Ciència nombres i lletres

Fa un parell de setmanes publicava una entrada sobre pentòminos. Continuo avui sobre poliòminos, figures formades per diversos quadrats adjacents, dels que els pentòminos en són el cas amb cinc quadrats.

Hom es pot preguntar si realment tenen interès educatiu, a primera vista no serveixen per a res. Però tenen força punts al seu favor. D’entrada poden ser objectes reals, que es poden construir físicament amb una certa facilitat, no meres abstraccions mentals o sobre paper. En segon lloc, no impliquen gaire coneixements previs, cosa que fa que qui treballa amb ells, normalment no parteix amb avantatge degut a experiències anteriors. En tercer lloc són una gran eina en dos temes essencials sobre els que normalment no es centra l’atenció: comptar i classificar. I, finalment, amb ells es poden plantejar multitud de problemes —que podem anomenar també trencaclosques, enigmes o jocs— que poden fer el seu ús menys àrid que molts altres temes més allunyats de la visualització directa.

Aprendre a comptar té més importància que la que generalment es pensa. És l’origen i la base de les matemàtiques, tant les «teòriques» com les útils per a la vida diària. I amb poliòminos es poden comptar moltes coses, fàcils i difícils. Per començar: quants n’hi ha amb cada nombre de quadrats? I es pot continuar amb molts més problemes, de trivials a impossibles, deductius i inductius. Problemes, tots ells, basats en elements senzills però no abstractes, els poliòminos són tangibles i visualitzables.

Amb un quadrat —monòmino— en tenim 1; amb dos, també n’hi ha 1 de sol, conegut com a dòmino que ha donat nom a totes aquestes figures; de tres quadrats —tròminos— ja n’hi ha 2, el format per tres quadrats en línia recta i el que té forma d’angle; de quatre quadrats —tetròminos— n’hi ha 5, encara fàcils de trobar, són precisament les peces negres de la foto. A partir d’aquí la cosa es comença a complicar, de cinc n’hi ha 12, els pentòminos que esmentava fa uns dies, però ja comença a ser freqüent descomptar-se, duplicar-ne algun o no trobar-lo. Trobar quants n’hi ha de sis, set o més, ja implica una certa planificació, la idea primària d’anar ajuntant quadrats no funciona, és massa fàcil deixar-se alguna combinació. A mà suposo que es pot arribar als de vuit, però a partir d’aquí deu ser una feinada espantosa. Amb ordinador, es poden comptar, actualment s’ha arribat a comptar els poliòminos de fins a vint-i-vuit quadrats, n’hi ha exactament 153511100594603. I no és coneix cap funció matemàtica exacta que ens doni el nombre de poliòminos d’un ordre determinat.

Alguns poliòminos —tetròminos, pentòminos i hexòminos— autoconstruïts amb cubs de plàstic

És trivial veure que amb els dos tròminos no podem formar un rectangle. Amb els cinc tetròminos, que en total farien vint quadrats, tampoc no es pot fer, i la prova curta d’aquest fet és subtil. Els dotze pentòminos, que totalitzen seixanta quadrats, sí que poden formar rectangles, de 3 × 20, 4 × 15, 5 × 12 o de 6 × 10. En el cas dels trenta-cinc hexòminos tornem a trobar que no és possible omplir amb ells un rectangle de 210 quadrats, per una raó una mica més subtil que la dels tetròminos. En el cas de tots els ordres superiors torna a ser trivial veure que no és pot formar un rectangle. Sí, trivial, a partir dels heptòminos hi ha peces amb forats interiors, que naturalment no es poden cobrir amb altres peces.

Imatge de síntesi dels dotze pentòminos en un rectangle de 6 × 10

Deixant absolutament de banda tots els problemes de caire numèric, geomètric o lògic, hi ha la qüestió de com construir models físics. Retallar paper és fàcil, però els resultats deplorables, quan hom intenta posar una peça, mou les veïnes, i fins i tot respirant pot engegar a dida la figura formada. Cartolina és una mica millor, mica, és difícil de tallar amb tisores sense passar-se ni corbar-la, i amb cúter tampoc no és que sigui fàcil. Depenent del gruix té problemes similars al paper, i de totes maneres les peces no són gaire duradores. Cartró «ploma» o altres fulls gruixuts i tous són una millor solució a l’hora de tallar amb cúter, però cal, en general, optar per peces grans, a partir d’uns cinc centímetres de mida del quadrat unitat.

No, cap dels jocs artesanals que conservo és fet així. Una opció que havia fet servir i encara conservo per un petit conjunt de peces particular, és fer-les amb «Lego», cal tenir-ne i és una mica car però reutilitzable. Un altra mètode obvi és fer les peces de fusta. També convé aquí optar per peces grans, Si cal emprar serra és feinós encara que entra sins el raonable si no s’han de fer massa peces. Tinc un joc de 14 peces especials —realment no són exactament poliòminos, però gairebé— fet així, a partir d’un llistó de fusta bona, d’amplada igual a dos quadrats base. I també tinc un joc dels dotze pentòminos pensat per dur a fires o tallers i ser manipulat per nens que en part el van construir els meus fills quan eren nens: a partir d’un llistó ample i prim es tallen peces —de una a cinc vegades més llargues que amples— per fer dos pentòminos iguals però amb els talls mai situats coincidents; posteriorment es superposen, s’enganxen —o claven— i en el meu cas es pinten.

Una nena jugant amb un joc de pentòminos de fusta de dues capes en una fira a la Ciutadella de Barcelona

Amb aquests antecedents al cap volia fer-me un joc d’hexòminos —35— que sí que es pot trobar al comerç, però a preu prohibitiu, i no em decidia. Fins que un dia vaig trobar en una botiga de manualitats escolars, una bossa amb centenars de cubs de plàstic de diversos colors i un centímetre de mida amb els que, enganxats amb una pega adequada —aquesta no sé si era adequada per nens per allò dels solvents—, podia formar tots els poliòminos que volia i fins i tot els «policubs», la mateixa idea en tres dimensions. Així, vaig poder fabricar un conjunt amb tots els poliòminos de fins a sis quadres, tots els policubs fins a cinc, i algun altre que volia per a problemes específics. I enganxar cubs amb una pega ràpida, és molt més fàcil que començar a tallar.

Ganimedes, el satèl·lit més gran de Júpiter —i de tot el sistema solar— va ser descobert per Galileo el 7 de gener de 1610. Amb el seu telescopi que, a banda de ser dels primers telescopis era, naturalment, primitiu, amb una qualitat òtica propera als binocles de fireta per a nens. Però el cas és que fins i tot amb binocles de fireta, és relativament fàcil veure els satèl·lits de Júpiter, fins i tot en els contaminadíssims cels que ara tenim als pobles i ciutats. Galileo va ser el primer que va observar científicament el cel amb telescopi. és probable que altres constructors previs també haguessin apuntat el seu instrument al cel, però no van deixar constància de cap descobriment.

Urà, el planeta, és prou conegut pel públic en general. Va ser descobert per William Herschel el 13 de març de 1781. Amb el seu telescopi, que era dels de millor qualitat del món en aquell moment. Era un telescopi autoconstruït. El cas és que Herschel es guanyava la vida com a músic d’una banda militar i de diners no en tenia gaires; quan es va aficionar a l’astronomia va voler comprar un telescopi però els més senzills estaven fora del seu abast, o sigui que va decidir construir-se’l. Com que fer miralls era més senzill que fer lents, va decidir fer-lo reflector, amb mirall de bronze polit, i amb els anys va esdevenir un dels millors especialistes del món, i el telescopi que emprava personalment tenia una qualitat òptica superior al de la majoria dels professionals de l’època. Això va ser determinant, Urà havia estat vist prèviament moltes vegades —hi tornarem—, però amb el seu telescopi, Herschel va veure que presentava un disc, minúscul però diferent a la imatge puntual de les estrelles.

Vesta, el quart asteroide que es va descobrir, el 29 de març de 1807, per Heinrich Wilhelm Olbers, va ser fruit d’una recerca deliberada de petits cossos en òrbita al Sol entre Mart i Júpiter. Va ser el tercer que es va descobrir en un programa més o menys sistemàtic de diversos astrònoms alemanys. Curiosament, abans que comencés aquesta recerca, el primer dia del segle XIX, Giuseppe Piazzi, des de Palerm, havia descobert el primer dels asteroides, Ceres, mentre elaborava un catàleg d’estrelles: va trobar el que semblava una estrella que en nits successives canviava de posició, finalment va resultar ser un petit cos precisament de la mena que els alemanys volien cercar. Els telescopis de Piazzi i Olbers, ja eren notablement millors que el de Herschel quan va descobrir Urà, en l’interval de temps, s’havien millorat molt les lents dels objectius dels telescopis refractors.

Tres descobriments fets amb telescopi.

Ganimedes, Urà i Vesta, des de sondes espacials, imatges de la Viquipèdia

Però el més curiós del cas és que aquests tres objectes, en condicions favorables, es poden veure sense telescopi, i al menys en els dos primers hi ha una certa constància escrita. Sabent on eren, i quan tenia molt més bona vista, els havia arribat a veure els tres a ull nu. I moltíssima gent abans dels seus descobriments també. La pràctica totalitat sense ser conscients de que el que veien no era una estrella ordinària, i la immensa majoria sense deixar-ne cap registre escrit. Però algú si ho va fer.

L’any 365 abans de Crist, un astrònom xinès anomenat Gan De, va deixat escrit que al costat de Júpiter hi havia vist una petita estrella rogenca. En general, Ganimedes no és visible, no perquè brilli poc, pot arribar a ser de la quarta magnitud, sinó perquè la lluor de Júpiter l’oculta; però si tapem Júpiter amb un objecte llunyà, per exemple un arbre, una muntanya o un edifici, els seus satèl·lits i específicament Ganimedes que és el més brillat i pot estar relativament separat del planeta, es pot distingir fàcilment. Naturalment que no sabem si realment va veure Ganimedes, o era potser Cal·listo o una estrella vermellosa que per casualitat era prop de Júpiter el dia de la observació.

Passem a Urà. Hiparc de Nicea, el segle segon abans de Crist, va ser el primer astrònom que va elaborar un catàleg d’estels que ens hagi arribat als nostres dies. Arribat, però passant per diverses mans i traduccions que hi van incorporar més estrelles o potser van cometre algun error de transcripció. El cas és que en el catàleg que tenim actualment, hi ha algunes poques estrelles que no sabem identificar. Una de les coses importants del catàleg d’Hiparc, és que va introduir el concepte de magnitud, dividint els estels en classes depenent de la seva lluentor, els més brillants eren de la primera magnitud, una mica menys brillants de segona, i així successivament fins arribar a la sisena, els objectes més febles que es veuen en condicions normals. I resulta que una de les estrelles de cinquena magnitud que apareixen al catàleg, sembla no existir, Però l’any 129 Ac, que és quan aproximadament es va elaborar el catàleg d’Hiparc, Urà, de cinquena magnitud, era relativament prop de la posició de l’estel desaparegut. La probabilitat que ho fos, sembla remota, però és possible que fos la seva primera detecció enregistrada.

Perquè essent Urà relativament brillant, hi ha moltes més deteccions anteriors al descobriment oficial d’Herschel. La més sonada va ser el 1690, quan John Flamsteed elaborava un mapa d’estrelles, un mapa on va introduir per a cada constel·lació, una numeració per les estrelles anat d’oest a est. Així, la famosa 61 cygni, era la 61ena estrella a partir de l’oest de la cosnstel·lací del cigne en el catàleg de Flamsteed. I aquest catàleg, i el mapa corresponent, inclou 34 tauri. En un lloc on no hi ha cap estrella ni de cinquena ni de sisena magnitud. Flamsteed, a banda del catàleg, ens va deixar notes on es veu que va observar 34 tauri al menys sis vegades, però no va veure ni el disc, ni es va adonar que anava canviant lentament de posició. Era Urà.

Observacions de Ceres no en conec cap de prèvia, però quan l’asteroide és més prop de la Terra és de sisena magnitud i es pot arribar a veure en un cel ben fosc. És el segon més gran dels asteroides, una mica més de la mitat de Ceres, però brilla més perquè la seva òrbita és més propera al Sol i a la Terra, i perquè te la superfície bastant clara. Jo l’he vist, però no només això, l’he tocat amb els meus dits. Realment no he anat a Vesta, és Vesta qui ha vingut aquí. Milions d’anys enrere, alguns grans impactes amb altres asteroides, van foradar uns cràters enormes a Vesta i van llançar gran quantitat de material a l’espai. Algun d’aquest material, en forma de meteorit, acaba caient a la Terra, i per la seva composició es pot deduir que prové de Vesta, un asteroide diferenciat e capes i que ha sofert grans impactes. I d’aquests meteorits, n’he tingut un fragment a les mans.

Però si des de la Terra ja són visibles aquests tres cossos, si visquéssim a Mart —obviant temperatura, pressió i composició atmosfèrica o radiació—, encara es veuríem més.

Vesta seria en les seves aproximacions unes quatre vegades més brillant que des de la Terra. Ganimedes també més brillant que des de la Terra, però sobre tot, en estar més a prop, el veuríem més separat de Júpiter. Urà, també seria una mica més lluminós que des de la Terra, en aquest cas no gaire però apreciable. Val a dir que des de Mart, el que sí seria evident és la presència de la Lluna a l’entorn de la Terra, la Lluna arribaria a ser un punt com un estel de primera magnitud, i força separat de la més brillant Terra com per ser evident que hi gira al voltant.

No és normal tenir un dau de tres cares, però ens en podem imaginar un fàcilment pensant en un dau ordinari i anomenant α: ⚀ o ⚁, β: ⚂ o ⚃, i γ: ⚄ o ⚅.

Ara imaginem que dibuixem en un paper tres punts —els he marcat vermells—, format els vèrtex d’un triangle equilàter, vèrtexs que podem anomenar α β i γ —no surten al gràfic, és indiferent quin sigui quin—. Aleshores marquem un punt a l’atzar dins el triangle i tirem el «dau» de tres cares. Si surt α marquem un segon punt just a mig camí entre el primer i el vèrtex α. Si surten β i γ fem el mateix, respectivament amb els vèrtex que duen aquesta lletra. A continuació, tornem a tirar un dau i repetim la col·locació d’un punt a mig camí entre l’anterior i el vèrtex designat pel dau.

Si anem repetint el procès, al cap d’una estona tindrem una distribució de punts, tots dins del triangle, ja que no és possible que mig camí entre un punt i un vèrtex quedi a l’exterior.

Nou possibles solucions al problema

La pregunta, òbvia veient la il·lustració, és: a quina de les nou figures s’assemblarà més el nostre resultat?

I per quin motiu?

L’altre dia, tot llegint un article de VilaWeb anomenat «Gamificació, quan els jocs t’ajuden a aprovar», vaig estar pensant en una mena de jocs una mica diferents dels que mostraven. Jocs com algun dels que jugava de nen. Concretament em vaig centrar en els aspectes educatius de dos d’ells: el lloc dels vaixells o el nim, també anomenat joc de Marienbad que, de fet, n’és una petita variació trivial que apareixia a la pel·lícula «El darrer estiu a Marienbad», de l’any 1961.

Tots dos poden semblar jocs trivials, però l’interès educatiu potser va en una línia una mica diferent a la de l’article: tots dos són jocs «resolts» i l’anàlisi està a l’abast, sinó d’un nen, sí d’un adolescent.

Joc resolt vol dir que es coneix un conjunt de regles, probabilistes en el cas dels vaixells i deterministes en el nim, que ens asseguren la partida òptima, fer màximes les probabilitats de guanyar.

He de confessar que amb el joc de vaixells no me’n vaig adonar, vaig cometre l’errada de creure que com que la posició de les naus era a l’atzar, la d’encertar-les també, i que si es jugava sense fer jugades inútils com tirar al costat d’un vaixell ja detectat, ja era el màxim que es podia fer.

I realment era cert, però aquí l’estratègia òptima passa per la col·locació dels vaixells, no pas per la fase de torns. I va ser en un llibre dels anys trenta de Iàkov Perelman, que no és parent del famós matemàtic Grigori Perelman, on un dia vaig descobrir l’estratègia bona. Merda! vaig pensar, me n’hauria d’haver adonat. I potser ho hagués fet si algú m’hagués animat a fer un anàlisi tot dient-me que el joc no era del tot a l’atzar. Un dia tornaré per explicar com l’efecte merda! té un gran interès pedagògic, per damunt, fins i tot, de l’efecte eureka!

I és que l’estratègia es basa en un fet molt senzill: al joc dels vaixells no compta descobrir o destruir ràpidament els vaixells de l’adversari, qui guanya és qui aconsegueix el darrer vaixell supervivent. I els vaixells més difícils de tocar són els d’una sola casella —els submarins—. Aleshores és tracta de que sigui el màxim de difícil trobar-los i això es pot aconseguir posant tots els vaixells de més d’una casella, el més agrupats possible, de tal manera que l’espai entre ells sigui mínim. Aleshores els submarins es posen a l’atzar a la resta del tauler. Com que aquesta darrera superfície amb els vaixells grans agrupats és màxima, la dificultat d’enfonsar el darrer submarí, també.

En canvi, el nim, que el coneixia d’abans de la pel·lícula, curiosament venia en un joc de màgia amb unes explicacions mínimes pel cas de relativament pocs palets, ja d’entrada, quan vaig tenir prou capacitat d’abstracció, vaig veure que era determinista, que hi havia d’haver una estratègia òptima.

Va ser quan tenia dotze anys, a l’escola, en una classe avorrida de no recordo en absolut quina assignatura, que a les pàgines del quadern d’esborranys en vaig trobar la solució. Solució parcial, de fins a deu palets per grup i amb una errada irrellevant de cara a jugar el joc a la pràctica.

Aproximadament un any i mig més tard, estant de vacances vaig reproduir l’anàlisi fins a vint palets per grup, vaig descobrir la meva errada anterior —una xifra canviada— i ho vaig passar en net en una llibreta que tenia per a aquesta mena de coses.

Potser als quinze o setze anys, repassant la llibreta vaig esbrinar la solució general, per a qualsevol nombre de palets i grups. No en vaig trobar una formulació òptima, però sí correcta, ja sabia com guanyar en els casos que fos possible, en qualsevol situació del joc.

Tinc la sensació que amb l’anàlisi del nim vaig aprendre molt —segur que molt més que a la classe en que no estava atent—. També hagués après molt si se m’hagués incentivat a analitzar el joc de vaixells. Aprendre sistemàtica, a elaborar hipòtesis i a confirmar-les o infirmar-les, a simplificar resultats… activitats totes comunes amb qualsevol problema de la vida real.

Ara ve la part polèmica: quants mestres i professors coneixen, no l’anàlisi en sí, sinó el fet que aquesta mena de jocs són analitzables? I quants coneixen altres jocs simples que permetin a l’alumne fer descobriments per compte propi o aprofitat treball en grup?

Em temo que en els màsters de formació de professorat, aquest tema es toca poc, i si és toca, no és programàtic sinó per la bona voluntat d’algunes persones.

Classificar és una de les dèries de la ciència. Però no totes les classificacions, ni molt menys, són sota criteris científics.

Avui presento una llista de mamífers, no exactament espècies sinó genèrics, dividits en dues categories, els verds i els vermells.

Uns quants mamífers, fotos extretes de la Viquipèdia

El problema és esbrinar quin és el criteri, emprant la navalla d’Occam, en altres paraules trobar una regla senzilla, per esbrinar a quina llista pertany cada animal.

I en certa manera el criteri té a veure amb la ciència. I també puc dir que no ha estat immutable, durant uns anys, el gat va ser verd gràcies a un personatge anomenat Lalande.

Ase, Balena, Búfal, Catxalot, Cavall, Cérvol, Conill, Gasela, Gat, Girafa, Gos, Guepard, Guineu, Dofí, Linx, Llebre, Lleó, Llop, Porc senglar, Tigre, Toro, Orca, Ós, Ovella, Xacal, Zebra.

Làmina antiga amb animals i altres personatges. El vermell o verd no té a veure amb el problema.

Encara que sembli que els grecs clàssics tinguessin una física totalment especulativa i no experimental, això no és cert del tot. Aristòtil en persona, va intentar mesurar la velocitat de la llum. Alguns estudiosos especulen que pel mateix sistema hagués pogut mesurar realment la velocitat del so, però en no haver-hi constància que hagi arribat als nostres temps, és una simple especulació.

I per mesurar la velocitat de la llum va imaginar un experiment molt senzill. Va pujar de nit a un cim amb un fanal i una pantalla i va enviar un col·laborador a un altre cim separat uns quants quilòmetres, visible des del primer amb el mateix material. Quan les llanternes de l’altre van ser clarament visibles, va col·locar la pantalla davant la seva amb l’ordre que l’altre, en veure apagar-se el llum, fes el mateix.

Va detectar un interval, però ràpidament va constatar que era independent de la distància entre els dos experimentadors. Cosa que encertadament va explicar dient que el temps de reacció de l’experimentador era molt més gran que el de la llum fent el trajecte.

Ja ho hagués pogut deduir d’una altra observació. Quan pel vespre, en una tempesta cau un gran llamp, tota l’escena s’il·lumina instantàniament des del punt de vista dels nostres ulls, la llum del llamp ens arriba al mateix temps que la resplendor reflectida en muntanyes o núvols del fons molt més llunyans. Aquest argument no va aparèixer —que ens hagi arribat— fins el renaixement.

No va ser fins molt més tard que Galileo va tenir una idea que finalment va resultar en el mètode que va permetre mesurar aproximadament la velocitat de la llim. Galileo havia descobert els quatre satèl·lits més grans de Júpiter —els satèl·lits galileans— i va pensar que com que les seves òrbites, inclosos eclipses i passos davant el planeta eren molt regulars, amb una taula predictiva adequada, seria possible determinar la hora amb una observació relativament senzilla de les posicions. No hi havia en temps de Galileo rellotges prou bons com per fer unes taules prou exactes, però cinquanta anys més tard, sí.

Va ser Ole Rømer, danès, qui des de l’observatori que havia construït Tycho Brae, també danès, però ara amb telescopis i cronòmetres moderns, va fer unes acurades observacions que li van permetre calcular unes taules bastant exactes de les posicions dels satèl·lits galileans. Uns anys més tard, a París, va comprovar que no casaven amb les observacions que havia fet uns anys abans Giovanni Domenico Cassini i va tenir una idea brillant: a les observacions de Cassini els satèl·lits semblaven tenir un retard respecte les seves taules, i el va atribuir a que s’havien observat quan eren més lluny, i que la llum trigava uns minuts més en arribar a la Terra.

Rømer no va arribar al final amb els seus càlculs per determinar la velocitat de la llum, però altres sí, com Huygens que va deduir que era de 213000 km/s, un 30% menys que el valor real, Però al menys, en ordre de magnitud, era prou correcte.

Cap el 1729, James Bradley, va fer una nova mesura indirecta de la velocitat de la llum mentre intentava mesurar la distància a les estrelles. Va observar que totes les estrelles semblaven descriure una petita el·lipse cada any, que només depenia de la seva posició i va deduir correctament mentre anava en barca pel riu Tàmesi —diu la tradició— que la discrepància era deguda a la relació entre la velocitat de la llum incident de l’estrella i el moviment de la Terra al voltant del Sol. Això li va permetre mesurar la velocitat de la llum per un segon mètode, també astronòmic però independent del de Rømer.

El primer que va mesurar la velocitat de la llum a la Terra, va ser Hippolyte Fizeau el 1849, amb una variació remota del mètode d’Aristòtil. En lloc d’un segon experimentador, un mirall; i en lloc d’una d’una pantalla per obstruir la llum, una roda dentada que la dividia en polsos molt curts. Amb la roda parada, la llum arribava al mirall i retornava a l’observador passant entre les mateixes dues dents de la roda. Però en posar la roda en moviment, el raig de retorn, que trigava un cert temps en fer el recorregut d’anada i tornada al mirall, es trobava que la roda havia avançat i ja no hi havia el forat, sinó la dent. Per a l’observador la llum desapareixia. Augmentant més la velocitat de la roda, el raig de llum, quan tornava, es trobava el següent forat de la roda i l’experimentador la tornava a veure. Coneixent la distància del mirall i la velocitat de la roda dentada, es podia calcular la velocitat de la llum.

I l’experiment es va fer fent circular la llum per l’aire, pel buid, per aigua, o per altres materials transparents, trobant sempre velocitats que depenien del medi, sempre més petites que la de la llum al buid que posteriorment es va saber que era la màxima possible per a qualsevol ona o partícula de l’Univers.

A partir d’aquí, les mesures es van anar fent cada vegada més precises amb diversos mètodes, per exemple amb miralls rotatoris, interferències entre ones de ràdio, entre làsers…

En temps moderns, un dia em vaig trobar en una revista —encara no hi havia internet—un mètode molt enginyós per mesurar la velocitat de la llum a casa. I, posteriorment, quan ja hi havia internet però el mètode no era gaire conegut, vaig fer un joc basat amb ell:

Quins tres dels objectes que es veuen a la il·lustració, i que podem trobar fàcilment a casa, podem fer servir per mesurar la velocitat de la llum?

1 Paper d’alumini
2 Sabó neutre (i aigua)
3 Balança
4 Llanterna elèctrica
5 Formatge en llesques per fondre
6 Espelma (i alguna cosa per encendre-la)
7 Forn de microones
8 Mirall
9 Tisores metàl·liques
10 Oli (en un setrill)
11 Rellotge amb agulla de segons
12 Metre (no necessàriament de fusta)

Si algú no ho resol i queda molt intrigat, que em deixi un comentari…

Els pentòminos. En detall els recordo d’un campament a Setcases l’any 1966, quan tenia tretze anys i acabava d’aprovar la «revàlida de quart», però recordo que allí vaig recordar que abans ja havia tingut aquelles peces a les mans.

Com que cada dia ens va ploure a una hora o altra, un dia, dins una tenda, algú en va treure un joc, amb peces de plàstic groc bastant petites i primes, segurament era un producte de propaganda. Va passar per diverses mans fins acabar a les meves. Em va costar, però vaig solucionar el trencaclosques bàsic: tornar les peces a la caixa amb un dibuix diferent al que hi havia a la tapa. I recordo que vaig deduir que la peça F era la més difícil i que era millor col·locar-la de les primeres.

Un joc de pentòminos virtual, és una fotografia acolorida i allisada del meu joc de plàstic vell

Dos o tres anys més tard, vaig tornar a veure el joc a l’aparador d’una botiga, i el vaig reconèixer immediatament. En aquella època ja feia algunes «classes particulars» a gent de la meva edat, i les cobrava prou bé —i mai no em va suspendre cap alumne—, o sigui que duia a la butxaca prou pessetes per comprar el joc, no recordo que em semblés gens car. Era fabricat per l’empresa Cayro de Dénia —que encara el fabrica—, i diria que amb el mateix motlle o quasi, per allò de les rebaves.

Per cert, ara el tinc aquí, al costat del teclat, amb els caires una mica arrodonits per l’ús, però totalment funcionals.

Fins aquí la secció memòries, passem a les «definicions».

Els pentòminos són peces formades per dotze quadrats idèntics posats l’un al costat d’un altre, de la mateixa manera que un dòmino està format per dos quadrats adossats. Dos quadrats només els podem posar d’una manera alineant costats, però amb cinc quadrats es pot fer de dotze maneres, hi ha dotze pentominós, comptant sempre que han de ser reversibles, no tenen cap cara privilegiada i es poden col·locar cap per amunt o cap per avall.

Acabo de fer un dibuix amb l’ordinador dels dotze pentominós i de dotze lletres que remotament s’hi assemblen i que els donen nom segons una idea de Solomon W. Golomb que des de 1953 els va començar a divulgar i que, allà pel 1965, en va fer un llibre amb mols temes de caire matemàtic.

Els dotze pentòminos i les lletres que els designen

Com a joc, la primera idea és aconseguir ficar-los a la base que té la forma d’un rectangle de 6 × 10 quadrats bàsics. Val a dir que també es ven una caixa de 8 × 8 on resten quatre espais buits, cosa que fa el trencaclosques molt més fàcil i molt menys interessant respecte la tasca de posar les peces dins la base de 6 × 10.

Quan portes cinquanta anys fent-ho és molt fàcil, en un minut o dos puc posar les peces intentant no partir de cap de les solucions que em sé de memòria. Però al començament costa, gairebé sembla impossible [Incidentalment, trencaclosques com el tangram que tenen una única solució per entrar a la caixa, són molt més fàcils que els pentòminos que en tenen 2239]. En la dificultat rau l’interès educatiu del trencaclosques:

Per resoldre’l cal elaborar estratègies, trobar regles generals i també tàctiques per solucionar els petits sub-problemes que es poden anar plantejant.

L’estratègia pot començar: «deixa les peces fàcils pel final». Per això de peça fàcil és força subjectiu. Segurament el pentòmino P és dels fàcils, i l’F dels més difícils tal com vaig intuir la primera vegada. Més interessant és obtenir regles generals objectives. Per exemple, ja que cada pentominó ocupa cinc quadrets, si en posar una peca la zona lliure queda dividida en dues o més regions, cadascuna d’elles a de mesurar un múltiple de cinc quadrets; si no fos així, en intentar omplir-la, al final sempre ens quedaria una resta on no s’hi pot posar cap peça. Una altra: cada quadret de la zona lliure ha de poder ser cobert per una peça de les no emprades i, recíprocament, cadascuna de les peces ha de cabre en alguna posició de la zona lliure.

Idees més sistemàtiques van pel camí de posar cadascuna de les peces restants en cadascuna de les posicions possibles —seguint les regles anteriors— de la zona buida, i en totes les orientacions; a continuació una altra peça de la mateixa manera i, quan ens trobem amb una impossibilitat, enretirar la darrera peça intentada i provar-ne una nova. Si no ho aconseguim amb cap de les peces restants, un altre pas enrere i continuar així. Cert, a mà, fer-ho sistemàticament és pràcticament impossible per arribar a trobar totes les 2339 solucions del trencaclosques bàsic, seria un procés llarguíssim. No em consta que ningú ho hagi aconseguit «a mà».

Amb ordinador, és un repte de programació abstracta, segurament és fàcil escriure un programa que ho faci, però cosa molt diferent és que ho faci a una velocitat raonable.

A la xarxa hi ha innombrables problemes sobre pentominós, alguns abordables a mà. Per exemple, trobar les dues maneres de col·locar les dotze peces per fer un rectangle de 3 × 20 o dos rectangles de 5 × 6. O totes les solucions on el pentòmino I no estigui arrambat a un dels costats del rectangle de 6 × 10; n’hi ha 25, que es poden classificar en sis menes, una de les quals coincideix amb les solucions al problema dels dos rectangles de 5 × 6. Per cert, que en el rectangle de 5 × 12, només hi ha una solució amb la peça I interior.

Molts altres problemes sospito que a mà són massa difícils, com trobar les dues solucions on les dotze peces toquin vora. O les nou solucions amb quatre punts quàdruples —on quatre peces es toquen en un punt—; aquest problema crec que és inèdit.

Personalment m’agraden molt els problemes més inductius, aquells on cal fer una hipòtesis raonable per resoldre’ls. Per exemple, mostrar els dotze pentòminos acolorits d’una determinada manera, i demanar qui és el criteri més probable.

Per exemple: F T Y — I L N U V W Z — P — X. Quin és el motiu de cada color?

Vaig aprendre a llegir molt petit, de fet, no ho recordo directament però sí que tinc un llibre, Narcís de Lola Anglada, amb el que la mare em va ensenyar a llegir. Encara s’hi veuen algunes paraules subratllades i alguns guixots meus al costat d’il·lustracions acolorides per la mare. Un llibre que porta un segell que afirma que és un donatiu de l’Associació Protectora de l’Ensenyança Catalana. Probablement l’únic llibre de nens en català que hi havia a casa. Per la data del llibre —1930— segurament era un llibre de lectura de la meva mare.

El llibre on vaig aprendre a llegir

Més endavant, el poder llegir en català va resultar difícil, no recordo cap altre llibre fins que no vaig tenir uns onze anys quan me’n van arribar alguns d’en Josep Maria Folch i Torres, que no acabaven de ser de l’estil que més m’agradava. Segurament la primera novel·la en català que em vaig comprar va ser El Cronomòbil de Pere Verdaguer, quan tenia uns 14 anys. De fet, en primera lectura no vaig copsar l’entorn socio-polític de la història… Era un llibre de ciència-ficció, pel títol ja es pot sospitar, que era un gènere que m’agradava ja des de molt més petit.

Efectivament, cap els et anys, vaig començar a llegir llibres en castellà —quin remei— especialment d’aventures i de ciència ficció. Em fa l’efecte que a la majoria dels nens d’ara, entre l’audiovisual i el fet que a la majoria els ensenyin a llegir massa tard, llegir un llibre, tot ple de lletres, als set anys, els costa.

❀❀❀

I el meu autor favorit era Jules Verne. No era fàcil llegir moltes de les seves novel·les que no fossin les més populars, però les més clàssiques me les vaig empassar totes de ben petit. Rellegides diverses vegades i a diverses edats, fent-ne lectures diferents cada vegada.

En Verne, per exemple comparat amb en Dickens, era un autor atemporal tot i que la majoria de les seves històries eren molt de segle XIX. Ho dic en el sentit que molta novel·la victoriana, donava per fet que el lector coneixia trets específics de la societat Britànica, des del significat de les classes socials al valor de les monedes, que en el meu cas, ni de nen ni d’adolescent, era el cas. Verne situava el context de les seves aventures, segurament perquè en ser força «internacionals» havia de comunicar als seus lectors les peculiaritats que els francesos potser no coneixien.

Ara, algunes vegades he tornat a rellegir els clàssics vernians, amb ulls d’escriptor de ciència-ficció, però molt conscient de l’època en que es van escriure.

Sempre he definit ciència-ficció com la literatura en que algun fet científic —incloses les ciències socials— tingui un pes central en la trama. Amb un afegitó: la ciència és la de l’època on s’escriu la narració.

Il·lustracions contemporànies de les obres de Verne esmentades

Per exemple, el Viatge al centre de la Terra, amb ulls actuals és impossible. Coneixem l’augment de temperatura amb la profunditat que faria inviable el viatge. Però a mitjans del segle XIX, això no es tenia clar i una de les teories en pugna és que la calor dels volcans era superficial, produïda per la reacció entre l’aigua i bosses de sodi metàl·lic. Ara sabem que no és raonable pensar que a la Terra hi pugui haver sodi metàl·lic, que si n’hi hagués hagut hauria reaccionat fa eons amb l’aigua o qualsevol mineral oxidant. I no és aquesta l’única errada de la novel·la: a partir d’una certa fondària, sabem que la pressió és prou gran com per tancar qualsevol possible cova, que a pressions corresponents a una cova de 20 km de fondària, l’aire seria massa dens per poder ser respirat a mig termini. Per no parlar de la no assumpció per part de Verne del principi de conservació de l’energia: els dispositius lluminosos dels exploradors haurien de tenir una càrrega energètica absolutament més gran que el que permeten les lleis de la física si haguessin de funcionar el temps que afirma la novel·la. O el recurs a la gran caverna fluorescent, recurs recurrent no només en Verne. D’on venia l’energia?

Però més o menys era compatible amb la ciència de l’època, comptant amb algunes llicències literàries i fets ad hoc, per poder muntar la trama. En conseqüència incloc l’obra en la ciència ficció.

A De la Terra a la Lluna hi ha una errada important respecte a la física coneguda des dels temps de Newton. A mitjans del segle XIX ja es sabia perfectament que dins d’una càpsula en moviment balístic, la gravetat seria nul·la. I no com a la càpsula Columbiad, on hi ha gravetat llevat del punt on l’atracció de la Lluna iguala la terrestre. En aquest cas la intenció de ciència ficció hi és, malgrat la manca de coneixements de l’autor. Altres problemes són més tècnics i potser no assumits a l’època que es va escriure el llibre: l’acceleració del tret que esclafaria càpsula i astronautes, el fet que un canó no pot disparar res a més velocitat que la de so en els gasos de la detonació —de fet, amb un canó, el més que s’ha aconseguit arribar és a uns 200 km d’alçada i no precisament amb explosius convencionals, sinó amb hidrogen en expansió, que permet la màxima velocitat—.

Però de totes les novel·les d’en Verne, la que més m’agradava era L’Illa Misteriosa. Hi vaig aprendre moltes coses, diguem-ne a nivell ESO, essent més jove de l’edat en que es fa l’ESO. Per exemple, a fabricar àcid sulfúric, nitroglicerina —no, no ho vaig intentar mai, sabia dels perills— o sabó. Clar que també hi ha errades vuitcentistes. Per exemple, en una illa volcànica, molt difícilment hi trobaríem granit o minerals de ferro. O una fauna tan diversa i poc illenca. Un altre problema és la tempesta que porta el globus amb els protagonistes des de Richmond, a l’estat de Virgínia dels Estats Units, al pacífic sud, a 37º de latitud sud. No, la circulació entre els dos hemisferis està molt aïllada. Ni huracà, ni tempesta, ni depressió tropical travessen l’equador. Hi ha una errada, diguem-ne, que va més enllà del segle XIX: l’illa de Tabor. Naturalment que quan vaig llegir el llibre el primer que vaig fer va ser cercar-la a l’atles. I, efectivament, era on la novel·la deia. Era una illa que també apareixia als Fills del Capità Grant. Vaig creure que realment es tractava d’una petita illa deshabitada, més enllà d’un simple roc aflorant una mica sobre la superfície. Però no, malgrat els atles, i apareix en alguns de cap a 1980, no existeix, ni illa ni escull, és el que s’anomena illa fantasma, fruit d’una observació errònia. En aquella zona, l’oceà fa més de 4000 metres de fondària.

En el camp de l’astronomia, els aficionats poden, en alguns casos, obtenir valuoses observacions.

Un d’aquests casos és quan un asteroide passa per davant d’una estrella, vist des del punt de vista de la Terra. Les estrelles, tot i ser enormes, per la seva llunyania se’ns presenten com a puntuals, només en un grapat de relativament properes i grans s’hi pot observar el disc, i això no directament, sinó amb tècniques d’interferometria entre diversos telescopis que simulen un telescopi de centenars de metres de diàmetre. Els asteroides també són visualment molt petits, la gran majoria puntuals fins i tot en els grans telescopis. Però realment tenen un diàmetre angular molt més gran que el de les estrelles.

Quan un asteroide, per casualitat, passa entre nosaltres i una estrella, aquesta deixa de lluir sobtadament durant uns segons. Si diversos observadors cronometren aquesta desaparició des de diversos punts, s’obté una mena de pel·lícula de l’«ombra» de l’asteroide. Com que l’estrella està milions de vegades més lluny, la seva llum ens arriba pràcticament paral·lela i l’ombra reflecteix prou bé la mida i forma de l’asteroide, que són les dades que volíem obtenir.

A vegades amb sorpreses, per exemple quan l’asteroide té un satèl·lit desconegut, que aleshores apareixen dues ombres més o menys allunyades. O quan, i això és molt freqüent, no té forma esfèrica, sinó més aviat allargada, bilobulada —dues masses mes o menys arrodonides que es toquen per un punt—, o tan irregular que de manera col·loquial s’anomena «patatoide».

En certa ocasió vaig voler participar en una observació similar, però no d’un asteroide sinó d’un satèl·lit d’Urà, que en un moment concret passaria entre una estrella determinada i Barcelona. El dia abans, des del terrat, vaig fer proves amb un petit telescopi per tal de localitzar Urà i l’estrella que passaria prop d’ell l’endemà. Cap problema. Vaig preparar la observació amb el meu millor cronòmetre, però el dia de l’ocultació, hi havia boirina o núvols baixos. Altres van tenir més sort i la observació es va fer, cosa que va produir unes valuoses mesures, tant de la mida del satèl·lit com de la posició dins la seva òrbita.

Urà (cercle blau parcial) amb els sis satèl·lits més grans. A l’època només se’n coneixien cinc.
Les mides relatives són correctes, però les distàncies no. Imatge de la Viquipèdia

Aquesta anècdota sobre un satèl·lit d’Urà, m’ha fet pensar sobre una altra molt més trista.

Més o menys era l’any 1972, estudiava a la facultat i, fins i tot, col·laborava en un curiós programa de geolocalització basat en el satèl·lit artificial Pageos —un globus d’alumini visible a simple vista com una petita estrella–, i una sèrie de càmeres i cronòmetres, per tal de fer una mena de precedent del modern GPS.

Un dia va aparèixer pel departament d’astronomia un senyor d’aspecte una mica atrotinat que volia parlar amb algun astrònom perquè, deia, havia fet un gran descobriment. Li va tocar a un dels estudiants de doctorat atendre’l, cosa que realment volia dir treure-se’l del damunt educadament. Sospito —no en va parlar— que no va arribar a copsar del tot el que de manera força incongruent li volia explicar aquell individu.

Uns anys més tard, potser el 1977, en una fira de llibres vells que es feia al Passeig de Gràcia de Barcelona, em vaig aturar davant una parada —ja ho tenen les parades això d’aturar-s’hi— on només es venia un llibre i també regalaven alguns fulletons. No recordo el títol del llibre, però com que anava d’astronomia el vaig fullejar. Aleshores vaig recordar que el senyor darrera el taulell era el que havia vist a la facultat uns anys abans. I en veure ell el meu interès, em va començar a explicar el seu «descobriment».

Probablement i malaurada, potser vaig ser l’única persona que va comprendre què era el que havia «descobert» i, que en no saber-ho explicar en uns termes mínimament científics, ningú del ram no ho havia comprès.

Va resultar que fent nombres en base a les dades d’una taula d’un llibre de divulgació d’astronomia dels anys cinquanta —me’l va ensenyar—, havia obtingut un resultat sorprenent per a ell, que quan el va intentar explicar, ningú no li va donar importància, segurament perquè ni tan sols van entendre què els deia. Efectivament, en base a les dades dels cinc satèl·lits d’Urà que es coneixien en aquells temps, va trobar una relació curiosa. No com ho faria un científic professional que sap simplificar les fórmules i procediments, sinó en base a una serie de càlculs elementals, però llarg i complicats.

No em crec pas un geni, però darrera de tot allò vaig veure que l’home havia redescobert la tercera llei de Kepler: que el quadrat del període orbital o temps que tarda un satèl·lit a donar una volta al planeta, és directament proporcional al cub de la distància mitjana entre els dos cossos. La constant de proporcionalitat depèn de la massa total del planeta més el satèl·lit, però en ser Urà milers de vegades més gran que els seus satèl·lits, la constant de proporcionalitat és pràcticament la mateixa per a tots ells.

Era autodidacta, no tenia prou pràctica matemàtica per a simplificar les seves fórmules, dubto que conegués les lleis de Kepler i ràpidament vaig veure que no seria capaç de comprendre les meves explicacions o d’adonar-se que havia descobert una trivialitat ben coneguda. A més, no a partir de dades d’observacions, sinó d’una taula que s’havia confeccionat precisament a partir de la coneguda tercera llei de Kepler. De feia ja 359 anys.

L’home havia invertit molt temps i diners en la edició del llibre, totalment en va. Tota una pena. I probablement la no comprensió per part de tercers, l’havia portat a una certa paranoia o més exactament «conspiranoia» respecte els científics.

Per a mi, no tots els autodidactes ni molt menys són —som— així, sovint, però no sempre, si es té prou nivell en una branca de la ciència, es poden anar estructurant elements d’altres branques que ens arribem, per exemple, via la divulgació, i quest és, precisament el motiu pel que, modestament, alguna vegada em poso a explicar temes científics de manera que crec comprensibles per a persones amb una formació bàsica en ciències.

A finals del segle XIX, els físics teòrics estaven força cofois, l’electromagnetisme de Maxwell, la termodinàmica i la teoria cinètica dels gasos, conreaven grans èxits i explicaven una munió de fenòmens, fins i tot en predeien de nous que van resultar ser absolutament útils, com les ones electromagnètiques i la manera d’emetre-les o detectar-les.

Evidentment, tots eren conscients que una cosa és tenir les equacions, i una altra molt diferent poder-les resoldre en els casos pràctics. Per exemple, les equacions de la gravetat de Newton, són força exactes i descriuen perfectament els moviments de dos cossos a l’espai. El convenciment general és que funcionen igualment bé quan hi ha tres o més cossos, encara que en aquest cas passar a una solució analítica  —amb equacions que descriguin les posicions dels cossos respecte el temps— sigui impossible en la gran majoria de casos reals i no hi hagi més remei que conformar-se amb solucions numèriques o aproximades.

Però hi havia encara alguns «petits» problemes.

Per exemple, la radiació del «cos negre».

Un cos a alta temperatura radia energia, I ho fa en forma d’ones electromagnètiques. Si la temperatura no és gaire elevada serà bàsicament en forma d’infrarojos i si augmenta més començarà a emetre llum visible. Això era l’experiència quotidiana i també la del laboratori. Un cas és el de les bombetes incandescents, emeten llum degut a l’alta temperatura del filament, però el mateix val per a la flama d’una espelma.

El problema va arribar quan es va voler veure com s’emetia aquesta radiació. Es va considera que un cos estava format per una munió de petits oscil·ladors electromagnètics que podien emetre o absorbir energia. I aplicant les lleis de la termodinàmica i l’electromagnetisme, s’esperava que en sortís una equació que expliqués la distribució d’aquesta energia en funció de la longitud d’ona.

Però aquí va succeir l’anomenada «catàstrofe ultraviolada»: les equacions indicaven clarament que com més alta fos la freqüència de la radiació, més energia s’hi emetria. Una energia que tendiria a l’infinit per a freqüències prou elevades —o longituds d’ona curta, que és el mateix—, per exemple les freqüències de la llum ultraviolada, que eren les més elevades que es coneixien abans del descobriment dels rajos X i gamma.

I els infinits són molt lletjos en física. A més, l’experimentació deia que realment no n’hi havia, de fet, com més alta era la freqüència, menys energia s’hi emetia.

Les equacions emprades semblaven correctes, però quelcom no funcionava. Va ser el darrer any del segle XIX, el 1900 que Max Plank, va formular una hipòtesi mental que deia que l’energia, en lloc de poder-se emetre en qualsevol quantitat, s’emetia com a mínim en una quantitat depenent de la freqüència ν (la lletra grega ni). Concretament segons al formula e = h·ν, on e és l’energia i h una constant que Plank pensava originàriament que valdria zero. Però no, es va comprovar que si adoptava un determinat valor —molt petit— per a h, la formula teòrica que en resultava de la distribució de l’energia emesa per un cos a una determinada temperatura es corresponia a la realitat. h es coneix com a constant de Plank, i el fet que l’energia no pugui transferir.se en quantitats arbitràriament petites, va ser el que va donar origen a tota la mecànica quàntica.

A la pràctica, la formula que es va deduir explica el comportament de la radiació emesa pels cossos. Quan la temperatura és prou elevada, qualsevol cos emet llum.

El concepte de cos «negre», és teòric, és un hipotètic cos que pot absorbir qualsevol radiació electromagnètica que li arribi sense reflectir-ne gens. Això vol dir que seria una substància absolutament negra. El carbó, per exemple s’hi aproxima, però encara reflecteix una mica de la llum incident. Un model pràctic de cos negre és un petit forat en una gran caixa buida: la llum que va a parar al forat, es va reflectint a les parets interiors de la caixa, però cada vegada se n’absorbeix més, de tal manera que la que acabaria tornant a sortir reflectida pel forat, seria una quantitat arbitràriament petita. Aquest forat negre, és independent del material i del color de l’interior de la caixa, a la llarga, tota la llum incident acabarà absorbida, i el que veurem serà un forat negre, que no té res a veure amb un «forat negre» com el que hi ha al centre de la Galàxia.

De totes maneres, a temperatures prou elevades, totes les substàncies es comporten gairebé com cossos negres.

Un cos negre, posem a 1000 K —kelvins, anomenats abans graus kelvin (si restem 273 ens resulten els graus centígrads habituals)— en llum visible emet bàsicament en la banda del vermell, encara que la majoria de l’energia és en la banda de l’infraroig; és el cas d’un ferro escalfat al roig. A mesura que elevem la temperatura, el vermell es torna taronjós i a uns 3.000 K ja veiem aquest llum com a blanca, és el color d’una bombeta d’incandescència. Però no tots els blancs són iguals, la llum del Sol, també la veiem blanca i es correspon força bé amb la d’un cos negre —curiós que el Sol sigui negre— a uns 5.700 K. Aquest blanc és el canònic, si no el veiem tan diferent al de la bombeta és per un efecte fisiològic: el cervell interpreta la llum ambient que li transmet l’ull com a blanca en una gran varietat de condicions per tal d’atribuir colors als cossos que només en reflecteixen una part de l’espectre. Aquest és el motiu que si canviem la bombeta d’incandescència per una altra amb llum més blavosa, al cap d’una estona ja no notem la diferència.

Les fons reals de llum, sovint s’allunyen de la radiació del cos negre. Per exemple, el tubs fluorescents emeten uns distribució força diferent, o una pantalla de televisió o d’ordinador posada en blanc, emet la suma de tres colors, tres bandes estretes centrades al vermell, verd i blau que els nostres ulls interpreten com a blanc.

És possible en aquest casos definir una temperatura de color: informalment i aproximada, seria la temperatura d’un cos negre que faria que els nostres ulls tinguessin la mateixa percepció, encara que al final el cervell ho acaba interpretant com a blanc. Una llum amb temperatura de color de 2.000k, com la d’una espelma, té molt més vermell que verd o blau, un tub fluorescent amb una temperatura de color de 6.500 K emet més proporció de blau que la llum solar.

la mateixa imatge a temperatura de color baixa i alta

Però encara que en general i sense poder fer comparacions ens és difícil apreciar la temperatura de color de la llum que ens il·lumina, té importants connotacions fisiològiques.

Els humans vam evolucionar sense gens de llum artificial fins que es va descobrir el foc. Aquesta llum tenia al migdia una temperatura de color elevada, i a mesura que s’aproximava el capvespre anava disminuint, ja que la radiació solar cada vegada travessa més atmosfera i perd més llum blava que no pas vermella. El cervell no se n’adona gaire, però la retina emet senyals que arriben a la glàndula pineal, productora, entre altres de la melatonina, l’hormona que regula els ritmes de són i vetlla.

Durant la major part de la història de la humanitat, la llum artificial ha estat d‘una temperatura de color força baixa, o sigui que no enganyava la glàndula pineal fent-li «creure» que era de dia quan estàvem sota llum d’una espelma o fins i tot, molt més tars i fins fa poc, d’una bombeta d’incandescència.

Però actualment s’estan imposant les anomenades bombetes de baix consum —les fluorescents no consumeixen tan poc i sobre tot no duren tant com la propaganda oficial vol fer creure, però això és un altre tema— que sovint tenen temperatures de color molt elevades, de l’ordre dels 6.000 K  i que si les emprem pel vespre poden pertorbar els ritmes de la son i els de un seguit de sistemes que hi estan associats, com pot ser el de la glucosa i la producció d’insulina. Els efectes sobre la salut física o mental, són perfectament mesurables tot i que a curt termini no gaire significatius. El consell és clar, quan s’aproximi l’hora de dormir, cal fer servir llum de baixa temperatura de color. Hi ha làmpades de baix consum —fluorescents o de LED— retolades 2.700 K. Són les adequades per a les cases. Altra cosa és en espais de treball, treball diürn, on sí són adequades les de 6.000K que fan pensar al nostre cos que estem amb llum solar. Un problema addicional són les pantalles, normalment estan ajustades a temperatures de color elevades. Si hi hem de treballar de nit, és molt convenient aconseguir abaixar-les. Alguns monitors de qualitat tenen ajust per això, també es pot en alguns casos canviar les preferències per aconseguir el mateix efecte. Hi ha aplicacions per a mòbils o tauletes amb el mateix objectiu. En cas de no poder emprar cap d’aquestes opcions, una possibilitat és canviar els colors de fons de les finestres i documents, canviant també el de les lletres a efectes de visibilitat. Existeixen diversos processadors de text o navegadors on això es pot fer.

Part de pantalla d’ordinador ajustades a temperatures de color baixa i alta

La recomanació és, quan sigui possible, emprar de fons colors càlids, o sigui blancs groguencs o vermellosos, sempre que treballem de nit. O fins i tot, si és possible, fons negres amb lletres ambre, que semblen millors que les vermelles clàssiques d’il·luminació nocturna.

Sovint, quan em pregunten per les característiques d’un telescopi, la primera pregunta és:

―Quants augments té?

I la resposta és que aquesta no és una característica intrínseca del telescopi, sinó que té a veure amb l’ocular ―en principi sempre intercanviable― que hi posem. Concretament, els augments són el quocient entre la longitud focal del telescopi ―aquesta sí que és una característica de cada aparell― i la de l’ocular. Per exemple, si en un telescopi de 750 mm de focal hi col·loquem un objectiu de 25 mm, obtindrem 30 augments, i si n’hi posem un de 5 mm, 150.

La idea que calen força augments per veure els objectes celestes, en porta associada un altra que és falsa: que la majoria d’ells són molt petits.

Posem un exemple. A les imatges següents hi podem veure la Lluna i l’anomenada galàxia del Triangle ―no pas per tenir forma triangular, sinó per ser aquest el nom de la constel·lació on rau―, coneguda també per Messier 33 o, abreujadament, M33.

★ La Lluna (les estrelles de fons són invisibles) i M33, la galàxia del Triangle ★

La sorpresa és el saber que les dues fotos son a la mateixa escala.

Com és possible, doncs, que no ens adonem, en mirar el cel a ull nu, d’un objecte celeste tan gran com la Lluna plena?

La resposta és que M33 ―que és la segona galàxia espiral més propera a nosaltres, desprès de la galàxia d’Andròmeda, M31― és molt menys lluminosa que la Lluna, aproximadament uns 23 milions de vegades menys. Curiosament, en condicions extraordinàries d’observació, sense cap mena de contaminació lumínica i atmosfera transparent, M33 es pot arribar a veure a ull nu. Això ens indica la gran sensibilitat i, sobre tot, adaptabilitat a les diferents il·luminacions, que té l’ull humà. A la foto de llarga exposició hi apareix una munió d’estrelles febles, totalment invisibles a la de la Lluna, feta amb una exposició moltíssim més curta.

En definitiva, per observar objectes celestes amb un telescopi, el primer criteri és la quantitat de llum que capta, i això depèn del diàmetre de l’instrument i no pas dels augments…

Els planetes, tenen unes mides aparents molt més petites que la Lluna o les galàxies i, efectivament, requereixen força augments per poder estudiar-los. Com a punt de comparació, Júpiter és el planeta que normalment se’ns presenta amb un disc circular més gran; un disc que té aproximadament la mateixa mida angular que el cràter de Tycho a la Lluna, és el cràter que es distingeix molt clarament a la imatge, a mig camí entre «tres quarts de set» i el centre. Hi ha milers de galàxies amb dimensions angulars similars o més grans que aquest cràter, però totes elles són milions de vegades menys lluminoses, cosa que vol dir que només les poden veure amb mitjans òptics.

L’excepció és la galàxia d’Andròmeda, que si sabem on és es pot veure fàcilment si tenim un cel prou fosc. Però realment no veiem tota la galàxia que és moltíssim més gran que la Lluna, només veiem el seu nucli que és la regió central més brillant i força més petita.

Quan des de ciutat mirem el cel nocturn, una nit sense núvols ni Lluna veiem… molt poques estrelles, degut a la contaminació lluminosa.

Però imaginem que anem al mig de les muntanyes, el desert o l’oceà, allà on les llums humanes no molesten la visió dels estels.

Quantes estrelles podem veure?

En nombres rodons hi ha unes 6.500 estrelles dins el llindar del que podem veure a ull nu la majoria de les persones. Això és en condicions bones, però no excepcionals, com podria ser una muntanya altíssima o un nen petit que té més sensibilitat a la llum que els adults.

Clar que de les 6.500 estrelles, des d’un punt concret i a una hora concreta només podrem veure les que estan per sobre de l’horitzó, i fins i tot les properes a l’horitzó estaran atenuades pel major gruix d’atmosfera. Però ens concentrem en les que es podrien veure en alguna circumstància des d’algun lloc i horari favorables: unes 6.500.

Ara, anem a veure com és la població d’estrelles en el nostre barri galàctic. En nombres rodons i aproximats, les estrelles superlluminoses, més de 10.000 vegades més brillants que el Sol, són molt escasses, potser una de cada cent mil.

De menys lluminoses, posem 100 vegades més que el Sol, tampoc no n’hi ha gaire, menys d’una de cada mil.

Estrelles entre 10 i 100 vegades més lluminoses que el Sol, n’hi podria haver una de cada cent.

I de més brillants que el Sol, però menys que 10 sols?. Calculo que entre les estrelles properes, representen més o menys un 7%.

Això vol dir que més d’un 92% de les estrelles, al menys al nostre barri galàctic, són més petites que el Sol. De fet, aquest percentatge podria ser fins i tot superior, ja que precisament estrelles amb molt poca llum són més difícils de detectar i podrien no entrar al recompte.

Vol dir això que la majoria de les estrelles que podem veure una nit estelada són més petites que el Sol?

En absolut, les estrelles petites, malgrat ser properes, poden brillar tant poc que només són visibles amb instruments.

De les 6.500 estrelles visibles a ull nu, he comptat que n‘hi ha unes 40 menys lluminoses que el Sol, totes força properes, ja que sinó no entrarien en la categoria de les visibles.

Poques d’elles són conegudes: τ(tau) Ceti, ε(epsilon) Eridani, 70 Ophiuchi, 82 Eridani, 36 Ophiuchi, ο(omicron) Eridani, ξ(xi) Bootis, σ(sigma) Draconis, ε(epsilon) Indi, 61 Virginis o 61 Cygni, són les més brillants. Cap d’elles amb nom propi clàssic.

La més brillant, Tau Ceti, és bastant menys brillant que la menys brillant de les set que formen l’asterisme del carro, a la constel·lació de l’Ossa Major.

Des d’un altre punt de vista, en el nostre veïnat més immediat, entre els 50 sistemes estel·lars més properes, hi ha tres estrelles més brillants que el Sol: Sirius, Procyon i Alpha Centauri, aparentment molt brillants i fàcilment visibles, i només quatre més, menys brillants que el Sol però visibles sense instruments: τ(tau) Ceti, ε(epsilon) Eridani, ε(epsilon) Indi i 61 Cygni ja esmentades més amunt.

En definitiva, el Sol és una estrella minúscula comparada amb les gegants de la Galàxia, però gran comparada amb la gran majoria de les altres estrelles. I quan alcem els ulls al cel, gairebé totes les estrelles que veiem, són força més grans que el Sol.

Tinc la creença que la intel·ligència, en gran part és adquirida, que es transmet més per la via cultural que la genètica, encara que en alguns casos, malaurats, sí que algun problema hereditari la pot afectar a la baixa, cosa que faria que es mostrés una certa correlació. Sí, és una creença i com a tal sotmesa a possibles canvis.

Però possiblement sigui un concepte poc definit i no mesurable, el que hi ha són persones més capaces d’afrontar reptes complexos —mai de totes menes— i més ràpides en solucionar-los, per aquí va la visió general de la intel·ligència per a moltes persones. I això és el que penso que es pot entrenar. Ara parlaré una mica d’aquest possible entrenament en el marc de la educació.

Malgrat la feina ben feta de molts mestres, el sistema i el programa escolar no faciliten aquest entrenament. Per a mi el punt clau ve de la dicotomia entre exercici i problema. Podem definir l’exercici com allò que ens han ensenyat a fer i que, senzillament, aplicant unes regles podem resoldre. És el cas de la immensa majoria de les tasques escolars. El principal defecte —per no dir problema que aquí podria ser ambigu— que li veig, és que per una banda hi ha alumnes que ja tenen assumides les regles, i aleshores l’exercici no aporta res de nou, com a molt u increment de la seguretat o la velocitat que sovint no tenen gaire sentit. Per a alumnes que no han assumit les regles, cosa que pot passar encara que les sàpiguen de memòria, l’exercici és prou inútil, en el millor dels caos és un seguiment d’una mena de programa que porta a la solució encara que no s’entengui el com. Resten els alumnes entre els dos grups, però la meva observació em diu que són minoria, força petita. Val la pena aleshores basar el sistema —especialment en temps de feina— en exercicis que a la majoria li aporten ben poc? El que s’hagi fet així «tota la vida» o que «a tot arreu» sigui el que es fa, són arguments molt fluixos.

Un problema, en la meva definició, és una altra cosa. Aquí no hi ha un mètode predefinit per arribar a la solució. Fins i tot, d’entrada no tenim perquè saber el seu nivell de dificultat que pot anar de trivial a impossible. El problema generalment té una part d’exercici en la seva resolució, però amb un avantatge important, aquesta part d’exercici és útil a la vista de l’alumne, de la mateixa manera que pujar muntanyes és fer exercici, però amb una utilitat molt per damunt de pujar i baixar escales que també ens podria posar en forma però, al menys per a mi, seria massa avorrit. I, en aspecte psicològic, s’aprèn més de la necessitat que no pas de la obligació imposada arbitràriament.

En aquest bloc i en altres mitjans, aniré desenvolupant aquesta dicotomia problema exercici. Amb un un incís previ: que molt sovint els problemes que proposo siguin de caire matemàtic, no vol dir de cap manera que vulgui incidir específicament en l’estudi d’aquesta matèria, vull incidir en uns procediments útils per a qualsevol activitat, fins i tot l’estudi de les matemàtiques. L’explicació és que amb elements elementals comunament associats a aquesta matèria es poden plantejar problemes subtils o complexos a partir de molt poques dades, cosa que en altres àmbits, posem la literatura, la geografia o la història, requereix moltíssima més cultura o informació prèvia: per saber quin és el nombre més gran que escrit en català no repeteix cap lletra, només cal saber comptar; per saber quina és la població de Catalunya amb les mateixes condicions, cal tenir, físicament o al cap, una llista amb molts centenars de noms, deixant de banda que pràcticament l’únic mètode per esbrinar-la, serà la força bruta, repassar tota la llista i trobar el resultat; amb els números, es poden idear mètodes que no impliquen, ni de lluny, comprovar-los tots fins trobar el bo. De totes maneres alguns problemes que he treballat són d’un caire no matemàtic o lògic, per exemple identificar una fotografia, de totes maneres, en general, cal accedir a grans bases de dades gràfiques.

Acabo amb el títol de l’entrada.

Sovint, quan proposo problemes, sigui a joves o sigui a adults, la resposta que n’obtinc és:

—A mi, això no m’ho han ensenyat a fer.

Cosa que és absolutament certa, però l’inconvenient és que no han après gaire a solucionar problemes, que és el que es trobaran a la vida real, sinó simplement a fer exercicis amb l’esperança, que en general crec vana, que així aprenen a resoldre problemes.

Encara que segurament és el mateix sentiment que té una persona sense gaire forma física al peu d’una gran muntanya:

—Pujar allà dalt (o pensar el problema), deu ser molt cansat.

I un exemple per acabar, quin és el següent element de la sèrie? (aplicant la navalla d’Occam, cal cercar una lògica senzilla):