Ciència nombres i lletres

Aquest Nadal he fet una volta per alguna botiga de Barcelona on hi podien haver trencaclosques amb interès educatiu.

Un fracàs, l’anomenat comerç de proximitat s’hauria de posar les piles si no vol ser anorreat pel comerç electrònic. Hi ha molt poca oferta. Potser si la situació no és dramàtica del tot, encara, és perquè per una banda els fabricants són de baixa qualitat, i no em refereixo a la qualitat física de les peces sinó a la lògica del que comercialitzen, o sigui que sovint és millor veure i tocar-ho, perquè les explicacions del web sovint no donen la informació bàsica necessària i en segon cas per la dificultat de fer-se portar productes de poc preu a casa que a molts ens frena a l’hora de comprar productes en línia.

Només em vaig comprar un pot relativament baratet amb cinc jocs de pentòminos que penso emprar en un projecte força específic. Perquè com a joc de pentominós és un desastre de disseny: en fer una figura amb peces del mateix color —només n’hi ha cinc o sigui que en el conjunt bàsic sempre hi ha colors repetits— pràcticament no es veuen les fronteres entre una peça i una altra.

Dos jocs, un de fa quaranta anys i un de modern. La disposició de les peces és idèntica, però en el modern costa de veure

Per a mi és obvi que el dissenyador no en va fer un prototip i hi va jugar. Típic de molts productes anomenats educatius.

I encara bo que no van fer com en altres jocs similars que vaig veure a les botigues on el joc s’infantilitza. Amb això vull dir, per exemple, trencaclosques que podrien ser interessants si no fos que hi han afegit peces que els trivialitzen sense necessitat, perdent la part de problema que tindria el joc, o basats en un nombre limitat de plantilles sovint trivials.

També vaig comprar un altre producte «educatiu», un conjunt de daus amb lletres que ja he emprat per fer algunes il·lustracions. Teòricament bilingüe català castellà, però a la pràctica la descripció del contingut és el de la versió castellana i a més, respecte el català i manca el punt volat o la ela geminada, alguna solució per a poder fer la paraula. I era perfectament possible fer-ho sense posar-hi més daus.

Pura incompetència. Una mica com aquells «llibres de text electrònics» que semblen fets amb PowerPoint per un becari incompetent, que possiblement cobra el salari mínim o ni això.

Però més que la incompetència el que m’amoïna és la manca de crítica, ens domina la cultura que els jocs no tenen importància, que els nens han d’anar a l’escola a treballar i esforçar-se molt, independentment de si els serà útil o no. Oblidant que som mamífers, i que en el desenvolupament cerebral de molts mamífers, el joc és l’essencial.

Els problemes de la col·lecció «què és?» poden ser força variats, encara que aproximadament dins les meves aficions i dèries. Aquí en presento un amb la solució per mostrar un possible procès mental per resoldre’l.

La figura és volgudament imprecisa, com un esquema més que un plànol. Amb possibles errades o imprecisions.

Un problema de la sèrie «què és?» amb deu figures

Hi veiem deu figures de colors grisos sobre un fons esmorteït entre groc, blau cel  verd. Probablement el fons no és significatiu, no es lliga de cap manera visible amb les figures.

Totes les figures consten de sis quadrats llevat de la primera, la de dalt a l’esquerra, que té alguns detalls més, com unes pestanyes disposades alternativament en els costats dels quadrats.

Aquí, ve un pas fàcil, la primera figura representa el desenvolupament d’un cub, allò que amb cartolina ens feien fer a l’escola en diversos treballs manuals. Incidentalment quan tenim una figura plana que es pot convertir a base de plegar-la, afegir-hi pestanyes i enganxar-les, la manera més fàcil de situar les pestanyes és alternativament en els costats de la figura plana: un sí i un no… Es pot demostrar que funciona sempre, com en el cas de la primera figura de la imatge. Òbviament, no és l’única disposició de pestanyes possible.

I si la primera pestanya és el desenvolupament d’un cub, què són les altres?

Si les numerem, és fàcil veure que tant la 1, com les 2, 3, 4, 6, 8, tenen quatre quadrats en vertical que farien una volta horitzontal a un cub, i una altra quadrat a cada banda que es podria plegar con les bases superior i inferior: són desenvolupaments del cub similars al primer i més conegut.

Les altres també? Efectivament unes poques manipulacions mentals o físiques ens mostren que també es poden plegar e forma de cub. De fet és l’única menara de plegar-les possible per formar un objecte de tres dimensions.

Aquí recordo una anècdota escolar. Un professor de ciències naturals, quan teníem uns tretze anys ens va donar uns dissenys per passar a cartolina i muntar uns objectes que representessin els sistemes cristal·logràfics bàsics —sí, es veia a aquella edat—. En el cas del sistema cúbic hi havia dues figures, el cub i l’octaedre regular que té les mateixes simetries. El professor en qüestió —a qui anomenàvem «l’Indi» perquè era molt vermell de cara— tenia un curiós sistema de puntuar aquell exercici, feia posar sobre la taula els cossos de cartró que havíem muntat, i els que estaven mal fets o enganxats o els erronis, els esclafava amb el puny… Bàsicament esclafava algun on n0 s’havien posat correctament les pestanyes o no s’havien enganxat, però recordo un cas curiós, un company havia muntat l’octaedre en una disposició alternativa, en lloc de ser dues piràmides quadrangulars unides per la base, li van resultar dos tetràedres regulars units per una aresta comuna i dues cares triangulars més formant una figura còncava. En uns pocs segons abans de morir esclafada ho vaig veure. I vaig pensar: l’Indi no ens donar cap mena d’instrucció més enllà de muntar les figures, o sigui que si na tenia diverses possibilitats, qualsevol d’elles podia ser vàlida. No tinc ni idea si l’alumne afectat ho recorda, però aquell dia, al menys jo, vaig aprendre inesperadament una cosa nova d’aquelles que recordaré tota la vida.

Però el problema del «què és?» no s’ha acabat, caldria comprovar tres coses més, si hi ha alguna figura incorrecta —bé, això ja ho hem fet i no—, si hi ha alguna figura duplicada, i si en manca alguna de la mateixa categoria.

Per veure si hi ha duplicats només cal posar cada figura en les quatre orientacions ortogonals possibles i les seves imatges especulars i veure si coincideixen amb alguna altra figura. No.

Trobar si en manca alguna és més delicat. Aquí cal posar els sis quadrats adjacents  de totes les maneres possibles, sense ni oblidar-ne cap ni duplicar-ne. N’hi ha 35 que són les figures anomenades hexòminos. Si aquí busquem la paraula a Google potser trobarem la solució al problema dels cubs, però en certa manera és fer trampa si, prèviament, no coneixíem la paraula.

Dels 35 hexòminos cal eliminar els 10 que ja tenim i comprovar tots els altres d’un en un. Pot semblar una mica feixuc però aquí rau l’interès de molts problemes heurístics, cal cercar —en principi inventar— un mètode que sigui pràctic, eficient i segur per fer-ho. Quan el tinguem, podrem comprova de dels 25 hexòminos que ens queden, 24 no es poden plegar en quadrat, només n’hi ha un altre que sí.

Aquest:

L’altre possible desenvolupament d’un cub

Sempre m’han agradat els problemes amb poques dades i ocasionalment n’he escrit-compost-inventat algun. Per exemple:

❀ La Maria col·leccionava baletes i ja en tenia entre cent i dues-centes. Un dia va decidir posar-les en una disposició en forma de trapezi o triangle, això és: una sèrie de rengles decreixents. Per exemple amb quinze baletes hagués pogut fer una figura amb 5, 4, 3, 2 i 1, o també 6, 5 i 4, o finalment 8 i 7. Normalment es podia fer la figura de moltes maneres. Però aquell dia, que havia aconseguit una nova peça per a la seva col·lecció, es va trobar que no ho podia fer de cap de les maneres.

Quantes baletes tenia?

La solució és única. Si considerem que els triangles no són trapezis, hi hauria més possibilitats. Quines o quina?

De manera més general, de quantes maneres un nombre natural es pot descompondre en suma de nombres consecutius? Si la resposta és 1, vol dir que només es pot fer amb un trapezi «degenerat», d’una sola línia que no el considerem trapezi. Si caracteritzem els nombres d’aquesta mena, tenim la solució al problema anterior.

Una imatge, pot ajudar una mica, a veure per on pot anar la solució:

Diverses disposicions d’entre 1 i 31 baletes.

Sempre m’han agradat els problemes que sembla que no hi ha prou dades per resoldre’ls o que n’hi ha que a primera vista semblen irrellevants. Avui en proposo dos.

El primer problema me’l van posar quan anava a escola —un company, no pas el mestre que aquestes coses no les feien gaire—. L’he tornat a veure una infinitat de vegades, fins i tot en textos de fa més de cent anys, per a mi és un clàssic. Com molts problemes d’aquesta mena, es presenta en forma de diàleg entre dues persones que es suposen lògiques i sense errors de càlcul.

—Jo tinc tres filles.
—I quines edats tenen?
—Si les multipliques et resulta trenta-sis.
—Amb això no puc esbrinar les edats.
—Et puc dir que si les sumes, obtindràs aquest número que està escrit aquí.
—Amb això tampoc no puc esbrinar les edats.
—La gran toca el piano.
—Ara sí que sé les edats.

Quines són les edats de les tres filles.

❀ ❀ ❀

El segon problema és meu i se’m va acudir fa uns dies mentre examinava unes dades que ja tenia des de feia molts anys, sobre els nombres escrits en català. He de reconèixer que el podria estendre a nombres més grans, potser i tot fins l’infinit, però tal com el tinc ara crec que ja és prou interessant. Com la majoria dels problemes relacionats amb l’escriptura en lletres dels nombres, és intraduïble. A més, faig servir unes poques convencions arbitràries per tal de no convertir-lo en un problema múltiple sense valor afegit: així cada nombre s’escriu exclusivament d’una sola manera.

• Ens referim exclusivament als nombres naturals, ni fraccions, decimals o negatius.
• Emprem sempre la forma «un» en detriment d’«u».
• També sempre el masculí, ni «una» ni «dues».
• Tampoc variants dialectals.
• Els guionets d’alguns nombres no compten.

—Tinc escrit un nombre natural, en lletres i en català, en un paper dins d’aquest sobre. L‘has d’esbrinar.
—Em pots donar alguna pista?
—És menor que deu mil.
—Amb aquesta pista no en tinc prou.
—Si et dic la divisió entre el nombre de consonants i de vocals que he fet servir, sí que podràs trobar quin és.
—No cal que em diguis el resultat, ja sé quin nombre has escrit.

Quin és aquests nombre?

Bon Nadal a tots els lectors.

Malauradament vaig curt de temps i no he sabut inventar una entrada nadalenca, avui en poso una, en forma de diàleg, de les que tenia «en conserva».

—Avui, a classe de didàctica de les matemàtiques ens han posat un problema curiós —em va dir un dia la meva filla en tornar de la facultat fa una dotzena d’anys.

—Quin problema?

—Hi ha un hotel amb 1000 cambres numerades de l’1 al 1000 amb les portes tancades. 1000 cambrers passen successivament per totes les portes. El primer d’una en una, si la troba tancada l’obra i si és oberta, la tanca. El cambrer número dos, començant per la segona, passa les cambres de dos en dos fent el mateix. El tercer cambrer, igual però començant per la cambra tres i anant de tres en tres. I així fins el cambrer 1000 que va directament a la porta 1000 i la canvia. La pregunta és: quantes portes queden obertes al final?

Foto feta des d’Eina, a uns 5 km en línia recta de l’hotel de Font Romeu, a la Cerdanya, que va ser el de la primera estació d’esquí dels Pirineus. Té una certa retirada al de «The Shining», la pel·lícula de Kubric.

—Mira: és molt fàcil —vaig dir immediatament parlant sense pauses.
»El cambrer 1, canvia totes les portes que siguin múltiples d’1. El 2, totes les múltiples de dos, les parells. El tres les que duen un nombre múltiple de 3. I així fins el cambrer 1000 que només canvia la porta 1000.
»Cada porta canvia un nombre de vegades igual al de divisors del seu número.
»Les que canviïn un nombre parell de vegades restaran tancades al final; les que el nombre de canvis —que és el de divisors— sigui senar, quedaran obertes.
»En general un enter té un nombre parell de divisors, per exemple en el cas del 12 els podem agrupar per parelles que multiplicades ens donen precisament 12: 1 × 12; 2 × 6; 3 × 4, i ja està, tres parelles, sis divisors.
»Però tots els enters són així? No, si un és quadrat perfecte, la seva arrel quadrada queda desaparellada, per exemple el 36: 1 × 36; 2 × 18; 3 × 12; 4 × 9 i ens resta el 6 que formaria parella amb ell mateix.
»I quants nombres quadrats hi ha fins a 1000? La part entera de l’arrel quadrada de 1000 que és 31.

Ho vaig trigar ni un minut en dir tot això.

—Tu ja sabies el problema, oi? —va respondre la meva filla.

—Sí, clar, i la primera vegada potser vaig trigar una mica més d’un minut a resoldre’l, fins i tot recordo que vaig escriure alguna fórmula en un paper. Aproximadament va ser:

»Raonem a partir d’un exemple, pensem, per exemple, amb la porta 12. El primer cambrer la canviarà ja que les canvia totes; el segon també ja que passa de dos en dos, o sigui que canvia les portes 2, 4, 6… i la 12 cau en la seqüència; el tercer canvia 3, 6, 9, 12… també; el quart 4, 8, 12, també, el cinquè 5, 10, 15… no; el sisè 6, 12… sí; del 7 a l’onze passa de llarg; el cambrer 12 torna a canviar la porta, precisament la primera que canvia; a partir d’aquí, ningú no torna a tocar la porta 12. La conclusió és fàcil, la porta 12 s’ha canviat quan hi han passat els cambrers 1, 2, 3, 4, 6 i 12, en tres paraules, els divisors de 12. Si el nombre de cambrers que canvien la porta és parell, al fina quedarà tancada, i si és senar, oberta.
»I quins nombres naturals tenen un nombre senar de divisors?
»La fórmula, al menys jo me la sé de memòria des que em van ensenyar a descompondre un nombre en factors primers. Si un nombre natural n té una descomposició: p^a × q^b × r^c × s^d… on p, q, r, s… són els factors primers i a, b, c, d… els respectius exponents —ho escric així perquè aquí no puc posar-hi ni superíndexs ni subíndexs—, el nombre de divisors del nombre ve donat per la fórmula (a + 1) × (b + 1) × (c + 1) × (d + 1)…
»A veure, per que aquest resultat sigui senar, ho han de ser tots els termes que multipliquen, i com que tots són de la dorma x + 1, resultara que a, b, c, d… que són els exponents que apareixen a la descomposició de n, són tots parells, i es poden dividir exactament per dos. Aleshores el nombre: p^(a/2) × q^(b/2) × r^(c/2) × s^(d/2)… serà un enter i també l’arrel quadrada de n. O sigui que n és un quadrat. Només els enters quadrats tenen un nombre de divisors quadrats.
»La conclusió és que totes les portes quedaran tancades llevat de les que portin un nombre que sigui quadrat perfecte. I quantes n’hi ha? Si el quadrat de 1000 és 31 i escaig, ja que el quadrat de 32 és 1024 i es passa, restaran exactament 31 portes obertes. La resta, que corresponen a enters no quadrats amb un nombre de divisors parells, quedaran tancades.
»Clar que una vegada fet aquest raonament, que és més ràpid fer-lo de cap que escriure’l o llegir-lo, vaig buscar una simplificació que és la que t’he explicat al començament, sense necessitat de recordar la fórmula del nombre de divisors.

No sé com li va anar quan va tornar a classe d’aquella assignatura, l’únic que recordo és que, a final del curs, va treure matrícula d’honor. Com el seu germà en càlcul d’una carrera de ciències. No crec que sigui genètic, hi ha coses que s’encomanen d’altres maneres.

Sovint em diuen que molts dels problemes heurístics que elaboro, són massa difícils, que ningú no ha explicat als seus receptors com es resolen.

Evidentment, si l’objectiu d’un d’aquests problemes és precisament trobar, via assaig i error, un procediment raonable per resoldre’l no és pot explicar el sistema precís, el problema s’hauria convertit en un exercici que és precisament el que vull evitar.

Però a vegades, fins i tot explicat o esbossat el procediment, resta encara una mica de problema, en el sentit de trobar com completar tot el procediment evitat errades, per exemple omissions o duplicacions.

També em diuen que sempre els faig sobre temes similars i és en part cert i en part fals. Cert en el sentit que sovint treballo amb peces com les polifigures, com aquí, els nombres o la lògica, però fals en que no són temes exclusius, a vegades, per exemple empro fotografies o mapes com a base pels problemes. Que no faig servir la literatura? Per dos motius: segurament no en sé prou i tampoc no puc pensar que els destinataris dels problemes tinguin fàcilment prou dades a l’abast per poder resoldre problemes «literaris» amb una certa complexitat. Hi ha també els problemes lèxics, que en general no practico, però estan normalment adreçats a ampliar els coneixements de llengua, no al meu objectiu primari que són les tècniques de pensament i resolució.

Avui seguint amb els temes en que em trobo més còmode, plantejo un problema amb figures geomètriques elementals, quadrats i mitjos quadrats per la diagonal.

Partim de la figura de color rosa formada per un quadrat i mig quadrat tallat per la diagonal, en rosa, que apareix quatre vegades a l’esquerra de la il·lustració. És l’única figura possible amb aquestes dues formes contigües amb els costats «ajustats» que vol dir que un costat ha de coincidir exactament amb un altre costat igual de llarg. Aquesta figura té una àrea de 1,5. Aquí cal dir que considerem una figura igual a la seva imatge especular, si la tenim feta sòlida, la podem tombar cap per avall i continuarà sent la mateixa.

Afegint dos quadrats a la peça rosa de totes les maners possibles, generem 14 figures formades per tres quadrats i mig.

Ara, a aquesta figura d’àrea 1,5 li afegim un altre quadrat igual al primer de manera ajustada, de manera que formem una figura de 2,5. Això ho podem fer de quatre maneres diferents. que ens generen les quatre figures de color verd de la il·lustració, marcades amb les lletres a, b, c i d. Fixem-nos que la d és l’única que té un eix de simetria, concretament inclinat 45º.

Si continuem el procés d’afegir un quadrat, obtindrem figures amb una superfície de 3,5. Però aquí cal ser una mica més curós ja que, a banda de no ometre cap possibilitat, ens podem trobar amb figures duplicades.

Podem veure a la dreta de les quatre figures verdes, duplicats d’ella en taronja amb l’afegitó del quadrat blau en totes les posicions possibles. Cada forma està anomenada amb una lletra que correspon a la figura de 2,5 amb un número que indica cada posició.

Una vegada formades totes les figures possibles, cal veure si hi ha algun duplicat. Efectivament, ens en trobem alguns casos que els he marcat amb la vora vermella. Ens resten catorze figures diferents amb la vora negra, que són totes les possibilitats amb àrea 3,5 dins la lògica d’aquest problema. Aquí també podem veure que la figura c5 és l’única amb un eix de simetria, també inclinat 45º.

Fins aquí, relativament fàcil. El que és una mica més complicat, és generar totes les figures d’àrea 4,5 o 5,5 amb la mateixa tècnica o alguna altra que pugui ser més efectiva.Com a pista per a comprovar si s’ha fet bé la feina puc dir que de quatre quadrats i mig n’hi ha 54 i de cinc quadrats i mig 209.

Amb les catorze figures de 3,5, que naturalment cobreixen una àrea total de 14 × 3,5 = 49, es pot formar un quadrat. De moltes maneres diferents. Un càlcul aproximat em diu que d’unes 18000 formes diferents. No he vist mai el trencaclosques comercialitzat, potser perquè malgrat les moltes solucions és bastant difícil. La imatge és una vil falsificació fotogràfica del que voldria tenir.

Imatge a partir d’un joc infantil, les vores entre les tessel·les han estat eliminades amb l’ordinador, i els colors modificats per tal de tenir-ne 14 de diferents.

Sempre he pensat que aquest trencaclosques podria ser una decoració fàcil per el terra d’una plaça que es podria denominar oficialment o popular, la Plaça del Trencaclosques. I podria atreure turistes aficionats a questes coses… A veure si algun ajuntament es decideix, que la idea és de franc i el disseny està amb llicència lliure (cc, by, sa). Ep, i tinc més dissenys per l’estil, en dues dimensions per a terres o parets o en tres per a monuments variats.

En el camp educatiu, més enllà de generar les peces de manera sistemàtica, en principi amb paper quadriculat i llapis, hi pot haver la tasca de construir realment el trencaclosques, cosa que vol dir prendre decisions de compromís entre la facilitat i el ben acabat i utilitzable que quedi. Fer-ho amb paper, és molt fàcil, però el resultat és difícil de manipular i en respirar les peces poden volar. Fer-ho amb fusta, metall o plàstic… és més feina.

No sempre la geometria és abstrusa, a vegades hi ha teoremes que potser tenen una certa dificultat de demostració per a qui no hi està ficat, però que són de fàcil comprensió per a qualsevol.

Sí, qualsevol, fins i tot aquelles persones que afirmen que de matemàtiques no en saben gens i es consideren incapaces d’entendre-les, quan el que realment passa és que de petites els hi van ensenyar tan malament que encara estan atrapades en un embolic i tenen por de tornar a intentar comprendre-les. Encara que aquesta vegada no ho facin malament.

Aquí presento uns fets molt senzills de geometria, sense demostracions que em sembla que són fàcilment compressibles.

Una font inexhaurible de fets interessants són els triangles. Són una figura ben simple, però es poden plantejar innombrables qüestions sobre ells. Veiem-ne una de senzilla:

❀ Tracem un triangle qualsevol. Marquem els punts mitjos de cada costat —són els negres— i tracem les rectes que van des de cada angle al punt mig del costat oposat, en blau a la figura. Aquestes rectes s’anomenen mitjanes. Podem veure que les tres rectes coincideixen en un punt, però no és un cas especial del triangle que hem dibuixat, passa sempre per a qualsevol. Aquest punt marcat en blau, que sempre és interior al triangle, s’anomena baricentre, perquè coincideix amb el centre de masses del triangle suposant que és fet d’un material uniforme. A més, la distància del baricentre a cadascun dels vèrtexs és sempre el doble que la que hi ha entre ell i el punt mig del costat oposat.

❀ Ara, des dels punt mitjos dels tres costats, tracem la recta perpendicular al costat que passa per ells, en vermell a la figura. Aquestes rectes s’anomenen mediatrius, i les mediatrius dels tres costats també coincideixen en un punt, independentment de la forma del triangle. Aquest punt s’anomena circumcentre, ja que és el centre de la circumferència que passa pels tres vèrtex del triangle.

❀ Finalment, des de cada vèrtex tracem la línia recta perpendicular al costat oposat, anomenada altura, en verd a la figura. Un altre cop, les tres rectes coincideixen en un punt anomenat ortocentre.

I ara ve el més curiós, al menys per a mi: circumcentre, baricentre, i ortocentre estan alineats sobre una recta, anomenada recta d’Euler, marcada en negre a la figura, amb el baricentre situat entre els dos altres punts i, a més, la distància entre baricentre i ortocentre és el doble de la que separa el baricentre de l’ortocentre. Tot i ser uns conceptes fàcils, la geometria clàssica grega no coneixia aquesta propietat, va ser Euler al segle XVIII qui les va mostrar per primer cop. Com sempre passa amb matemàtiques, encara n’hi ha molt més; per començar podem dir que el centre de la circumferència que passa pels tres punts mitjos dels costats, també rau sobre la recta. I el centre de la circumferència que passa pels tres punts on les altures intersequen els costats, marcats en blanc a la figura, també, però és que resulta que coincideix amb la circumferència anterior.

Totes aquestes propietats es poden generalitzar a dimensions superiors, per exemple en els tetràedres, però resulta una mica massa complicat per a aquest article elemental.

Quan tenia uns vuit anys, un col·lega estranger del meu pare —no sé de quin país, però parlava francès— va venir uns dies a casa i em va regalar una caixa bàsica de Lego, amb peces blanques per fer parets, vermelles per teulada, unes poques finestres i una porta. Tot i que era limitat, amb allò feia de tot. El nadal d’aquell any, vaig demanar a uns oncles més Lego, i em van portar una caixa amb el mateix contingut , tot i que la caixa crec que era en danès. Perfecte, podia fer cases el doble de grans. I moltes altres coses. De mica en mica vaig anar aconseguit més material.

Era molt diferent a la actualitat o a l’època dels meus fills, el joc no es basava en un muntatge predeterminat a cada caixa, sinó que eren peces genèriques amb les que podies fer el que la imaginació et dictés. Desprès dels maons quadrats van venir peces esbiaixades per fer teulades, peces d’un terç d’alçada per fer plataformes o altres detalls, més colors, encara que alguns com els maons blaus a mi no em resultaven gaire útils quan feia cases.

Ara, de gran tinc acumulada una certa quantitat de material, inclòs el dels fills que en anar-se’n de casa, no se’l van endur. Certament algun dia encara m’agafa la nostàlgia i munto alguna casa, però bàsicament ara faig servir les peces de Lego com a material de trencaclosques o de prototip de jocs.

Peces de gruix ⅓, amb superfície amb pius o llisa que empro per fer diversos jocs

A vegades, senzillament és material per fer una foto, com en el cas d’aquest joc de tetròminos. És una foto retocada, no tinc peces de tots aquests colors. Concretament el taronja i el blau no són «naturals».

Un joc de tetròminos fet amb Lego

En altres casos són muntatges operatius. Per exemple un joc complet de tetracubs, que en el mercat només n’he trobat algun extremadament car i em vaig estimar més muntar-me’l jo mateix. Aquí sí que els colors són els reals. El que no em vaig poder fer va ser un joc de pentacubs, n’hi ha vint-i-nou i ni de lluny tic prou peces per fer-los. Es pot observar que els dos primers, a dalt a l’esquerra, són l’un la imatge especular de l’altre i girant-los en el nostre espai de tres dimensions, és impossible transformar una forma en l’altra. Els altres sis pentacubs són simètrics.

Els vuit tetracubs. En algun cas es poden veure les peces d’alçada ⅓

El següent trencaclosques fet amb Lego, es pot resoldre amb paper quadriculat i llapis, però és més sorprenent presentat en forma de peces sòlides: la peça de l’esquerra es pot dividir en dues d’iguals com es veu a la dreta de la imatge. Naturalment que si es deixa manipular la peça original, la solució és òbvia, i reunir les dues peces de la solució és massa fàcil, el trencaclosques de Lego serveix bàsicament per mostrar la solució.

Una figura divisible en dues d’iguals

Finalment, un trencaclosques relativament difícil, de manipulació, que consisteix a disposar les tres peces en forma d’U i les cinc rectangulars de l’esquerra de la imatge, format la mateixa figura. La solució a la dreta. Potser la dificultat rau en el fet que sovint no es pensa en figures amb forats.

Les peces de l’esquerra es poden disposar per muntar dues figures de la mateixa forma

Malauradament, comprar peces de Lego específiques, sempre ha estat difícil. En particular em trobo amb una curiosa paradoxa: Per internet he vist alguna persona que ven trencaclosques fets de Lego, i el preu al que els ven —inclòs embalatge enviament i el seu benefici— és menys de la meitat del que em costarien a mi les peces comprades directament a l’empresa, encara que les compri a milers. Segur que hi ha algun canal per a aquesta mena de productes, però no l’he sabut trobar.

Hi ha grans descobriments anònims, però també molts que es poden atribuir a una persona. I no és gens fàcil fer un gran descobriment.

Fer descobriments «petits» és més fàcil, però aleshores sempre hi ha el dubte que realment hagis estat el primer. Normalment són nimietats que només en raríssimes ocasions tenen conseqüències i és molt possible que ni es publiquin. És allò que un dia veus, no trobes altres referències i penses:

—Potser jo he estat el primer del món —del Món mundial— en descobrir això. I l’ego m’augmenta unes centèsimes.

Com que sóc aficionat als pentòminos i a més egoista, en el sentit d’augmentar l’ego, presento aquí per primera vegada un dels meus «descobriments». Naturalment que agrairé a qualsevol que m’informi si ja s’havia descobert abans.

❀ ❀ ❀

Amb els dotze pentòminos, és ben conegut que es poden formar 2339 rectangles de 6 × 10 unitats, com el que segueix:

Una solució a encabir els dotze pentòminos en un rectangle de 6 × 10

A les fronteres entre els pentòminos, ocasionalment hi ha punts tocats per quatre de diferents. A la figura anterior n’hi ha un, prop del centre, concretament entre els pentòminos Z, Y, I i N (seguint la nomenclatura clàssica de la figura següent:

Els dotze pentòminos i els seus noms

Aquest punt el podem anomenar punt quàdruple o creu. I resulta que en les 2339 solucions al trencaclosques de 6 × 10, n’hi poden haver cap. 1, 2, 3 o 4.

Els més escassos i difícils de trobar, i aquest és el meu inèdit «descobriment», són els que tenen quatre punts quàdruples. N’hi ha precisament nou:

Les nou solucions al problema dels quatre punts quàdruples, anomenats també creus

I com que m’agraden els problemes amb solució única, es poden plantejar cinc problemes més difícils encara:

❀ Troba una solució dels pentominós en un rectangle de 6 × 10, que tingui quatre punts quàdruples i, a més, el pentominó W —o el U, P, L o N— no en toqui cap.

Òbviament les solucions són respectivament, els casos 1, 3, 5, 7 i 9 de la figura.

Avui, un problema molt senzill.

A la foto hi podem veure 56 daus de colors variats. Amb algunes peculiaritats, hi a cares que estan en blanc. Òbviament són manipulades, no tinc daus amb una cara en blanc. En aquest joc el color o l’orientació de la cara superior del dau són irrellevants.

Si ens hi fixem bé, veurem que de cada puntuació, del zero al sis, n’hi ha vuit. També n’hi ha vuit de cada color, però repeteixo, aquí els colors no compten.

Cinquanta-sis daus de colors

Si agafem un joc normal de dòminos, de 28 peces, també veiem que hi ha vuit meitats de dòmino amb cada puntuació possible, del blanc al sis.

Ara es tracta de disposar-los de manera que reprodueixin les puntuacions dels daus. És relativament senzill…

El joc de les Torres de Hanoi, publicat pel matemàtic francès Édouard Lucas l’any 1883, no té a veure amb la ciutat de Hanoi, senzillament és la que apareix al conte de l’enunciat. Físicament consta de tres varetes verticals, a la primera de les quals hi ha inserits un conjunt de discs ―foradats― de mides creixents. L’objectiu del joc és passar tots els discs de la primera a la tercera vareta, respectant les següents condicions:

❀ En cada moviment només podem transferir un sol disc d’una vareta a una altra.
❀ No es pot mai col·locar un disc sobre un altre que sigui més petit que ell.

Foto d’unes Torres de Hanoi amb vuit discs de colors alternats

El mínim de moviments necessaris per assolir l’objectiu del joc, si anomenem n al nombre de discs, és de 2n–1, o sigui que pels vuit discs de la foto serien 255 moviments; o, pels casos d’entre 2 i 7 discs: 3, 7, 15, 31, 63 o 127 moviments respectivament.

Quins són precisament aquests moviments mínims?

Existeix un algorisme per poder-los fer, d’una manera quasi automàtica, sense haver de pensar gaire.

❀ Imaginem els discs, a la vareta inicial, pintats alternativament començant per la base, de dos colors, per exemple clar i fosc ―a la foto, que és manipulada, els veiem realment així.
❀ Tots els moviments que fem en el joc, han de respectar aquesta alternança de colors. No es pot posar mai un disc clar sobre clar, ni fosc sobre fosc.
❀ Com a primer moviment, si el nombre de discs total és senar, el movem a la vareta de destí, si és parell, el movem a l’altre vareta.
❀ A partir d’aquí, sempre ens trobarem que a cada torn només hi ha un moviment possible ―respectant l’alternança de color― diferent al de retrocedir la peça que acabem de moure. Aquest moviment ens porta automàticament a la solució en el nombre de jugades mínim possible.

Solució del cas de 4 discs. Aquí podem considerar clar els discs verds i fosc els vermells.

Aquest joc, curiosament, és similar a un altre, també amb nom oriental, les «anelles xineses», també estudiat per Édouard Lucas. El joc  consisteix en treure —o posar fent els moviments contraris— un passador en un conjunt d’anelles penjades d’una tija, cadascuna de les quals abraça la tija de l’anterior. També té solucions en 3, 7, 15, 31, 63 o 127 moviments per a dues a set anelles. I, en la solució, els avenços i retrocessos del passador també tenen a cada pas una única possibilitat que alterni passar per dins i per fora de la següent anella, i no sigui retrocedir a la posició anterior.

Les meves anelles xineses, cal treure la peça daurada (que no ho és, és pintada a la foto)

Avui proposo un enigma molt vell i conegut. De fet la idea de posar-lo m’ha vingut d’un llibre en espanyol de fa cent anys, que en una il·lustració e blanc i negre de l’època el mostrava, i més endavant en donava una explicació, aproximadament correcta però, vista ara, absolutament antiquada.

Senzillament, es tracta de veure on és el parany. Aquí les quatre peces no són simples línies, sinó que són fotos de la fusta d’un moble de casa, acolorides arbitràriament. Si us hi fixeu bé, en el muntatge fotogràfic, les vetes de la fusta són iguals en les peces corresponents dels dos diagrames.

Però en un, la quadrícula superposada ens indica que l’àrea total són 65 quadrets, i en l’altra 64.

Quina és la superfície total de les quatre peces de fusta, 65 o 64?

Realment, aquest enigma és molt més divertit quan es fa amb quatre pecs reals, que segons com es col·loquin, canvien de superfície.

I una pregunta pels una mica friquis de les matemàtiques, què té a veure aquest enigma amb la constant àuria φ = (1 + √5) /2 ?

Podria dir que és una mania: cada any, intento buscar una combinació numèrica que amb una formula «bonica», resulti el número de l’any.

Hi ha anys que és més fàcil que altres, i he de reconèixer que el proper 2019 no ho és gaire. L’única descomposició en factors és 673 × 3 i no l’he sabut emprar en cap combinació. O potser que la meva inspiració va de baixa.

He trobat expressions com:

(987+65-43)*2+1=2019
3/4*5*67*8+9=2019
(7*6+5)*43-2=2019

…a partir de xifres en ordre ascendent o descendent.

Però que resultin 2019 amb una sola xifra sembla ser més difícil, només n’he trobat una amb deu dosos que poso com a problema per si algú la pot millorar. L’enunciat del problema podria ser: tenim una calculadora senzilla, de quatre regles però amb parèntesis, i se’ns han espatllat totes les tecles dels números, llevat el 2, i també el punt decimal.

Com podem obtenir 2019, emprant el mínim nombre de dosos?

Una calculadora amb tecles espatllades o prohibides, imatge duplicada

Altres anys va ser més fàcil, retrospectivament, per exemple, l’any que vaig nàixer, 1952 es pot representar, entre altres, per:

(8+8+8+8)*8*8-88-8 = 1952
(((4+4)*4*4-4)*4-4-4)*4 = 1952
((22*22+2)*2+2+2)*2 = 1952
12*34*5-6+7-89 = 1952
((9*8-7)*6)*5-4+3+2+1 = 1952
(444+44)*4 = 1952
444*4+44*4 = 1952

Totes elles més boniques al meu parer, que les que representen l’any que ve, 2019.

Si s’autoritzen altres operacions a banda de suma, resta, multiplicació i divisió, com podria ser l’exponenciació o les arrels, augmenten molt les possibilitat i també la complexitat. Introduint funcions com per exemple logaritmes, és pot escriure qualsevol nombre enter emprant com a màxim tres dosos, encara que per aconseguir 2019, la formula seria molt llarga…

A una determinada edat, tots hem après a fer multiplicacions, vull dir multiplicacions amb números de diverses xifres.

[Aquí opto per la convenció d’emprar número per a un nombre natural concret, deixant el terme nombre com a genèric per a qualsevol magnitud matemàtica, per molt que algun diccionari digui que les paraules són sinònimes i que número pot ser un castellanisme. Visc al número 75 d’un cert carrer, no al nombre 75]

Recordo perfectament que una vegada en veure el mestre que les havia acabat el primer i que totes estaven bé, se li va acudir fer-me fer més multiplicacions, el doble que els altres. Només em va passar una vegada. Mai més el mestre va veure que les feia més ràpid.

Això és un clar exemple d’exercici, aplicar rutinàriament un procediment ja après, en contraposició al problema, on cal decidir un mètode a partir de coneixements previs. La meva teoria és que els exercicis, i parlo de qualsevol matèria, en tot cas només serveixen per a adquirir seguretat i velocitat, però no fan pensar gaire. En contrapartida, un problema, que en general són més difícils que els exercicis, sí que prepara per a la vida real on les qüestions amb que ens enfrontem no acostumen a poder-se resoldre amb la pura aplicació d’un mètode memoritzat. Protocol, en diuen ara del mètode d’espolsar-se les responsabilitats per no haver pensat.

Tornant a les multiplicacions i assumit que en sabem fer amb paper i llapis, podem passar a problemes basats en multiplicacions.
Imaginem una multiplicació —desenvolupada— com la del gràfic amb fons verd. Les lletres representen xifres amb una restricció d’entrada: A, D, G, K, O i S no poden ser zeros, perquè aleshores no s’escriurien. També hi ha la lletra J que apareix dos cops, és evident que la J del resultat és idèntica a la darrera xifra del primer producte parcial. Un altre fet és que ni D, ni E, ni F poden valer ni zero ni un, perquè els productes parcials tenen quatre xifres.

Forma general i dos problemes que mostren els 7 i amaguen les altres xifres

Ara plantejarem un problema sobre una multiplicació d’aquesta forma, el del gràfic del mig amb fons blau. Aquí, algunes xifres estan tapades per cercles amb el número 7. Evidentment vol dir que aquest és el seu valor. I afegim la dada suplementària que cap de les xifres no tapades és un 7. Podem reconstruir la multiplicació?

Això ja no és aplicar una regla, sinó treballar a partir dels coneixements que tenim sobre la regla. Senzillament cal ser sistemàtic i escollir els fets que ens aportin dades.

❀ En primer lloc tenim que 7BC × F = G777. No hi ha gaire possibilitats, tenim poques xifres incògnites. F × C ha de ser un nombre acabat en 7, la primera conclusió és que F i C han de ser ambdós senars diferents de 7. Tampoc cap d’ells no pot ser 1 ja que implicaria que l’altre és 7, cosa que sabem que no és possible. Tampoc cap dels dos no pot ser 5, perquè un nombre acabat en 5 multiplicat per un senar, acaba en 5, i el nostre resultat ha d’acabar en 7. Només ens queden el 3 i el 9.

❀ Un altre fet és que O ha de valer precisament 6. A la seva columna només podem arrossegar un 1 de l’anterior —la suma de K i 7—, en conseqüència el tercer producte parcial —7BC × D— és precisament 6777. Dels números entre 2 i 9, els únics que són divisors de 6777 i poden ser D, són el 3 i el 9, però 6777 ÷ 3 = 2259 que és un nombre de quatre xifres mentre que 7BC en té 3. Només ens queda la possibilitat que D valgui 9 i en conseqüència 7BC és 6777 ÷ 9 = 753.

❀ Com que l’únic múltiple de 753 que acaba en tres 7 és 6777, resulta que E i F també valen 9 i que K i G, 6. Ja tenim tota la multiplicació. Si efectuem el producte 753 × 999 = 752247 que, com és pot veure, té els dos únics 7 en les posicions correctes del problema.

Fàcil? Difícil? tot és relatiu. Si hom no ho veu clar, repetint diverses vegades atentament els tres passos anteriors s’acaba veient que no hi ha cap operació difícil més enllà de saber multiplicar i observar algunes propietats elementals de la mena que un nombre acabat en 5 per un senar, sempre acaba en 5. Probablement això a l’escola no s’ensenya explícitament, però un aprenentatge que no hi arribi, és manifestament incomplet i que no hagi assolit fites elementals com aquestes, difícilment en podrà assolir de més complexes que sí estan en el programa, llevat que decideixi aprendre tots els procediments de memòria sense més, am l’esperança que mai li posin un problema, només exercicis en els que aplicar cegament el memoritzat.

I el problema de la dreta amb fons rosa? El deixo per l’estimat lector. Certament és una mica, només mica, més difícil. I com a pista, puc afirmar que la clau del meu mètode per resoldre’l —n’hi poden haver molts més— és basa en els possibles valors de E i C, amb un raonament similar al d’un dels punts del problema anterior de fons blau.

I d’on han sortit aquests problemes? De la imaginació d’algun ésser d’intel·ligència superior? En absolut, generar aquests problemes és un altre problema, o més exactament un metaproblema —problema sobre problemes— que vaig resoldre amb un full de càlcul —incidentalment no va ser amb Excel, que li tinc moltíssima mania—. La idea és generar totes les multiplicacions de la forma de la de l’esquerra del fons verd, substituir tots els caràcters no 7 per un símbol, els 7 per un altre, i de la llista dels les moltíssims resultats, separar els que només hi apareixen un cop. Cadascun d’ells correspon a un problema amb solució única. Concretament hi ha 6738 de diferents, en multiplicacions amb la forma de la del problema, on donant els 7 podem deduir totes les altres xifres. Si algú les vol, que em demani el llistat.

Certament no sóc un calculista, sinó només una mica aficionat al càlcul numèric des que era ben petit. Tan petit que no recordo allò d’aprendre’m les taules, va succeir dins el núvol que es té a la memòria de la majoria dels esdeveniments d’abans dels quatre anys. La memòria de familiars diu que sumar em va agradar molt, restar no gaire, multiplicar altre vegada sí i que dividir em va resultar fascinant.

El primer «descobriment» matemàtic que vaig fer, deuria ser als cinc anys, recordo que no va impressionar ningú fins que no li vaig anar a explicar al meu avi, catedràtic jubilat de l’escola d’arquitectura que entenia de nombres de manera més professional i a més tenia sentit de l’humor. A casa, la carta als Reis Mags de l’Orient, era gràfica en forma de petita auca dibuixada per ell —incidentalment, des d’ulls de nen, dibuixava tan bé, que pensava que jo mai serviria per tenir el seu ofici—; i la carta, el dia sis de gener, apareixia amb les joguines retornada i signada pels reis. En llapis d’aquells que per una banda eren vermells i per l’altra blaus, i les signatures eren integrals, equacions diferencials i altres expressions matemàtiques d’aquelles que impressionen la gent del carrer, amb abundància de símbols estranys i lletres gregues. Suposo que de fer lletres hebrees, àrabs o índies, no en deuria saber, integrals, sí.

Però a l’escola, l’any 1963 i sense calculadores, va arribar el dia que va aparèixer el tema dels logaritmes. Segons molts eren molt difícils, però precisament per les explicacions d’un dia del meu avi, i un dia vol dir una sola sessió i no gaire llarga, vaig veure immediatament de què anaven. Les taules aquell primer anys eren una cartolina plegada amb logaritmes i antilogaritmes de quatre xifres de precisió. La veritat era que per a un calculador compulsiu no era gaire avantatge de temps respecte fer les multiplicacions o divisions amb aquesta precisió. En arrels quadrades sí que era una mica més avantatjós.

El curs següent ens van fer comprar les taules «Sanchez Ramos» un llibre bastant gruixut amb logaritmes i taules trigonomètriques amb sis decimals i també una taula més curta de logaritmes amb onze i explicacions de com interpolar, sense res de teoria. Vaig preguntar al professor de matemàtiques, matemàtic de carrera, que com s’ho havien fet per poder calcular les taules de logaritmes sense tenir taules de logaritmes… i em va engegar, com ja havia fet un parell de vegades que li havia preguntat privadament per temes, elementals per a un matemàtic, però que «no tocaven». Es va guanyar el meu odi etern.

En contrapartida, el professor de física i química —en aquell curs es veien en una única assignatura— que es deia Joan Cuadrenys Obea, tenia tota la meva devoció. Segurament hagués respost les meves qüestions matemàtiques, però només recordo haver-li preguntat per qüestions de les seves matèries. I va ser en el curs que impartia aquell senyor, on sovint s’havien de fer càlculs amb dos, tres o quatre xifres significatives, quan vaig fer un descobriment. Al meu pare, que era el que ara anomenaríem enginyer de so, a l’empresa li van canviar —potser va ser ell que se’n va comprar un de nou— el regla de càlcul. I el vell, de butxaca, marca Castell, va venir a parar a casa.

Ràpidament me’n vaig apoderar i amb el fulletó en vaig tenir prou per saber-lo fer anar. A classe era l’únic que en duia —el curs següent ja érem dos— i per a molts companys era un estri misteriós o fins i tot una mica màgic. Curiosament estava autoritzat, al costat de les taules de logaritmes de quatre xifres, a l’examen de «revàlida de quart». Encara el conservo —o no, perquè amb els anys en vaig obtenir un altre de molt similar i un dels dos es va trencar—.

Primer model de regle de càlcul que vaig emprar

No recordo si va ser quan feia el preuniversitari o el primer any de carrera que vaig tenir el segon regle. Era un Aristo de 25 cm i amb escales «LL» que permetien fer càlculs de potències arbitràries. Aquest regle, pobre, va desaparèixer en combat, en una ràtzia de la policia nacional —grisos— a la facultat, a les corredisses em va caure la carpeta per terra, sé que la policia se la va endur, i tot i que a la funda del regle hi havia escrit el telèfon, no va tornar. Fa relativament poc en vaig obtenir, via herència que ningú ja no apreciava, una de similar, que és la que mostro a la imatge.

Regle similar al que em va desaparèixer

Era l’època de les primeres calculadores científiques, concretament de la Hewlett Packard HP-35, fora de l’abast de qualsevol estudiant. Una meravella tot i que era senzillament una calculadora científica bàsica. Tot i que era car, i sabia que el regle de càlcul aviat entraria en declivi, me’n vaig comprar un altre. Era dels anomenats de «doble precisió» Amb una escala partida, per una banda entre 1 i √10 i per l’altra entre √10 i 10, cosa que permetia en un model curt de 15 cm, gairebé de butxaca, tenir la mateixa precisió que amb el regle més llarg. Va ser el cant del cigne del regle de càlcul. Ja no recordo més moderns d’ús general.

Cara principal del regle de «doble precisió», per l’altra banda hi ha les escales exponencials

Ara els regles de càlcul són un instrument retro i aviat de museu. De totes maneres el seu ús encara té unes possibilitats educatives interessants, més enllà de fer descobrir els principis del càlcul analògic, són interessants en el sentit d’aprendre a llegir escales amb agilitat i, conseqüentment, interpretar gràfiques.