Sempre m’han agradat els problemes que sembla que no hi ha prou dades per resoldre’ls o que n’hi ha que a primera vista semblen irrellevants. Avui en proposo dos.

El primer problema me’l van posar quan anava a escola —un company, no pas el mestre que aquestes coses no les feien gaire—. L’he tornat a veure una infinitat de vegades, fins i tot en textos de fa més de cent anys, per a mi és un clàssic. Com molts problemes d’aquesta mena, es presenta en forma de diàleg entre dues persones que es suposen lògiques i sense errors de càlcul.

—Jo tinc tres filles.
—I quines edats tenen?
—Si les multipliques et resulta trenta-sis.
—Amb això no puc esbrinar les edats.
—Et puc dir que si les sumes, obtindràs aquest número que està escrit aquí.
—Amb això tampoc no puc esbrinar les edats.
—La gran toca el piano.
—Ara sí que sé les edats.

Quines són les edats de les tres filles.

❀ ❀ ❀

El segon problema és meu i se’m va acudir fa uns dies mentre examinava unes dades que ja tenia des de feia molts anys, sobre els nombres escrits en català. He de reconèixer que el podria estendre a nombres més grans, potser i tot fins l’infinit, però tal com el tinc ara crec que ja és prou interessant. Com la majoria dels problemes relacionats amb l’escriptura en lletres dels nombres, és intraduïble. A més, faig servir unes poques convencions arbitràries per tal de no convertir-lo en un problema múltiple sense valor afegit: així cada nombre s’escriu exclusivament d’una sola manera.

• Ens referim exclusivament als nombres naturals, ni fraccions, decimals o negatius.
• Emprem sempre la forma «un» en detriment d’«u».
• També sempre el masculí, ni «una» ni «dues».
• Tampoc variants dialectals.
• Els guionets d’alguns nombres no compten.

—Tinc escrit un nombre natural, en lletres i en català, en un paper dins d’aquest sobre. L‘has d’esbrinar.
—Em pots donar alguna pista?
—És menor que deu mil.
—Amb aquesta pista no en tinc prou.
—Si et dic la divisió entre el nombre de consonants i de vocals que he fet servir, sí que podràs trobar quin és.
—No cal que em diguis el resultat, ja sé quin nombre has escrit.

Quin és aquests nombre?

Radical ho empro aquí en sentit d’anar a l’arrel, de cercar solucions no a base de canviar els detalls concrets, sinó en la manera global de fer des del començament.

❀ ❀ ❀

Encara que no explícitament, de ben petit vaig veure la diferència pedagògica entre posar problemes i exercicis.

Un dia, a classe, a l’edat que es suposava que els nens havien d’aprendre a multiplicar per diverses xifres una vegada assolides les taules, el mestre ens va posar una sèrie de multiplicacions. Eren d’un quadern que començava amb les més senzilles d’una sola xifra fins arribar a algunes de molt grosses a les darreres pàgines. En aquell cas ens va fer fer com una dotzena de multiplicacions entre nombres, crec recordar, de tres xifres.

Feia anys que en sabia fer, i les vaig fer molt més ràpid que el que el mestre esperava. Quan em vaig aixecar i li vaig dur el quadern, ell ràpidament va consultar «el quadern del mestre» on estaven resoltes totes les multiplicacions i, aproximadament, em va dir:

—Molt bé, molt bé. Vinga! mentre els teus companys acaben la feina, tu pots fer aquesta dotzena més de multiplicacions.

Vaig deduir ràpidament que no era bo que el mestre sabés que multiplicava més ràpid que els altres.

I intuïtivament vaig anar pensant que fer exercicis d’aquella mena no em servia de res, ja era prou ràpid, exacte i ni tan sols amb multiplicacions de les grosses hagués après res de nou, ja en sabia fer. Però omplir el quadern era una rutina, com la majoria de les activitats de l’escola, per la qual s’havia de passar independentment de que servís o no. Per cert, que va ser a conseqüència de l’episodi dels exercicis extres que vaig decidir, per pura revenja, que a partir d’aquell moment, tots els exercicis d’aritmètica de deures a casa, els faria amb la calculadora —una Brunsviga— que tenia el pare, copiant els resultats sense fer realment l’operació. I no, treballar amb calculadora molt abans de l’arribada de les electròniques no em va representar cap minva en la capacitat de calcular de memòria o a mà.

Calculadora com la que feia servir per fer les operacions dels deures. No és la original i funciona perfectament.

A canvi de l’exercici de multiplicar, per a mi, fer-ho a màquina sí que va resultar un problema interessant i emocionant: aprendre a fer funcionar la Brunsviga —sense instruccions— amb agilitat i precisió i, encara més, entendre com s’ho feia per multiplicar o dividir. Cada pas que aconseguies en aquests sentits, tenies una gran satisfacció.

Certament que alguna vegada a l’escola hi apareixia un problema, definint-lo com una activitat que no es podia resoldre aplicant maquinalment unes regles més o menys explícites. Però poques, i en ocasions em resultava un problema senzillament perquè volia veure si em sortia per mètodes totalment diferents als que ens havien explicat.

Se’m pot dir que la majoria dels nens no eren com jo. Probablement era cert, però malauradament crec que ho era perquè ja els havien matat la curiositat.

I fer molts exercicis és una bona manera de matar la curiositat.

Molts anys més tard, em vaig dedicar a recopilar problemes, naturalment que dels temes als que era més aficionat. I més endavant en vaig començar a crear de propis. La majoria amb nombres o geometria elemental, o sigui que no cal gaire cultura específica pròpia per resoldre’ls com seria el cas de problemes sobre literatura on cal normalment conèixer un corpus gran d’elements per poder-hi treballar. De totes maneres, des que hi ha internet, en tenir a l’abast bases de dades, en sentit genèric, molt més grans que els llibres que hom pot consultar habitualment, he anat introduint altres temes, com el de la localització geogràfica.

Problema meu: cal trobar quina xifra representa cada lletra per tal que la suma sigui correcta. La solució és única

Potser sí que sé crear problemes, però altra cosa és introduir la pedagogia del problema a l’ensenyament. Potser el que jo faig és el primer pas més fàcil.

El problema s’adapta malament al sistema usual. Per una banda, el temps necessari per resoldre’l —i amb resultats pedagògics similars— pot anar de pocs minuts a molts dies de reflexió, cosa que no agrada gens a l’hora de fer una programació. Sobre això apunto a alguna solució, com a la vida real, de problemes en podem tenir diversos simultàniament, i no tots estar al nostre abast o fins i tot no tenir solucions. A l’escola no s’haurien de proposar problemes d’un en un i no passar al proper fins acabar el precedent, sinó tenir una sèrie de problemes en curs i no demanar la solució sistemàtica de tots ells. En la pedagogia del problema hi entra l’efecte eureka, la gran satisfacció d’haver solucionat quelcom per compte propi, però no es pot comptar que hagi de ser sempre així, molts problemes s’assoleixen més aviat per l’efecte «merda: hauria d’haver vist abans això —per exemple en rebre una pista— i m’hauria estalviat molta feina, m’ho apunto».

Sovint es critica que els problemes són «d’idea feliç», com si això fos una cosa que algunes persones tenen i altres no, amb un alt component d’atzar. Fals, qui practica i avança en la resolució de problemes, és precisament qui té les idees felices. Quan hom no sap per on agafar el problema i confia que li caigui la inspiració del cel, va pel mal camí. Mai no em va agradar el mètode d’Edison que deia que els seus invents eren un 1% d’inspiració i un 99% de transpiració, traspuava la idea de la rutina i, en definitiva, la va formular una persona que mai no va arribar a entendre el corrent altern o molts altres conceptes bàsics de la ciència o enginyeria, per molt que fos un gran venedor. En pedagogia crec que el que interessa és comprendre i assumir els conceptes bàsics.

Per altra banda, a nivell operatiu, els problemes són molt més difícils de corregir que els exercicis on només cal veure si es mantenen dins el patró. Probablement s’hauria d’escriure una guia d’avaluació una vegada provat el problema i vistes les diverses possibilitats que se li acudeixen als que l’intenten fer.

També hi ha la qüestió que algunes vegades els problemes tenen una clau, coneguda la qual passen a ser molt més fàcils. Això obliga a pensar sistemes on no sigui fàcil cercar a internet o passar la clau als companys. De totes maneres hi ha molts problemes que no depenen d’una clau d’aquesta mena, per exemple el de la suma que poso a la il·lustració, solucionar-lo són una sèrie de passos successius cap d’ells especialment determinant; en aquest cas concret el perill és que trobin la solució per internet, que poc o molt els meus escrits i problemes corren. Per emprar-lo més enllà del exemple, en caldria un de similar però inèdit, que també en tinc molts i sé com generar-ne més.

Sovint se’m diu que per alguns alumnes aniria bé, però que la majoria no serien capaços gairebé mai de fer un problema que passi de trivial que s’encallarien. Segurament si partim d’alumnes que ja han assumit el sistema actual, pot ser cert. Però per culpa d’un mal sistema no podem hipotecar el que hauran de fer els que vinguin a continuació. La transició hauria de ser començant pels petits. I la resolució dels problemes no s’ha d’esperar que aparegui per generació espontània, cal per part del mestre anar introduint pistes fins, o gestionar les pistes que puguin generara alguna alumnes en benefici d’altres. Tot això fins fer el problema assequible per a la majoria i poder avançar cada vegada més en altres problemes que hi presentin similituds o estratègies parcialment comunes.

Finalment hi ha la qüestió que «pensar cansa molt». Sí, això és cert sobre tot per a qui no ho fa mai, és com pujar una muntanya. Però la psicologia subjacent al sistema escolar imperant, fa que avorrir-se no es consideri cansat ni molest, sinó que formi part de la normalitat. És com si implícitament es donés per bo que els nens, quan siguin adults hauran de fer feines avorrides i que hauran d’haver estat ensinistrats per no adonar-se’n o, en tot cas, no protestar.

I per cert que les feines tipus «exercici», són de les que els ordinadors o els robots eliminaran primer.

Aquí deixo vuit enllaços a entrades anteriors del bloc amb problemes de collita pròpia, de diferent temàtica i nivell.

•1•   •2•   •3•   •4•   •5•   •6•   •7•   •8•

Bon Nadal a tots els lectors.

Malauradament vaig curt de temps i no he sabut inventar una entrada nadalenca, avui en poso una, en forma de diàleg, de les que tenia «en conserva».

—Avui, a classe de didàctica de les matemàtiques ens han posat un problema curiós —em va dir un dia la meva filla en tornar de la facultat fa una dotzena d’anys.

—Quin problema?

—Hi ha un hotel amb 1000 cambres numerades de l’1 al 1000 amb les portes tancades. 1000 cambrers passen successivament per totes les portes. El primer d’una en una, si la troba tancada l’obra i si és oberta, la tanca. El cambrer número dos, començant per la segona, passa les cambres de dos en dos fent el mateix. El tercer cambrer, igual però començant per la cambra tres i anant de tres en tres. I així fins el cambrer 1000 que va directament a la porta 1000 i la canvia. La pregunta és: quantes portes queden obertes al final?

Foto feta des d’Eina, a uns 5 km en línia recta de l’hotel de Font Romeu, a la Cerdanya, que va ser el de la primera estació d’esquí dels Pirineus. Té una certa retirada al de «The Shining», la pel·lícula de Kubric.

—Mira: és molt fàcil —vaig dir immediatament parlant sense pauses.
»El cambrer 1, canvia totes les portes que siguin múltiples d’1. El 2, totes les múltiples de dos, les parells. El tres les que duen un nombre múltiple de 3. I així fins el cambrer 1000 que només canvia la porta 1000.
»Cada porta canvia un nombre de vegades igual al de divisors del seu número.
»Les que canviïn un nombre parell de vegades restaran tancades al final; les que el nombre de canvis —que és el de divisors— sigui senar, quedaran obertes.
»En general un enter té un nombre parell de divisors, per exemple en el cas del 12 els podem agrupar per parelles que multiplicades ens donen precisament 12: 1 × 12; 2 × 6; 3 × 4, i ja està, tres parelles, sis divisors.
»Però tots els enters són així? No, si un és quadrat perfecte, la seva arrel quadrada queda desaparellada, per exemple el 36: 1 × 36; 2 × 18; 3 × 12; 4 × 9 i ens resta el 6 que formaria parella amb ell mateix.
»I quants nombres quadrats hi ha fins a 1000? La part entera de l’arrel quadrada de 1000 que és 31.

Ho vaig trigar ni un minut en dir tot això.

—Tu ja sabies el problema, oi? —va respondre la meva filla.

—Sí, clar, i la primera vegada potser vaig trigar una mica més d’un minut a resoldre’l, fins i tot recordo que vaig escriure alguna fórmula en un paper. Aproximadament va ser:

»Raonem a partir d’un exemple, pensem, per exemple, amb la porta 12. El primer cambrer la canviarà ja que les canvia totes; el segon també ja que passa de dos en dos, o sigui que canvia les portes 2, 4, 6… i la 12 cau en la seqüència; el tercer canvia 3, 6, 9, 12… també; el quart 4, 8, 12, també, el cinquè 5, 10, 15… no; el sisè 6, 12… sí; del 7 a l’onze passa de llarg; el cambrer 12 torna a canviar la porta, precisament la primera que canvia; a partir d’aquí, ningú no torna a tocar la porta 12. La conclusió és fàcil, la porta 12 s’ha canviat quan hi han passat els cambrers 1, 2, 3, 4, 6 i 12, en tres paraules, els divisors de 12. Si el nombre de cambrers que canvien la porta és parell, al fina quedarà tancada, i si és senar, oberta.
»I quins nombres naturals tenen un nombre senar de divisors?
»La fórmula, al menys jo me la sé de memòria des que em van ensenyar a descompondre un nombre en factors primers. Si un nombre natural n té una descomposició: p^a × q^b × r^c × s^d… on p, q, r, s… són els factors primers i a, b, c, d… els respectius exponents —ho escric així perquè aquí no puc posar-hi ni superíndexs ni subíndexs—, el nombre de divisors del nombre ve donat per la fórmula (a + 1) × (b + 1) × (c + 1) × (d + 1)…
»A veure, per que aquest resultat sigui senar, ho han de ser tots els termes que multipliquen, i com que tots són de la dorma x + 1, resultara que a, b, c, d… que són els exponents que apareixen a la descomposició de n, són tots parells, i es poden dividir exactament per dos. Aleshores el nombre: p^(a/2) × q^(b/2) × r^(c/2) × s^(d/2)… serà un enter i també l’arrel quadrada de n. O sigui que n és un quadrat. Només els enters quadrats tenen un nombre de divisors quadrats.
»La conclusió és que totes les portes quedaran tancades llevat de les que portin un nombre que sigui quadrat perfecte. I quantes n’hi ha? Si el quadrat de 1000 és 31 i escaig, ja que el quadrat de 32 és 1024 i es passa, restaran exactament 31 portes obertes. La resta, que corresponen a enters no quadrats amb un nombre de divisors parells, quedaran tancades.
»Clar que una vegada fet aquest raonament, que és més ràpid fer-lo de cap que escriure’l o llegir-lo, vaig buscar una simplificació que és la que t’he explicat al començament, sense necessitat de recordar la fórmula del nombre de divisors.

No sé com li va anar quan va tornar a classe d’aquella assignatura, l’únic que recordo és que, a final del curs, va treure matrícula d’honor. Com el seu germà en càlcul d’una carrera de ciències. No crec que sigui genètic, hi ha coses que s’encomanen d’altres maneres.

Des de molts punts elevats i relativament prop de la costa del Principat de Catalunya, és ben sabut que si les boires no ho impedeixen, es pot veure per damunt del mar la serra de Tramuntana de Mallorca, i també en sentit contrari. I això és possible ja que hi ha una línia de visió directa que passa per damunt de la superfície del mar.

Per exemple des del cim de Collserola, a 512 metres sobre el nivell del mar, es veu perfectament Puig Major, de 1436, a una distància de 185 km. De fet es veu un bon tros de la muntanya per damunt l’horitzó marí, no tan sols el cim.

Naturalment, com més alta és una muntanya, des de més lluny es pot veure.

I el càlcul d’aquesta distància es podria fer per geometria elemental. Per simplificar, suposem que la volem veure des d’un punt situat a nivell del mar. A l’esquema suposem que volem saber quina alçada h ha de tenir una muntanya, marcada en verd i amb el cim a B, per ser visible des del punt A a nivell del mar. Si anomenem O al centre de la Terra, que per a aquests càlculs podem suposar esfèrica de radi r = 6371 km, veiem que el triangle OAB és rectangle de costats r, d i r + h. Aplicant el teorema de Pitàgores tenim que r² + d² = (r + h)². I desenvolupant una mica: r² + d² = r² + 2hr + h²; restant r² d’ambdós costats de l’expressió: d² =2hr + h².

Esquema de la Terra amb una muntanya d’alçada h que es pot veure des d’un punt A situat a una distància d

Amb això podem calcular que, per exemple, si l’alçada h de la muntanya són 3000 metres, d² = 2·3· 6371 + 3². I fent els càlculs corresponents resulta que d² = 38325; i d = 195,53 km.

Ara passem a un cas concret, a la imatge hi veiem dues fotos de la mateixa muntanya fetes aproximadament des de la mateixa direcció. La de la dreta és meva des d’uns 40 quilòmetres del cim de la muntanya; la de l’esquerra, és una foto lliure extreta de la Viquipèdia, està presa amb un potent teleobjectiu des d’una ciutat a una mica més de 250 km en línia recta de la muntanya. Si una muntanya de 3000 metres, hem calculat abans que es pot veure des de 195 km, una que es pugui veure des de 250 quilòmetres ha de ser força més alta, concretament segons la formula, uns 4900 metres, més que el Mont Blanc dels Alps que en fa 4808.

Muntanya incògnita observada des d’un punt llunyà i des de més prop. Fotos de la Viquipèdia i meva.

Però la muntanya no és tan alta, de fet ni tan sols arriba als 3000 metres.

Con és possible, doncs, que es pugi veure, i no tan sols el cim sinó un bon tros més, des d’un punt al nivell del mar a 250 km?

On hi ha la trampa, si és que és una trampa?

La segona qüestió és quina és la muntanya i quina la ciutat a ran de mar des d’on s’ha fet la foto on sobresurt per damunt l’horitzó?

A la Galàxia hi ha grans núvols de gas i pols. Fa 4650 milions d’anys, en un d’aquests núvols, una part es va desestabilitzar, la densitat va augmentar i en augmentar també ho va fer la gravetat que, al seu torn, va fer caure més gas i pols sobre la zona, desencadenant un procés que hauria estat imparable si res no l’hagués aturat i tornat a un equilibri diferent.

Què va aturar el col·lapse del núvol?

La zona central, a més de ser la mes densa, també va ser la més calenta. La compressió del gas, al igual que quan inflem una roda, l’escalfa. I com més gas absorbia la gravetat del centre, més s’escalfava fins posar-se incandescent. Aquesta incandescència va provocar un gran flux d’energia en forma de llum —i altres radiacions infraroges o ultraviolades— que va començar a incidir sobre el gas que queia, fins el punt de donar-li un impuls cap a l’exterior superior a la gravetat.

Havia nascut el Sol i ja no anava acumulant més matèria.

La major part del material de núvol es va condensar en l’esfera del Sol, que en aquells temps era inestable, com les estrelles conegudes per t Tauri, però una part hi va que dar en òrbita sense arribar-hi, per un mecanisme ben conegut: El núvol aïllat havia de conservar el seu moment angular, de la mateixa manera que l’aigua de la pica quan traiem el tap. Com més es condensava, més ràpidament girava i les parts més externes van acabar format un disc giratori, a la manera d’uns gegantins anells de Saturn.

En aquest disc, la pols es va anar condensant en grans cada vegada més grans. El gas va ser escombrat de les zones més internes per la pressió de la radiació solar. I a partir d’aquí, es van començar a condensar els planetes. Prop del sol el material preponderant eren els silicats, els òxids metàl·lics i el ferro que no s’havia pogut combinar amb l’oxigen per fer òxid. A la zona més llunyana la temperatura era prou baixa perquè l’aigua formés gel. amb una gran abundància d’hidrogen, l’oxigen, el carboni i el nitrogen s’hi van combinar i l’aigua, els hidrocarburs i l’amoníac resultants es van congelar en forma de grans sòlids.

El material condensat, anava creixent per contacte a baixa velocitat de les partícules de la zona. Primer van ser grans microscòpics, més tard van anar creixent fins a centenars de metres. O aleshores es va produir un nou efecte, aquestes condensacions, que s’anomenen protoplanetes, tenien gravetat i van començar a atreure’s mútuament. Al principi lentament, en col·lisions que acumulaven els dos protoplanetes, però a mesura que creixien, per una banda la seva gravetat era més gran i per altra queien des de més lluny i amb més velocitat d’impacte. En aquests impactes part del material «esquitxava» i tornava a formar cossos més petits, i l’altra s’escalfava molt per l’impacte. Quan els protoplanetes van assolir uns mil quilòmetres, els impactes eren prou forts com per poder provocar la fusió, al menys parcial, dels cossos impactants. I en una massa líquida els materials més densos van cap al centre.

De la matèria que formava els grans primitius de la zona interna del sistema solar, el material abundant més dens és el ferro —i alguns metalls com el níquel que s’hi barregen fàcilment—, o sigui que va anar a parar al centre dels planetes en formació, arrossegant en el camí altres elements fàcilment solubles en ferro com l’or o els del grup del platí, i també el sofre que era abundant i té força afinitat química pel ferro. Les altres partícules abundants eren de silicats i òxids, que van fer capes al voltant del nucli de ferro.

En un període relativament curt en termes astronòmics, a la zona interna del sistema, la gran majoria del material s’havia acumulat en quatre cossos —planetes— Mercuri, Venus, la Terra i Mart. La Lluna és una altra història, fruit d’un dels darrers impactes de protoplaneta gran contra la Terra.

Amb posterioritat aquesta planetes van adquirir atmosferes i aigua procedents de les zones més exteriors del sistema solar, allà on l’aigua i altres volàtils s’havien pogut condensar.

Mentre això començava a passar, lluny del Sol, els protoplanetes també es van anar condensat, però allà la composició era diferent, hi havia molta més aigua i compostos lleugers. I també encara quedava molt del gas primordial. Quan els protoplanetes van tenir prou gravetat, van començar a atreure l’hidrogen i l’heli que eren sobreabundants i van créixer bàsicament a partir d’aquests dos elements, Així es van formar Júpiter i Saturn. També Urà, Neptú i possiblement alguna altre planeta de mida similar format bàsicament per gels, sense una proporció tan aclaparadora de gas.

Júpiter, que pesa més que tots els altres planetes junts, va tenir prou gravetat per atreure una ran part del material que quedava entre ell i la zona on s’estava formant Mart. El material que va quedar, va restar en forma de protoplanetes petits, d’uns centenars de quilòmetres màxim. Són els anomenats asteroides del cinturó principal.

Però ens han permès descobrir una pregunta inicial:

Per què es va desestabilitzar el núvol de gas i pols que va donar origen al Sistema Solar?

Aquests protoplanetes eren, en principi, massa petits per poder-se fondre en els impactes i generar un nucli de ferro. Però l’observació de meteorits provinents d’aquella zona ens mostra que molts d’elles estan diferenciats, amb nucli de ferro. O no tan nucli, en alguns casos els impactes, que no podien fondre l’asteroide, si que el podien trencar deixant fragments, uns fets de silicats, i altres de ferro. Alguns asteroides són clarament nuclis metàl·lics d’un anterior diferenciat, és el cas de Psyche, un asteroide de més de 200 km, format molt majoritàriament per metalls, bàsicament ferro.

I com es van poder formar aquests nuclis de ferro si l’energia dels impactes no era prou per fondre l’asteroide?

La nebulosa del cranc, restes d’una explosió de supernova i l’asteroide 4 Vesta, de 500 km i que té un nucli diferenciat de ferro. Fotos del telescopi Hubble i de la sonda Dawn de la NASA

El mecanisme que s’ha descobert per explicar-ho, ens explica també com es va desestabilitzar el núvol solar primordial.

La resposta és l’alumini 26.

A més dels impactes i la compressió gravitatòria, l’altra font de calor coneguda en un planeta és la radioactivitat. Però hi pot haver prou material radioactiu per generar prou calor per a poder fondre l’interior d’un protoplaneta de menys de 1000 km?

Actualment, els elements radioactius a la terra com l’urani el tori o el potassi 40, són poc abundants i amb activitats baixes. Quan es va formar el sistema solar, d’urani n’hi havia el doble, i de potassi 40 unes tretze vegades més abundant, però ni així generaven prou calor com per fondre un nucli asteroidal.

Podia existir algun altre element radioactiu de vida curta, actualment ja desaparegut, que generés més calor?

De vida molt curta no podia ser, fins que no es van començar a formar asteroides d’una mida relativament gran, van passar diversos milions d’anys, una substància tipus carboni 14, amb una semivida de 5700 anys, s’hauria ja exhaurit totalment. Tenia que ser un isòtop amb un període de semidesintegració d’entre mig milió i deu milions d’anys, per tal que encara n’hi hagués prou, tingués prou activitat i que actualment ja no en quedi. A més, raonablement n’hi hauria d’haver una certa quantitat al núvol inicial.

I resulta que pràcticament l’únic isòtop que reuneix els condicions és l’alumini 26. Actualment, al sistema solar, pràcticament ja no en queda ja que cada 700000 anys la meitat es desintegra en magnesi 26. Generant calor, com totes les desintegracions radioactives.

Però si l’alumini 26 és una substància que en terminis de milions d’anys es desintegra gairebé del tot, com n’hi podia haver en el núvol da gas i pols on es va formar el sistema solar?

La resposta evident és que s’havia format feia poc.

I on es pot formar alumini 26?

En les explosions d’estrelles massives en forma de supernoves.

Perquè encara en quedés al núvol, l’explosió havia hagut de ser d’una o diverses estrelles del propi núvol, condensades abans que el Sol. I precisament les ones de xoc de les explosions de supernova, comprimeixen el material circumdant tot fent que pugui col·lapsar per la gravetat i donant naixença a altres estrelles, com el Sol i el seu sistema planetari.

O sigui que l’existència de ferro en forma metàl·lica condensada en asteroides del cinturó principal, és la pista crucial sobre com va començar la història del nostre sistema.

Com en Sherlock Holmens, una mica de deducció i molta inducció, encara que això darrer normalment no es reconeix tant.

Avui, quan escric que és 21 de desembre de 2019, fa exactament cinquanta anys de l’enlairament de l’Apollo 8, la primera nau tripulada que va anar a la Lluna. No hi va allunar, va arribar a la seva proximitat, hi va fer deu òrbites i va tornar a la Terra. Els tres tripulants de la nau, són l’única tripulació dels Apollo que són tots tres vius amb 90, 90 i 85 anys. I són vius perquè tot, gairebé tot, va sortir bé.

No les tenien totes: No s’havia fet un assaig sense tripulació del vol. La càpsula Apollo, només havia volat una vegada amb tripulació en òrbita terrestre. El coet Saturn V, era la tercera vegada que volava, però la segona havia tingut uns greus problemes que haurien abocat la missió a una catàstrofe. Un enginyer de la NASA, a pilota passada, va comentar que creia que la missió només tenia un 50% de probabilitats d’acabar bé. Cal recordar aquí que si l’accident de l’Apollo 13 els hagués passat a ells, no se n’haurien sortit, els tripulants del 13 van sobreviure perquè van poder emprar els sistemes de suport vital, electricitat, oxigen, depuració de l’aire i aigua del mòdul lunar, però en el vol d’Apollo 8 no en tenien.

Del primer incident del vol, en aquells moments no se’n va fer publicitat. El comandant Borman, tot i que ja havia volat a l’òrbita terrestre prèviament, va tenir un atac de mal de l’espai amb vòmits i diarrees. A la terra, en el pitjor dels casos, tot això cau a terra, però sense gravetat… es veu que no van comunicar el problema a la Terra fins haver-lo solucionat, en la mesura del possible.

Foto de la Terra sobre la Lluna, presa per William Anders el 1968. Posada per la NASA en domini públic.

De cara al públic, potser el més interessant d’aquella missió va ser la foto que Anders va prendre de la Terra emergit de l’horitzó lunar, més o menys quan es reemprenien les comunicacions amb la càpsula. Val a dir que quan sobrevolaven la cara oculta de la Lluna, i ho van fer deu cops, no tenien sistema de comunicació.

Durant gairebé 50 anys, sempre ha estat així, no hi ha comunicació des de la cara oculta de la lluna. Fins que els xinesos van posar en òrbita la sonda Queqiao, en una òrbita anomenada d’halo a l’entorn de l’anomenat punt de Lagrange L2 de la Lluna, que està 65000 km més enllà vist des de la Terra. Aquest satèl·lit com a primera missió tindrà la de fer d’enllaç amb Chang’e 4 que allunarà a la cara oculta, precisament en la zona més profunda de la Lluna, al fons de la conca Pol Sud-Aitken.

Tota aquesta història m’ha fet recordar la història fictícia d’Hergé de l’any 1952, dins les aventures de Tintin en els volums «Objectiu: la Lluna» i «Hem caminat damunt la Lluna».
Els dos àlbums són prou divertits però em vull centrar en les errades tècniques que a primera vista recordo.

La primera és la disposició dels viatgers en lliteres bocaterrosa. És gairebé la pitjor possible per resistir una acceleració forta. No és d’estranyar que tots perdessin el sentit en enlairar-se el coet.

Un altre problema és més estructural. Als àlbums figura que el coet està tot el viatge amb el motor en funcionament, la primera meitat accelerant i la segona frenant. Això donaria gravetat artificial als astronautes, llevat dels moment de les maniobres, per exemple el canvi d’orientació. Però no és possible de cap de les maneres. Fins i tot imaginant que amb el motor atòmic disposem d’una quantitat il·limitada d’energia, del que no és pot disposar és d’una massa il·limitada de material per ejectar amb el motor. Amb una acceleració mínima que permetés caminar als viatgers, posem-hi 0,1 g, les lleis de la física començant per la conservació del moment, ens indiquen que la massa a ejectar hauria hagut de ser milers de vegades superior a la que cap dins d’un coet d’aquella mida. Llàstima.

Un viatge a la Lluna ha de ser com el d’Apollo 8 o quasi, la major part del trajecte amb vol balístic sense motors en marxa o, en tot cas, amb una acceleració molt petita, que no faria efecte de gravetat a l’interior de la nau.

Una altra errada és l’encontre amb l’asteroide Adonis. Deixant de banda que l’aproximació màxima entre Adonis i la Terra és més de quatre vegades la distància de la Lluna, o sigui que mai ens el podríem trobar en un viatge al nostre satèl·lit, la velocitat de l’encontre seria al menys d’uns 4 km/s, probablement força més, o sigui un vist i no vist. També la gravetat d’un cos mida Adonis és insignificant per atreure el capità Haddock o el propi coet. Aquesta errada l’he vist repetida en pel·lícules modernes de pretesa ciència-ficció, en general, si no és buscant un encontre deliberat en la mateixa òrbita, dos objectes a l’espai es mouen en velocitats relatives de, com a mínim, quilòmetres per segon.

Una altra errada, al final. Quan figura que se’ls exhaureix l’oxigen, els símptomes dels viatgers són els de la intoxicació per diòxid de carboni, que és el que causaria la mort d’algú tancat amb un espai petit sense subministrament d’aire fresc. En submarins i naus espacials, el diòxid de carboni emès per la respiració es captura químicament amb un hidròxid alcalí, de sodi en el submarins, pel seu baix cost, o de liti en les naus espacials pel seu poc pes. Cas que en una nau espacial s’acabi l’oxigen, el problema és l’anòxia, de la qual els astronautes no en serien pràcticament conscients, s’adormirien i es moririen però sense sensació d’ofegar-se, potser amb alguna al·lucinació quan comences a minvar l’oxigen.

Sovint em diuen que molts dels problemes heurístics que elaboro, són massa difícils, que ningú no ha explicat als seus receptors com es resolen.

Evidentment, si l’objectiu d’un d’aquests problemes és precisament trobar, via assaig i error, un procediment raonable per resoldre’l no és pot explicar el sistema precís, el problema s’hauria convertit en un exercici que és precisament el que vull evitar.

Però a vegades, fins i tot explicat o esbossat el procediment, resta encara una mica de problema, en el sentit de trobar com completar tot el procediment evitat errades, per exemple omissions o duplicacions.

També em diuen que sempre els faig sobre temes similars i és en part cert i en part fals. Cert en el sentit que sovint treballo amb peces com les polifigures, com aquí, els nombres o la lògica, però fals en que no són temes exclusius, a vegades, per exemple empro fotografies o mapes com a base pels problemes. Que no faig servir la literatura? Per dos motius: segurament no en sé prou i tampoc no puc pensar que els destinataris dels problemes tinguin fàcilment prou dades a l’abast per poder resoldre problemes «literaris» amb una certa complexitat. Hi ha també els problemes lèxics, que en general no practico, però estan normalment adreçats a ampliar els coneixements de llengua, no al meu objectiu primari que són les tècniques de pensament i resolució.

Avui seguint amb els temes en que em trobo més còmode, plantejo un problema amb figures geomètriques elementals, quadrats i mitjos quadrats per la diagonal.

Partim de la figura de color rosa formada per un quadrat i mig quadrat tallat per la diagonal, en rosa, que apareix quatre vegades a l’esquerra de la il·lustració. És l’única figura possible amb aquestes dues formes contigües amb els costats «ajustats» que vol dir que un costat ha de coincidir exactament amb un altre costat igual de llarg. Aquesta figura té una àrea de 1,5. Aquí cal dir que considerem una figura igual a la seva imatge especular, si la tenim feta sòlida, la podem tombar cap per avall i continuarà sent la mateixa.

Afegint dos quadrats a la peça rosa de totes les maners possibles, generem 14 figures formades per tres quadrats i mig.

Ara, a aquesta figura d’àrea 1,5 li afegim un altre quadrat igual al primer de manera ajustada, de manera que formem una figura de 2,5. Això ho podem fer de quatre maneres diferents. que ens generen les quatre figures de color verd de la il·lustració, marcades amb les lletres a, b, c i d. Fixem-nos que la d és l’única que té un eix de simetria, concretament inclinat 45º.

Si continuem el procés d’afegir un quadrat, obtindrem figures amb una superfície de 3,5. Però aquí cal ser una mica més curós ja que, a banda de no ometre cap possibilitat, ens podem trobar amb figures duplicades.

Podem veure a la dreta de les quatre figures verdes, duplicats d’ella en taronja amb l’afegitó del quadrat blau en totes les posicions possibles. Cada forma està anomenada amb una lletra que correspon a la figura de 2,5 amb un número que indica cada posició.

Una vegada formades totes les figures possibles, cal veure si hi ha algun duplicat. Efectivament, ens en trobem alguns casos que els he marcat amb la vora vermella. Ens resten catorze figures diferents amb la vora negra, que són totes les possibilitats amb àrea 3,5 dins la lògica d’aquest problema. Aquí també podem veure que la figura c5 és l’única amb un eix de simetria, també inclinat 45º.

Fins aquí, relativament fàcil. El que és una mica més complicat, és generar totes les figures d’àrea 4,5 o 5,5 amb la mateixa tècnica o alguna altra que pugui ser més efectiva.Com a pista per a comprovar si s’ha fet bé la feina puc dir que de quatre quadrats i mig n’hi ha 54 i de cinc quadrats i mig 209.

Amb les catorze figures de 3,5, que naturalment cobreixen una àrea total de 14 × 3,5 = 49, es pot formar un quadrat. De moltes maneres diferents. Un càlcul aproximat em diu que d’unes 18000 formes diferents. No he vist mai el trencaclosques comercialitzat, potser perquè malgrat les moltes solucions és bastant difícil. La imatge és una vil falsificació fotogràfica del que voldria tenir.

Imatge a partir d’un joc infantil, les vores entre les tessel·les han estat eliminades amb l’ordinador, i els colors modificats per tal de tenir-ne 14 de diferents.

Sempre he pensat que aquest trencaclosques podria ser una decoració fàcil per el terra d’una plaça que es podria denominar oficialment o popular, la Plaça del Trencaclosques. I podria atreure turistes aficionats a questes coses… A veure si algun ajuntament es decideix, que la idea és de franc i el disseny està amb llicència lliure (cc, by, sa). Ep, i tinc més dissenys per l’estil, en dues dimensions per a terres o parets o en tres per a monuments variats.

En el camp educatiu, més enllà de generar les peces de manera sistemàtica, en principi amb paper quadriculat i llapis, hi pot haver la tasca de construir realment el trencaclosques, cosa que vol dir prendre decisions de compromís entre la facilitat i el ben acabat i utilitzable que quedi. Fer-ho amb paper, és molt fàcil, però el resultat és difícil de manipular i en respirar les peces poden volar. Fer-ho amb fusta, metall o plàstic… és més feina.

A la premsa, ocasionalment surten notícies sobre descobriments astronòmics, aquests darrers dies n’ha sortit una sobre l’objecte anomenat 2018 VG18

El primer nombre és l’any del descobriment, La primera lletra designa el mig mes: A = primera meitat de gener i així successivament ometent la «I». La segona lletra és l’ordre de descobriment dins el mig mes i va d’A a Z ometent la I, cada vegada que es superen 25 asteroides en aquell mig mes, s’augmenta el nombre final de la designació i es torna a la lletra A. Així, 2018 VG18 significa que l’asteroide es va descobrir la primera meitat de novembre de 2018 i que va ser el 7è —ordre de la lletra G— descobriment del cicle 19 —el primer cicle no duu nombre—, o sigui 7 + 18 × 25 = 467. Certament cada quinze dies es descobreixen milers d’objectes asteroïdals, o sigui que el darrer nombre pot ser força alt.

La denominació Farout, és senzillament un mot que li han atorgat els descobridors, sense validesa oficial, que quan l’òrbita de l’astre sigui prou ben coneguda, rebrà un nombre d’ordre entre els asteroides i un nom definitiu, en principi, pels astres descoberts en aquella zona, un nom mitològic relacionat amb els mites de la creació de qualsevol cultura.

De moment, de planeta res, ni tan sols sembla un planeta nan que és una definició molt menys restrictiva. Amb un diàmetre estimat de 500 km, difícilment estarà en equilibri hidrostàtic, que vol dir haver adquirit forma esfèrica per efecte de la pròpia gravetat, condició per a planeta nan.

Contínuament es descobreixen objectes transneptunians, alguns d’ells força llunyans i, necessàriament, de tant en tant se’n descobreix un que és el més llunyà fins el moment, o el que la seva òrbita el portarà un dia més lluny. La peculiaritat de 2018 VG18 és el cos que s’ha detectat més lluny fins ara, tot i que no és el que té l’òrbita que el durà més lluny del Sol, ni molt menys.

Plutó, Ceres, Vesta i 2018 VG18, aproximadament a escala, els dos primers són planetes nans. El darrer segurament és molt fosc, vermellós i, probablement, no esfèric. Imatges de la NASA via la Viquipèdia

El que sí que té un considerable interès és el fet que dels objectes amb òrbites més allargades i que van a parar més lluny del Sol, les seves orientacions estan molt més agrupades que si fossin cossos independents movent-se al atzar. Això podria indicar la presència d’un planeta llunyà, força més massiu que la Terra, que hagués pertorbat les seves òrbites. Però ni és segur que existeixi, ni s’ha detectat encara. Podria ser que un encontre proper del Sol amb una altra estrella, hagués alterat les òrbites d’aquests cossos, per exemple.

Segons la teoria més popular actualment sobre els planetes i cossos menors actuals, anomenada Model de Niça, alguns planetes de mides entre la Terra i Neptú, haurien pogut ésser expulsats del Sistema Solar o haver quedat en òrbites molt llunyanes. I serien molt difícils de detectar. Estem a l’espera que l’any 2020 entri en funcionament el Large Synoptic Survey Telescope que representarà un pas enorme en la possibilitat de detectar objectes llunyans del Sistema Solar.

❀ ❀ ❀

Una vegada escrit això, un company m’ha demanat més aclariments sobre com es podria descobrir aquest hipotètic planeta, i els copio a continuació:

Històricament, a la dècada de 1840, estudiant les desviacions del planeta Urà respecte l’òrbita calculada —i tenint en compte les pertorbacions que li produïen els altres planetes coneguts— es va poder determinar  la probable posició d’un planeta pertorbador desconegut. Curiosament dos astrònoms, un anglès —Adams— i l’altre francès —Le Verrier—, van fer els càlculs gairebé simultàniament, però en el cas de l’anglès els astrònoms que haurien d’haver fet les observacions per trobar el planeta, no van fer correctament la feina. En canvi, en el cas del francès, va passar les dades a l’observatori de Berlín que tenia mitjans bons per fer la recerca —precisament estaven fent un mapa d’estrelles de la zona—, i van trobar Neptú en la primera nit d’observació, a menys d’un grau de distància —com dues vegades el diàmetre de la Lluna— d’on havia calculat Le Verrier.

Però en el cas del possible planeta exterior, les coses són molt més difícils. En particular les distàncies implicades en les pertorbacions són centenars de vegades superiors, cosa que vol dir que la pertorbació és com a màxim 10000 vegades més petita. I més lenta, amb òrbites al voltant del Sol com a mínim unes deu vegades més lentes que les d’Urà, el temps d’observació per aconseguir el mateix arc d’òrbita amb la precisió requerida és al menys cinquanta vedades superior, de l’ordre del segle. Tan difícil i improbable és el càlcul de pertorbacions que es va per altres vies més estadístiques, calculant on seria més probable l’òrbita del nou planeta, per desprès intentar esbrinar quina posició concreta dins aquesta òrbita té actualment.

També cal dir que Neptú es veu perfectament amb uns binocles mitjans amb els que es poden observar uns 50000 objectes de brillantor similar, estrelles gairebé tots. En canvi, el possible nou planeta, requeriria un instrument de més de tres metres de diàmetre per poder ser captat i s’hauria de discriminar entre 10000000000 —deu mil milions— d’objectes celestes de magnitud similar, estrelles i galàxies llunyanes.

No sempre la geometria és abstrusa, a vegades hi ha teoremes que potser tenen una certa dificultat de demostració per a qui no hi està ficat, però que són de fàcil comprensió per a qualsevol.

Sí, qualsevol, fins i tot aquelles persones que afirmen que de matemàtiques no en saben gens i es consideren incapaces d’entendre-les, quan el que realment passa és que de petites els hi van ensenyar tan malament que encara estan atrapades en un embolic i tenen por de tornar a intentar comprendre-les. Encara que aquesta vegada no ho facin malament.

Aquí presento uns fets molt senzills de geometria, sense demostracions que em sembla que són fàcilment compressibles.

Una font inexhaurible de fets interessants són els triangles. Són una figura ben simple, però es poden plantejar innombrables qüestions sobre ells. Veiem-ne una de senzilla:

❀ Tracem un triangle qualsevol. Marquem els punts mitjos de cada costat —són els negres— i tracem les rectes que van des de cada angle al punt mig del costat oposat, en blau a la figura. Aquestes rectes s’anomenen mitjanes. Podem veure que les tres rectes coincideixen en un punt, però no és un cas especial del triangle que hem dibuixat, passa sempre per a qualsevol. Aquest punt marcat en blau, que sempre és interior al triangle, s’anomena baricentre, perquè coincideix amb el centre de masses del triangle suposant que és fet d’un material uniforme. A més, la distància del baricentre a cadascun dels vèrtexs és sempre el doble que la que hi ha entre ell i el punt mig del costat oposat.

❀ Ara, des dels punt mitjos dels tres costats, tracem la recta perpendicular al costat que passa per ells, en vermell a la figura. Aquestes rectes s’anomenen mediatrius, i les mediatrius dels tres costats també coincideixen en un punt, independentment de la forma del triangle. Aquest punt s’anomena circumcentre, ja que és el centre de la circumferència que passa pels tres vèrtex del triangle.

❀ Finalment, des de cada vèrtex tracem la línia recta perpendicular al costat oposat, anomenada altura, en verd a la figura. Un altre cop, les tres rectes coincideixen en un punt anomenat ortocentre.

I ara ve el més curiós, al menys per a mi: circumcentre, baricentre, i ortocentre estan alineats sobre una recta, anomenada recta d’Euler, marcada en negre a la figura, amb el baricentre situat entre els dos altres punts i, a més, la distància entre baricentre i ortocentre és el doble de la que separa el baricentre de l’ortocentre. Tot i ser uns conceptes fàcils, la geometria clàssica grega no coneixia aquesta propietat, va ser Euler al segle XVIII qui les va mostrar per primer cop. Com sempre passa amb matemàtiques, encara n’hi ha molt més; per començar podem dir que el centre de la circumferència que passa pels tres punts mitjos dels costats, també rau sobre la recta. I el centre de la circumferència que passa pels tres punts on les altures intersequen els costats, marcats en blanc a la figura, també, però és que resulta que coincideix amb la circumferència anterior.

Totes aquestes propietats es poden generalitzar a dimensions superiors, per exemple en els tetràedres, però resulta una mica massa complicat per a aquest article elemental.

Els nostres ulls són capaços de distingit els colors, és una obvietat, però tant el què és un color exactament com la manera com el detectem jo no ho són tant.
La longitud d’ona de la llum —o la freqüència que és el seu invers— és la base del color. La llum de longitud més llarga que podem veure, d’uns 700 nm la veiem vermella, longituds d’ona menors corresponen al taronja (600 nm), groc (580 nm), verd (540 nm), blau (470 nm) i violeta (400 nm), els colors de l’espectre. Però això són colors purs, els de la llum d’una sola longitud d’ona, com la que produeixen els làsers o els LED —no blancs—. La llum blanca, per exemple, és una barreja de llums de diverses, si barregem tots els colors visibles, la suma serà aproximadament blanca.

Aquí cal comprendre que la informació sobre el color concret d’una font de llum, és tot un espectre, una funció que ens diu quanta n’hi ha de cada longitud d’ona. Aquesta funció pot ser contínua, com la llum d’una bombeta d’incandescència, presentar bandes, com la d’un fluorescent o ser força discreta: només uns pics de colors concrets, com en alguna mena de LED blancs.

Però els nostres ulls no tenen capacitat d’analitzar aquesta funció, fonts de llum amb espectres diferents les podem veure exactament igual. Aquest fenomen és força conegut fins i tot pels nens, si sobre un paper guixem amb un llapis blau i al damunt amb un de groc, el resultat que veiem és verd. O el vermell i el groc que donen taronja o el blau i el vermell que fan violeta.

Això és el que s’anomenen colors subtractius. Si partim del full de paper blanc que reflecteix tots els colors de la llum blanca, quan guixem en blau estem fent minvar els colors més allunyats del blau a l’espectre, els que ens queden són bàsicament verds, blaus i violetes, havent eliminat vermells i grocs. Quan guixem en groc, estem eliminant els colors allunyats del groc: blau i violeta. Si guixem groc sobre el blau, els únics colors que ens resten són els verds.

I verds en plural, perquè a una determinada zona de l’espectre, subjectiva, l’anomenem verd, però comprèn colors diferents: des d’un verd grogós a un verd maragda que tira a blau.

Els artistes antics van descobrir aviat, experimentalment, que amb tres pigments, groc, vermell —o més exactament magenta—, i blau —més exactament cian— podien reproduir qualsevol color. Amb dos no n’hi havia prou i quatre no eren necessaris.

Molt més tard, al segle XIX, es va trobar un efecte similar sumant els colors, sobre una pantalla blanca a les fosques, hi projectem llum vermella, hi veurem una taca vermella, amb diversos o un sol dels colors que veiem vermells; sobre aquesta zona hi projectem llum verda,  la zona on es superposen la veurem groga. Aquí, també, amb tres colors podem reproduir aproximadament qualsevol color natural. Dos són insuficients i quatre són massa, o no. Amb quatre o més colors es poden aconseguir alguns colors que amb tres no, però són només uns pocs matisos.

Tres colors són suficients, en termes generals, per crear-ne qualsevol altre. I això és important, des del punt de vista de l’ull humà, i cal precisar: des del punt de vista de l’ull humà normal o majoritari.

És casualitat aquest nombre tres, és una propietat de l’univers com les dimensions de l’espai on vivim?

No, és una propietat de l’ull humà.

A l’ull hi tenim dues menes de cèl·lules sensibles a la llum; els bastonets, nombrosos i petits, són molt sensibles a la llum, es poden activar amb un sol fotó, de qualsevol longitud d’ona de les visibles, encara que la seva màxima sensibilitat està en la zona del verd blavós;  bàsicament no aporten informació de color i són més abundants a la perifèria que al centre de la retina. Tot i que n’hi ha més de 90 milions, no vol dir que els ulls humans es comportin com una càmera de 90 megapíxels, estan agrupats per zones que van a parar a una única neurona del nervi òptic, o sigui que la resolució global que ens proporcionen és molt més petita. Els cons són la segona mena de cèl·lules fotosensibles, necessiten força més llum per activar-se que els bastonets, però cadascun està connectat a la seva pròpia fibra nerviosa, en tenim uns 5 milions i ni ha —i això és essencial—, de tres menes.

Cadascun dels tipus de cons és sensible a una banda concreta de longituds d’ona degut a un pigment específic que contenen. Les bandes de sensibilitat van aproximadament del violeta al verd pels anomenats S —sensibles a les ones més curtes—, dels blau al taronja pels M i del verd al vermell pels L. Aquestes dues menes de receptor solapen força la seva sensibilitat, amb màxims respectius en el verd grogós i el groc.

Amb les intensitats relatives del senyal en cada mena de cons, obtenim la informació sobre el color. Així, si sols s’activen els L, estem veient un vermell, o si s’activen tots tres blau. Al cervell li arriben tres intensitats de senyal i d’aquelles dedueix el color. És per aquest motiu que només calen tres menes de llum per tal que sumades amb les adequades intensitats ens proporcionin la sensació de qualsevol color. És per això que no podem distingir una barreja de vermell i verd d’un groc monocromàtic, totes dues llums activen els cons en les mateixes intensitats globals.

Però no tots els animals amb ulls són igualment sensibles al color. Molts de nocturns o que viuen a una certa fondària a l’aigua, no distingeixen els colors, evolutivament els ha estat més favorable desenvolupar la sensibilitat —els bastonets o el seu equivalent— que la discriminació de color. En canvi, animals que poden treure profit dels colors, sigui per trobar aliments, sigui per motius sexuals de recerca de parella, han vist afavorit el fet de tenir més menes de receptors, fins i tot n’hi ha que en tenen de sensibles a la radiació ultraviolada propera que nosaltres no podem veure. Incidentalment els humans no veiem en ultraviolat perquè el cristal·lí n’és força opac; persones que porten un cristal·lí artificial transparent als ultraviolats, poden veure-hi amb aquesta llum mitjançant els bastonets que en són sensibles, la sensació de color és de blanc.

Entre els animals amb més de tres menes de receptors destaquen alguns peixos, força ocells, i alguns insectes, en especial pol·linitzadors, encara que les abelles només tenen tres menes de receptors: respecte a nosaltres un de suplementari a la banda ultraviolada, però els hi manca el sensible al vermell.

En contrapartida la major part dels mamífers només tenen dues menes de receptors de colors, que pot ser un avantatge per poder discriminar color en condicions de baixa lluminositat. Les excepcions són la majoria dels marsupials, els monotremes, i alguns primats, entre ells catarins com l’home i els grans simis.

Però la qüestió en els humans no és tan simple, a finals del segle XVIII, va descriure per primera vegada el trastorn, que ell mateix patia, anomenat daltonisme; persones amb menys capacitat de discriminar els colors que la majoria dels humans. Normalment és degut a una mutació dels receptors L o M, que fa que siguin sensibles a bandes de longituds d’ones més properes del normal. La carència d’una de les menes de receptors o mutacions en els S, són molt menys freqüents. Més o menys els 10% dels homes són daltònics, amb lleugeres diferències entre les poblacions, en canvi entre les dones el daltonisme és més escàs, molt menys de l’1%. Això es deu a que els pigments que causen la sensibilitat al color en els cons L o M estan codificats per uns gens residents al cromosoma X. Els mascles només tenim un cromosoma X, i si porta informació defectuosa, serem daltònics. En canvi, les dones tenen dues còpies del cromosoma X, i haurien de tenir totes dues el mateix defecte genètic per ser daltòniques, cosa força improbable. Les dones que en una de les seves còpies dels cromosoma X porten el gen mutat, són portadores, la meitat dels seus fills mascles seran daltònics, independentment de si el pare és daltònic o no, l’altra meitat sans; entre les filles la meitat seran portadores i l’altra meitat sanes, llevat que el pare sigui daltònic. Els homes daltònics transmeten el seu gen a les filles, que seran portadores, en canvi als fills no, ja que l’únic cromosoma X que porten ve de la mare i no d’ells.

Però aquí no acaba la qüestió. Què passa amb una dona portadora, que pot tenir una mena de receptor de color suplementari codificat en un dels seus cromosomes X? En molts casos aquest quart tipus de receptor és sensible a una banda intermèdia entre la L i la M. I malgrat que cada cèl·lula femenina només expressi un dels dos cromosomes X, o sigui que només pugui tenir tres menes de receptors, entre tots els cons n’hi haurà la meitat que n’esperesarà un de diferent a l’altra meitat: en resum, podrà tenir quatre menes diferents funcionals de cons a la retina.

L’espai de color majoritari (2D), i el de les dones quadricromàtiques (3D)

És relativament freqüent i les dones portadores, en general, no ho saben. Entre altres coses és impossible un test amb la pantalla d’un ordinador que només té tres menes d’emissors lluminosos malgrat algun hoax que ha circulat per internet. Cal un experiment on la dona distingeixi una barreja de vermell i verd d’un groc monocromàtic que a la resta dels humans ens sembla igual —la pantalla de l’ordinador, en aquest cas només podria generar el groc barreja—. Una pista curiosa sobre les dones amb quatre receptors, les quadricromàtiques, ve de l’astronomia; des de fa més de cent anys s’havia observat que hi havia persones força més capaces que la majoria en distingir les tonalitats de les estrelles, que per a gairebé tothom són només petits matisos rogencs, ataronjats, grogosos o blavosos; sempre eren dones. En la vida ordinària és més difícil, entre altres coses perquè podem distingir moltísimes més tonalitats de color que a les que podem atribuir un nom, només les apreciem quan estan properes i comparem. A més, en fotografies o pantalles, el quart receptors no dóna més poder de discriminació. Fa uns anys vaig dissenyar un experiment on una llum groga procedent de la barreja d’un LED vermell i un altre verd, es comparava a una de taronja obtinguda fent l’espectre de la llum d’una bombeta d’incandescència. Una de les dues dones de la família, ja ho sospitava per les estrelles, va resultar que és quadricromàtica encara que no havia notat mai res especial respecte la seva sensibilitat als colors.

Dalton, va pensar que el problema del daltonisme, al qual va donar nom, venia de l’acoloriment del cristal·lí o algun dels humors del globus ocular, encara que en autòpsies mai s’havia apreciat. Quan va fer testament, va deixar els seus ulls a la ciència perquè es verifiqués la teoria, però anatòmicament no es va trobar res d’especial. L’ull que no es va disseccionar va ser conservat en formol en una universitat britànica. Més de 150 anys més tard de la mort de Dalton, se’n van extreure unes cèl·lules retinianes i es va seqüenciar la part del genoma corresponent als pigments dels receptors de color. El resultat va ser l’esperat: Dalton era daltònic i precisament amb l’anomalia més comú entre els europeus.

El juliol de 2015, la sonda New Horizons va sobrevolar el planeta nan Plutó, aportant dades que han aportat informació molt valuosa sobre aquell astre, i també sobre les condicions de la seva zona del sistema solar.

Però de Plutó, no només hi ha informació provinent de les sondes espacials, amb telescopis terrestres o situats prop de la Terra com el Hubble, també s’han obtingut darrerament dades importants.

Plutó, d’uns 2375 km de diàmetre, té un gran satèl·lit, Caront —Charon en anglès—, de 1.200 km, descobert des de la Terra l’any 1978. Els diàmetres van poder ser ben establerts ja que la casualitat va voler que pocs anys desprès del descobriment, l’òrbita dels dos astres quedés orientada de tal manera que a cada volta es produïen eclipsis mutus, observats des de la Terra; estudiant aleshores la corba de llum es poden determinar les mides i la lluminositat relativa dels dos astres. Plutó i Caront formen un sistema de dos cossos en òrbita molt propera, uns 17500 km, al voltant del centre de masses comú, que es troba entre els dos. És el primer cas conegut de planeta nan «doble»; de tots els cossos del sistema solar amb aquesta característica, és el més gran, però no l’únic, per exemple Pàtrocle, un asteroide que segueix la mateixa òrbita que Júpiter, però 60˚ més enrere que el planeta, està format per dos cossos de 140 i 110 km, aproximadament, a uns 700 km de distància orbitant tots dos el centre de masses comú.

A més de ser molt propers, Plutó i Caront tenen la rotació sincronitzada, com el cas de la Lluna amb la Terra però en els dos sentits, Plutó també presenta sempre la mateixa cara a Caront. El període orbital, uns 6 dies i 9 hores és, en conseqüència, igual al període de rotació tant de Plutó com de Caront.

La teoria més versemblant sobre la formació de Caront, és que al principi del sistema solar, Plutó va rebre l’impacte d’un altre cos de gran mida, i part del material ejectat va restar en òrbita i es va condensar. Una explicació similar a la del origen de la Lluna.

Més endavant, s’han descobert quatre satèl·lits més de Plutó —o hauríem de dir de Plutó-Caront, ja que es comporten com un únic cos a aquests efectes—, tots molt més petits i en òrbites relativament pròximes els uns als altres. S’anomenen: Nix, Hidra, Cerber i Estix —en anglès: Nix, Hydra, Kerberos i Styx—. Possiblement aquests cossos també siguin condensacions del material originat a l’impacte inicial que va formar Caront.

Esquema de les òrbites dels satèl·lits de Plutó. Les mides no són reals.

Tot això ens aporta alguns indicis sobre el sistema solar primitiu.

En primer lloc, actualment, la probabilitat d’impacte entre Plutó i un altre cos prou gran com per formar satèl·lits és extremadament baixa. Això vol dir que en els orígens del sistema solar, la zona on hi havia Plutó, estava molt més poblada, al menys cent vegades més i probablement mil. Com que no hi ha explicació per tant material a tanta distància del Sol, es creu que Plutó, i el seu sistema de satèl·lits es van formar més prop del Sol que no estan ara, i que en un procés conegut per «gran bombardament tardà» o «model de Niça» van ser enviats a la seva posició actual. Per cert, el model de Niça és per la ciutat on es va desenvolupar la teoria, encara que una revista espanyola, pretesament de divulgació científica, en un titular, va traduir de l’anglès «Nice model» per «modelo bonito».

Un problema dels quatre satèl·lits menors del sistema és que les seves òrbites, a primer cop d’ull, haurien de ser inestables, i a escala de centenars de milions d’anys, haurien d’escapar-se o impactar amb algun dels altres cossos del sistema.

Aquí, per evitar-ho, és on entra un curiós fenomen anomenat ressonància que estabilitza les òrbites a l’entorn d’una posició mitjana invariable. Resulta que els seus períodes orbitals presenten una relació numèrica senzilla, cada dues òrbites d’Hidra, Nix en fa tres, cada sis òrbites d’Hidra, Estix en fa onze, i respecte Cerber no està del tot establert, però es probable que també hi hagi una relació numèrica simple. Tot això vol dir que al cap d’un determinat nombre enter de voltes, aquests satèl·lits tornen a estar en la mateixa disposició i que les pertorbacions que podrien modificar les òrbites, no tenen prou energia com per treure’ls de la configuració ressonant, de tal manera que a llarg termini, les òrbites esdevenen estables.

Hi ha un altra cosa descoberta darrerament, de la que només se’n coneixia un altre exemple en el sistema solar i que té a veure amb les ressonàncies. La gran majoria dels satèl·lits del sistema solar, començant per la Lluna, i excloent satèl·lits inestables, molt petits i molt llunyans dels planetes gegants, presenten sempre la mateixa cara al planeta. Això es deu a que el camp gravitatori generat pel cos central és més intens en el punt del satèl·lit més proper al planeta que en el punt més allunyat. Presentar sempre la mateixa cara, no deixa de ser una ressonància de períodes 1:1 entre la rotació i la translació del satèl·lit.

Però en el cas de ressonàncies orbitals entre dos satèl·lits, pot passar que l’impuls gravitatori entre els uns i els altres, actuï de manera tal que superi la influència en la rotació de la gravetat del planeta. En aquest cas es pot presentar una rotació caòtica: el satèl·lit no té ni un període de rotació constant, ni un eix de rotació relativament fix. Una mica com aquelles baldufes de joguina que en perdre velocitat es posen de cap per avall. És el cas d’Hidra i de Nix, mesures de la seva lluminositat des de la Terra han confirmat que roten de manera caòtica.

L’altre cas conegut de rotació caòtica és el d’Hiperió, que està en ressonància orbital 4:3 amb el més gran dels satèl·lits de Saturn, Tità, això vol dir que cada quatre voltes que fa Tità a l’entorn de Saturn, Hiperió en fa tres.

El moviment caòtic d’aquest satèl·lit sembla afavorit pel fet que, com en tots els casos coneguts de rotació caòtica, es tracta de cossos força allargats, allunyats de la forma quasi esfèrica que adopten els objectes més grans per la pròpia força de gravetat.

A les darreries dels anys cinquanta i començaments dels seixanta, el meu avi matern, ja jubilat de les empreses tèxtils on havia treballat bàsicament en qüestions de mecànica, feia de rellotger. El recordo amb un vidre d’augment enganxat a un ull i sota el focus d’un llum potent, manipulant rellotges de polsera amb pinces i tornavisos petitíssims. Però llevat de la fascinació de nen, en aquella època mai no vaig tocar un rellotge per dins.

Durant l’ensenyament, oficialment, l’únic que em van ensenyar dels rellotges era la teoria bàsica del pèndol, que manté la freqüència encara que canvii l’amplitud; cosa que per compte propi vaig saber que havia descobert Galileo a partir de l’observació dels llums de la catedral de Pisa —que balancejaven ja que en ser d’espelmes o potser d’oli, calia moure’ls per tal d’encendre’ls—, tot comparant el seu període amb el del seu cor que li feia de cronòmetre aproximat. Newton, més tard, en va explicar els motius teòrics.

Però de veure que el pèndol oscil·lava regularment al moviment de les busques, hi havia un món del que a l’escola ni me’n van parlar. Per a mi, la clau va ser quan vaig veure com anava el mecanisme d’escapament, que a cada oscil·lació del pèndol per una banda feia avançar una dent una roda dentada, i per altre adquiria una mica d’energia, provinent d’uns pesos, que compensava les pèrdues per fregament que fan que un pèndol solitari s’esmorteeixi relativament de pressa. No, no m’ho van ensenyar a l’escola, ni ho vaig trobar en un llibre, sinó en el fulletó d’instruccions d’una joguina de plàstic i eixos metàl·lics d’uns parents; joguina que entre altres muntatges proposava un rellotge de pèndol. De fet ni el vaig acabar, quan em vaig adonar de com anava el mecanisme d’escapament, ja vaig quedar satisfet, a banda que em sembla que ja no tenia més temps.

Rellotge «català». Rellotge exterior. Rellotge d’un besavi

Però abans d’acabar el batxillerat, vers 1968, se’m va acudir construir un rellotge, un rellotge pràctic. No tenia a casa ni les eines del meu avi ni, encara menys, sistema de construir les peces mecàniques necessàries. Però sí components electrònics, la gran majoria reciclats d’una empresa que li era més barat comprar components nous que desmuntar les plaques de circuits inútils que de totes maneres llençaria. Circuits integrats de la tecnologia TTL, de la sèrie anomenada 74XX, relativament lents i que s’escalfaven molt. Comprant uns pocs circuits integrats específics que no havia obtingut del reciclatge, i muntant-los tots sobre una placa genèrica, vaig aconseguir un rellotge amb quatre dígits vermells d’hores i minuts que aprofitava com a generador de freqüència estable els 50 Hz del subministrament elèctric. Sí, és força estable, a nivell de centrals es va compensant de manera que la freqüència no es desvia gaire de la mitjana. Quan un rellotge amb xifres lluminoses encara era una raresa.

Alguna cosa a veure amb el que m’havien ensenyat a escola? Més aviat poca, fins i tot recordo haver après la llei d’Ohm pel meu compte a revistes d’electrònica popular, un parell d’anys abans de veure-la al curs que ara correspondria a 2n d’ESO. Recordo que qui em va ensenyar a llegir les bandes de colors de les resistències, va ser als onze anys un cap que tenia als escoltes que es deia Miquel Bertran.

No estic dient que tothom hagi de construir un rellotge abans d’acabar el batxillerat, ni molt menys, però sí que tothom hauria de poder desenvolupar alguna activitat equivalent en qualsevol camp. I aquí, equivalent vol dir iniciativa i disseny propi. I no dependre de la sort d’haver tingut un avi rellotger —o el que sigui—, o una font de materials a l’abast, que són factors aleatoris.

Rellotge enigma. Rellotge de sol mirant el nord. Rellotge de caixa. Cronòmetre de Harrison

El sistema educatiu hauria de propiciar activitats de cultura personal. Per una banda hi ha els que diuen que seria molt car. Al menys el projecte del meu rellotge va ser econòmic, i si els projectes són més intangibles, que no depenen de res mecànic ni elèctric, encara ho poden ser més. Actualment la informàtica abarateix molt: per exemple, ara fer fotos, és a la pràctica gratuït llevat d’una minsa inversió inicial en sistemes que són d’ús general. Per altre banda hi ha qui diu que els mestres no estan preparats. Potser és que estan tan encotillats pel sistema, que imaginar alternatives els és massa difícil. Potser senzillament és que reduir els estudis a un programa, no garanteix en absolut que el global dels mestres surti amb algunes aficions —ho he dit en plural— i amb una cultura prou àmplia; i aquí afegeixo específicament també la científica i tècnica, en el sentit de comprensió del món i del seu funcionament. Només manifesto les mancances que hi veig, com es podrien solucionar és un altre tema on els implicats haurien de tenir la primera paraula.

Per cert, forma part de l’ensenyament una cosa tan senzilla com saber com s’ha d’orientar el gnòmon —l’agulla— d’un rellotge de sol bàsic?

Força sovint, quan hom presenta una teoria científica revolucionària, la comunitat establerta s’hi oposa ferotgement. Cert que en molts casos el conservadorisme inherent al sistema hi pesa molt, i que aquesta és l’explicació que apareix a la majoria de llibres d’història. Però sovint és una explicació a posteriori, feta des de fora de l’àmbit científic del moment.

Un cas força conegut és el de l’anomenada «deriva dels continents».

Alferd Wegener, geofísic i meteoròleg alemany, cap 1915, a partir de la idea que les costes d’Àfrica encaixen força exactament amb les d’Amèrica del sud, va començar a especular sobre la possibilitat que aquests dos continent haguessin estat junts en el passat i, posteriorment, s’haguessin desplaçat a les seves posicions actuals.

Més endavant va incorporar al model desplaçaments de l’Antàrtida, Madagascar, l’Índia i Austràlia, que haurien format un continent anomenat Gondwana. I, més endavant, tots els altres continents van trobar un lloc dins el model. Nord Amèrica també s’hauria separat d’Euràsia, provinents de la separació del continent Lauràsia i amb anterioritat Lauràsia i Gondwana haurien estat units en un únic continent anomenat Pangea —tota la terra—.

Els continents i oceans actuals, amb fletxes que indiquen el seu moviment

Més enllà de resoldre una mena de trencaclosques per veure les possibilitats de moviments continentals en el passat, Wegener va aportar altres proves: Estructures geològiques que començaven en un continent actual i seguien en un altre, encaixant perfectament el el model de Pangea; arguments paleontològics sobre fòssils que es trobaven en dos continents ara força separats, però junts en el passat; coincidència encara més gran si, en lloc de partir de la forma de la línia de la costa dels continents, es parteix de la de la plataforma continental.

I quin mecanisme proposava Wegener per aquesta deriva continental?

Per mesures sismològiques es sabia que l’escorça sota els oceans era molt més prima que la dels continents i formada bàsicament per basalt. L’escorça continental era molt més gruixuda, i formada bàsicament de granit i altres roques àcides, amb una densitat inferior a la del basalt.

La proposta era que els continents suraven en una mena de mar global de basalt de més densitat, a la manera dels icebergs sobre l’oceà, i que els moviments de convecció del material del mantell, sota l’escorça, que es suposava relativament fluid eren el motor dels desplaçaments.

I aquí hi havia un problema. Ràpidament algú va calcular que el basalt sobre el que figurava que suraven i es desplaçaven els continents, era un sòlid tan rígid com l’acer. La teoria de Wegener, podia ser molt bonica, però tenia un punt impossible, durant quaranta anys es va rebutjar totalment malgrat les proves indirectes, que d’una manera, que jutjada a posteriori ens pot semblar molt poc científica, es van considerar «casualitats».

No va ser fins els anys cinquanta que es van fer unes mesures que no es podien explicar amb la teoria clàssica dels continents ―i oceans― fixos.

Es sabia, per observacions batimètriques que al centre de l’Atlàntic, i també en altres oceans, hi havia unes serralades submarines que es van anomenar dorsals. Les dorsals presentaven activitat volcànica, però una mica inferior a la que hi havia en algunes vores continentals —com tota la serralada  dels Andes—, arcs d’illes —com el Japó o les Aleutianes— o volcans aïllats —com els de Hawaii—.

En aquella època es van començar a fer mesures geomagnètiques, es tractava d’estudiar la magnetització de les roques. Quan la lava d’un volcà solidifica, ho fa dins el camp magnètic de la Terra, i si conté cristalls magnetitzables —per exemple els d’alguns òxids de ferro— aquests queden magnetitzats i alineats amb el camp magnètic de la Terra en aquell moment.

Ràpidament es va descobrir un fet curiós. Més enllà dels moviments esperats de la posició dels pols magnètics de la Terra, que tenen recorreguts irregulars al voltant dels pols geogràfics, el camp magnètic global, a vegades, s’invertia, el pol magnètic nord passava a ser sud i viceversa. Aquestes inversions passaven a intervals de centenars de milers d’anys i de forma irregular, no amb un període constant. En principi, les roques que conservaven el records magnètic de quan es van solidificar, si els moviments tectònics no les havien fet canviar de posició, tenien uns camps magnètics orientats bàsicament, cap al nord o cap el sud, de manera imprevisible, segons quina era la posició dels pols magnètics en el moment que es van formar.

La següent observació significativa va ser que a costat i costat de les dorsals oceàniques, hi havia bandes simètriques del material del fons del mar, magnetitzades en un sentit o en l’altre. L’explicació era que el fons marí s’originava a la dorsal, magnetitzat en el sentit del camp del moment. Posteriorment aquest material s’anava allunyant de la dorsal, i quan hi havia una inversió del camp magnètic, es formava una altra zona de material del fons magnetitzat a l’inrevés. Cada inversió del camp magnètic, generava dues zones de material a banda i banda de la dorsal.

Però, com podia desplaçar-se aquest material si el fons del mar era rígid com l’acer?

L’explicació es que aquest material no fluïa i deformava, sinó que l’escorça es creava a la dorsal i es destruïa en un altre punt, mantenint la rigidesa. I els punts on es destruïa són les anomenades foses oceàniques, on l’escorça basàltica, més densa que les roques dels continents, és empesa sota d’ells. A més fondària augmenta la temperatura i el material de l’escorça oceànica es torna a fer fluid, aleshores els components més densos es dissolen al mantell, i els més lleugeres, cosa que inclou el quars i també l’aigua que hi havia dins el basalt, acaben tornant a la superfície, sigui en forma de masses sòlides, sigui en erupcions volcàniques com moltes de les que hi ha a al riba del Pacífic.

A partir d’aquí va sorgir la teoria de la tectònica de plaques: la litosfera està formada per un seguit de plaques rígides que es desplacen pels moviments turbulents del material subjacent del mantell. Aquestes plaques que poden tenir zones amb d’escorça oceànica i altres amb d’escorça continental, es mouen a base de ser creades en uns punts, i destruïdes en uns altres. Creació i destrucció bàsicament de la part de basalt de les plaques. Els nuclis granítics, anomenats cratons, són permanents tot i que es poden fracturar i que encara s’hi va afegint material granític degut a alguns fenòmens de caire plutònic.

La teoria de Wegener, això sí, corregida en el punt essencial de la creació i destrucció de l’escorça oceànica, finalment va ser admesa de forma general.

Una cosa similar va passar amb la teoria heliocèntrica de Copèrnic, més enllà de temes ideològics o religiosos que sovint s’han presentat com a essencials pel seu rebuig, hi havia un problema matemàtic de capacitat predictiva del model, que era pitjor a la dels models geocèntrics de l’època; això no van poder ser superat fins que Kepler va trencar el dogma que les òrbites havien de ser combinacions de cercles perfectes. Però aquesta és una altra història.

En el meu primer any d’universitat vaig cursar una assignatura de química general, en aquells dies el primer curs era comú a totes les carreres de ciències i a la enginyeria industrial, de manera que s’ajornava un any l’elecció de carrera, això sí, en haver-hi més assignatures que carreres, calia descartar-ne un parell que en certa manera feien ja una primer pas d’eliminació. En el meu cas vaig descartar dibuix tècnic —no tenia intenció de fer enginyeria— i biologia —no perquè no m’interessés, sinó perquè encara sobrava una assignatura—. Però la química si que la vaig escollir també sense intenció de continuar amb aquesta carrera.

El cas és que em va tocar un catedràtic, diguem-ne conflictiu. Era en ple franquisme, era del règim i no ho amagava, les seves avaluacions tenien fama d’arbitràries, el tracte amb els alumnes absolutament distant i els ajudants que ens van donar les pràctiques no estaven al nivell. Però he de reconèixer que de química en sabia un niu.

I per a mi, el curs que ens va fer va ser d’allò més interessant. Va ser un curs «historicista», per qualificar-lo amb una sola paraula. Començava al segle XVII explicant les teories prèvies, per exemple la del flogist, i com Cavendish, Scheele o Lavoisier van començar a formular noves teories que es basaven en la conservació de la matèria. Va descriure les observacions, experiments i mesures que es van fer, i la seva interpretació en termes actuals; així com els punts que encara restaven misteriosos.

Va continuar amb tota la química del segle XIX, des de Dalton, Berzelius, Mendeléiev, Kekulé o Moissan, entre molts d’altres —he escrit de memòria els químics que més recordo d’aquell curs—. Fins acabar als començaments del segle XX amb l’aplicació de la mecànica quàntica a la química per part de Bohr. Val a dir, que en tot aquest curs, mai no ens va proposar llegir els textos originals de l’època, tot era sota una formulació actual i al nivell que s’esperava d’alumnes de primer curs.

Una taula periòdica una mica peculiar

Jo havia tingut la sort d’haver tingut al batxillerat un gran professor de química i de tenir a casa un manual de química general dels anys 30 o 40 anomenat Babor entre altres llibres del nivell que s’espera en un primer de carrera. Vull dir que possiblement ja tenia el curs aprovat quan hi vaig entrar. I les explicacions de con s’havien anat descobrint i desenvolupant aquells coneixements que ja tenia, em van resultar molt útils dins una cultura generals científica.

I va arribar l’examen final. Però allí no ens va preguntar sobre la serp de Kekulé, l’enverinament de Moissan o de perquè van guillotinar Lavoiser, les preguntes anaven de reaccions d’obtenció de substàncies químiques, de solubilitats, entalpies de reaccions i similars, com els problemes que havia vist al batxillerat però a un nivell superior. Vaig aprovar i amb nota, però en general va ser una massacre, els curs, als alumnes que no tenien gaire nivell no els va ajudar a saber solucionar problemes de química.

La conclusió que vaig treure de tot això, és que l’aproximació històrica a les matèries, i ara no parlo de química sinó que estic pensant el la literatura i la filosofia al batxillerat, només serveix quan l’alumnat ja té un nivell teòric i pràctic prou gran en la matèria. Pensar que explicant el desenvolupament històric o, encara pitjor, fent llegir textos originals, s’adquireix de retruc el nivell general bàsic, ho trobo francament utòpic, per molt que aquesta aproximació pedagògica porti segles aplicant-se. Segurament té l’origen en la manca de textos explicatius adaptats al moment, que feia que els únic disponibles fossin els originals i les seves crítiques contemporànies.

Tornant a les ciències, un geni com Maxwell, va trobar unes equacions —són equacions diferencials en derivades parcials— que unificaven les lleis de l’electricitat i el magnetisme. Equacions importantíssimes que, entre altre corol·laris impliquen que una càrrega elèctrica accelerada emet energia en forma d’ones que es propaguen a una velocitat que té a veure amb les propietats elèctriques i magnètiques de la matèria i que, en el buid, resulta coincidir amb la velocitat de la llum. D’aquí, pensar que la llum és precisament una radiació electromagnètica. I molts altres desenvolupaments pràctics com les emissions i recepcions d’ones de ràdio. Ara bé, les equacions que va escriure en Maxwell no me les sé. Realment només les he vist pel damunt, i mai no les he hagut d’estudiar. Afortunadament perquè són d’una complexitat extrema. Va ser un altre geni que treballava en solitari de manera força autodidacta, Heaviside —simultàniament amb Gibbs, el primer gran científic americà després de Franklin—, que hi va descobrir una sèrie de simetries que van permetre reduir les equacions de Maxwell de vint a quatre, amb una formulació vectorial molt més manejable que sí que he estudiat. De fet, a hores d’ara, les equacions «de Maxwell» són quatre. Amb això vull dir que una obra enorme, pot ser difícilment comprensible en la seva formulació original i que de totes maneres les conseqüències són més importants que el descobriment primitiu.

Les quatre equacions de Maxwell, en principi eren 20 i força més complexes

Una cosa similar em va passar a filosofia del batxillerat amb els sil·logismes aristotèlics. Me’ls vaig aprendre de memòria per passar l’examen, sense intentar desenvolupar-los ni comprendre la seva gènesi. Però durant el mateix curs, va arribar a les meves mans un text o s’explicava l’àlgebra de proposicions, i en un parell de paràgrafs ho vaig veure tot clar. Tot allò que semblava tan complicat, a causa d’un llenguatge molt allunyat a mi, esdevenia trivial. Una lamentable conclusió que n’he tret és que un principi, que Russell va expressar en fora de famosa paradoxa, normalment no és assumit pels que van aprendre lògica a base de Barbara, celarent, darii, fira, eneas i companyia que creuen que quan dic que si —és només un exemple— una constitució diu que espanya és una nació, però que té «diverses nacionalitats», o sigui que una = diverses, cosa que és una contradicció lògica, del text se’n pot extreure qualsevol altre enunciat que serà cert dins el seu marc. I no és allò de «bé, però ja sabem que no és així…», no, és pura lògica irrefutable.

Per cert, la imatge és un «Què és?»

Certament no sóc un calculista, sinó només una mica aficionat al càlcul numèric des que era ben petit. Tan petit que no recordo allò d’aprendre’m les taules, va succeir dins el núvol que es té a la memòria de la majoria dels esdeveniments d’abans dels quatre anys. La memòria de familiars diu que sumar em va agradar molt, restar no gaire, multiplicar altre vegada sí i que dividir em va resultar fascinant.

El primer «descobriment» matemàtic que vaig fer, deuria ser als cinc anys, recordo que no va impressionar ningú fins que no li vaig anar a explicar al meu avi, catedràtic jubilat de l’escola d’arquitectura que entenia de nombres de manera més professional i a més tenia sentit de l’humor. A casa, la carta als Reis Mags de l’Orient, era gràfica en forma de petita auca dibuixada per ell —incidentalment, des d’ulls de nen, dibuixava tan bé, que pensava que jo mai serviria per tenir el seu ofici—; i la carta, el dia sis de gener, apareixia amb les joguines retornada i signada pels reis. En llapis d’aquells que per una banda eren vermells i per l’altra blaus, i les signatures eren integrals, equacions diferencials i altres expressions matemàtiques d’aquelles que impressionen la gent del carrer, amb abundància de símbols estranys i lletres gregues. Suposo que de fer lletres hebrees, àrabs o índies, no en deuria saber, integrals, sí.

Però a l’escola, l’any 1963 i sense calculadores, va arribar el dia que va aparèixer el tema dels logaritmes. Segons molts eren molt difícils, però precisament per les explicacions d’un dia del meu avi, i un dia vol dir una sola sessió i no gaire llarga, vaig veure immediatament de què anaven. Les taules aquell primer anys eren una cartolina plegada amb logaritmes i antilogaritmes de quatre xifres de precisió. La veritat era que per a un calculador compulsiu no era gaire avantatge de temps respecte fer les multiplicacions o divisions amb aquesta precisió. En arrels quadrades sí que era una mica més avantatjós.

El curs següent ens van fer comprar les taules «Sanchez Ramos» un llibre bastant gruixut amb logaritmes i taules trigonomètriques amb sis decimals i també una taula més curta de logaritmes amb onze i explicacions de com interpolar, sense res de teoria. Vaig preguntar al professor de matemàtiques, matemàtic de carrera, que com s’ho havien fet per poder calcular les taules de logaritmes sense tenir taules de logaritmes… i em va engegar, com ja havia fet un parell de vegades que li havia preguntat privadament per temes, elementals per a un matemàtic, però que «no tocaven». Es va guanyar el meu odi etern.

En contrapartida, el professor de física i química —en aquell curs es veien en una única assignatura— que es deia Joan Cuadrenys Obea, tenia tota la meva devoció. Segurament hagués respost les meves qüestions matemàtiques, però només recordo haver-li preguntat per qüestions de les seves matèries. I va ser en el curs que impartia aquell senyor, on sovint s’havien de fer càlculs amb dos, tres o quatre xifres significatives, quan vaig fer un descobriment. Al meu pare, que era el que ara anomenaríem enginyer de so, a l’empresa li van canviar —potser va ser ell que se’n va comprar un de nou— el regla de càlcul. I el vell, de butxaca, marca Castell, va venir a parar a casa.

Ràpidament me’n vaig apoderar i amb el fulletó en vaig tenir prou per saber-lo fer anar. A classe era l’únic que en duia —el curs següent ja érem dos— i per a molts companys era un estri misteriós o fins i tot una mica màgic. Curiosament estava autoritzat, al costat de les taules de logaritmes de quatre xifres, a l’examen de «revàlida de quart». Encara el conservo —o no, perquè amb els anys en vaig obtenir un altre de molt similar i un dels dos es va trencar—.

Primer model de regle de càlcul que vaig emprar

No recordo si va ser quan feia el preuniversitari o el primer any de carrera que vaig tenir el segon regle. Era un Aristo de 25 cm i amb escales «LL» que permetien fer càlculs de potències arbitràries. Aquest regle, pobre, va desaparèixer en combat, en una ràtzia de la policia nacional —grisos— a la facultat, a les corredisses em va caure la carpeta per terra, sé que la policia se la va endur, i tot i que a la funda del regle hi havia escrit el telèfon, no va tornar. Fa relativament poc en vaig obtenir, via herència que ningú ja no apreciava, una de similar, que és la que mostro a la imatge.

Regle similar al que em va desaparèixer

Era l’època de les primeres calculadores científiques, concretament de la Hewlett Packard HP-35, fora de l’abast de qualsevol estudiant. Una meravella tot i que era senzillament una calculadora científica bàsica. Tot i que era car, i sabia que el regle de càlcul aviat entraria en declivi, me’n vaig comprar un altre. Era dels anomenats de «doble precisió» Amb una escala partida, per una banda entre 1 i √10 i per l’altra entre √10 i 10, cosa que permetia en un model curt de 15 cm, gairebé de butxaca, tenir la mateixa precisió que amb el regle més llarg. Va ser el cant del cigne del regle de càlcul. Ja no recordo més moderns d’ús general.

Cara principal del regle de «doble precisió», per l’altra banda hi ha les escales exponencials

Ara els regles de càlcul són un instrument retro i aviat de museu. De totes maneres el seu ús encara té unes possibilitats educatives interessants, més enllà de fer descobrir els principis del càlcul analògic, són interessants en el sentit d’aprendre a llegir escales amb agilitat i, conseqüentment, interpretar gràfiques.