Ciència nombres i lletres

Podria dir que és una mania: cada any, intento buscar una combinació numèrica que amb una formula «bonica», resulti el número de l’any.

Hi ha anys que és més fàcil que altres, i he de reconèixer que el proper 2019 no ho és gaire. L’única descomposició en factors és 673 × 3 i no l’he sabut emprar en cap combinació. O potser que la meva inspiració va de baixa.

He trobat expressions com:

(987+65-43)*2+1=2019
3/4*5*67*8+9=2019
(7*6+5)*43-2=2019

…a partir de xifres en ordre ascendent o descendent.

Però que resultin 2019 amb una sola xifra sembla ser més difícil, només n’he trobat una amb deu dosos que poso com a problema per si algú la pot millorar. L’enunciat del problema podria ser: tenim una calculadora senzilla, de quatre regles però amb parèntesis, i se’ns han espatllat totes les tecles dels números, llevat el 2, i també el punt decimal.

Com podem obtenir 2019, emprant el mínim nombre de dosos?

Una calculadora amb tecles espatllades o prohibides, imatge duplicada

Altres anys va ser més fàcil, retrospectivament, per exemple, l’any que vaig nàixer, 1952 es pot representar, entre altres, per:

(8+8+8+8)*8*8-88-8 = 1952
(((4+4)*4*4-4)*4-4-4)*4 = 1952
((22*22+2)*2+2+2)*2 = 1952
12*34*5-6+7-89 = 1952
((9*8-7)*6)*5-4+3+2+1 = 1952
(444+44)*4 = 1952
444*4+44*4 = 1952

Totes elles més boniques al meu parer, que les que representen l’any que ve, 2019.

Si s’autoritzen altres operacions a banda de suma, resta, multiplicació i divisió, com podria ser l’exponenciació o les arrels, augmenten molt les possibilitat i també la complexitat. Introduint funcions com per exemple logaritmes, és pot escriure qualsevol nombre enter emprant com a màxim tres dosos, encara que per aconseguir 2019, la formula seria molt llarga…

L’acudit sobre el més famós dels gats de la ciència, el d’Schrödinger, crec que el sabia des de la universitat. Altres acudits sobre científics i gats me’ls van anar explicant o els vaig inventar mes tard, molt no alguns no recordo com i quan, però al menys els de Fibonacci i Turing són meus i se’m van acudir en contexts concrets que recordo. Aquesta recopilació, els acudits, no les explicacions, la vaig recopilar fa uns mesos per a una novel·la que estic escrivint.

Ara els reprodueixo amb alguna explicació més o menys elemental per a qui, en algun cas, no sàpiga de què va. Clar que aleshores perd una mica de gràcia. Ja sé que com a acudits poden ser molt «suats», però la primera idea és una certa mena de divulgació científica, no ser un humorista.

Tres gatets encuriosits a Areny de Noguera • Gata (té tres colors) en un prat del Ripollès

❖ Erwin Schrödinger tenia gat?
—Sí i no.

Erwin Schrödinger és l’autor d’un famós experiment mental on es tanca un gat en una caixa on hi ha un dispositiu que aleatòriament obre la vàlvula d’un gas verinós. Mentre no obrim la caixa no podem saber si el gat és viu o no, una certa semblança amb el principi de la mecànica quàntica on, abans de fer una mesura, un sistema es comporta com si estigués en una superposició de tots els estats possibles. El pobre gat estaria en una superposició de «gat viu» i «gat mort» fins el moment que obrim la caixa i, aleshores, el seu estat «col·lapsa» en un estat únic i definit.

❖ Werner Heisenberg tenia gat?
—Sí, però un dia es va aturar, i ja no va poder saber mai més on era.

Werner Heisenberg va establir el principi d’indeterminació que ens diu, entre altres interpretacions que en una partícula, el producte entre les indeterminacions de la seva posició i de la seva velocitat és una constant. O sigui que si la partícula s’atura —velocitat estrictament determinada i igual a zero— la seva posició està absolutament indeterminada. Una altra de les paradoxes aparents de la mecànica quàntica.

❖ Kurt Gödel tenia gat?
—Sí, però no es pot demostrar.

Kurt Gödel va demostrar que qualsevol sistema axiomàtic, fins i tot els més simples, tenia proposicions que no es podien demostrar dins del sistema. La proposició «Kurt Gödel tenia gat», podria ser indemostrable…

❖ Quants gats tenia Wolfgang Pauli?
—Dos, però voltant sempre en sentits oposats.

Wolfgang Pauli va establir el principi d’exclusió que diu que dues partícules de les anomenades fermions no poden estar en el mateix estat quàntic. Les partícules materials bàsiques, com electrons o protons són fermions; les que transmeten força com els fotons no, i n’hi poden haver moltes en el mateix estat, és el principi del làser, per exemple. I els fermions, tenen una propietat anomenada spin, similar al moment angular dels objectes materials grans, que pot adoptar dos valors, un de positiu i un de negatiu, aleshores dues partícules, com dos electrons, poden estar en el mateix estat quàntic llevat que tindran espins oposats, d’alguna manera com si un girés a la dreta i l’altra a l’esquerra.

Gata duplicada fotogràficament, des de la finestra de casa • Gat negre desconfiat a Tavertet

❖ Alan Turing tenia gat?
—Sí, però quan li va escapar no va poder determinar mai si s’aturaria algun dia o no.

Una de les demostracions més importants de Turing afirma, aproximadament, que no es pot fer un programa que sigui capaç de determinar de manera general, si un altre programa arbitrari, una vegada iniciat en un ordinador, s’aturarà o no.

❖ Com era el gat de Max Plank?
—Tenia tot el cos negre.

Max Plank va resoldre un dels problemes més importants de la física clàssica del segle XIX. El de l’anomenat cos negre. Un cos negre és una substància hipotètica que absorbeix tota la llum que li arriba, en conseqüència no en reflexa cap i es veuria negre. Un petit forat en una gran caixa opaca en seria una bona aproximació. Resultava que amb les teories cinètiques clàssiques, no s’explicava ni de lluny, la distribució de freqüències que emet un cos negre en funció de la temperatura. Plank va introduir la hipòtesi que la emissió de radiació no era contínua sinó que només es podia fer en uns paquets molt petits en que l’energia depenia de la freqüència. Bàsicament que la energia electromagnètica no era contínua. Malgrat que sempre va creure que la seva hipòtesi era un mer artefacte matemàtic, tota l’experiència dels darrers 120 anys indica que la quantificació de matèria i energia són absolutament reals.

❖ Georg Riemann tenia gat?
—Aquesta hipòtesi encara no ha estat demostrada.

Riemann, a mitjans del segle XIX, va formular una conjectura sobre una funció anomenada ζ de Riemann, que per a una variable s val la suma infinita dels inversos dels nombres naturals elevats a s. Per exemple aplicada a 2, ζ(2) = 1/1² + 1/2² + 1/3² + 1/4²… i així fins l’infinit, que com tothom sap, val π²/6. Bé, és un acudit, no ho sap tothom, crec. El cas és que sembla que si s és un nombre complex no real, aquesta funció val zero en alguns casos anomenats no trivials, tots els quals tenen una part real igual a 1/2. És la més famosa conjectura de les matemàtiques, anomenada universalment hipòtesi de Riemann, i porta 160 anys sense que ningú l’hagi pogut demostrar. Té una importància immensa en molts camps de les matemàtiques, molts altres «probables teoremes» només ho són assumint que és certa.

❖ Isaac Newon tenia gat?
—Sí, i sempre se li enfilava a la pomera.

Hi ha la llegenda que Newton, apartat de la ciutat per una epidèmia, va veure caure una poma d’un pomer, o potser ja la va veure a terra desprès d’haver caigut, i al mateix temps va veure, o va pensar, la Lluna al cel. Aleshores es va preguntar perquè si la poma cau cap el centre de la Terra, la Lluna sembla no fer-ho i va cercar una explicació pel fet partint de la hipòtesi que la gravetat afectava tant la poma com la Lluna. D’aquí va sorgir la teoria de la gravitació universal. La presumpta pomera es va ensenyar durant molts fins que va morir, i altres s’han plantat a l’indret per continuar amb la llegenda.

Gat a Tortosa • Gats a Valls, aprofitant l’escalfor que havia deixat un cotxe aparcat

❖ Leonardo de Pisa, conegut com Fibonacci, tenia gat?
—No se sap, però de conillets en tenia molts.

Fibonacci va ser el matemàtic europeu més important a principis del segle XIII, i és molt conegut per un problema, al qual segurament no va donar cap importància, que va escriure el 1202 on explicava com es poden fer les operacions amb xifres anomenades aràbigues —no em vull imaginar com de complicat era abans fer divisions o arrels quadrades amb números romans—. El problema anava de la reproducció d’un conjunt de conills que a partir del segon mes tenien dos conillets cada mes que passava. La solució implica una seqüència on cada terme és la suma dels dos anteriors: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233… coneguda com a successió de Fibonacci que té una gran importància en molts temes de matemàtica discreta. Per cert, que en el problema s’assumeix que els conillets són immortals.

❖ Arquimedes de Siracusa tenia gat?
—Sí, però li va fugir perquè el ficava a la banyera.

És molt coneguda la llegenda que Arquimèdes va trobar el seu principi, tot solucionant un problema que li va proposar un parent seu anomenat Hieró, que resulta que era el rei —tirà— de Siracusa, sobre si era falsa una corona d’or. Per cert que la corona no era d’or pur com havia dit l’orfebre que no vull pas saber com va acabar. La llegenda continua dient que la solució se li va acudir mentre es banyava en una banyera d’unes termes, i que es va emocionar tant que va sortir al carrer despullat tot dient: εὕρηκα, eureka, que vol dir «ho he trobat» en grec. I als gats, no els agrada gens que els fiquin a la banyera, encara que aquesta part de la llegenda és una pura invenció meva.

Totes les fotos són meves, de diverses excursions per Catalunya.

Mai no m’he considerat gaire fotògraf, més aviat algú que quan surt fa fotos. I algunes vegades, en tornar a casa, a les fotos hi ha alguna sorpresa.

És el cas d’una vegada, pel maig del 2017, que amb uns parents de fora de Barcelona vam anar a alguns llocs amb bones vistes sobre la ciutat i, com sempre, vag fer fotos, algunes panoràmiques, altres amb el zoom al màxim…

Mesos més tard, revisant i ordenant-les a casa, en una d’elles, el motiu principal que havia volgut fotografiar es distingia a cop d’ull, clar: les tres xemeneies de Sant Adrià, conegudes amb el sobrenom de Txernòbil.

—premeu boto dret i marqueu «visualitza la imatge» per veure-la un xic més gran—

També en primer terme, moltes cases de la conurbació barcelonina.

Però mirant la foto detingudament, hi vaig trobar un parell més de detalls curiosos que marco i els amplio en les imatges que segueixen.

Els tres punts clau de la imatge

Potser la qualitat de les ampliacions no és gaire bona, però la càmera té les seves limitacions i, a més, vaig disparar sense trípode.

Què són els detalls marcats en verd i en groc?
Des d’on vaig fer la foto?

En aquesta classe d’enigmes les eines són els mapes que hom troba a internet, des de GoogleEarth als de l’Institut Cartogràfic i Geològic de Catalunya. També fotos en general que ens poden mostrar els cercadors. Encara que conèixer la zona, també hi ajuda una mica.

Tot això forma part de la meva idea pedagògica sobre els problemes, en aquest cas no se’n pot dir que sempre van de matemàtiques. I són problemes reals, tot revisant fotos me’n trobo alguna que no recordo on les vaig fer però que per algun detall potser es podria deduir, i també altres que presenten detalls que en el moment de fer-les no vaig notar, o senzillament no es podien veure al visor.

Hi ha ciències més immutables que altres. Si entrem a nivells elementals o mitjos les matemàtiques, per exemple, són força immutables. No vol dir això que s’ensenyin igual ara que fa cent anys, però els continguts continuen essent vàlids. Cert que hi ha hagut sorpreses, com és el sorgiment de la teoria del caos, però que no va ser cap trencament, sinó més aviat la incorporació d’una sèrie de qüestions que abans no s’havien considerat. O més enrere el teorema d’incompletesa de Gödel que sí va representar un canvi de paradigma. Però són petits canvis respecte els que han passat en altres ciències.

I dels canvis en astronomia, més específicament en astrofísica que he vist durant la meva vida és del que vull parlar. Des d’un punt de vista subjectiu i memorialista.

Val a dir que en astrofísica, els científics i els divulgadors han acostumat sempre a tenir clar quines eren les dades inqüestionables i quines les especulatives. També que han admès ràpidament les sorpreses, que n’hi ha hagut i de grans. Altra cosa és que els canvis arribessin ràpidament al gran públic o als llibres de text.

Una de les fonts essencials de canvis en astrofísica ha estat la instrumentació. Des de la dels observatoris de primer nivell a la dels aficionats, passant per totes les observacions espacials.

La cara oculta de la Lluna, la nebulosa del Cranc i Mercuri, fotos de la Viquipèdia

I de l’espai va venir el primer canvi del que sóc conscient. Recordo de petit que amb un llum, una taronja i una piloteta, em van explicar els moviments de la Terra, la Lluna i el Sol. Els recordo igualment als llibres de text de l’època, però el model visual en 3D va ser per a mi el determinant. En conseqüència sabia que sempre vèiem la mateixa cara de la Lluna i que de la que ens quedava a l’altra banda no en sabíem res. Ja de petit havia llegit les especulacions de Jules Verne a «Al voltant de la Lluna», però me’n vaig adonar que eren pura novel·la i quan l’any 1959 la nau soviètica Luna 3 —anomenada a l’època Lunik 3— en va fer les primeres fotos, per cert força dolentes degut a que van buscar que tota la cara oculta estigués il·luminada —a la Terra era, doncs, lluna nova—, no hi havia ombres i el contrast era pobre. Incidentalment molts anys desprès, vaig saber que la pel·lícula fotogràfica emprada en aquella missió, era de procedència dels Estats Units, els soviètics l’havien tret d’un globus espia que va caure al seu territori.

Àvidament em vaig empassar els mapes de la cara oculta que van aparèixer a la premsa. El més destacat el mare Moscoviense —cercle vermell a la imatge molt posterior—, el cràter de Tsiolkovski —en blau— i la «serralada Soviètica», que va resultar ser un efecte òptic i no correspondre a cap cadena de muntanyes.

Un altre canvi va arribar l’any 1965, i es referia a Mercuri. Tots els llibres que havia llegit deien que com el cas de la Lluna respecte la Terra, Mercuri sempre tenia el mateix hemisferi enfocat al Sol. També aquest fer era assumit a molts contes de ciència-ficció. Però no, observacions via radar, van constatar un fet molt més curiós i inesperat: Mercuri a cada dues òrbites al voltant del Sol, feia exactament tres voltes sobre el seu eix. No recordo que sortís als diaris, però sí, força temps més tard, en alguna revista més o menys de divulgació a la que vaig tenir accés, cec que era «Algo». Del tema del moviment del Sol vist des de Mercuri, amb el seu retrocés prop del periheli, i sortides o postes de sol dobles en alguns punts, no em vaig saber res fins força anys més tard.

Del descobriments dels púlsars, l’any 1967 i des de la Terra, sí que me’n vaig assabentar aviat. Suposo que, en ser un tema de radioastronomia, les revistes d’electrònica que llegia en van parlar ràpidament. La interpretació del que podien ser, també em va arribar ràpidament, especialment quan es va descobrir —el 1968— el púlsar de la nebulosa del Cranc, objecte força famós entre els aficionats a l’astronomia.

Durant aquests anys, un altre tema va anar canviant. L’origen dels cràters de la Lluna. Aquí, curiosament, l’element ideològic pesava, una teoria «catastrofista», com la d’haver estat produïts per impactes d’asteroides o meteorits, estava mal vista, sonava a catàstrofe bíblica o mítica, tipus diluvi universal. Però els volcans i calderes volcàniques tenen una sèrie de propietats ben diferents als cràters lunars, anomenats circs en aquella època, una descripció purament morfològica, doncs ja hi havia a qui cràter li sonava massa a volcà. Les fotografies de les sondes Lunar Orbiter, molt millors que les del Luna 3, mostraven detalls o absència de detalls que no corresponien amb els volcans. I els impactes van començar a guanyar terreny. Primer com a hipòtesi parcial d’alguns cràters i posteriorment com a generadors dels mars, que no deixen de ser un gran cràter inundat per colades de lava.

Mare Orientale de la Lluna, fotografiat pel Lunar Orbiter 4. NASA

En aquest darrer punt van ser importants les fotos dels Lunar Orbiter que mostraven el mare Orientale —que per estrany que sembli es veu a la vora occidental de la Lluna—, a mig camí entre un gran cràter i una plana inundada de lava. El motiu pel qual les grans conques d’impacte de la cara oculta no han estat pràcticament inundades, encara no és clar del tot. Orientale, queda just entre la cara visible i la oculta, de fet, des de la Terra, des d’on es veu molt de biaix, pels anys seixanta va costar endevinar —per dir-ho d’alguna manera— la seva estructura bàsica amb anells concèntrics. Actualment queda clar que va ser la darrera de les grans conques d’impacte a la Lluna.

Força sovint, quan hom presenta una teoria científica revolucionària, la comunitat establerta s’hi oposa ferotgement. Cert que en molts casos el conservadorisme inherent al sistema hi pesa molt, i que aquesta és l’explicació que apareix a la majoria de llibres d’història. Però sovint és una explicació a posteriori, feta des de fora de l’àmbit científic del moment.

Un cas força conegut és el de l’anomenada «deriva dels continents».

Alferd Wegener, geofísic i meteoròleg alemany, cap 1915, a partir de la idea que les costes d’Àfrica encaixen força exactament amb les d’Amèrica del sud, va començar a especular sobre la possibilitat que aquests dos continent haguessin estat junts en el passat i, posteriorment, s’haguessin desplaçat a les seves posicions actuals.

Més endavant va incorporar al model desplaçaments de l’Antàrtida, Madagascar, l’Índia i Austràlia, que haurien format un continent anomenat Gondwana. I, més endavant, tots els altres continents van trobar un lloc dins el model. Nord Amèrica també s’hauria separat d’Euràsia, provinents de la separació del continent Lauràsia i amb anterioritat Lauràsia i Gondwana haurien estat units en un únic continent anomenat Pangea —tota la terra—.

Els continents i oceans actuals, amb fletxes que indiquen el seu moviment

Més enllà de resoldre una mena de trencaclosques per veure les possibilitats de moviments continentals en el passat, Wegener va aportar altres proves: Estructures geològiques que començaven en un continent actual i seguien en un altre, encaixant perfectament el el model de Pangea; arguments paleontològics sobre fòssils que es trobaven en dos continents ara força separats, però junts en el passat; coincidència encara més gran si, en lloc de partir de la forma de la línia de la costa dels continents, es parteix de la de la plataforma continental.

I quin mecanisme proposava Wegener per aquesta deriva continental?

Per mesures sismològiques es sabia que l’escorça sota els oceans era molt més prima que la dels continents i formada bàsicament per basalt. L’escorça continental era molt més gruixuda, i formada bàsicament de granit i altres roques àcides, amb una densitat inferior a la del basalt.

La proposta era que els continents suraven en una mena de mar global de basalt de més densitat, a la manera dels icebergs sobre l’oceà, i que els moviments de convecció del material del mantell, sota l’escorça, que es suposava relativament fluid eren el motor dels desplaçaments.

I aquí hi havia un problema. Ràpidament algú va calcular que el basalt sobre el que figurava que suraven i es desplaçaven els continents, era un sòlid tan rígid com l’acer. La teoria de Wegener, podia ser molt bonica, però tenia un punt impossible, durant quaranta anys es va rebutjar totalment malgrat les proves indirectes, que d’una manera, que jutjada a posteriori ens pot semblar molt poc científica, es van considerar «casualitats».

No va ser fins els anys cinquanta que es van fer unes mesures que no es podien explicar amb la teoria clàssica dels continents ―i oceans― fixos.

Es sabia, per observacions batimètriques que al centre de l’Atlàntic, i també en altres oceans, hi havia unes serralades submarines que es van anomenar dorsals. Les dorsals presentaven activitat volcànica, però una mica inferior a la que hi havia en algunes vores continentals —com tota la serralada  dels Andes—, arcs d’illes —com el Japó o les Aleutianes— o volcans aïllats —com els de Hawaii—.

En aquella època es van començar a fer mesures geomagnètiques, es tractava d’estudiar la magnetització de les roques. Quan la lava d’un volcà solidifica, ho fa dins el camp magnètic de la Terra, i si conté cristalls magnetitzables —per exemple els d’alguns òxids de ferro— aquests queden magnetitzats i alineats amb el camp magnètic de la Terra en aquell moment.

Ràpidament es va descobrir un fet curiós. Més enllà dels moviments esperats de la posició dels pols magnètics de la Terra, que tenen recorreguts irregulars al voltant dels pols geogràfics, el camp magnètic global, a vegades, s’invertia, el pol magnètic nord passava a ser sud i viceversa. Aquestes inversions passaven a intervals de centenars de milers d’anys i de forma irregular, no amb un període constant. En principi, les roques que conservaven el records magnètic de quan es van solidificar, si els moviments tectònics no les havien fet canviar de posició, tenien uns camps magnètics orientats bàsicament, cap al nord o cap el sud, de manera imprevisible, segons quina era la posició dels pols magnètics en el moment que es van formar.

La següent observació significativa va ser que a costat i costat de les dorsals oceàniques, hi havia bandes simètriques del material del fons del mar, magnetitzades en un sentit o en l’altre. L’explicació era que el fons marí s’originava a la dorsal, magnetitzat en el sentit del camp del moment. Posteriorment aquest material s’anava allunyant de la dorsal, i quan hi havia una inversió del camp magnètic, es formava una altra zona de material del fons magnetitzat a l’inrevés. Cada inversió del camp magnètic, generava dues zones de material a banda i banda de la dorsal.

Però, com podia desplaçar-se aquest material si el fons del mar era rígid com l’acer?

L’explicació es que aquest material no fluïa i deformava, sinó que l’escorça es creava a la dorsal i es destruïa en un altre punt, mantenint la rigidesa. I els punts on es destruïa són les anomenades foses oceàniques, on l’escorça basàltica, més densa que les roques dels continents, és empesa sota d’ells. A més fondària augmenta la temperatura i el material de l’escorça oceànica es torna a fer fluid, aleshores els components més densos es dissolen al mantell, i els més lleugeres, cosa que inclou el quars i també l’aigua que hi havia dins el basalt, acaben tornant a la superfície, sigui en forma de masses sòlides, sigui en erupcions volcàniques com moltes de les que hi ha a al riba del Pacífic.

A partir d’aquí va sorgir la teoria de la tectònica de plaques: la litosfera està formada per un seguit de plaques rígides que es desplacen pels moviments turbulents del material subjacent del mantell. Aquestes plaques que poden tenir zones amb d’escorça oceànica i altres amb d’escorça continental, es mouen a base de ser creades en uns punts, i destruïdes en uns altres. Creació i destrucció bàsicament de la part de basalt de les plaques. Els nuclis granítics, anomenats cratons, són permanents tot i que es poden fracturar i que encara s’hi va afegint material granític degut a alguns fenòmens de caire plutònic.

La teoria de Wegener, això sí, corregida en el punt essencial de la creació i destrucció de l’escorça oceànica, finalment va ser admesa de forma general.

Una cosa similar va passar amb la teoria heliocèntrica de Copèrnic, més enllà de temes ideològics o religiosos que sovint s’han presentat com a essencials pel seu rebuig, hi havia un problema matemàtic de capacitat predictiva del model, que era pitjor a la dels models geocèntrics de l’època; això no van poder ser superat fins que Kepler va trencar el dogma que les òrbites havien de ser combinacions de cercles perfectes. Però aquesta és una altra història.

Fa un parell de setmanes publicava una entrada sobre pentòminos. Continuo avui sobre poliòminos, figures formades per diversos quadrats adjacents, dels que els pentòminos en són el cas amb cinc quadrats.

Hom es pot preguntar si realment tenen interès educatiu, a primera vista no serveixen per a res. Però tenen força punts al seu favor. D’entrada poden ser objectes reals, que es poden construir físicament amb una certa facilitat, no meres abstraccions mentals o sobre paper. En segon lloc, no impliquen gaire coneixements previs, cosa que fa que qui treballa amb ells, normalment no parteix amb avantatge degut a experiències anteriors. En tercer lloc són una gran eina en dos temes essencials sobre els que normalment no es centra l’atenció: comptar i classificar. I, finalment, amb ells es poden plantejar multitud de problemes —que podem anomenar també trencaclosques, enigmes o jocs— que poden fer el seu ús menys àrid que molts altres temes més allunyats de la visualització directa.

Aprendre a comptar té més importància que la que generalment es pensa. És l’origen i la base de les matemàtiques, tant les «teòriques» com les útils per a la vida diària. I amb poliòminos es poden comptar moltes coses, fàcils i difícils. Per començar: quants n’hi ha amb cada nombre de quadrats? I es pot continuar amb molts més problemes, de trivials a impossibles, deductius i inductius. Problemes, tots ells, basats en elements senzills però no abstractes, els poliòminos són tangibles i visualitzables.

Amb un quadrat —monòmino— en tenim 1; amb dos, també n’hi ha 1 de sol, conegut com a dòmino que ha donat nom a totes aquestes figures; de tres quadrats —tròminos— ja n’hi ha 2, el format per tres quadrats en línia recta i el que té forma d’angle; de quatre quadrats —tetròminos— n’hi ha 5, encara fàcils de trobar, són precisament les peces negres de la foto. A partir d’aquí la cosa es comença a complicar, de cinc n’hi ha 12, els pentòminos que esmentava fa uns dies, però ja comença a ser freqüent descomptar-se, duplicar-ne algun o no trobar-lo. Trobar quants n’hi ha de sis, set o més, ja implica una certa planificació, la idea primària d’anar ajuntant quadrats no funciona, és massa fàcil deixar-se alguna combinació. A mà suposo que es pot arribar als de vuit, però a partir d’aquí deu ser una feinada espantosa. Amb ordinador, es poden comptar, actualment s’ha arribat a comptar els poliòminos de fins a vint-i-vuit quadrats, n’hi ha exactament 153511100594603. I no és coneix cap funció matemàtica exacta que ens doni el nombre de poliòminos d’un ordre determinat.

Alguns poliòminos —tetròminos, pentòminos i hexòminos— autoconstruïts amb cubs de plàstic

És trivial veure que amb els dos tròminos no podem formar un rectangle. Amb els cinc tetròminos, que en total farien vint quadrats, tampoc no es pot fer, i la prova curta d’aquest fet és subtil. Els dotze pentòminos, que totalitzen seixanta quadrats, sí que poden formar rectangles, de 3 × 20, 4 × 15, 5 × 12 o de 6 × 10. En el cas dels trenta-cinc hexòminos tornem a trobar que no és possible omplir amb ells un rectangle de 210 quadrats, per una raó una mica més subtil que la dels tetròminos. En el cas de tots els ordres superiors torna a ser trivial veure que no és pot formar un rectangle. Sí, trivial, a partir dels heptòminos hi ha peces amb forats interiors, que naturalment no es poden cobrir amb altres peces.

Imatge de síntesi dels dotze pentòminos en un rectangle de 6 × 10

Deixant absolutament de banda tots els problemes de caire numèric, geomètric o lògic, hi ha la qüestió de com construir models físics. Retallar paper és fàcil, però els resultats deplorables, quan hom intenta posar una peça, mou les veïnes, i fins i tot respirant pot engegar a dida la figura formada. Cartolina és una mica millor, mica, és difícil de tallar amb tisores sense passar-se ni corbar-la, i amb cúter tampoc no és que sigui fàcil. Depenent del gruix té problemes similars al paper, i de totes maneres les peces no són gaire duradores. Cartró «ploma» o altres fulls gruixuts i tous són una millor solució a l’hora de tallar amb cúter, però cal, en general, optar per peces grans, a partir d’uns cinc centímetres de mida del quadrat unitat.

No, cap dels jocs artesanals que conservo és fet així. Una opció que havia fet servir i encara conservo per un petit conjunt de peces particular, és fer-les amb «Lego», cal tenir-ne i és una mica car però reutilitzable. Un altra mètode obvi és fer les peces de fusta. També convé aquí optar per peces grans, Si cal emprar serra és feinós encara que entra sins el raonable si no s’han de fer massa peces. Tinc un joc de 14 peces especials —realment no són exactament poliòminos, però gairebé— fet així, a partir d’un llistó de fusta bona, d’amplada igual a dos quadrats base. I també tinc un joc dels dotze pentòminos pensat per dur a fires o tallers i ser manipulat per nens que en part el van construir els meus fills quan eren nens: a partir d’un llistó ample i prim es tallen peces —de una a cinc vegades més llargues que amples— per fer dos pentòminos iguals però amb els talls mai situats coincidents; posteriorment es superposen, s’enganxen —o claven— i en el meu cas es pinten.

Una nena jugant amb un joc de pentòminos de fusta de dues capes en una fira a la Ciutadella de Barcelona

Amb aquests antecedents al cap volia fer-me un joc d’hexòminos —35— que sí que es pot trobar al comerç, però a preu prohibitiu, i no em decidia. Fins que un dia vaig trobar en una botiga de manualitats escolars, una bossa amb centenars de cubs de plàstic de diversos colors i un centímetre de mida amb els que, enganxats amb una pega adequada —aquesta no sé si era adequada per nens per allò dels solvents—, podia formar tots els poliòminos que volia i fins i tot els «policubs», la mateixa idea en tres dimensions. Així, vaig poder fabricar un conjunt amb tots els poliòminos de fins a sis quadres, tots els policubs fins a cinc, i algun altre que volia per a problemes específics. I enganxar cubs amb una pega ràpida, és molt més fàcil que començar a tallar.

En general, no recomanaria mai a un estudiant aprendre’s la lliçó de memòria. Per una banda, en general això només serveix per passar una prova i a mig termini en resta poc. Segon, en aprendre de memòria, sense més, en general no es distingeix entre els conceptes troncals dels accessoris, distinció que acostuma a venir més del aspecte «emprar les dades» que no pas del concepte «incorporar les dades». Tercer, en la majoria dels temes, aprendre de memòria requereix molt més esforç que comprendre i integrar, per molt que molts estudiants, probablement per manca de costum els sembli el contrari.

No obstant això, algunes vegades cal aprendre algunes coses de memòria, des del meu punt de vista elements arbitraris —vull dir que no es poden deduir— i imprescindibles per formar l’estructura dels coneixements de la matèria. Per exemple, les declinacions llatines, llengua que gairebé ningú aprèn actualment per mètodes més naturals basats en conversa o similars. En general, en aquests temes es pot dosificar i no fer-ne un costum general. Per posar un cas que m’ha afectat molt més que el llatí, Algunes fórmules de trigonometria cal sabeer-les sense haver de pensar, però realment de memòria només en cales unes poques, diria que, a banda de les definicions, recordant el teorema del sinus, el del cosinus, les fórmules dels angles doble, meitat i suma d’angles, totes les altres són «trivialment» deduïbles; cinc formules per tota la trigonometria que es veu actualment al batxillerat de ciències, perquè a l’humanístic, seria com si als científics no ens calgués saber qui era Aristòtil o Plató.

«Trivialment» és la clau, qualsevol aprenentatge memorístic no serveix per a res si no s’és capaç de fer-lo servir per bastir l’estructura de la matèria. Continuant amb la trigonometria, si hom no sap l’àlgebra prèvia, manipular expressions, bàsicament, aprendre de memòria les fórmules, ni tan sols les bàsiques, no serveix per a res. Bé, en alguns casos serveix per aprovar, però això és un frau i no precisament per part de l’alumne.

De totes maners un alumne es pot trobar amb la imminència d’una prova o s’avaluarà si sap o no sap una llista de noms de memòria, passa força més del que seria necessari. Aleshores existeixen les regles mnemotècniques, una de les més conegudes és la del recorregut: cal imaginar un recorregut quotidià: l’habitació, el passadís, el bany, la cuina el menjador, el rebedor, el replà, l’ascensor, en vestíbul, la vorera… fins arribar a l’aula, per exemple. I a cada indret imaginar la paraula que volem aprendre, especialment de manera exagerada, com una pintada en colors llampants. Per recordar-les tornar a fer el recorregut invers i fer venir la paraula que havíem escrit a cada lloc. El problema és que per tornar a fer servir aquest sistema, cal esborrar les paraules que hi havíem posat el cop anterior.

Hi ha alumnes que fan «txuletes». Gran sistema, a mi m’anava molt bé, en feia una, dissenyada ben petita però clara, i l’endemà, a l’examen, era indistint si la duia perquè recordava com l’havia feta…

De totes maneres, la millor regla mnemotècnica que vaig imaginar, requeria prèviament haver fet un altre esforç de memòria i saber-se el codi morse. En arribar pel matí a l’escola dibuixava una o unes poques línies horitzontals a la part alta de la pissarra, i amb un dit n’esborrava parts per tal de deixar en morse, a base de punts i ratlles, la llista de paraules que havia de recordar. Normalment ningú no ho esborrava i quedava allà a la vista de tothom per poder-les transcriure al paper de la prova. L’altra opció era fer-ho amb llapis sobre la «fòrmica» del pupitre.

A la vida real, més que recordar una lliçó de memòria, el que cal és saber on trobar-la ràpidament: és molt important saber preguntar adequadament a Sant Google Gloriós o a qualsevol altre sistema que ens ajudi en la memòria. El que realment té mèrit, és saber emprar les dades. Ara mateix no recordo la massa atòmica del molibdè, però la sé cercar i emprar quan la necessito.

Ganimedes, el satèl·lit més gran de Júpiter —i de tot el sistema solar— va ser descobert per Galileo el 7 de gener de 1610. Amb el seu telescopi que, a banda de ser dels primers telescopis era, naturalment, primitiu, amb una qualitat òtica propera als binocles de fireta per a nens. Però el cas és que fins i tot amb binocles de fireta, és relativament fàcil veure els satèl·lits de Júpiter, fins i tot en els contaminadíssims cels que ara tenim als pobles i ciutats. Galileo va ser el primer que va observar científicament el cel amb telescopi. és probable que altres constructors previs també haguessin apuntat el seu instrument al cel, però no van deixar constància de cap descobriment.

Urà, el planeta, és prou conegut pel públic en general. Va ser descobert per William Herschel el 13 de març de 1781. Amb el seu telescopi, que era dels de millor qualitat del món en aquell moment. Era un telescopi autoconstruït. El cas és que Herschel es guanyava la vida com a músic d’una banda militar i de diners no en tenia gaires; quan es va aficionar a l’astronomia va voler comprar un telescopi però els més senzills estaven fora del seu abast, o sigui que va decidir construir-se’l. Com que fer miralls era més senzill que fer lents, va decidir fer-lo reflector, amb mirall de bronze polit, i amb els anys va esdevenir un dels millors especialistes del món, i el telescopi que emprava personalment tenia una qualitat òptica superior al de la majoria dels professionals de l’època. Això va ser determinant, Urà havia estat vist prèviament moltes vegades —hi tornarem—, però amb el seu telescopi, Herschel va veure que presentava un disc, minúscul però diferent a la imatge puntual de les estrelles.

Vesta, el quart asteroide que es va descobrir, el 29 de març de 1807, per Heinrich Wilhelm Olbers, va ser fruit d’una recerca deliberada de petits cossos en òrbita al Sol entre Mart i Júpiter. Va ser el tercer que es va descobrir en un programa més o menys sistemàtic de diversos astrònoms alemanys. Curiosament, abans que comencés aquesta recerca, el primer dia del segle XIX, Giuseppe Piazzi, des de Palerm, havia descobert el primer dels asteroides, Ceres, mentre elaborava un catàleg d’estrelles: va trobar el que semblava una estrella que en nits successives canviava de posició, finalment va resultar ser un petit cos precisament de la mena que els alemanys volien cercar. Els telescopis de Piazzi i Olbers, ja eren notablement millors que el de Herschel quan va descobrir Urà, en l’interval de temps, s’havien millorat molt les lents dels objectius dels telescopis refractors.

Tres descobriments fets amb telescopi.

Ganimedes, Urà i Vesta, des de sondes espacials, imatges de la Viquipèdia

Però el més curiós del cas és que aquests tres objectes, en condicions favorables, es poden veure sense telescopi, i al menys en els dos primers hi ha una certa constància escrita. Sabent on eren, i quan tenia molt més bona vista, els havia arribat a veure els tres a ull nu. I moltíssima gent abans dels seus descobriments també. La pràctica totalitat sense ser conscients de que el que veien no era una estrella ordinària, i la immensa majoria sense deixar-ne cap registre escrit. Però algú si ho va fer.

L’any 365 abans de Crist, un astrònom xinès anomenat Gan De, va deixat escrit que al costat de Júpiter hi havia vist una petita estrella rogenca. En general, Ganimedes no és visible, no perquè brilli poc, pot arribar a ser de la quarta magnitud, sinó perquè la lluor de Júpiter l’oculta; però si tapem Júpiter amb un objecte llunyà, per exemple un arbre, una muntanya o un edifici, els seus satèl·lits i específicament Ganimedes que és el més brillat i pot estar relativament separat del planeta, es pot distingir fàcilment. Naturalment que no sabem si realment va veure Ganimedes, o era potser Cal·listo o una estrella vermellosa que per casualitat era prop de Júpiter el dia de la observació.

Passem a Urà. Hiparc de Nicea, el segle segon abans de Crist, va ser el primer astrònom que va elaborar un catàleg d’estels que ens hagi arribat als nostres dies. Arribat, però passant per diverses mans i traduccions que hi van incorporar més estrelles o potser van cometre algun error de transcripció. El cas és que en el catàleg que tenim actualment, hi ha algunes poques estrelles que no sabem identificar. Una de les coses importants del catàleg d’Hiparc, és que va introduir el concepte de magnitud, dividint els estels en classes depenent de la seva lluentor, els més brillants eren de la primera magnitud, una mica menys brillants de segona, i així successivament fins arribar a la sisena, els objectes més febles que es veuen en condicions normals. I resulta que una de les estrelles de cinquena magnitud que apareixen al catàleg, sembla no existir, Però l’any 129 Ac, que és quan aproximadament es va elaborar el catàleg d’Hiparc, Urà, de cinquena magnitud, era relativament prop de la posició de l’estel desaparegut. La probabilitat que ho fos, sembla remota, però és possible que fos la seva primera detecció enregistrada.

Perquè essent Urà relativament brillant, hi ha moltes més deteccions anteriors al descobriment oficial d’Herschel. La més sonada va ser el 1690, quan John Flamsteed elaborava un mapa d’estrelles, un mapa on va introduir per a cada constel·lació, una numeració per les estrelles anat d’oest a est. Així, la famosa 61 cygni, era la 61ena estrella a partir de l’oest de la cosnstel·lací del cigne en el catàleg de Flamsteed. I aquest catàleg, i el mapa corresponent, inclou 34 tauri. En un lloc on no hi ha cap estrella ni de cinquena ni de sisena magnitud. Flamsteed, a banda del catàleg, ens va deixar notes on es veu que va observar 34 tauri al menys sis vegades, però no va veure ni el disc, ni es va adonar que anava canviant lentament de posició. Era Urà.

Observacions de Ceres no en conec cap de prèvia, però quan l’asteroide és més prop de la Terra és de sisena magnitud i es pot arribar a veure en un cel ben fosc. És el segon més gran dels asteroides, una mica més de la mitat de Ceres, però brilla més perquè la seva òrbita és més propera al Sol i a la Terra, i perquè te la superfície bastant clara. Jo l’he vist, però no només això, l’he tocat amb els meus dits. Realment no he anat a Vesta, és Vesta qui ha vingut aquí. Milions d’anys enrere, alguns grans impactes amb altres asteroides, van foradar uns cràters enormes a Vesta i van llançar gran quantitat de material a l’espai. Algun d’aquest material, en forma de meteorit, acaba caient a la Terra, i per la seva composició es pot deduir que prové de Vesta, un asteroide diferenciat e capes i que ha sofert grans impactes. I d’aquests meteorits, n’he tingut un fragment a les mans.

Però si des de la Terra ja són visibles aquests tres cossos, si visquéssim a Mart —obviant temperatura, pressió i composició atmosfèrica o radiació—, encara es veuríem més.

Vesta seria en les seves aproximacions unes quatre vegades més brillant que des de la Terra. Ganimedes també més brillant que des de la Terra, però sobre tot, en estar més a prop, el veuríem més separat de Júpiter. Urà, també seria una mica més lluminós que des de la Terra, en aquest cas no gaire però apreciable. Val a dir que des de Mart, el que sí seria evident és la presència de la Lluna a l’entorn de la Terra, la Lluna arribaria a ser un punt com un estel de primera magnitud, i força separat de la més brillant Terra com per ser evident que hi gira al voltant.

Quan era petit, i vivint a un poble de la costa, m’havien explicat que el Sol sortia per mar i es ponia per la muntanya. Veure’l pondre’s ho havia vist molt sovint, això de sortir volia dir matinar que no era precisament una de les meves aficions. A la pregunta si el Sol mai no es ponia per mar, recordo que algú em va dir: «A Mallorca, sí». I més o menys això va ser el que vaig creure fins adult, que als Països Catalans, el Sol només es ponia sobre el mar des de les Illes.

Fins que la meva dona, una tarda d’hivern abans de casar-nos, em va dur a la platja de Castelldefels i em va mostrar el Sol ponent sobre el mar. Mai no ho havia pensat, ni molt menys calculat que això fora possible des del Principat. Incidentalment vaig ser dels últims que vaig fer el curs anomenat preuniversitari, on es veia trigonometria esfèrica i s’aplicava als moviments del Sol —suposant la Terra en òrbita circular, que és relativament bona aproximació—.

En definitiva, a la zona de costa entre la desembocadura del Llobregat i davant Castelldefels, més o menys entre mitjans de novembre i la primera setmana de febrer, el Sol es pon sobre el mar. En altres punts de la costa com el cap de Salou o prop de Benidorm, la visual sobre el mar és massa curta i sempre es pon sobre muntanyes que es veuen, o poden veure, més enllà.

El Sol ponent-se per damunt del mar des de la platja de Castelldefels

La foto és feta el dos de febrer del 2014, ja al final del període de visibilitat. El Sol està sobreexposat, per tal que el mar no sigui negre, i es difumina entre alguns núvols baixos a l’horitzó. Just a la dreta del Sol, a l’horitzó, s’hi veu una petita muntanya que sobresurt del mar, crec que és el Montsià. Una mica més a la dreta muntanyes de la zona de Vandellòs. També els veuen unes enormes sitges de ciment del port de Garraf, molt més properes.

No és normal tenir un dau de tres cares, però ens en podem imaginar un fàcilment pensant en un dau ordinari i anomenant α: ⚀ o ⚁, β: ⚂ o ⚃, i γ: ⚄ o ⚅.

Ara imaginem que dibuixem en un paper tres punts —els he marcat vermells—, format els vèrtex d’un triangle equilàter, vèrtexs que podem anomenar α β i γ —no surten al gràfic, és indiferent quin sigui quin—. Aleshores marquem un punt a l’atzar dins el triangle i tirem el «dau» de tres cares. Si surt α marquem un segon punt just a mig camí entre el primer i el vèrtex α. Si surten β i γ fem el mateix, respectivament amb els vèrtex que duen aquesta lletra. A continuació, tornem a tirar un dau i repetim la col·locació d’un punt a mig camí entre l’anterior i el vèrtex designat pel dau.

Si anem repetint el procès, al cap d’una estona tindrem una distribució de punts, tots dins del triangle, ja que no és possible que mig camí entre un punt i un vèrtex quedi a l’exterior.

Nou possibles solucions al problema

La pregunta, òbvia veient la il·lustració, és: a quina de les nou figures s’assemblarà més el nostre resultat?

I per quin motiu?

Classificar és una de les dèries de la ciència. Però no totes les classificacions, ni molt menys, són sota criteris científics.

Avui presento una llista de mamífers, no exactament espècies sinó genèrics, dividits en dues categories, els verds i els vermells.

Uns quants mamífers, fotos extretes de la Viquipèdia

El problema és esbrinar quin és el criteri, emprant la navalla d’Occam, en altres paraules trobar una regla senzilla, per esbrinar a quina llista pertany cada animal.

I en certa manera el criteri té a veure amb la ciència. I també puc dir que no ha estat immutable, durant uns anys, el gat va ser verd gràcies a un personatge anomenat Lalande.

Ase, Balena, Búfal, Catxalot, Cavall, Cérvol, Conill, Gasela, Gat, Girafa, Gos, Guepard, Guineu, Dofí, Linx, Llebre, Lleó, Llop, Porc senglar, Tigre, Toro, Orca, Ós, Ovella, Xacal, Zebra.

Làmina antiga amb animals i altres personatges. El vermell o verd no té a veure amb el problema.

Cada tant, no tinc més remei que reorganitzar els llibres a mesura que en van entrant de nous. Actualment, a les llibreries de la saleta, hi tinc una divisió de novel·la catalana, una altra de novel·la traduïda, una de poesia, una altra de teatre —mes aviat petita—, assaig polític, assaig de geografia i història, arquitectura i arts plàstiques… Amb excepcions, perquè també hi ha llibres per llegir, volums massa grans que no cabrien al seu lloc natural o alguns agrupats per autors independentment del gènere.

Un dia que organitzava llibres, tot ple de piles en un una taula esperant un nou prestatge

Però en altres habitacions hi tinc prestatges amb moltes més menes de llibres. Per exemple novel·la en espanyol —no separo l’original de la traduïda—, ciència-ficció —que la tinc tota junta—, diccionaris, llibres d’excursionisme i guies comarcals, matemàtiques, astronomia, física, altres ciències, tot això amb na certa separació entre llibres divulgatius i de text.

I les enciclopèdies, històries, geografies i obres o col·leccions similars?

Tampoc no caben a la saleta, les tinc a prestatges a la galeria que mira a l’interior de l’illa de cases. I no fa gaire, també les vaig haver de reorganitzar. En particular la Gran Enciclopèdia Catalana que estava a dos nivells, va quedar en un únic prestatge llarg.

Naturalment que els volums estan col·locats per numeració d’esquerra a dreta, però no me’n vaig poder estar de posar-los momentàniament en una altra posició per fer una foto —de fet van haver de ser dues fotos enganxades que no hi ha prou espai per fer-ho amb un sol dispar—.

La Gran Enciclopèdia Catalana. Desordenada?

La pregunta és: perquè aquest ordre?

Els pentòminos. En detall els recordo d’un campament a Setcases l’any 1966, quan tenia tretze anys i acabava d’aprovar la «revàlida de quart», però recordo que allí vaig recordar que abans ja havia tingut aquelles peces a les mans.

Com que cada dia ens va ploure a una hora o altra, un dia, dins una tenda, algú en va treure un joc, amb peces de plàstic groc bastant petites i primes, segurament era un producte de propaganda. Va passar per diverses mans fins acabar a les meves. Em va costar, però vaig solucionar el trencaclosques bàsic: tornar les peces a la caixa amb un dibuix diferent al que hi havia a la tapa. I recordo que vaig deduir que la peça F era la més difícil i que era millor col·locar-la de les primeres.

Un joc de pentòminos virtual, és una fotografia acolorida i allisada del meu joc de plàstic vell

Dos o tres anys més tard, vaig tornar a veure el joc a l’aparador d’una botiga, i el vaig reconèixer immediatament. En aquella època ja feia algunes «classes particulars» a gent de la meva edat, i les cobrava prou bé —i mai no em va suspendre cap alumne—, o sigui que duia a la butxaca prou pessetes per comprar el joc, no recordo que em semblés gens car. Era fabricat per l’empresa Cayro de Dénia —que encara el fabrica—, i diria que amb el mateix motlle o quasi, per allò de les rebaves.

Per cert, ara el tinc aquí, al costat del teclat, amb els caires una mica arrodonits per l’ús, però totalment funcionals.

Fins aquí la secció memòries, passem a les «definicions».

Els pentòminos són peces formades per dotze quadrats idèntics posats l’un al costat d’un altre, de la mateixa manera que un dòmino està format per dos quadrats adossats. Dos quadrats només els podem posar d’una manera alineant costats, però amb cinc quadrats es pot fer de dotze maneres, hi ha dotze pentominós, comptant sempre que han de ser reversibles, no tenen cap cara privilegiada i es poden col·locar cap per amunt o cap per avall.

Acabo de fer un dibuix amb l’ordinador dels dotze pentominós i de dotze lletres que remotament s’hi assemblen i que els donen nom segons una idea de Solomon W. Golomb que des de 1953 els va començar a divulgar i que, allà pel 1965, en va fer un llibre amb mols temes de caire matemàtic.

Els dotze pentòminos i les lletres que els designen

Com a joc, la primera idea és aconseguir ficar-los a la base que té la forma d’un rectangle de 6 × 10 quadrats bàsics. Val a dir que també es ven una caixa de 8 × 8 on resten quatre espais buits, cosa que fa el trencaclosques molt més fàcil i molt menys interessant respecte la tasca de posar les peces dins la base de 6 × 10.

Quan portes cinquanta anys fent-ho és molt fàcil, en un minut o dos puc posar les peces intentant no partir de cap de les solucions que em sé de memòria. Però al començament costa, gairebé sembla impossible [Incidentalment, trencaclosques com el tangram que tenen una única solució per entrar a la caixa, són molt més fàcils que els pentòminos que en tenen 2239]. En la dificultat rau l’interès educatiu del trencaclosques:

Per resoldre’l cal elaborar estratègies, trobar regles generals i també tàctiques per solucionar els petits sub-problemes que es poden anar plantejant.

L’estratègia pot començar: «deixa les peces fàcils pel final». Per això de peça fàcil és força subjectiu. Segurament el pentòmino P és dels fàcils, i l’F dels més difícils tal com vaig intuir la primera vegada. Més interessant és obtenir regles generals objectives. Per exemple, ja que cada pentominó ocupa cinc quadrets, si en posar una peca la zona lliure queda dividida en dues o més regions, cadascuna d’elles a de mesurar un múltiple de cinc quadrets; si no fos així, en intentar omplir-la, al final sempre ens quedaria una resta on no s’hi pot posar cap peça. Una altra: cada quadret de la zona lliure ha de poder ser cobert per una peça de les no emprades i, recíprocament, cadascuna de les peces ha de cabre en alguna posició de la zona lliure.

Idees més sistemàtiques van pel camí de posar cadascuna de les peces restants en cadascuna de les posicions possibles —seguint les regles anteriors— de la zona buida, i en totes les orientacions; a continuació una altra peça de la mateixa manera i, quan ens trobem amb una impossibilitat, enretirar la darrera peça intentada i provar-ne una nova. Si no ho aconseguim amb cap de les peces restants, un altre pas enrere i continuar així. Cert, a mà, fer-ho sistemàticament és pràcticament impossible per arribar a trobar totes les 2339 solucions del trencaclosques bàsic, seria un procés llarguíssim. No em consta que ningú ho hagi aconseguit «a mà».

Amb ordinador, és un repte de programació abstracta, segurament és fàcil escriure un programa que ho faci, però cosa molt diferent és que ho faci a una velocitat raonable.

A la xarxa hi ha innombrables problemes sobre pentominós, alguns abordables a mà. Per exemple, trobar les dues maneres de col·locar les dotze peces per fer un rectangle de 3 × 20 o dos rectangles de 5 × 6. O totes les solucions on el pentòmino I no estigui arrambat a un dels costats del rectangle de 6 × 10; n’hi ha 25, que es poden classificar en sis menes, una de les quals coincideix amb les solucions al problema dels dos rectangles de 5 × 6. Per cert, que en el rectangle de 5 × 12, només hi ha una solució amb la peça I interior.

Molts altres problemes sospito que a mà són massa difícils, com trobar les dues solucions on les dotze peces toquin vora. O les nou solucions amb quatre punts quàdruples —on quatre peces es toquen en un punt—; aquest problema crec que és inèdit.

Personalment m’agraden molt els problemes més inductius, aquells on cal fer una hipòtesis raonable per resoldre’ls. Per exemple, mostrar els dotze pentòminos acolorits d’una determinada manera, i demanar qui és el criteri més probable.

Per exemple: F T Y — I L N U V W Z — P — X. Quin és el motiu de cada color?

Google és una font inexhaurible de sorpreses. Aquí exposo dades que hi vaig extreure fa força anys, però en general, el panorama no pot haver canviat gaire.

Tot va sorgir un dia que  se’m va acudir cercar a Google, quantes vegades hi surt cadascun dels elements. Vaig comptar dividint les ocurrències per 100000 per tenir nombres més manejables. Vaig començar cercant els noms en anglès, ja que és la llengua amb més representació a internet.

Innocent de mi, pensava que l’element que més sortiria seria el ferro (iron), ja que té molts usos en forma elemental, però no. El ferro em va aparèixer 406 cops, i no és el primer. Quan s’hi pensa una mica és molt fàcil: quin és l’element que més surt a Google?…

una part de la taula periòdica, amb un misteriós acoloriment

L’or (gold), naturalment. Malgrat la seva escassedat o el seu comparativament limitat interès químic o físic, és el primer, 1190 aparicions del nom de l’element. En totes les llengües igual. És evident que les finances van molt per davant de la ciència, indústria i la tecnologia.

Vist que el primer era l’or vaig pensar en la plata (silver): 824, seria el segon? Provant més elements semblava que es confirmava la hipòtesi… fins que vaig provar el plom (lead): quasi un 908 cops un 14 % del total.

Per quin motiu el plom és el segon element en anglès que més apareix a Google?

La taula dels quinze elements més esmentats en anglès em va sortir així:

En català, el top fifteen és curiosament diferent. I planteja també algunes qüestions fàcils.

Quin és el segon nom d’element que més apareix a Google en català?

Quins altres dos elements poc abundants apareixen entre els quinze primers?

❖ ❖ ❖

La resposta a les preguntes té a veure amb l’homonímia: hi ha noms d’elements que tenen un altre significat, que pot ser moltes vegades més usual que el nom químic.

És el cas del plom en anglès: lead, que també vol dir “el primer” entre moltes altres accepcions.

I el del segon element que més surt en català: estany, com el de Banyoles.

I de dos altres elements «rars» que apareixen als quinze primers: indi i radi.

Els quinze elements més esmentats en català són:

❖ ❖ ❖

Deixant de banda qüestions lingüístiques (o no), entre les abundàncies dels esments als elements en anglès i en català hi ha diferències curioses, moltes d’elles en elements que no són els quinze més esmentats, que en mols casos resten misterioses.

Per exemple, i comparant en termes relatius al total dels elements, el tungstè surt 36 vegades més en anglès que en català, el platí 19, iridi 13, gadolini 11, xenó 9, liti 9, níquel 8, plom 6 (aquest ja sabem perquè).

Contràriament els elements que proporcionalment surten més en català tenen raons lingüístiques: indi 32, fermi 28, tori 18 ―per la ciutat de Torí, suposo―, radi 14, estany 8, curi 5. A continuació ve el bor 5 vegades proporcionalment més esmentat en català ―pel poble de Bor a la Cerdanya potser?―.

Els primers noms més esmentats en català i que no sembla ser degut a que siguin homònims són: argó 4 vegades més esmentat que en anglès i a continuació: clor, carboni, urani, fòsfor, bismut, crom o fluor que s’esmenten aproximadament en doble proporció que en anglès.

En anglès apareix níquel vuit cops més que en català —potser pel nom popular d’una determinada moneda americana feta d’aquest metall— i en canvi el crom, d’usos bastant similars, s’esmenta el doble de cops en català. Sempre en termes relatius

O les altes proporcions en anglès respecte al català del platí que en català no surt entre els quinze primers elements ―especulo aquí que és per termes tipus targetes «platinum»―, o la del liti que em sembla que en anglès no té cap altre significat especial.

No puc acabar aquesta entrada, sense copiar una taula periòdica editada fa molts anys per l’Assemblea d’estudiants independentistes d’universitat, concretament per l’assemblea de ciències de la UAB. No en conec l’autor, però espero que no tingui cap inconvenient en que li reprodueixi. Picant —s’ha de tornar a picar a la pàgina resultant, no en sé el motiu— la imatge es pot veure en més gran per veure’n els detalls.

Havia de passar i ha passat. Per a mi no ha estat la primera vegada, abans posava les fotos de paisatges i edificis a Panoramio i va desaparèixer; també a Google fotos, però van canviar el sistema de geolocalització fins fer-lo inoperant o, al menys incomodíssim.

Darrerament pujava les fotos a Flickr on ja n’hi havia pujat unes quantes allà pel 2005 i on ho vaig deixar de fer en arribar al límit de les 200 fotos de franc. Però el límit es va acabar i des de 2016 n’hi havia pujat unes 3000. Ara, però han tornat a reduir a 1000 fotos en els comptes gratuïts.

Que no vull pagar? Que és que ho vull tot de franc?

No, no vull pagar 50€ cada any per tal de regalar les fotos. Sí, regalar, totes estan sota llicència Creative Commons by sa, cosa que vol dir que es poden fer servir per a qualsevol finalitat sense demanar-me permís, fins i tot per a activitats comercials, amb les úniques condicions de no atribuir la foto a terceres persones i de deixar-la recopiar amb les mateixes regles.

És exactament com si ara em demanessin pagar per poder escriure a la Viquipèdia. Em recorda aquella escena de Tom Sawyer on aconsegueix fer pagar a altres nens per deixar-los fer la feina que li havien encomanat de pintar la tanca. No cauré al parany que ja sóc massa grandet.

I aquí torno a tenir un problema, no tinc cap inconvenient a passar tot el meu estoc de fotos a Wikimedia Commons, però la veritat és que no en sé. El sistema de marques ―tag― que fa servir per a classificar-les, o no el sé fer servir o no l’entenc. I la geolocalització, tampoc; una cosa és punxar en un mapa per tal de marcar la situació, i una altra haver d’esbrinar i desprès copiar a mà latitud i longitud.

De les fotos que ara tinc a Flickr, n’hi ha un centenar que he seleccionat per a la Viquipèdia —vaig deixar de seleccionar-ne en veure que no sabia continuar el procés―. Les vaig triar, sigui perquè ara no hi ha imatge, sigui perquè la que hi ha és menys informativa o representativa que la meva, però no les he sabut pujar. I en tinc moltes més de no seleccionades.

Diverses miniatures d’imatges meves a flickr.com per posar a la Viquipèdia. ✲ Descripcions al final

Afortunadament, altres viquipedistes sí en saben, i de les fotos que havia anat pujant, bàsicament a Panoramio, sí que n’hi ha moltes il·lustrant articles. De les dels darrers anys, no gaires.

I entenc el model comercial de Flickr que cerquen un públic molt diferent a mi. Fotògrafs professionals o aficionats interessats en l’art o potser en el negoci fotogràfic. Ho demostra que només una petita minoria de les fotos que hi ha, són d’us lliure. En el meu cas, deixant de banda l’objectiu de posar fotos en comú, només cerco potser la vista insòlita o una mica documentada sense pretensions d’art fotogràfic.

I per cert que totes les fotos són fetes als Països Catalans; no és que no surti mai a l’estranger i no hi faci fotos, és que culturalment m’interessa prioritàriament divulgar les de les nostres terres, i les de les meves aficions ―la fotografia no entraria entre les meves cinc primeres―. També afegir que totes les fotos que publico tenen un títol, una mínima descripció, i estan localitzades al mapa. Cosa no gaire habitual en llocs de fotografia.

La qüestió que deixo oberta aquí és: on em recomanaríeu pujar les fotos per tal que siguin visibles i usables per altres persones?

★★★ Copieu ara les meves fotos ★★★
★★★ que a principis de 2019 en desapareixeran les dues terceres parts ★★★

✲ Les tretze fotos de la il·lustració. Amb el títol i la descripció.

Pont de Sant Martí d’Albars, prop de la casa del Molí del Pont, a 200 metres al sud-est, i 50 metres més baix de nivell que el poble.
Pla de Busa, al Solsonès és una plana d’uns 3 × 1 km, a uns 1300 metres sobre el nivell del mar, envoltada de cingles. Pel seu aïllament i fàcil defensa, s’havia fet servir militarment quan la guerra del francès i les dels carlins. Foto des de l’accés per carretera, superat el cingle de la Creu, al sud est de la plana. A la dreta el Rial, a l’esquerra la Casa Vila, els dos masos habitats que té.
Campanar de Sant Martí d’Ars. Un dels més bonics campanars romànics rodons de Catalunya.
Escala modernista a Canet. A la Casa Museu Lluís Domènech i Montaner, feta amb els guixos que van servir de model per a la trona de l’església de Comillas, prop de Santander, obra del mateix arquitecte.
Sant Martí Sarroca. Part de la població, des del castell de Sant Martí, a uns 400 metres de distància en línia recta i a 60 de desnivell
Estació de Faió la Pobla de Massaluca. Prop de l’antic poble inundat de Faió, però a la banda de la Terra Alta.
Pèlag gran de Vilobí del Penedès. Els pèlags de Vilobí del Penedès són un paratge antigament ocupat per pedreres de guix, explotades des de l’època romana. N’hi ha quatre, tres dels quals s’han inundat en acabar l’activitat extractiva vers l’any 1993. El més gran fa més de 400 metres de llargada, i el seu entorn està sent colonitzat per un ecosistema propi de les riberes i zones humides.
El Bac de Collsacabra. Can Bac és una gran masia situada al terme de Pruit, a Osona. Va ser bastida al segle XVIII sobre un antic edifici ja esmentat el segle XII. Està vinculada a la figura de Jacint Verdaguer que hi feu estades entre 1885 i 1889. Just davant, a l’altra banda de la carretera, hi ha un gran roure amb una capelleta —de la Mare de Déu del Roure— on es poden llegir uns goigs del poeta.
Verdú venint de llevant. Verdú, poble de l’Urgell conegut per la seva ceràmica negra, destaca pel castell amb la seva torre del segle XI, visible des de gran distància. En aquesta foto podem veure el poble des de llevant.
Observatori de Castelltallat. Castelltallat és un poble dispers que pertany al municipi de Sant Mateu de Bages. A l’indret de l’antic castell hi trobem l’església de Sant Miquel i un observatori astronòmic privat, que organitza sessions d’observació pel públic.
Funicular de Queralt. O més exactament ascensor inclinat, entre l’aparcament i el santuari. Cobreix un desnivell de 26 metres entre l’aparcament i el santuari. Aquest és el segon funicular que es va construir a Queralt, l’any 1991. El 1996, el règim franquista n’havia construït un altre aprofitant que el dictador hi havia de fer una visita. Gaire segur no era, ja que a l’hora de tornar va decidir baixar a peu.
Tangram anoditzat. Petit tangram de cinc centímetres, de peces metàl·liques acolorides, suposo que pel mètode de l’anodització.
Carrilet entrant a l’estació de la Pobla de Lillet. Trenet turístic que fa el recorregut fins el Clot del Moro, passant pels jardins Artigas.