Els fonaments dels nostres coneixements sovint són ben febles. [i] Moltes persones acaben l’etapa de formació escolar sense saber, per exemple, què vol dir “multiplicar”, com ara 5*2, o “dividir”, 8/2. Potser saben fer multiplicacions o divisions ben llargues, però no saben explicar el significat d’allò que fan de manera mecà, algorísmicament[ii], Figura 1. Probablement, sí que diran que multiplicar és agregar: 5*2 = 5 + 5 = 2*5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2, i que, per tant, multiplicar és una manera ràpida de sumar. També poden arribar a dir que la divisió és l’operació inversa de la multiplicació, perquè si 12/4 = 3, aleshores 3*4 = 12, i que dividir és distribuir, repartir: així, 8/2 vol dir partir 8 en dues parts iguals. Efectivament, així ho descriu la Vikipèdia: “La divisió és una operació aritmètica que serveix per expressar matemàticament l’acció de repartir una entitat entre un cert nombre d’elements.”
Ara bé, si la divisió genera nombres més petits (35/7 = 5), perquè estem repartint 35 unitats entre 7 grups, per què la divisió de 5 entre ½ dona un nombre més gran: 5/(½) = 10, major que 5 (10 > 5)? Per què, si dividim (repartim) una unitat entre ¼, 1/(¼) = 4, obtenim un nombre major que la unitat de partida?
A l’escola podem “ensenyar” a fer divisions, o a “parlar” francès, o a calcular derivades, sense que els alumnes aprenguen el significat de les operacions esmentades, ni com fer servir l’idioma quan visiten París.
Significats dels quocients
En moltes disciplines es defineixen magnituds en forma de divisions: densitat, velocitat, camp elèctric, preu d’un producte, etc., i convé saber interpretar el significat dels quocients, tant de manera operativa com verbal. Vegem-ho.
a) Dividim nombres. Si dividim dos nombres, com ara 465/23, obtindrem quantes vegades està contingut el número 23 en el 465. Ací, una divisió és una manera ràpida de comptar el nombre de subtraccions de 23 unitats del nombre 465. Podria dir-se que la divisió (subtracció) és l’operació inversa de la multiplicació (addició).
b) Dividim magnituds homogènies. Dividim ara dos nombres corresponents a la mateixa magnitud, com ara l’alçada de dos edificis, h2/h1. Quin significat té ara el resultat de la divisió? El quocient ens serveix de comparació: ens diu quantes vegades és més alt (o més baix) un edifici que l’altre.
c) Dividim magnituds no homogènies. Si dividim magnituds no homogènies, com ara massa i volum [m(g)/V(cm3)], o bé desplaçament i temps [Δx(m)/Δt(s)], no estem, òbviament, comparant les dues magnituds, ni dividint-les en parts iguals, ni veient quantes vegades una magnitud està continguda en l’altra. En aquest cas, el quocient ens diu quina quantitat de la magnitud del numerador està associada amb una unitat de la magnitud representada en el denominador. Per això parlem, per exemple, en el segon exemple anterior de metres per segon (metres en un segon).
d) Dividim magnituds més complexes. Finalment, podem trobar-nos amb divisions més sofisticades. Per exemple, si tenim 500 g d’un material que té una densitat de 3.0 g per cm3, el quocient 500 g / (3.0 g/cm3) ens diu quants “paquets” de 3.0 g estan continguts en la mostra de 500 g. I com que cada “paquet” correspon a 1 cm3, hem obtingut el nombre de cm3 de la mostra.
La proposta és, doncs, que els alumnes no aprenguen, només, a dir que el quocient g/(g/cm3) són cm3, per una simple qüestió d’àlgebra (1/(1/8) = 8), sinó que també siguen capaços de raonar una resposta verbal llarga, com la del paràgraf anterior.
e) En general, podem concloure, el quocient a/b sempre ens dona el nombre de “a” per cada unitat de “b”. Els alumnes que interioritzen (i sàpiguen expressar verbalment) els diferents significats de les divisions anteriors no tindran ara dificultat en explicar què obtenim si tenim 8 regals i 4 xiquets, i fem la divisió 8/4, o si obtenim el quocient 4/8. En un cas es tracta del nombre de regals per xiquet (2) i en l’altre el nombre de xiquets per regal (½). Resulta divertit observar la cara dels alumnes primerencs quan se n’adonen que ½ correspon a mig xiquet, i protesten perquè no es pot “dividir” una persona!
[i] Consideracions extretes del llibre d’Arons: Teaching Introductory Physics, Wiley (1997).
[ii] https://agora.xtec.cat/escsantiga/recursos-per-cicle-superior/mates-5e-practiquem-divisions/
Us ha agradat aquest article? Compartiu-lo!