Eureka!

El bloc d'en Quim Bosch

28 de juny de 2013
0 comentaris

Matemàtiques infantils (de la infanta)

Matemàtiques infantils (de la infanta)Tretze notaris es van equivocar a l’hora de d’escriure el DNI del propietari en unes operacions de compra-venda d’uns terrenys. Amb tanta casualitat que a tots tretze l’error els va dur a escriure el DNI de la infanta Cristina. El ministre d’Hisenda, Cristóbal Montoro, ja ens ha dit que no hem de veure fantasmes on no n’hi ha, i ho ha atribuït a una simple casualitat. Ara bé: què ens diuen les matemàtiques?

0. Quins càlculs hem de fer?

En primer lloc hauríem de veure quants canvis caldrien per passar del DNI d’una persona al d’una altra, és a dir quantes de les seves nou xifres (vuit números i una lletra) comparteixen dos DNI aleatoris (diguem-ne els de les persones A i B). En segon lloc hauríem de saber quina és la probabilitat que un notari alteri (per error) un digit del DNI de la persona A quan l’escrigui. En tercer lloc caldrà que, més enllà d’escriure “una xifra que no toca” de la persona A, la xifra escrita per error coincideixi amb “la xifra que toca” de la persona B. En quart lloc, quina és la probabilitat que un notari cometi tots els errors que calguin per transformar no un dels seus digits sinó tot el DNI-A en el DNI-B. I, en cinquè lloc, caldrà que aquesta successió d’errors la cometin fins a 13 notaris. Som-hi!

1. Quants canvis calen?

Els DNI de les persones A i B tenen 8 xifres i 1 lletra. Per simplificar-ho, podem considerar que als 9 llocs hi tenim 10 possibilitats (números del 0 al 9). Aquesta simplificació probablement redueix la probabilitat en el primer digit (no hi ha DNI que comencin per 9), però en canvi les augmenta en el cas de l’últim, atès que els DNI combinen més de 10 lletres. Fet i fotut, com veurem al final, no vindrà d’aquí.

La distribució binomial (o de Bernouilli) ens diu quina és la probabilitat d’obtenir  que un esdeveniment (amb probabilitat p) succeeixi k vegades en un conjunt de n oportunitats. En aquest cas, ens dirà la possibilitat que coincideixin k digits dels 9 (n) d’un DNI tenint en compte que la probabilitat (p) és 1/10. Aquesta distribució ens diu que el nombre mig de coincidències serà de 0,9.

Així doncs, el nombre mig de “canvis necessaris” és de 8,1. Ho arrodonirem a “només” 8 canvis…

2. Quina és la probabilitat d’un canvi al DNI-A?

Això, naturalment, dependrà de la cura amb què cada notari treballi, però podem fer la hipòtesi que la probabilitat d’un canvi és de 1 entre 100, que és com dir que en un de cada 11 DNI que escrigui hi ha un error.

3. Quina és la probabilitat d’un canvi de DNI-A a DNI-B?

Ja tenim que el notari s’equivoca en un de cada cent digits que escriu. Suposem que havia d’escriure un “3”, quina és la probabilitat que aquest error ens dugui al DNI-B? Descartat el “3”, el notari té 9 opcions per escriure (0,1,2,4,5,6,7,8,9) però només una d’aquestes 9 opcions es correspon al digit que el DNI-B té en aquell lloc.

La probabilitat de successos independents s’obté multiplicant les seves probabilitats, de manera que la probabilitat que el canvi de DNI-A (1/100) coincideixi amb el DNI-B (1/9) serà el producte
1/100 x 1/9 = 1/900

Només en 1 de cada 900 cops es donaran aquests dos fets: 1) que el notari s’equivoqui amb el DNI-A, i 2) que l’error coincideixi amb el DNI-B.

4. Quina és la probabilitat de 8 canvis de DNI-A a DNI-B?

Com que la probabilitat de successos independents s’obté multiplicant les seves probabilitats, la probabilitat que un fet (de probabilitat 1/900) es repeteixi les 8 vegades necessàries per obtenir el DNI-B s’obté multiplicant 1/900 per si mateix 8 vegades. És a dir 1/900 a la vuitena potència. Que ve a ser 2 x 10-24

5. I això… 13 notaris!

Doncs vinga, com que la probabilitat de successos independents s’obté multiplicant les seves probabilitats, només hem de multiplicar 2 x 10-24 per si mateix 13 vegades, o el que és el mateix, elevar-lo a la 13a potència, que ens donaria més o menys una probabilitat de 10-308

És a dir, 1 probabilitat entre moltíssimes vegades. Tantes com un 1 seguit de 308 zeros.

6. I això, és molt o és poc?

Depèn… Us semblaria difícil fer el ple al 15 amb una travessa que haguessiu omplert a l’atzar (amb un dau, per exemple)? Doncs la probabilitat d’encertar una travessa així (1/315) és molt superior a la que 13 notaris intercanviïn dos DNI a l’atzar.

De fet, la probabilitat que 13 notaris coincideixin en intercanviar 2 DNI a l’atzar és si fa no fa la que tenim d’encertar el ple al 15 amb travesses fetes a l’atzar… durant 40 setmanes seguides. Tota una temporada!

Ara que estem en època de fer la declaració de renda, ¿us imagineu què diria el ministre d’Hisenda, el prestigiós Cristóbal Montoro, si algú intentés justificar un increment del seu patrimoni dient que aquell any havia fet el ple al 15 en absolutament totes les travesses de la temporada (i fent-les a l’atzar!)?

Doncs això del DNI de la infanta diu que s’ho creu…

Xantatge a l’R+D?
18.10.2016 | 5.39
Expresidents
27.01.2011 | 7.27

Us ha agradat aquest article? Compartiu-lo!

Deixa un comentari

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *

Aquest lloc està protegit per reCAPTCHA i s’apliquen la política de privadesa i les condicions del servei de Google.