Ciència nombres i lletres

Activitats per descobrir la intel·ligència. Divulgació científica i cultural.

Arxiu de la categoria: Matemàtica

Més que pentòminos: poliòminos

Publicat el 26 de novembre de 2018 per Jordi Domènech i Arnau

Fa un parell de setmanes publicava una entrada sobre pentòminos. Continuo avui sobre poliòminos, figures formades per diversos quadrats adjacents, dels que els pentòminos en són el cas amb cinc quadrats.

Hom es pot preguntar si realment tenen interès educatiu, a primera vista no serveixen per a res. Però tenen força punts al seu favor. D’entrada poden ser objectes reals, que es poden construir físicament amb una certa facilitat, no meres abstraccions mentals o sobre paper. En segon lloc, no impliquen gaire coneixements previs, cosa que fa que qui treballa amb ells, normalment no parteix amb avantatge degut a experiències anteriors. En tercer lloc són una gran eina en dos temes essencials sobre els que normalment no es centra l’atenció: comptar i classificar. I, finalment, amb ells es poden plantejar multitud de problemes —que podem anomenar també trencaclosques, enigmes o jocs— que poden fer el seu ús menys àrid que molts altres temes més allunyats de la visualització directa.

Aprendre a comptar té més importància que la que generalment es pensa. És l’origen i la base de les matemàtiques, tant les «teòriques» com les útils per a la vida diària. I amb poliòminos es poden comptar moltes coses, fàcils i difícils. Per començar: quants n’hi ha amb cada nombre de quadrats? I es pot continuar amb molts més problemes, de trivials a impossibles, deductius i inductius. Problemes, tots ells, basats en elements senzills però no abstractes, els poliòminos són tangibles i visualitzables.

Amb un quadrat —monòmino— en tenim 1; amb dos, també n’hi ha 1 de sol, conegut com a dòmino que ha donat nom a totes aquestes figures; de tres quadrats —tròminos— ja n’hi ha 2, el format per tres quadrats en línia recta i el que té forma d’angle; de quatre quadrats —tetròminos— n’hi ha 5, encara fàcils de trobar, són precisament les peces negres de la foto. A partir d’aquí la cosa es comença a complicar, de cinc n’hi ha 12, els pentòminos que esmentava fa uns dies, però ja comença a ser freqüent descomptar-se, duplicar-ne algun o no trobar-lo. Trobar quants n’hi ha de sis, set o més, ja implica una certa planificació, la idea primària d’anar ajuntant quadrats no funciona, és massa fàcil deixar-se alguna combinació. A mà suposo que es pot arribar als de vuit, però a partir d’aquí deu ser una feinada espantosa. Amb ordinador, es poden comptar, actualment s’ha arribat a comptar els poliòminos de fins a vint-i-vuit quadrats, n’hi ha exactament 153511100594603. I no és coneix cap funció matemàtica exacta que ens doni el nombre de poliòminos d’un ordre determinat.

Alguns poliòminos —tetròminos, pentòminos i hexòminos— autoconstruïts amb cubs de plàstic

És trivial veure que amb els dos tròminos no podem formar un rectangle. Amb els cinc tetròminos, que en total farien vint quadrats, tampoc no es pot fer, i la prova curta d’aquest fet és subtil. Els dotze pentòminos, que totalitzen seixanta quadrats, sí que poden formar rectangles, de 3 × 20, 4 × 15, 5 × 12 o de 6 × 10. En el cas dels trenta-cinc hexòminos tornem a trobar que no és possible omplir amb ells un rectangle de 210 quadrats, per una raó una mica més subtil que la dels tetròminos. En el cas de tots els ordres superiors torna a ser trivial veure que no és pot formar un rectangle. Sí, trivial, a partir dels heptòminos hi ha peces amb forats interiors, que naturalment no es poden cobrir amb altres peces.

Imatge de síntesi dels dotze pentòminos en un rectangle de 6 × 10

Deixant absolutament de banda tots els problemes de caire numèric, geomètric o lògic, hi ha la qüestió de com construir models físics. Retallar paper és fàcil, però els resultats deplorables, quan hom intenta posar una peça, mou les veïnes, i fins i tot respirant pot engegar a dida la figura formada. Cartolina és una mica millor, mica, és difícil de tallar amb tisores sense passar-se ni corbar-la, i amb cúter tampoc no és que sigui fàcil. Depenent del gruix té problemes similars al paper, i de totes maneres les peces no són gaire duradores. Cartró «ploma» o altres fulls gruixuts i tous són una millor solució a l’hora de tallar amb cúter, però cal, en general, optar per peces grans, a partir d’uns cinc centímetres de mida del quadrat unitat.

No, cap dels jocs artesanals que conservo és fet així. Una opció que havia fet servir i encara conservo per un petit conjunt de peces particular, és fer-les amb «Lego», cal tenir-ne i és una mica car però reutilitzable. Un altra mètode obvi és fer les peces de fusta. També convé aquí optar per peces grans, Si cal emprar serra és feinós encara que entra sins el raonable si no s’han de fer massa peces. Tinc un joc de 14 peces especials —realment no són exactament poliòminos, però gairebé— fet així, a partir d’un llistó de fusta bona, d’amplada igual a dos quadrats base. I també tinc un joc dels dotze pentòminos pensat per dur a fires o tallers i ser manipulat per nens que en part el van construir els meus fills quan eren nens: a partir d’un llistó ample i prim es tallen peces —de una a cinc vegades més llargues que amples— per fer dos pentòminos iguals però amb els talls mai situats coincidents; posteriorment es superposen, s’enganxen —o claven— i en el meu cas es pinten.

Una nena jugant amb un joc de pentòminos de fusta de dues capes en una fira a la Ciutadella de Barcelona

Amb aquests antecedents al cap volia fer-me un joc d’hexòminos —35— que sí que es pot trobar al comerç, però a preu prohibitiu, i no em decidia. Fins que un dia vaig trobar en una botiga de manualitats escolars, una bossa amb centenars de cubs de plàstic de diversos colors i un centímetre de mida amb els que, enganxats amb una pega adequada —aquesta no sé si era adequada per nens per allò dels solvents—, podia formar tots els poliòminos que volia i fins i tot els «policubs», la mateixa idea en tres dimensions. Així, vaig poder fabricar un conjunt amb tots els poliòminos de fins a sis quadres, tots els policubs fins a cinc, i algun altre que volia per a problemes específics. I enganxar cubs amb una pega ràpida, és molt més fàcil que començar a tallar.

Què és? Exemple 2 “autòmat cel·lular”

Publicat el 24 de novembre de 2018 per Jordi Domènech i Arnau

Hi ha una de les idees, originàriament del projecte «Què és?», que s’hauria de presentar sense enunciat, que la vaig treure del conjunt per incorporar-la a un projecte de novel·la. No com a part del text principal, sinó en forma d’apèndix —no essencial per a seguir la trama del llibre— on la protagonista explica els mètodes pedagògics que s’hi apliquen i els raonaments que ella ha de fer en aquell escenari, concretament una ucrònia feminista situada als anys cinquanta del segle XX.

En definitiva, un «Què és?», relativament difícil però explicat, ni que sigui superficialment.

La idea d’aquest enigma em va sorgir tot jugant amb un programa autòmats cel·lulars anomenat Golly. És lliure i es pot baixar per a qualsevol sistema operatiu d’ordinador o telèfon intel·ligent. Una de les regles que proposava s’anomenava precisament «replicator». Ignoro si John Horton Conway, que va idear els autòmats cel·lulars anomenats «joc de la vida», va desenvolupar aquesta regla alternativa, no he sabut trobar a la xarxa cap altra referència i mai no he vist res similar al problema que proposo.

Passo a copiar una part de l’apèndix de la novel·la en curs.

El paper que ens va donar l’Oscar —n’havia fet setze còpies, una per a cadascuna de nosaltres—, era un diagrama força senzill però sense cap explicació, només uns dibuixos sobre una quadrícula.

D’entrada, no li veia la més mínima connexió entre les diverses formes o patrons, més enllà de ser alguna cosa que «anava creixent». Per això, el primer que vaig fer va ser intentar veure quina relació tenia cada figura amb la següent, ja que semblava força evident que la figura inicial anava creixent a cada passa: al principi mesurava 5 × 6, al segon pas 7 × 8, i així, cada vegada augmentava en una unitat la mida en totes direccions, una mica com un cultiu de bacteris en una placa de Petri. Una placa de Petri una mica rara, concretament quadriculada.

Però una cosa és pensar en un creixement i una altra trobar-ne les regles. Com que la figura creixia per les vores, em vaig concentrar en les del primer i segon quadre. Les vaig dibuixar una al costat de l’altra en paper quadriculat, la primera en vermell amb un punt blanc i la segona en negre. Després les vaig superposar.

Aleshores, vaig observar que una línia de diversos quadres creixia una unitat cap a l’exterior, llevat del extrems. Per exemple dels sis quadres vermells de l’esquerra, els quatre del mig creixien un quadre cap a l’exterior, però els de les puntes es desplaçaven amunt i avall. Massa rebuscat.

Raonant en sentit contrari, tots els quadres de la segona figura, els negres, tocaven ni que fos per la diagonal un de la primera. Això anava una mica millor. De totes maneres, totes les caselles, amb punt o sense, de la vora de la segona figura, tocaven algun punt de la primera, però algunes contenien punt i altres no. I a quants punts de la generació anterior tocava cadascun de la nova?

Va ser fàcil veure que a un o a tres, mai dos. Examinant la vora de la tercera figura vaig poder constatar que també tenia els punts on se’n tocaven un o tres de la segona. Segur que anava pel bon camí. La regla del creixement exterior era aquesta, es complia en totes les figures. Què passava, aleshores, si a la perifèria hi havia caselles que no tocaven cap punt de la figura anterior?

El cas més clar era entre la sisena i la setena figura del paper original, a la vora dreta, a la part de baix. Hi havia cinc caselles en blanc a la sisena que a la setena corresponien a dos punts als extrems, punts que en tocaven a un de la generació anterior, i tres espais en blanc, que corresponien als llocs on no hi havia cap punt veí.

I la regla general de creixement interior?

No va ser difícil, a base de dibuixar les figures superposades —ho vaig fer en paper vegetal—, veure que en cada cas apareixia un punt a la casella que en el diagrama anterior tenia una, tres, cinc o set veïnes ocupades per un punt.

Bé, ja tenia la regla, i era simple. A cada generació apareix un punt a la casella que a la generació anterior tenia un nombre senar de caselles veïnes ocupades. Ara calia veure què passava a la novena generació del diagrama. Sense gaire esperances de veure res especial a la figura, vaig començar a dibuixar el novè requadre seguint la mateixa regla.

Ben aviat vaig veure una cosa estranya, que es va anar confirmat a mesura que vaig acabar de calcular tota la figura.

Extraordinari, apareixien vuit còpies de la figura inicial, com per art de màgia. De l’aparent caos de la vuitena figura sorgia l’orde. Ja convençuda a priori del que passaria —que la multiplicació de la imatge depenia de la regla i no de la figura inicial—, en vaig provar una altra sobre paper mil·limetrat; desprès de força feina i alguns errors va passar el que ja pensava, a la vuitena generació, apareixien vuit còpies del disseny de punts original.

I si seguia el procés?

Encara amb moltíssima més feina, vaig veure que a la generació setze, tornaven a sortir una altra vegada vuit còpies idèntiques, però més allunyades.

Ara, la pregunta era, per què?

Potser aquí, es mètodes de raonament matemàtics més clàssics em van ajudar una mica, en un problema on realment de càlcul n’hi ha ben poc. En primer lloc, buscar la versió més simple del problema: què passa quan es parteix d’un sol punt?

Aquí es pot veure que als passos 2, 4, 8 i, continuant, a totes les potències de dos, el resultat són vuit punts formant un quadrat separats per 2, 4, 8… caselles.

La segona constatació és que si hi ha dos punts, cadascun evoluciona de la mateixa manera i mantenint les posicions relatives. I quan els descendents de cadascun d’ells es troben a la mateixa casella, s’anul·len, és una superposició on buid + buid = buid, buid + punt = punt i punt + punt = buid.

Amb aquestes regles, és fàcil veure que quan una figura de mida menor que 8 evoluciona, a la vuitena generació cadascun dels punts inicials s’haurà multiplicat per vuit i estarà a una distància dels altres que ja no hi haurà superposicions; i com que manté les posicions relatives respecte els altres punts inicials, el resultat seran vuit figures idèntiques en disposició de quadre, que no es superposaran. Naturalment que si la figura inicial és més gran, caldrà esperar 16, 32, 64… o un nombre de generacions igual a una potència de dos prou gran, perquè les figures no es superposin i sigui visible la replicació.

Un triangle misteriós, per pensar una mica

Publicat el 19 de novembre de 2018 per Jordi Domènech i Arnau

No és normal tenir un dau de tres cares, però ens en podem imaginar un fàcilment pensant en un dau ordinari i anomenant α: o , β: o , i γ: o .

Ara imaginem que dibuixem en un paper tres punts —els he marcat vermells—, format els vèrtex d’un triangle equilàter, vèrtexs que podem anomenar α β i γ —no surten al gràfic, és indiferent quin sigui quin—. Aleshores marquem un punt a l’atzar dins el triangle i tirem el «dau» de tres cares. Si surt α marquem un segon punt just a mig camí entre el primer i el vèrtex α. Si surten β i γ fem el mateix, respectivament amb els vèrtex que duen aquesta lletra. A continuació, tornem a tirar un dau i repetim la col·locació d’un punt a mig camí entre l’anterior i el vèrtex designat pel dau.

Si anem repetint el procès, al cap d’una estona tindrem una distribució de punts, tots dins del triangle, ja que no és possible que mig camí entre un punt i un vèrtex quedi a l’exterior.

Nou possibles solucions al problema

La pregunta, òbvia veient la il·lustració, és: a quina de les nou figures s’assemblarà més el nostre resultat?

I per quin motiu?

E-3: Tocat i enfonsat

Publicat el 18 de novembre de 2018 per Jordi Domènech i Arnau

L’altre dia, tot llegint un article de VilaWeb anomenat «Gamificació, quan els jocs t’ajuden a aprovar», vaig estar pensant en una mena de jocs una mica diferents dels que mostraven. Jocs com algun dels que jugava de nen. Concretament em vaig centrar en els aspectes educatius de dos d’ells: el lloc dels vaixells o el nim, també anomenat joc de Marienbad que, de fet, n’és una petita variació trivial que apareixia a la pel·lícula «El darrer estiu a Marienbad», de l’any 1961.

Tots dos poden semblar jocs trivials, però l’interès educatiu potser va en una línia una mica diferent a la de l’article: tots dos són jocs «resolts» i l’anàlisi està a l’abast, sinó d’un nen, sí d’un adolescent.

Joc resolt vol dir que es coneix un conjunt de regles, probabilistes en el cas dels vaixells i deterministes en el nim, que ens asseguren la partida òptima, fer màximes les probabilitats de guanyar.

He de confessar que amb el joc de vaixells no me’n vaig adonar, vaig cometre l’errada de creure que com que la posició de les naus era a l’atzar, la d’encertar-les també, i que si es jugava sense fer jugades inútils com tirar al costat d’un vaixell ja detectat, ja era el màxim que es podia fer.

I realment era cert, però aquí l’estratègia òptima passa per la col·locació dels vaixells, no pas per la fase de torns. I va ser en un llibre dels anys trenta de Iàkov Perelman, que no és parent del famós matemàtic Grigori Perelman, on un dia vaig descobrir l’estratègia bona. Merda! vaig pensar, me n’hauria d’haver adonat. I potser ho hagués fet si algú m’hagués animat a fer un anàlisi tot dient-me que el joc no era del tot a l’atzar. Un dia tornaré per explicar com l’efecte merda! té un gran interès pedagògic, per damunt, fins i tot, de l’efecte eureka!

I és que l’estratègia es basa en un fet molt senzill: al joc dels vaixells no compta descobrir o destruir ràpidament els vaixells de l’adversari, qui guanya és qui aconsegueix el darrer vaixell supervivent. I els vaixells més difícils de tocar són els d’una sola casella —els submarins—. Aleshores és tracta de que sigui el màxim de difícil trobar-los i això es pot aconseguir posant tots els vaixells de més d’una casella, el més agrupats possible, de tal manera que l’espai entre ells sigui mínim. Aleshores els submarins es posen a l’atzar a la resta del tauler. Com que aquesta darrera superfície amb els vaixells grans agrupats és màxima, la dificultat d’enfonsar el darrer submarí, també.

En canvi, el nim, que el coneixia d’abans de la pel·lícula, curiosament venia en un joc de màgia amb unes explicacions mínimes pel cas de relativament pocs palets, ja d’entrada, quan vaig tenir prou capacitat d’abstracció, vaig veure que era determinista, que hi havia d’haver una estratègia òptima.

Va ser quan tenia dotze anys, a l’escola, en una classe avorrida de no recordo en absolut quina assignatura, que a les pàgines del quadern d’esborranys en vaig trobar la solució. Solució parcial, de fins a deu palets per grup i amb una errada irrellevant de cara a jugar el joc a la pràctica.

Aproximadament un any i mig més tard, estant de vacances vaig reproduir l’anàlisi fins a vint palets per grup, vaig descobrir la meva errada anterior —una xifra canviada— i ho vaig passar en net en una llibreta que tenia per a aquesta mena de coses.

Potser als quinze o setze anys, repassant la llibreta vaig esbrinar la solució general, per a qualsevol nombre de palets i grups. No en vaig trobar una formulació òptima, però sí correcta, ja sabia com guanyar en els casos que fos possible, en qualsevol situació del joc.

Tinc la sensació que amb l’anàlisi del nim vaig aprendre molt —segur que molt més que a la classe en que no estava atent—. També hagués après molt si se m’hagués incentivat a analitzar el joc de vaixells. Aprendre sistemàtica, a elaborar hipòtesis i a confirmar-les o infirmar-les, a simplificar resultats… activitats totes comunes amb qualsevol problema de la vida real.

Ara ve la part polèmica: quants mestres i professors coneixen, no l’anàlisi en sí, sinó el fet que aquesta mena de jocs són analitzables? I quants coneixen altres jocs simples que permetin a l’alumne fer descobriments per compte propi o aprofitat treball en grup?

Em temo que en els màsters de formació de professorat, aquest tema es toca poc, i si és toca, no és programàtic sinó per la bona voluntat d’algunes persones.

L’Enciclopèdia desordenada

Publicat el 15 de novembre de 2018 per Jordi Domènech i Arnau

Cada tant, no tinc més remei que reorganitzar els llibres a mesura que en van entrant de nous. Actualment, a les llibreries de la saleta, hi tinc una divisió de novel·la catalana, una altra de novel·la traduïda, una de poesia, una altra de teatre —mes aviat petita—, assaig polític, assaig de geografia i història, arquitectura i arts plàstiques… Amb excepcions, perquè també hi ha llibres per llegir, volums massa grans que no cabrien al seu lloc natural o alguns agrupats per autors independentment del gènere.

Un dia que organitzava llibres, tot ple de piles en un una taula esperant un nou prestatge

Però en altres habitacions hi tinc prestatges amb moltes més menes de llibres. Per exemple novel·la en espanyol —no separo l’original de la traduïda—, ciència-ficció —que la tinc tota junta—, diccionaris, llibres d’excursionisme i guies comarcals, matemàtiques, astronomia, física, altres ciències, tot això amb na certa separació entre llibres divulgatius i de text.

I les enciclopèdies, històries, geografies i obres o col·leccions similars?

Tampoc no caben a la saleta, les tinc a prestatges a la galeria que mira a l’interior de l’illa de cases. I no fa gaire, també les vaig haver de reorganitzar. En particular la Gran Enciclopèdia Catalana que estava a dos nivells, va quedar en un únic prestatge llarg.

Naturalment que els volums estan col·locats per numeració d’esquerra a dreta, però no me’n vaig poder estar de posar-los momentàniament en una altra posició per fer una foto —de fet van haver de ser dues fotos enganxades que no hi ha prou espai per fer-ho amb un sol dispar—.

La Gran Enciclopèdia Catalana. Desordenada?

La pregunta és: perquè aquest ordre?

Descobriment geomètric casolà, a base de rajoles

Publicat el 13 de novembre de 2018 per Jordi Domènech i Arnau

Realment el descobriment és vell, segurament del segle XIX, i el vaig conèixer pels llibres. Però el curiós de la història, és haver-ne trobat una demostració a casa, a les rajoles. L’afer va de partir una determinada figura geomètrica en parts que ajuntades d’una altra manera, generen una figura diferent. Està demostrat que això sempre es pot fer entre dos polígons qualsevol, regulars o no, de la mateixa àrea, però tota una altra cosa és fer-ho amb el mínim de divisions possible.

Vers 1900, que és l’any que es va construir la casa, les rajoles hidràuliques dominaven els terres. Gairebé. Al casa, que és un pis llargarut construït en un solar de l’Eixample de Barcelona que no seguia les normes —és molt estret, només un pis per replà, tan estret que si el talles per la meitat només hi ha passadís, lavabo o safareig, i pati interior—, s’hi troben moltes menes d’enrajolat.

A les habitacions, rajola hidràulica amb sanefa, diferent a cada lloc, encara que a vegades només en el color. Al passadís, una altra hidràulica molt bonica a base de quadrats de cinc colors. A la cuina, una de negrosa amb granets, d’aquelles que si hi cau un pèsol no el veus. Al lavabo i el safareig, rajola vermella hexagonal; i al «rebost» també rajola vermella, però de la petita i quadrada.

Les rajoles del passadís. La del mig, és diferent tot seguint una superstició dels paletes del segle XIX

Al bany, que es va construir a posteriori, rajoles llises quadrades blanques, amb una rajoleta petita girada 45º en cada encreuament, de manera que les blanques són quadrats amb els angles en xamfrà, o sigui octògons, però no regulars, amb quatre costats molt més grans que els altres quatre. No és el cas de la «sala» —li diem així per motius històrics, però ara és un dormitori— allí sí que el terra està enrajolat amb octògons regulars blancs i quadrats negres. És el que s’anomena un enrajolat semiregular: totes les rajoles són polígons regulars del mateix costat, i la seva disposició mútua és constant. Les rajoles de la sala són com el cinquè cas de la imatge de la Wikipedia.

Però no acaben aquí les rajoles de casa, en algunes zones de la paret de la cuina hi ha «rajola de valència» blanca quadrada i, al lavabo, també és rajola de València, quadrada, però de dos colors i mides, tot fent un dibuix regular compost pel mateix nombre de rajoles grans blanques, i petites de color rosa.

Tot això, ho coneixia de tota la vida, però fins no fa uns quinze dies, que em vaig adonar d’un fet extraordinari: la demostració de com es pot dividir un quadrat per poder muntar un octògon regular, estava al terra i les parets de casa.

El terra de la sala i la paret del lavabo

Efectivament, si superposem les dues imatges, desprès d’haver-les posat a una escala tal que els quadrats petits siguin de mida idèntica, d’haver-les girat i escalat per tal que els quadrats roses coincideixin amb els centres dels octògons de l’altra foto, obtenim la següent imatge.

Superposició de les dues imatges anteriors

Aleshores podem comprovar que, en ella, el quadrat marcat en vermell està format per cinc parts: en quadrat fosc i quatre figures iguals, pentagonals irregulars numerades de l’1 al 4.

I l’octògon marcat en blau, també està format per les quatre peces pentagonals, idèntiques a les del quadrat vermell, i un quadrat rosa que sabem que és de la mateixa mida del negre de l’altre enrajolat.

En definitiva, tant el quadrat com l’octògon regular, es poden muntar amb les mateixes peces, és la descomposició que volíem.

Quan ho vaig veure, va ser un efecte eureka, com el d’Arquimedes. De fet, en ambdós casos va passar en banys, lavabos o similars, encara que jo no m’estava, precisament, banyant.

Hagués pogut fer l’esquema amb línies i prou, tal com ho havia vist als llibres, però el sorprenent del cas, és poder-ho fer amb fotografies del terra i la paret de casa.

Pentòminos, joc i eina educativa

Publicat el 12 de novembre de 2018 per Jordi Domènech i Arnau

Els pentòminos. En detall els recordo d’un campament a Setcases l’any 1966, quan tenia tretze anys i acabava d’aprovar la «revàlida de quart», però recordo que allí vaig recordar que abans ja havia tingut aquelles peces a les mans.

Com que cada dia ens va ploure a una hora o altra, un dia, dins una tenda, algú en va treure un joc, amb peces de plàstic groc bastant petites i primes, segurament era un producte de propaganda. Va passar per diverses mans fins acabar a les meves. Em va costar, però vaig solucionar el trencaclosques bàsic: tornar les peces a la caixa amb un dibuix diferent al que hi havia a la tapa. I recordo que vaig deduir que la peça F era la més difícil i que era millor col·locar-la de les primeres.

Un joc de pentòminos virtual, és una fotografia acolorida i allisada del meu joc de plàstic vell

Dos o tres anys més tard, vaig tornar a veure el joc a l’aparador d’una botiga, i el vaig reconèixer immediatament. En aquella època ja feia algunes «classes particulars» a gent de la meva edat, i les cobrava prou bé —i mai no em va suspendre cap alumne—, o sigui que duia a la butxaca prou pessetes per comprar el joc, no recordo que em semblés gens car. Era fabricat per l’empresa Cayro de Dénia —que encara el fabrica—, i diria que amb el mateix motlle o quasi, per allò de les rebaves.

Per cert, ara el tinc aquí, al costat del teclat, amb els caires una mica arrodonits per l’ús, però totalment funcionals.

Fins aquí la secció memòries, passem a les «definicions».

Els pentòminos són peces formades per dotze quadrats idèntics posats l’un al costat d’un altre, de la mateixa manera que un dòmino està format per dos quadrats adossats. Dos quadrats només els podem posar d’una manera alineant costats, però amb cinc quadrats es pot fer de dotze maneres, hi ha dotze pentominós, comptant sempre que han de ser reversibles, no tenen cap cara privilegiada i es poden col·locar cap per amunt o cap per avall.

Acabo de fer un dibuix amb l’ordinador dels dotze pentominós i de dotze lletres que remotament s’hi assemblen i que els donen nom segons una idea de Solomon W. Golomb que des de 1953 els va començar a divulgar i que, allà pel 1965, en va fer un llibre amb mols temes de caire matemàtic.

Els dotze pentòminos i les lletres que els designen

Com a joc, la primera idea és aconseguir ficar-los a la base que té la forma d’un rectangle de 6 × 10 quadrats bàsics. Val a dir que també es ven una caixa de 8 × 8 on resten quatre espais buits, cosa que fa el trencaclosques molt més fàcil i molt menys interessant respecte la tasca de posar les peces dins la base de 6 × 10.

Quan portes cinquanta anys fent-ho és molt fàcil, en un minut o dos puc posar les peces intentant no partir de cap de les solucions que em sé de memòria. Però al començament costa, gairebé sembla impossible [Incidentalment, trencaclosques com el tangram que tenen una única solució per entrar a la caixa, són molt més fàcils que els pentòminos que en tenen 2239]. En la dificultat rau l’interès educatiu del trencaclosques:

Per resoldre’l cal elaborar estratègies, trobar regles generals i també tàctiques per solucionar els petits sub-problemes que es poden anar plantejant.

L’estratègia pot començar: «deixa les peces fàcils pel final». Per això de peça fàcil és força subjectiu. Segurament el pentòmino P és dels fàcils, i l’F dels més difícils tal com vaig intuir la primera vegada. Més interessant és obtenir regles generals objectives. Per exemple, ja que cada pentominó ocupa cinc quadrets, si en posar una peca la zona lliure queda dividida en dues o més regions, cadascuna d’elles a de mesurar un múltiple de cinc quadrets; si no fos així, en intentar omplir-la, al final sempre ens quedaria una resta on no s’hi pot posar cap peça. Una altra: cada quadret de la zona lliure ha de poder ser cobert per una peça de les no emprades i, recíprocament, cadascuna de les peces ha de cabre en alguna posició de la zona lliure.

Idees més sistemàtiques van pel camí de posar cadascuna de les peces restants en cadascuna de les posicions possibles —seguint les regles anteriors— de la zona buida, i en totes les orientacions; a continuació una altra peça de la mateixa manera i, quan ens trobem amb una impossibilitat, enretirar la darrera peça intentada i provar-ne una nova. Si no ho aconseguim amb cap de les peces restants, un altre pas enrere i continuar així. Cert, a mà, fer-ho sistemàticament és pràcticament impossible per arribar a trobar totes les 2339 solucions del trencaclosques bàsic, seria un procés llarguíssim. No em consta que ningú ho hagi aconseguit «a mà».

Amb ordinador, és un repte de programació abstracta, segurament és fàcil escriure un programa que ho faci, però cosa molt diferent és que ho faci a una velocitat raonable.

A la xarxa hi ha innombrables problemes sobre pentominós, alguns abordables a mà. Per exemple, trobar les dues maneres de col·locar les dotze peces per fer un rectangle de 3 × 20 o dos rectangles de 5 × 6. O totes les solucions on el pentòmino I no estigui arrambat a un dels costats del rectangle de 6 × 10; n’hi ha 25, que es poden classificar en sis menes, una de les quals coincideix amb les solucions al problema dels dos rectangles de 5 × 6. Per cert, que en el rectangle de 5 × 12, només hi ha una solució amb la peça I interior.

Molts altres problemes sospito que a mà són massa difícils, com trobar les dues solucions on les dotze peces toquin vora. O les nou solucions amb quatre punts quàdruples —on quatre peces es toquen en un punt—; aquest problema crec que és inèdit.

Personalment m’agraden molt els problemes més inductius, aquells on cal fer una hipòtesis raonable per resoldre’ls. Per exemple, mostrar els dotze pentòminos acolorits d’una determinada manera, i demanar qui és el criteri més probable.

Per exemple: F T Y I L N U V W Z PX. Quin és el motiu de cada color?

★ Què és? Exemple 1, “cadenes de moto”

Publicat el 30 d'octubre de 2018 per Jordi Domènech i Arnau

Un dels elements en que he treballat durant molts anys dins l’àmbit que anomeno «gimnàstica mental», són les polifigures.

Una polifigura, en definició elemental, és una figura formada per diversos elements més petits, d’una sola o de molt poques classes, combinats en totes les disposicions geomètriques possibles.

Un exemple clàssic —i molt útil— de polifigures són els pentominós, figures formades per cinc quadrats iguals adjacents. De pentominós, n’hi ha dotze de diferents i es poden comprar en forma de trencaclosques. O fabricar-los de manera casolana que també és interessant. Però hi ha d’altres menes de polifigures, per exemple fetes amb triangles equilàters —anomenats aleshores poliamons—, hexàgons —polihexes— o altres menes d’elements.

En general, la tasca bàsica amb polifigures consisteix en encabir-les en una determinada figura el més senzilla possible. Per exemple col·locar els dotze pentominós en un rectangle.

★ Un joc de pentominós, exemple molt conegut de polifigures ★

Ara, aquí vull presentar un problema del projecte «Què és?» que hi està relacionat.

Les tasques d’aquest projecte consisteixen en interpretar una imatge, sense paraules. Cal esbrinar o imaginar què representa la figura, veure si és correcta. Per exemple pot ser d’un conjunt d’elements que tenen algunes propietats en comú —com és el cas de les polifigures— i mancar-ne algun, o haver-hi duplicats, o algun element discordant. Com a la vida real, la imatge pot contenir errades, deliberades o no.

Encara no tinc definit el mètode per donar pistes a les persones interessades en solucionar els problemes de «Què és?», això espero que anirà sorgint de la interacció amb el públic. El que sí és important, és que les pistes no han de ser públiques en el sentit de poder-se trobar posteriorment cercant a Google, per exemple. Això desvirtuaria totalment el problema, cosa que no vol dir que alguns «Què és?» es puguin solucionar a partir d’una cerca adequada, però mai de resultats d’altres persones sobre el mateix problema.

Algunes persones, en veure «Què és?», creuen que els problemes tenen tots caire matemàtic. No és cert, només una minoria ho són, emprant només conceptes elementals que, això sí, poden amagar raonaments complexes. La major part, però, no passen gaire de saber comptar, ordenar objectes o paraules, o comparar formes. Aquí es tracta d’aprendre a solucionar problemes, més aviat abstractes i acotats, cosa que pot ser útil per aprendre matemàtiques, entre altres moltes coses.

També cal dir que el nivell de dificultat o enginy és molt variable, va des d’elemental a francament difícil, com a la vida real que, en general, mai no sabem com de difícil serà un problema abans d’abordar-lo. Cal fugir del pensament que s’han de solucionar amb una «idea feliç», d’aquelles que o venen de sobte, o no arriben mai. No és el cas, tots els «Què és?» es poden solucionar via raonament i treball sobre les dades que veiem, cosa que no treu que en alguns casos, algunes persones els puguin resoldre a primera vista, però aquesta no és la idea pedagògica del tema.

En posaré un exemple al final de la entrada, naturalment sense paraules. No representatiu del tot perquè hi ha alguna pista, per exemple que el seu nivell és mitjà o la temàtica que va de polifigures. Un exemple on sí que la seva solució quedarà en obert, potser en forma de comentaris —o autocomentaris— a aquesta entrada. En definitiva, un «Què és?» amb la solució, o part d’ella, pública.

A mi, això no m’ho han ensenyat a fer, o que cansat que és pensar

Publicat el 25 d'octubre de 2018 per Jordi Domènech i Arnau

Tinc la creença que la intel·ligència, en gran part és adquirida, que es transmet més per la via cultural que la genètica, encara que en alguns casos, malaurats, sí que algun problema hereditari la pot afectar a la baixa, cosa que faria que es mostrés una certa correlació. Sí, és una creença i com a tal sotmesa a possibles canvis.

Però possiblement sigui un concepte poc definit i no mesurable, el que hi ha són persones més capaces d’afrontar reptes complexos —mai de totes menes— i més ràpides en solucionar-los, per aquí va la visió general de la intel·ligència per a moltes persones. I això és el que penso que es pot entrenar. Ara parlaré una mica d’aquest possible entrenament en el marc de la educació.

Malgrat la feina ben feta de molts mestres, el sistema i el programa escolar no faciliten aquest entrenament. Per a mi el punt clau ve de la dicotomia entre exercici i problema. Podem definir l’exercici com allò que ens han ensenyat a fer i que, senzillament, aplicant unes regles podem resoldre. És el cas de la immensa majoria de les tasques escolars. El principal defecte —per no dir problema que aquí podria ser ambigu— que li veig, és que per una banda hi ha alumnes que ja tenen assumides les regles, i aleshores l’exercici no aporta res de nou, com a molt u increment de la seguretat o la velocitat que sovint no tenen gaire sentit. Per a alumnes que no han assumit les regles, cosa que pot passar encara que les sàpiguen de memòria, l’exercici és prou inútil, en el millor dels caos és un seguiment d’una mena de programa que porta a la solució encara que no s’entengui el com. Resten els alumnes entre els dos grups, però la meva observació em diu que són minoria, força petita. Val la pena aleshores basar el sistema —especialment en temps de feina— en exercicis que a la majoria li aporten ben poc? El que s’hagi fet així «tota la vida» o que «a tot arreu» sigui el que es fa, són arguments molt fluixos.

Un problema, en la meva definició, és una altra cosa. Aquí no hi ha un mètode predefinit per arribar a la solució. Fins i tot, d’entrada no tenim perquè saber el seu nivell de dificultat que pot anar de trivial a impossible. El problema generalment té una part d’exercici en la seva resolució, però amb un avantatge important, aquesta part d’exercici és útil a la vista de l’alumne, de la mateixa manera que pujar muntanyes és fer exercici, però amb una utilitat molt per damunt de pujar i baixar escales que també ens podria posar en forma però, al menys per a mi, seria massa avorrit. I, en aspecte psicològic, s’aprèn més de la necessitat que no pas de la obligació imposada arbitràriament.

En aquest bloc i en altres mitjans, aniré desenvolupant aquesta dicotomia problema exercici. Amb un un incís previ: que molt sovint els problemes que proposo siguin de caire matemàtic, no vol dir de cap manera que vulgui incidir específicament en l’estudi d’aquesta matèria, vull incidir en uns procediments útils per a qualsevol activitat, fins i tot l’estudi de les matemàtiques. L’explicació és que amb elements elementals comunament associats a aquesta matèria es poden plantejar problemes subtils o complexos a partir de molt poques dades, cosa que en altres àmbits, posem la literatura, la geografia o la història, requereix moltíssima més cultura o informació prèvia: per saber quin és el nombre més gran que escrit en català no repeteix cap lletra, només cal saber comptar; per saber quina és la població de Catalunya amb les mateixes condicions, cal tenir, físicament o al cap, una llista amb molts centenars de noms, deixant de banda que pràcticament l’únic mètode per esbrinar-la, serà la força bruta, repassar tota la llista i trobar el resultat; amb els números, es poden idear mètodes que no impliquen, ni de lluny, comprovar-los tots fins trobar el bo. De totes maneres alguns problemes que he treballat són d’un caire no matemàtic o lògic, per exemple identificar una fotografia, de totes maneres, en general, cal accedir a grans bases de dades gràfiques.

Acabo amb el títol de l’entrada.

Sovint, quan proposo problemes, sigui a joves o sigui a adults, la resposta que n’obtinc és:

—A mi, això no m’ho han ensenyat a fer.

Cosa que és absolutament certa, però l’inconvenient és que no han après gaire a solucionar problemes, que és el que es trobaran a la vida real, sinó simplement a fer exercicis amb l’esperança, que en general crec vana, que així aprenen a resoldre problemes.

Encara que segurament és el mateix sentiment que té una persona sense gaire forma física al peu d’una gran muntanya:

—Pujar allà dalt (o pensar el problema), deu ser molt cansat.

I un exemple per acabar, quin és el següent element de la sèrie? (aplicant la navalla d’Occam, cal cercar una lògica senzilla):