de l’anomenada «deriva dels continents».

Alferd Wegener, geofísic i meteoròleg alemany, cap 1915, a partir de la idea que les costes d’Àfrica encaixen força exactament amb les d’Amèrica del sud, va començar a especular sobre la possibilitat que aquests dos continent haguessin estat junts en el passat i, posteriorment, s’haguessin desplaçat a les seves posicions actuals.

Més endavant va incorporar al model desplaçaments de l’Antàrtida, Madagascar, l’Índia i Austràlia, que haurien format un continent anomenat Gondwana. I, més endavant, tots els altres continents van trobar un lloc dins el model. Nord Amèrica també s’hauria separat d’Euràsia, provinents de la separació del continent Lauràsia i amb anterioritat Lauràsia i Gondwana haurien estat units en un únic continent anomenat Pangea —tota la terra—.

Els continents i oceans actuals, amb fletxes que indiquen el seu moviment

Més enllà de resoldre una mena de trencaclosques per veure les possibilitats de moviments continentals en el passat, Wegener va aportar altres proves: Estructures geològiques que començaven en un continent actual i seguien en un altre, encaixant perfectament el el model de Pangea; arguments paleontològics sobre fòssils que es trobaven en dos continents ara força separats, però junts en el passat; coincidència encara més gran si, en lloc de partir de la forma de la línia de la costa dels continents, es parteix de la de la plataforma continental.

I quin mecanisme proposava Wegener per aquesta deriva continental?

Per mesures sismològiques es sabia que l’escorça sota els oceans era molt més prima que la dels continents i formada bàsicament per basalt. L’escorça continental era molt més gruixuda, i formada bàsicament de granit i altres roques àcides, amb una densitat inferior a la del basalt.

La proposta era que els continents suraven en una mena de mar global de basalt de més densitat, a la manera dels icebergs sobre l’oceà, i que els moviments de convecció del material del mantell, sota l’escorça, que es suposava relativament fluid eren el motor dels desplaçaments.

I aquí hi havia un problema. Ràpidament algú va calcular que el basalt sobre el que figurava que suraven i es desplaçaven els continents, era un sòlid tan rígid com l’acer. La teoria de Wegener, podia ser molt bonica, però tenia un punt impossible, durant quaranta anys es va rebutjar totalment malgrat les proves indirectes, que d’una manera, que jutjada a posteriori ens pot semblar molt poc científica, es van considerar «casualitats».

No va ser fins els anys cinquanta que es van fer unes mesures que no es podien explicar amb la teoria clàssica dels continents ―i oceans― fixos.

Es sabia, per observacions batimètriques que al centre de l’Atlàntic, i també en altres oceans, hi havia unes serralades submarines que es van anomenar dorsals. Les dorsals presentaven activitat volcànica, però una mica inferior a la que hi havia en algunes vores continentals —com tota la serralada  dels Andes—, arcs d’illes —com el Japó o les Aleutianes— o volcans aïllats —com els de Hawaii—.

En aquella època es van començar a fer mesures geomagnètiques, es tractava d’estudiar la magnetització de les roques. Quan la lava d’un volcà solidifica, ho fa dins el camp magnètic de la Terra, i si conté cristalls magnetitzables —per exemple els d’alguns òxids de ferro— aquests queden magnetitzats i alineats amb el camp magnètic de la Terra en aquell moment.

Ràpidament es va descobrir un fet curiós. Més enllà dels moviments esperats de la posició dels pols magnètics de la Terra, que tenen recorreguts irregulars al voltant dels pols geogràfics, el camp magnètic global, a vegades, s’invertia, el pol magnètic nord passava a ser sud i viceversa. Aquestes inversions passaven a intervals de centenars de milers d’anys i de forma irregular, no amb un període constant. En principi, les roques que conservaven el records magnètic de quan es van solidificar, si els moviments tectònics no les havien fet canviar de posició, tenien uns camps magnètics orientats bàsicament, cap al nord o cap el sud, de manera imprevisible, segons quina era la posició dels pols magnètics en el moment que es van formar.

La següent observació significativa va ser que a costat i costat de les dorsals oceàniques, hi havia bandes simètriques del material del fons del mar, magnetitzades en un sentit o en l’altre. L’explicació era que el fons marí s’originava a la dorsal, magnetitzat en el sentit del camp del moment. Posteriorment aquest material s’anava allunyant de la dorsal, i quan hi havia una inversió del camp magnètic, es formava una altra zona de material del fons magnetitzat a l’inrevés. Cada inversió del camp magnètic, generava dues zones de material a banda i banda de la dorsal.

Però, com podia desplaçar-se aquest material si el fons del mar era rígid com l’acer?

L’explicació es que aquest material no fluïa i deformava, sinó que l’escorça es creava a la dorsal i es destruïa en un altre punt, mantenint la rigidesa. I els punts on es destruïa són les anomenades foses oceàniques, on l’escorça basàltica, més densa que les roques dels continents, és empesa sota d’ells. A més fondària augmenta la temperatura i el material de l’escorça oceànica es torna a fer fluid, aleshores els components més densos es dissolen al mantell, i els més lleugeres, cosa que inclou el quars i també l’aigua que hi havia dins el basalt, acaben tornant a la superfície, sigui en forma de masses sòlides, sigui en erupcions volcàniques com moltes de les que hi ha a al riba del Pacífic.

A partir d’aquí va sorgir la teoria de la tectònica de plaques: la litosfera està formada per un seguit de plaques rígides que es desplacen pels moviments turbulents del material subjacent del mantell. Aquestes plaques que poden tenir zones amb d’escorça oceànica i altres amb d’escorça continental, es mouen a base de ser creades en uns punts, i destruïdes en uns altres. Creació i destrucció bàsicament de la part de basalt de les plaques. Els nuclis granítics, anomenats cratons, són permanents tot i que es poden fracturar i que encara s’hi va afegint material granític degut a alguns fenòmens de caire plutònic.

La teoria de Wegener, això sí, corregida en el punt essencial de la creació i destrucció de l’escorça oceànica, finalment va ser admesa de forma general.

Una cosa similar va passar amb la teoria heliocèntrica de Copèrnic, més enllà de temes ideològics o religiosos que sovint s’han presentat com a essencials pel seu rebuig, hi havia un problema matemàtic de capacitat predictiva del model, que era pitjor a la dels models geocèntrics de l’època; això no van poder ser superat fins que Kepler va trencar el dogma que les òrbites havien de ser combinacions de cercles perfectes. Però aquesta és una altra història.

En el meu primer any d’universitat vaig cursar una assignatura de química general, en aquells dies el primer curs era comú a totes les carreres de ciències i a la enginyeria industrial, de manera que s’ajornava un any l’elecció de carrera, això sí, en haver-hi més assignatures que carreres, calia descartar-ne un parell que en certa manera feien ja una primer pas d’eliminació. En el meu cas vaig descartar dibuix tècnic —no tenia intenció de fer enginyeria— i biologia —no perquè no m’interessés, sinó perquè encara sobrava una assignatura—. Però la química si que la vaig escollir també sense intenció de continuar amb aquesta carrera.

El cas és que em va tocar un catedràtic, diguem-ne conflictiu. Era en ple franquisme, era del règim i no ho amagava, les seves avaluacions tenien fama d’arbitràries, el tracte amb els alumnes absolutament distant i els ajudants que ens van donar les pràctiques no estaven al nivell. Però he de reconèixer que de química en sabia un niu.

I per a mi, el curs que ens va fer va ser d’allò més interessant. Va ser un curs «historicista», per qualificar-lo amb una sola paraula. Començava al segle XVII explicant les teories prèvies, per exemple la del flogist, i com Cavendish, Scheele o Lavoisier van començar a formular noves teories que es basaven en la conservació de la matèria. Va descriure les observacions, experiments i mesures que es van fer, i la seva interpretació en termes actuals; així com els punts que encara restaven misteriosos.

Va continuar amb tota la química del segle XIX, des de Dalton, Berzelius, Mendeléiev, Kekulé o Moissan, entre molts d’altres —he escrit de memòria els químics que més recordo d’aquell curs—. Fins acabar als començaments del segle XX amb l’aplicació de la mecànica quàntica a la química per part de Bohr. Val a dir, que en tot aquest curs, mai no ens va proposar llegir els textos originals de l’època, tot era sota una formulació actual i al nivell que s’esperava d’alumnes de primer curs.

Una taula periòdica una mica peculiar

Jo havia tingut la sort d’haver tingut al batxillerat un gran professor de química i de tenir a casa un manual de química general dels anys 30 o 40 anomenat Babor entre altres llibres del nivell que s’espera en un primer de carrera. Vull dir que possiblement ja tenia el curs aprovat quan hi vaig entrar. I les explicacions de con s’havien anat descobrint i desenvolupant aquells coneixements que ja tenia, em van resultar molt útils dins una cultura generals científica.

I va arribar l’examen final. Però allí no ens va preguntar sobre la serp de Kekulé, l’enverinament de Moissan o de perquè van guillotinar Lavoiser, les preguntes anaven de reaccions d’obtenció de substàncies químiques, de solubilitats, entalpies de reaccions i similars, com els problemes que havia vist al batxillerat però a un nivell superior. Vaig aprovar i amb nota, però en general va ser una massacre, els curs, als alumnes que no tenien gaire nivell no els va ajudar a saber solucionar problemes de química.

La conclusió que vaig treure de tot això, és que l’aproximació històrica a les matèries, i ara no parlo de química sinó que estic pensant el la literatura i la filosofia al batxillerat, només serveix quan l’alumnat ja té un nivell teòric i pràctic prou gran en la matèria. Pensar que explicant el desenvolupament històric o, encara pitjor, fent llegir textos originals, s’adquireix de retruc el nivell general bàsic, ho trobo francament utòpic, per molt que aquesta aproximació pedagògica porti segles aplicant-se. Segurament té l’origen en la manca de textos explicatius adaptats al moment, que feia que els únic disponibles fossin els originals i les seves crítiques contemporànies.

Tornant a les ciències, un geni com Maxwell, va trobar unes equacions —són equacions diferencials en derivades parcials— que unificaven les lleis de l’electricitat i el magnetisme. Equacions importantíssimes que, entre altre corol·laris impliquen que una càrrega elèctrica accelerada emet energia en forma d’ones que es propaguen a una velocitat que té a veure amb les propietats elèctriques i magnètiques de la matèria i que, en el buid, resulta coincidir amb la velocitat de la llum. D’aquí, pensar que la llum és precisament una radiació electromagnètica. I molts altres desenvolupaments pràctics com les emissions i recepcions d’ones de ràdio. Ara bé, les equacions que va escriure en Maxwell no me les sé. Realment només les he vist pel damunt, i mai no les he hagut d’estudiar. Afortunadament perquè són d’una complexitat extrema. Va ser un altre geni que treballava en solitari de manera força autodidacta, Heaviside —simultàniament amb Gibbs, el primer gran científic americà després de Franklin—, que hi va descobrir una sèrie de simetries que van permetre reduir les equacions de Maxwell de vint a quatre, amb una formulació vectorial molt més manejable que sí que he estudiat. De fet, a hores d’ara, les equacions «de Maxwell» són quatre. Amb això vull dir que una obra enorme, pot ser difícilment comprensible en la seva formulació original i que de totes maneres les conseqüències són més importants que el descobriment primitiu.

Les quatre equacions de Maxwell, en principi eren 20 i força més complexes

Una cosa similar em va passar a filosofia del batxillerat amb els sil·logismes aristotèlics. Me’ls vaig aprendre de memòria per passar l’examen, sense intentar desenvolupar-los ni comprendre la seva gènesi. Però durant el mateix curs, va arribar a les meves mans un text o s’explicava l’àlgebra de proposicions, i en un parell de paràgrafs ho vaig veure tot clar. Tot allò que semblava tan complicat, a causa d’un llenguatge molt allunyat a mi, esdevenia trivial. Una lamentable conclusió que n’he tret és que un principi, que Russell va expressar en fora de famosa paradoxa, normalment no és assumit pels que van aprendre lògica a base de Barbara, celarent, darii, fira, eneas i companyia que creuen que quan dic que si —és només un exemple— una constitució diu que espanya és una nació, però que té «diverses nacionalitats», o sigui que una = diverses, cosa que és una contradicció lògica, del text se’n pot extreure qualsevol altre enunciat que serà cert dins el seu marc. I no és allò de «bé, però ja sabem que no és així…», no, és pura lògica irrefutable.

Per cert, la imatge és un «Què és?»

Certament no sóc un calculista, sinó només una mica aficionat al càlcul numèric des que era ben petit. Tan petit que no recordo allò d’aprendre’m les taules, va succeir dins el núvol que es té a la memòria de la majoria dels esdeveniments d’abans dels quatre anys. La memòria de familiars diu que sumar em va agradar molt, restar no gaire, multiplicar altre vegada sí i que dividir em va resultar fascinant.

El primer «descobriment» matemàtic que vaig fer, deuria ser als cinc anys, recordo que no va impressionar ningú fins que no li vaig anar a explicar al meu avi, catedràtic jubilat de l’escola d’arquitectura que entenia de nombres de manera més professional i a més tenia sentit de l’humor. A casa, la carta als Reis Mags de l’Orient, era gràfica en forma de petita auca dibuixada per ell —incidentalment, des d’ulls de nen, dibuixava tan bé, que pensava que jo mai serviria per tenir el seu ofici—; i la carta, el dia sis de gener, apareixia amb les joguines retornada i signada pels reis. En llapis d’aquells que per una banda eren vermells i per l’altra blaus, i les signatures eren integrals, equacions diferencials i altres expressions matemàtiques d’aquelles que impressionen la gent del carrer, amb abundància de símbols estranys i lletres gregues. Suposo que de fer lletres hebrees, àrabs o índies, no en deuria saber, integrals, sí.

Però a l’escola, l’any 1963 i sense calculadores, va arribar el dia que va aparèixer el tema dels logaritmes. Segons molts eren molt difícils, però precisament per les explicacions d’un dia del meu avi, i un dia vol dir una sola sessió i no gaire llarga, vaig veure immediatament de què anaven. Les taules aquell primer anys eren una cartolina plegada amb logaritmes i antilogaritmes de quatre xifres de precisió. La veritat era que per a un calculador compulsiu no era gaire avantatge de temps respecte fer les multiplicacions o divisions amb aquesta precisió. En arrels quadrades sí que era una mica més avantatjós.

El curs següent ens van fer comprar les taules «Sanchez Ramos» un llibre bastant gruixut amb logaritmes i taules trigonomètriques amb sis decimals i també una taula més curta de logaritmes amb onze i explicacions de com interpolar, sense res de teoria. Vaig preguntar al professor de matemàtiques, matemàtic de carrera, que com s’ho havien fet per poder calcular les taules de logaritmes sense tenir taules de logaritmes… i em va engegar, com ja havia fet un parell de vegades que li havia preguntat privadament per temes, elementals per a un matemàtic, però que «no tocaven». Es va guanyar el meu odi etern.

En contrapartida, el professor de física i química —en aquell curs es veien en una única assignatura— que es deia Joan Cuadrenys Obea, tenia tota la meva devoció. Segurament hagués respost les meves qüestions matemàtiques, però només recordo haver-li preguntat per qüestions de les seves matèries. I va ser en el curs que impartia aquell senyor, on sovint s’havien de fer càlculs amb dos, tres o quatre xifres significatives, quan vaig fer un descobriment. Al meu pare, que era el que ara anomenaríem enginyer de so, a l’empresa li van canviar —potser va ser ell que se’n va comprar un de nou— el regla de càlcul. I el vell, de butxaca, marca Castell, va venir a parar a casa.

Ràpidament me’n vaig apoderar i amb el fulletó en vaig tenir prou per saber-lo fer anar. A classe era l’únic que en duia —el curs següent ja érem dos— i per a molts companys era un estri misteriós o fins i tot una mica màgic. Curiosament estava autoritzat, al costat de les taules de logaritmes de quatre xifres, a l’examen de «revàlida de quart». Encara el conservo —o no, perquè amb els anys en vaig obtenir un altre de molt similar i un dels dos es va trencar—.

Primer model de regle de càlcul que vaig emprar

No recordo si va ser quan feia el preuniversitari o el primer any de carrera que vaig tenir el segon regle. Era un Aristo de 25 cm i amb escales «LL» que permetien fer càlculs de potències arbitràries. Aquest regle, pobre, va desaparèixer en combat, en una ràtzia de la policia nacional —grisos— a la facultat, a les corredisses em va caure la carpeta per terra, sé que la policia se la va endur, i tot i que a la funda del regle hi havia escrit el telèfon, no va tornar. Fa relativament poc en vaig obtenir, via herència que ningú ja no apreciava, una de similar, que és la que mostro a la imatge.

Regle similar al que em va desaparèixer

Era l’època de les primeres calculadores científiques, concretament de la Hewlett Packard HP-35, fora de l’abast de qualsevol estudiant. Una meravella tot i que era senzillament una calculadora científica bàsica. Tot i que era car, i sabia que el regle de càlcul aviat entraria en declivi, me’n vaig comprar un altre. Era dels anomenats de «doble precisió» Amb una escala partida, per una banda entre 1 i √10 i per l’altra entre √10 i 10, cosa que permetia en un model curt de 15 cm, gairebé de butxaca, tenir la mateixa precisió que amb el regle més llarg. Va ser el cant del cigne del regle de càlcul. Ja no recordo més moderns d’ús general.

Cara principal del regle de «doble precisió», per l’altra banda hi ha les escales exponencials

Ara els regles de càlcul són un instrument retro i aviat de museu. De totes maneres el seu ús encara té unes possibilitats educatives interessants, més enllà de fer descobrir els principis del càlcul analògic, són interessants en el sentit d’aprendre a llegir escales amb agilitat i, conseqüentment, interpretar gràfiques.

Fa un parell de setmanes publicava una entrada sobre pentòminos. Continuo avui sobre poliòminos, figures formades per diversos quadrats adjacents, dels que els pentòminos en són el cas amb cinc quadrats.

Hom es pot preguntar si realment tenen interès educatiu, a primera vista no serveixen per a res. Però tenen força punts al seu favor. D’entrada poden ser objectes reals, que es poden construir físicament amb una certa facilitat, no meres abstraccions mentals o sobre paper. En segon lloc, no impliquen gaire coneixements previs, cosa que fa que qui treballa amb ells, normalment no parteix amb avantatge degut a experiències anteriors. En tercer lloc són una gran eina en dos temes essencials sobre els que normalment no es centra l’atenció: comptar i classificar. I, finalment, amb ells es poden plantejar multitud de problemes —que podem anomenar també trencaclosques, enigmes o jocs— que poden fer el seu ús menys àrid que molts altres temes més allunyats de la visualització directa.

Aprendre a comptar té més importància que la que generalment es pensa. És l’origen i la base de les matemàtiques, tant les «teòriques» com les útils per a la vida diària. I amb poliòminos es poden comptar moltes coses, fàcils i difícils. Per començar: quants n’hi ha amb cada nombre de quadrats? I es pot continuar amb molts més problemes, de trivials a impossibles, deductius i inductius. Problemes, tots ells, basats en elements senzills però no abstractes, els poliòminos són tangibles i visualitzables.

Amb un quadrat —monòmino— en tenim 1; amb dos, també n’hi ha 1 de sol, conegut com a dòmino que ha donat nom a totes aquestes figures; de tres quadrats —tròminos— ja n’hi ha 2, el format per tres quadrats en línia recta i el que té forma d’angle; de quatre quadrats —tetròminos— n’hi ha 5, encara fàcils de trobar, són precisament les peces negres de la foto. A partir d’aquí la cosa es comença a complicar, de cinc n’hi ha 12, els pentòminos que esmentava fa uns dies, però ja comença a ser freqüent descomptar-se, duplicar-ne algun o no trobar-lo. Trobar quants n’hi ha de sis, set o més, ja implica una certa planificació, la idea primària d’anar ajuntant quadrats no funciona, és massa fàcil deixar-se alguna combinació. A mà suposo que es pot arribar als de vuit, però a partir d’aquí deu ser una feinada espantosa. Amb ordinador, es poden comptar, actualment s’ha arribat a comptar els poliòminos de fins a vint-i-vuit quadrats, n’hi ha exactament 153511100594603. I no és coneix cap funció matemàtica exacta que ens doni el nombre de poliòminos d’un ordre determinat.

Alguns poliòminos —tetròminos, pentòminos i hexòminos— autoconstruïts amb cubs de plàstic

És trivial veure que amb els dos tròminos no podem formar un rectangle. Amb els cinc tetròminos, que en total farien vint quadrats, tampoc no es pot fer, i la prova curta d’aquest fet és subtil. Els dotze pentòminos, que totalitzen seixanta quadrats, sí que poden formar rectangles, de 3 × 20, 4 × 15, 5 × 12 o de 6 × 10. En el cas dels trenta-cinc hexòminos tornem a trobar que no és possible omplir amb ells un rectangle de 210 quadrats, per una raó una mica més subtil que la dels tetròminos. En el cas de tots els ordres superiors torna a ser trivial veure que no és pot formar un rectangle. Sí, trivial, a partir dels heptòminos hi ha peces amb forats interiors, que naturalment no es poden cobrir amb altres peces.

Imatge de síntesi dels dotze pentòminos en un rectangle de 6 × 10

Deixant absolutament de banda tots els problemes de caire numèric, geomètric o lògic, hi ha la qüestió de com construir models físics. Retallar paper és fàcil, però els resultats deplorables, quan hom intenta posar una peça, mou les veïnes, i fins i tot respirant pot engegar a dida la figura formada. Cartolina és una mica millor, mica, és difícil de tallar amb tisores sense passar-se ni corbar-la, i amb cúter tampoc no és que sigui fàcil. Depenent del gruix té problemes similars al paper, i de totes maneres les peces no són gaire duradores. Cartró «ploma» o altres fulls gruixuts i tous són una millor solució a l’hora de tallar amb cúter, però cal, en general, optar per peces grans, a partir d’uns cinc centímetres de mida del quadrat unitat.

No, cap dels jocs artesanals que conservo és fet així. Una opció que havia fet servir i encara conservo per un petit conjunt de peces particular, és fer-les amb «Lego», cal tenir-ne i és una mica car però reutilitzable. Un altra mètode obvi és fer les peces de fusta. També convé aquí optar per peces grans, Si cal emprar serra és feinós encara que entra sins el raonable si no s’han de fer massa peces. Tinc un joc de 14 peces especials —realment no són exactament poliòminos, però gairebé— fet així, a partir d’un llistó de fusta bona, d’amplada igual a dos quadrats base. I també tinc un joc dels dotze pentòminos pensat per dur a fires o tallers i ser manipulat per nens que en part el van construir els meus fills quan eren nens: a partir d’un llistó ample i prim es tallen peces —de una a cinc vegades més llargues que amples— per fer dos pentòminos iguals però amb els talls mai situats coincidents; posteriorment es superposen, s’enganxen —o claven— i en el meu cas es pinten.

Una nena jugant amb un joc de pentòminos de fusta de dues capes en una fira a la Ciutadella de Barcelona

Amb aquests antecedents al cap volia fer-me un joc d’hexòminos —35— que sí que es pot trobar al comerç, però a preu prohibitiu, i no em decidia. Fins que un dia vaig trobar en una botiga de manualitats escolars, una bossa amb centenars de cubs de plàstic de diversos colors i un centímetre de mida amb els que, enganxats amb una pega adequada —aquesta no sé si era adequada per nens per allò dels solvents—, podia formar tots els poliòminos que volia i fins i tot els «policubs», la mateixa idea en tres dimensions. Així, vaig poder fabricar un conjunt amb tots els poliòminos de fins a sis quadres, tots els policubs fins a cinc, i algun altre que volia per a problemes específics. I enganxar cubs amb una pega ràpida, és molt més fàcil que començar a tallar.

Ganimedes, el satèl·lit més gran de Júpiter —i de tot el sistema solar— va ser descobert per Galileo el 7 de gener de 1610. Amb el seu telescopi que, a banda de ser dels primers telescopis era, naturalment, primitiu, amb una qualitat òtica propera als binocles de fireta per a nens. Però el cas és que fins i tot amb binocles de fireta, és relativament fàcil veure els satèl·lits de Júpiter, fins i tot en els contaminadíssims cels que ara tenim als pobles i ciutats. Galileo va ser el primer que va observar científicament el cel amb telescopi. és probable que altres constructors previs també haguessin apuntat el seu instrument al cel, però no van deixar constància de cap descobriment.

Urà, el planeta, és prou conegut pel públic en general. Va ser descobert per William Herschel el 13 de març de 1781. Amb el seu telescopi, que era dels de millor qualitat del món en aquell moment. Era un telescopi autoconstruït. El cas és que Herschel es guanyava la vida com a músic d’una banda militar i de diners no en tenia gaires; quan es va aficionar a l’astronomia va voler comprar un telescopi però els més senzills estaven fora del seu abast, o sigui que va decidir construir-se’l. Com que fer miralls era més senzill que fer lents, va decidir fer-lo reflector, amb mirall de bronze polit, i amb els anys va esdevenir un dels millors especialistes del món, i el telescopi que emprava personalment tenia una qualitat òptica superior al de la majoria dels professionals de l’època. Això va ser determinant, Urà havia estat vist prèviament moltes vegades —hi tornarem—, però amb el seu telescopi, Herschel va veure que presentava un disc, minúscul però diferent a la imatge puntual de les estrelles.

Vesta, el quart asteroide que es va descobrir, el 29 de març de 1807, per Heinrich Wilhelm Olbers, va ser fruit d’una recerca deliberada de petits cossos en òrbita al Sol entre Mart i Júpiter. Va ser el tercer que es va descobrir en un programa més o menys sistemàtic de diversos astrònoms alemanys. Curiosament, abans que comencés aquesta recerca, el primer dia del segle XIX, Giuseppe Piazzi, des de Palerm, havia descobert el primer dels asteroides, Ceres, mentre elaborava un catàleg d’estrelles: va trobar el que semblava una estrella que en nits successives canviava de posició, finalment va resultar ser un petit cos precisament de la mena que els alemanys volien cercar. Els telescopis de Piazzi i Olbers, ja eren notablement millors que el de Herschel quan va descobrir Urà, en l’interval de temps, s’havien millorat molt les lents dels objectius dels telescopis refractors.

Tres descobriments fets amb telescopi.

Ganimedes, Urà i Vesta, des de sondes espacials, imatges de la Viquipèdia

Però el més curiós del cas és que aquests tres objectes, en condicions favorables, es poden veure sense telescopi, i al menys en els dos primers hi ha una certa constància escrita. Sabent on eren, i quan tenia molt més bona vista, els havia arribat a veure els tres a ull nu. I moltíssima gent abans dels seus descobriments també. La pràctica totalitat sense ser conscients de que el que veien no era una estrella ordinària, i la immensa majoria sense deixar-ne cap registre escrit. Però algú si ho va fer.

L’any 365 abans de Crist, un astrònom xinès anomenat Gan De, va deixat escrit que al costat de Júpiter hi havia vist una petita estrella rogenca. En general, Ganimedes no és visible, no perquè brilli poc, pot arribar a ser de la quarta magnitud, sinó perquè la lluor de Júpiter l’oculta; però si tapem Júpiter amb un objecte llunyà, per exemple un arbre, una muntanya o un edifici, els seus satèl·lits i específicament Ganimedes que és el més brillat i pot estar relativament separat del planeta, es pot distingir fàcilment. Naturalment que no sabem si realment va veure Ganimedes, o era potser Cal·listo o una estrella vermellosa que per casualitat era prop de Júpiter el dia de la observació.

Passem a Urà. Hiparc de Nicea, el segle segon abans de Crist, va ser el primer astrònom que va elaborar un catàleg d’estels que ens hagi arribat als nostres dies. Arribat, però passant per diverses mans i traduccions que hi van incorporar més estrelles o potser van cometre algun error de transcripció. El cas és que en el catàleg que tenim actualment, hi ha algunes poques estrelles que no sabem identificar. Una de les coses importants del catàleg d’Hiparc, és que va introduir el concepte de magnitud, dividint els estels en classes depenent de la seva lluentor, els més brillants eren de la primera magnitud, una mica menys brillants de segona, i així successivament fins arribar a la sisena, els objectes més febles que es veuen en condicions normals. I resulta que una de les estrelles de cinquena magnitud que apareixen al catàleg, sembla no existir, Però l’any 129 Ac, que és quan aproximadament es va elaborar el catàleg d’Hiparc, Urà, de cinquena magnitud, era relativament prop de la posició de l’estel desaparegut. La probabilitat que ho fos, sembla remota, però és possible que fos la seva primera detecció enregistrada.

Perquè essent Urà relativament brillant, hi ha moltes més deteccions anteriors al descobriment oficial d’Herschel. La més sonada va ser el 1690, quan John Flamsteed elaborava un mapa d’estrelles, un mapa on va introduir per a cada constel·lació, una numeració per les estrelles anat d’oest a est. Així, la famosa 61 cygni, era la 61ena estrella a partir de l’oest de la cosnstel·lací del cigne en el catàleg de Flamsteed. I aquest catàleg, i el mapa corresponent, inclou 34 tauri. En un lloc on no hi ha cap estrella ni de cinquena ni de sisena magnitud. Flamsteed, a banda del catàleg, ens va deixar notes on es veu que va observar 34 tauri al menys sis vegades, però no va veure ni el disc, ni es va adonar que anava canviant lentament de posició. Era Urà.

Observacions de Ceres no en conec cap de prèvia, però quan l’asteroide és més prop de la Terra és de sisena magnitud i es pot arribar a veure en un cel ben fosc. És el segon més gran dels asteroides, una mica més de la mitat de Ceres, però brilla més perquè la seva òrbita és més propera al Sol i a la Terra, i perquè te la superfície bastant clara. Jo l’he vist, però no només això, l’he tocat amb els meus dits. Realment no he anat a Vesta, és Vesta qui ha vingut aquí. Milions d’anys enrere, alguns grans impactes amb altres asteroides, van foradar uns cràters enormes a Vesta i van llançar gran quantitat de material a l’espai. Algun d’aquest material, en forma de meteorit, acaba caient a la Terra, i per la seva composició es pot deduir que prové de Vesta, un asteroide diferenciat e capes i que ha sofert grans impactes. I d’aquests meteorits, n’he tingut un fragment a les mans.

Però si des de la Terra ja són visibles aquests tres cossos, si visquéssim a Mart —obviant temperatura, pressió i composició atmosfèrica o radiació—, encara es veuríem més.

Vesta seria en les seves aproximacions unes quatre vegades més brillant que des de la Terra. Ganimedes també més brillant que des de la Terra, però sobre tot, en estar més a prop, el veuríem més separat de Júpiter. Urà, també seria una mica més lluminós que des de la Terra, en aquest cas no gaire però apreciable. Val a dir que des de Mart, el que sí seria evident és la presència de la Lluna a l’entorn de la Terra, la Lluna arribaria a ser un punt com un estel de primera magnitud, i força separat de la més brillant Terra com per ser evident que hi gira al voltant.