La primera xifra de les illes

Potser per alguns és trivial, però per a altres és un petit misteri.

He agafat de la Viquipèdia una llista amb dades de les illes de la Mediterrània, de més de  cinc quilòmetres quadrats i he eliminat les despoblades, n’han restat 158. A continuació n’he fet una taula i m’he fixat en la primera xifra, tant de superfície com de la població. I n’he dibuixat una gràfica senzilla:

Com es pot veure, en ambdós casos, hi ha molts més valors que comencen per xifres petites que per les més grans.

La pregunta natural és perquè.

Com a pista podria dir que gràfiques similars haurien sortit si hagués buscat l’alçada màxima o la longitud de la costa.

Però el tema no va d’illes, també observem distribucions similars si fem l’estadística dels preus del supermercat, de la llargada dels rius d’un país o les cotitzacions de les accions de la borsa. Si la fem amb l’alçada d’un grup d’adults, la primera xifra seria aclaparadorament 1, ja que poques persones mesuren menys d’un metre o més de dos… és un dels casos on la gràfica no és d’aquesta mena, tampoc ho és la distribució dels nombres premiats a les loteries que és força uniforme si no hi ha trampa.

 

Publicat dins de Ciència i pensament, Divulgació, Educació, Matemàtica | Deixa un comentari

Salts de cavall

El cavall dels escacs és una peça amb unes regles de moviment diferents a les altres, no fa un recorregut per la «superfície» del taules on podria ser interceptada per una altra peça amiga o enemiga, sinó que «salta»: des de qualsevol casella pot anar a qualsevol de les vuit que hi ha a distància de dues unitats en un sentit i una en el perpendicular. Això és el màxim, si és prop de la vora del tauler, alguns salts el durien fora i no compten, és el cas de les quatre cantonades on un cavall només té dos moviments possibles.

Un aspecte bàsic del salt de cavall és que a cada passa canvia el color de la casella on va a parar. Conseqüència d’això és que per anar a una casella del mateix color, sempre li calen un nombre parell de jugades. Per exemple, amb dues jugades un cavall pot anar a qualsevol casella del mateix color situada a tres o menys caselles de distància en sentit horitzontal o vertical, llevat de les situades exactament a dues caselles de distància en diagonal que requereixen quatre salts. Això ho saben bé tots els jugadors d’escacs, desplaçar el cavall dues caselles en diagonal consumeix massa moviments i en molt pocs casos passa amb jugades consecutives en una partida real.

Un cas concret de moviment entre dues caselles del mateix color és anar de punta a punta d’una diagonal. Aquí el mínim és de sis salts. I la pregunta que faig és:
—Per quants recorreguts diferents es pot fer?

Un dels possibles recorreguts d’un cavall de punta a punta de la diagonal en 6 salts.
Tots els possibles recorreguts en sis salts superposats, és difícil comptar-los aquí.

Si el tauler no fos de 8 × 8 caselles, també ens podem plantejar la pregunta.

En un tauler de mida 1 × 1 la resposta és «degenerada» zero salts ens porten «de punta a punta» d’una sola manera possible. El cas de dimensió dos no té solució, en un tauler tan petit el cavall no es pot moure i no arribaria mai a l’altre extrem del tauler. El cas 3 és peculiar en un cert sentit, es precisen 4 salts i hi ha dos camins possibles simètrics depenent del primer salt.

Amb taulers més grans la cosa es posa més interessant, pel cas quatre la fàcil solució també són 2 possibles recorreguts; pel cas cinc 8 recorreguts; pel tauler de 6 × 6 en tenim 4; pel de 7 × 7 hi ha 6 solucions. Pel tauler normal de vuit caselles de mida, és la pregunta que he posat més amunt. Afegeixo que el cas 9 té 40 recorreguts i el cas 10 en té 20.

Tinc la seqüència ben determinada i la fórmula —de fet en són tres— que genera el nombre de solucions al problema. Com a prova puc posar aquí que per un tauler de 47 × 47 hi ha 225494871090 solucions i pel de 48 × 48 1591091500.

Naturalment que la primera gràcia del problema és inventar un mètode per comptar les solucions. La segona és molt més difícil, trobar les formules empíriques. La tercera, demostrar que són correctes. És un cas de mètode heurístic aplicat a una qüestió numèrica. Naturalment el problema es podria resoldre de manera totalment deductiva, però em temo que hauria sigut molt més difícil, crec sincerament que jo no ho hauria sabut fer.

Publicat dins de Ciència i pensament, Divulgació, Educació, Matemàtica, Problemes | Deixa un comentari

Figures a partir d’un DIN A4

És ben conegut que qualsevol polígon, es pot dividir en un nombre finit de polígons que, disposats d’una altra manera, ens poden formar qualsevol altre polígon de la mateixa àrea que l’original.

En ocasions podem trobar figures reals basades en aquestes divisions. per exemple un conjunt de peces que es pot disposar, com a trencaclosques, en dues bases amb forma diferents. Aquí en poso un exemple, comprat al Museu de Matemàtiques de Catalunya (mmaca). Per una banda es poden col·locar les cinc peces format un triangle equilàter i, per l’altra, una estrella de sis puntes.

Hi ha molts altres exemples, especialment conegut és el de quatre peces que poden formar un triangle equilàter o un quadrat, que a vegades tenen les peces unides per unes frontisses als vèrtexs, com a la imatge que segueix:

Avui m’he fixat en una figura concreta, molt freqüent en la vida pràctica, però no gaire en matemàtiques, un rectangle DIN. Els fulls de paper estandarditzats venen amb unes mides concretes, per exemple un DIN A4 mesura 210 × 297 mm.

D’on surten aquests valors?
En primer lloc la proporció entre el costat llarg i el curt del full DIN és una aproximació a l’arrel quadrada de dos.
Per què?
Perquè és l’única que si dividim el full en dos per la meitat, ens en resulten dos més petits però amb les mateixes proporcions.
I la mida concreta? Es defineix DIN A0 com un full amb aquestes proporcions i amb una superfície d’un metre quadrat, el DIN A4 és la meitat, de la meitat de la meitat de la meitat, o sigui un setzè del DIN A0 o en altres paraules les seves dimensions lineals són la quarta part.
Les mesures «més exactes» serien: 210,22410381343… × 297,30177875068… amb més precisió que el diàmetre d’un àtom d’hidrogen.

Com qualsevol altre polígon, podem dividir un full DIN, en diverses parts mitjançant talls rectes, que unides ens formaran qualsevol altre forma.

N’he buscat uns quants exemples i n’he fet uns gràfics:

Un quadrat amb tres peces. Un rectangle auri —una targeta de crèdit— amb tres peces.

Un dòmino, dos quadrats, amb tres peces. Un triangle equilàter amb quatre peces.

Un pentàgon regular amb cinc peces. Un hexàgon regular amb cinc peces.

Un octògon regular amb quatre peces. Una creu llatina amb cinc peces.

Una estrella de cinc puntes amb set peces. Una estrella de sis puntes amb cinc peces.

Una estrella de vuit puntes amb cinc peces.

Tant l’octògon regular com l’estrella de vuit puntes es poden obtenir amb poques peces i formes molt simètriques, això es deu a que en les seves mesures, també n’hi ha que la proporció és arrel de dos, com en el cas dels fulls DIN.

Publicat dins de Ciència i pensament, Divulgació, Educació, Matemàtica | Deixa un comentari

Enrajolat Caire

El més freqüent dels enrajolats és el fet amb rajoles quadrades, el podem veure a les voreres de moltes ciutats i pobles, també a parets o fins i tot sostres. Menys freqüents són els enrajolats rectangulars, amb rectangles de diverses proporcions com per exemple 1:2 que és la normal a molts terrats del nostre país. Una tercera que també apareix sovint és la hexagonal, en algunes èpoques era freqüent en els banys i ara n’hi ha una coneguda com model Gaudí a les voreres del Passeig de Gràcia de Barcelona.

Molt menys normal en exteriors, però potser una mica més vistes en enrajolats d’edificis, hi ha els formats per peces de dues menes, com els de la imatge que segueix i que corresponen a un terra i a una paret de la casa on visc.

Un enrajolat semiregular format per quadrats i octògons regulars, i un altre format per quadrats de dues mides diferents.

Altres enrajolats amb peces idèntiques costen més de trobar i n’hi ha un que el conec per llibres de caire més aviat matemàtic, però que no l’he vist mai a la pràctica, tot i que el trobo força bonic. És l’enrajolat «Caire». S’anomena així perquè expliquen que és —o era— emprat en alguns carres de la ciutat del Caire.

És un enrajolat format per peces pentagonals. No són pentàgons regulars, que no hi ha manera que puguin cobrir el pla ja que caldria que diversos dels seus angles sumessin 360º per tal de poder tancar un vèrtex, i els angles d’un pentàgon regular mesuren 108º. Amb pentàgons irregulars iguals i convexos —o sigui sense angles interiors— es poden construir 15 menes diferents d’enrajolats del pla que siguin periòdics que vol dir que un motiu format per diverses peces es va repetint indefinidament sense variacions. Menes aquí vol dir topològicament iguals, que les peces tinguin una connexió determinada amb les veïnes, independentment de deformacions. El problema de robar tots els enrajolats per pentàgons convexes idèntics és molt difícil, el darrer tipus no va ser descobert fins 2015 i fins 2017 no es va provar que no n’hi havia més.

L’enrajolat Caire pertany a un dels 15 tipus i la manera més fàcil de construir-lo és a partir de l’enrajolat format per triangles equilàters i quadrats del mateix costat, de manera que a cada vèrtex i coincideixin, en ordre circular, un quadrat, un triangle, un quadrat i dos triangles:

Enrajolat semiregular, tots els vèrtexs són iguals i tots els polígons regulars

A partir d’aquest enrajolat podem construir el que s’anomena dual format uns nous polígons que tinguin com a vèrtexs els centres dels quadrats i dels triangles:

Les línies negres ens marquen les tessel·les de l’enrajolat Caire. Les podem pintar de quatre colors, de manera que dues peces del mateix color no es toquin, ni tan sols per un vèrtex:

O també el podem mostrar com la superposició de dos enrajolats hexagonals idèntics, en forma de rusc d’abella deformat, girats 90º l’un respecte l’altre:

L’enrajolat Caire com a superposició de dos enrajolats hexagonals

 

Publicat dins de Ciència i pensament, Divulgació, Matemàtica | Deixa un comentari

Juncosa de les Garrigues i el turisme interior

Joan Amades ens explica sobre Juncosa de les Garrigues:

Juncosa és el centre del Món:
Hom suposa que l’esfera terrestre fou traçada amb un compàs, la punta fixa del qual fou clavada enmig de la plaça de Juncosa, on encara es conserva el sot que es féu en subjectar-la-hi. Juncosa es troba, per tant, al punt mitjà del món. El sot que la creença popular assenyala com a punt on es clavava el compàs és el clot on en altre temps es plantava l’arbre de maig.

I aquesta llegenda té una representació gràfica en un dels seus carrers, una escultura obra d’un artista local.

De fet, vaig conèixer la llegenda a partir de la pedra a la plaça del Mig del Món, un dia fent turisme per la comarca de les Garrigues.

I és el turisme interior del que voldria parlar avui una mica. És una mena d’assignatura pendent dins la cultura catalana. Quan hom va a conèixer pobles de moltes de les comarques de l’interior del Principat, té la sensació de ser percebut com una mena de rara avis. Amb un parell de problemes secundaris, no hi ha cap sistema general fàcil de poder veure interiors interessants, per exemple de Juncosa, no he vist l’interior de l’església ni encara menys el del dipòsit municipal d’aigua, una interessant construcció de finals del segle XIX. Sí que he vist els «perxis», ja que són un carrer porxat que acaba en dos arcs a banda i banda, curiosament diferents:

Aquestes dues fotos, que aquí ensenyo unides però que havia posat en la mateixa xarxa social, amb la mateixa informació, el mateix dia, em presenten un problema curiós: La de l’esquerra va rebre al llarg dels anys vuit vegades més visites que la de la dreta. Potser és que per casualitat els primers dies en va rebre més, i el sistema de geolocalització que les posava en el mapa la mostrava més destacada, i d’aquí que rebés més visites augmentant encara més la diferència. Això ens indica que els sistemes de valoració pretesament objectius, en definitiva valoren a l’atzar…

Un segon problema del turisme interior, és que hi ha molts museus o altres centres culturals teòricament per atreure visitants, però amb molt poca promoció i amb uns horaris inconvenients.

Certament que en alguns casos concrets —parlo de pobles petits— no és així, ara penso en dos llocs interessants com Beget i Covet —curiós que rimin i tots dos tinguin un monument romànic de primer ordre— que tot i no tenir gran afluència, els he pogut visitar per dins moltes de les vegades que hi he passat. Encara que fora del Principat, per exemple a Serrabona, ho tenen millor organitzat i aconsegueixen visitants fora de temporada i entre setmana.

He posat l’exemple de Juncosa, però hi ha centenars de pobles interessants que mereixerien més visites, i no estic parlant de turisme massiu, sinó cultural amb una densitat sostenible. I parlant de sostenibilitat, precisament la gran majoria d’aquests pobles només es poden visitar —per turisme o qualsevol altre motiu— en cotxe particular. Però no hi ha, ni tan sols des de Barcelona pràcticament cap oferta per anar-los a visitar col·lectivament i, lamentablement, alguna de les poques que he vist, són més cares que anar-hi individualment. Penso així a primer bot que un autocar amb una ruta tal com «Viles closes de la Segarra» o «Paisatges i monuments del Lluçanès», podria tenir bona acollida. Si el preu fos raonable és possible que m’hi apuntés algun cop.

Publicat dins de Divulgació, Educació, General, Geografia, Geografia | Deixa un comentari

Dos problemes inductius

Els poliòminos, les figures formades per diversos quadrats iguals adjacents pels costats, permeten una gran varietat de problemes, molts d’ells inductius. Avui en presento dos relativament similars, que fan servir el joc dels 35 hexòminos.

És impossible col·locar els 35 hexòminos en un rectangle, però la demostració d’això, basada en la paritat és un tema que tocaré un altre dia. Però és possible col·locar-los en altres figures com per exemple un rectangle de 11 × 19 més una casella adjacent al mig del costat llarg. No és gaire fàcil fer-ho a mà amb un conjunt de les trenta-cinc peces, però amb un programa d’ordinador se’n poden treure milions de solucions, no l’he pogut deixar en marxa prou estona per saber el nombre.

Pels problemes d’avui parteixo de dues solucions d’aquest cas, però simplement com a il·lustració per mostrar les trenta cinc peces. La seva posició o orientació no hi té cap importància.

Els dos problemes són part d’una col·lecció de 12. Segurament seria exagerat posar-los tots aquí, però a l’hora de solucionar problemes d’aquesta mena, quants més n’hi ha, més possibilitats de solucionar-ne algun…

En el primer cas veiem els hexòminos pintats de dues maneres, uns de color rosa, i els altres verds.

Trenta-cinc hexòminos: 12 roses i 23 verds.

La pregunta és quin és el criteri.

Òbviament hi ha moltíssims possibles criteris per acolorir els hexòminos en diversos colors, aquesta és la gràcia i la dificultat dels problemes inductius. Fins i tot, algunes vegades passa que dos criteris que no tenen res o gaire a veure, ens porten al mateix acoloriment. Això vol dir que la solució a un problema inductiu sempre és probabilística, cal escollir el criteri subjectivament més senzill, és el que s’anomena navalla d’Occam.

En una entrada no fa gaire, en un problema també amb hexòminos, vam veure un criteri que era si la figura era el desenvolupament d’un cub o no. El criteri d’avui és subjectivament més senzill. Altres criteris a considerar poden ser: dimensions màximes, nombre de costats, nombre de costats d’una determinada mida, angles interns, enrajolats per peces més petites, mida màxima de una diagonal, caselles blanques s o negres sobre un tauler d’escacs, diàmetre màxim de la peça… Aquest problema té a veure amb algun d’aquests criteris.

Però potser una pista tangible i misteriosa sigui la primera que hi vaig veure: la dels «cucs». Un poliòmino pertany a la categoria dels cucs, si és possible fer per tot ell un recorregut quadrat a quadrat, pel costat, de manera que no es repeteixi cap casella. I la observació és que tots els cucs són verds i no hi ha cap hexòmino rosa que ho sigui. De totes maneres aquest no és el criteri perquè hi ha cinc hexòminos pintats de verd que no són cucs, per exemple el que sobresurt per la part superior.

Aquestes cinc peces són les que ens donen una pista definitiva si ens adonem que en totes elles hi ha un quadrat amb tres costats exteriors, que si comencem el camí de «cuc» per ell al següent pas ens trobem que hi hauria dues possibilitats de continuar de la mateixa mida, dues caselles. En els cucs normals, després de dues caselles, en podem fer dues més i dues més. En canvi en cap de les peces roses, en entrar des d’una punta i seguir una casella més, no trobem mai dues possibles continuacions de dues caselles. Aquest és la pista definitiva, en les peces verdes sempre podem fer dues dues i dues caselles per cobrir-les, en altre paraules, es poden recobrir amb tres dòminos i les roses, no.

En aquesta figura podem veure que les peces verdes es poden cobrir per tres dòminos.

En el següent problema, del qual avui no donaré més pistes llevat que el criteri té alguna semblança amb l’anterior, podem veure els hexòminos pintats de cinc colors.

Trenta-cinc hexòminos: 2 carabasses, 12 roses, 11 verds, 6 grocs i 4 blaus.

La pregunta torna a ser quin és el criteri.

Publicat dins de Divulgació, Educació, General, Matemàtica, Problemes, Què és? | Deixa un comentari

Un joc força senzill

Hi ha jocs com els escacs o el go, de regles relativament senzilles però d’anàlisi extremadament complex. Altres són més fàcils, potser fins arribar a l’extrem del tres en ratlla o per pura observació d”unes quantes partides és possible de manera gairebé intuïtiva trobar l’estratègia òptima.

Vull presentar aquí un altre joc també amb les regles molt senzilles, inventat a principis del segle XX per un matemàtic neerlandès, amb un anàlisi no tan senzill, però fàcilment abastable.

El material del joc són dos munts de fitxes, palets, mongetes o qualsevol objecte fàcilment comptable. S’enfronten dos jugadors per torns i a cada jugada poden enretirar el nombre d’objectes que vulguin de qualsevol dels dos munts, o la mateixa quantitat de tots dos.

Guanya qui s’enduu el darrer objecte.

Naturalment, si en començar els dos munts tinguessin la mateixa quantitat, el primer jugador guanyaria enretirant aquesta quantitat dels dos munts, cal començar doncs amb munts diferents, i cal posar-se d’acord en el sistema.

L’anàlisi bàsic per a petites quantitats és senzill, però el podem visualitzar molt més fàcilment si canviem el joc per un d’equivalent en un altre format.

En lloc de considerar les dues quantitats de peces dels munts, pensem en una fitxa col·locada en una casella d’un tauler quadriculat de mida arbitràriament gran. A partir de l’angle inferior esquerra numerem files i columnes començant per zero. La fitxa en una casella la podem assimilar a les seves coordinades, els nombres de la fila i la columna on rau. Aleshores, treure fitxes d’un munt equival a desplaçar la peça, com una torre, cap avall o a l’esquerra, i treure la mateixa quantitat de fitxes dels dos muts a desplaçar la peça en diagonal, com un alfil, cap avall i l’esquerra. L’objectiu del joc és ara arribar a la casella inferior esquerra, la que tindria les coordinades (0, 0).

Versió del joc en un tauler, els tres primers passos de la solució.

Aquesta casella és guanyadora si un jugador hi porta la peça, i la pintem en taronja al diagrama de l’esquerra. Totes les caselles pintades en blau, permeten al jugador que té el torn arribar a la casella guanyadora. En conseqüència, l’altra jugador ha d’evitar col·locar la peça en qualsevol casella blava, i sempre ho pot fer llevat que estigui en qualsevol de les dues caselles marcades en taronja, (2, 1) i (1, 2) des d’elles no hi ha cap moviment bo, o sigui que són perdedores pel jugador que té el torn (i guanyadores per l’altre).

Passem al segon diagrama on també s’han pintat de blau totes les caselles que ens porten a la sortida o a les anteriors vistes com a perdedores. Ara podem veure que les caselles (5, 3) i (3, 5) també són perdedores, des d’elles només es pot anar a una casella blava que asseguraria la victòria a l’altre jugador. Repetint el procediment de pintar de blau les caselles que ens poden conduir a les darreres perdedores, podem veure que (7, 4) i (4, 7) també ho són, des d’elles només es pot moure a caselles blaves. Sempre són perdedores les caselles més properes a l’angle inferior esquerra que no estiguin pintades de blau.

Amb un tauler més gran veuríem que les caselles crítiques són les de coordinades: (2, 1), (5, 3), (7, 4), (10, 6), (13, 8), (15, 9), (18, 11), (20, 12), (23, 14), (26, 16), (28, 17), (31, 19), (34, 21)… o les mateixes invertides: (1, 2), (3, 5), (4, 7)…

Per posar un exemple, si ens toca jugar i als munts hi ha 9 i 5 fitxes —o jugant amb el sistema del taulell la fitxa és a (9, 5)— la jugada bona és prendre sis fitxes del munt de nou per deixar 3 i 5 fitxes que és una posició perdedora per a l’altre jugador. En el tauler podem veure que des de qualsevol casella blava, sempre hi ha un moviment a l’esquerra, avall o en diagonal avall a l’esquerra, que ens duu a una casella dolenta per a l’altra jugador. I, recíprocament, des d’una casella taronja només ens podríem moure a una casella blava.

Si els munts continguessin 12 i 15 fitxes, una jugada bona seria enretirar-ne vuit de cada munt per passar a 4 i 7 que és una posició perdedora per a l’altre jugador. O treure’n tres del munt de dotze fitxes, que ens portaria a 9 i 15 que també és perdedora per a l’altre.

El problema que plantejo és trobar quines son les caselles crítiques, quina lògica hi ha en la sèrie de parelles de nombres.

Subsidiàriament, trobar com es deia el matemàtic que va publicar el joc per primera vegada i amb quin nom és coneix.

Publicat dins de Ciència i pensament, Divulgació, Matemàtica, Problemes, Què és? | Deixa un comentari

El meu mòbil, o no

Un article a Vilaweb de Gemma Pasqual, m’ha fet escriure de manera segurament precipitada, aquestes reflexions.

La xarxa no sap el que em gasto en roba, perquè tota la compro —o me la compra la parella— directament i pagant en metàl·lic; pot saber que potser el joc tal m’agrada, perquè és un dels cinquanta que m’he baixat, però no sap que dels cinquanta només dos m’han agradat i hi jugo alguna vegada, entre molts altres jocs que no han vingut de cap xarxa que em pugui identificar; el color favorit, ni jo sé si en tinc…

Clar que la «Xarxa» pensa moltes coses de mi sense sentit, com un dia que, sense prendre precaucions de privacitat —vull dir amb el correu de Google obert al mateix navegador—, vaig cercar unes dades històriques sobre Calafell i va estar sis mesos fent-me propaganda d’hotels i apartaments en aquesta localitat.

Tot és molt relatiu, com dir que els mòbils impliquen xarxes. Bé, potser els SMS que m’envia el banc es podrien considerar xarxes, però hi ha qui mai de la vida ha fet servir el mòbil per a xarxes.

En aquest sentit, si fos un adolescent, no m’agradaria gens que em prohibissin el mòbil per aquest aspecte. Tot i que de fet, no em passaria res perquè pràcticament no el faig servir, empro un dispositiu que no és telèfon per dur al damunt llibres, començant per diccionaris, obres de referència científica com formularis, calculadora —i no vull dir de les senzilles, sinó de les que saben fer integrals, cosa que ja m’agradava quan era adolescent i les havia de fer a mà— o per consultar, si tinc connexió, la Viquipèdia, serveis de mapes, traductors, o milions de referències que puc trobar en línia.

Sí, hi ha altres procediments per tot això, però em sonen a allò dels mariners de guerra que estudien en un vaixell de vela…

A veure si endevineu quin dels dos és el meu mòbil.

A sí, i per enviar o rebre correus electrònics, que és un protocol estàndard que no depèn de cap empresa o marca particular, com sí depenen la majoria de les dites xarxes socials.

Potser no és gaire convenient que les susdites xarxes es puguin emprar des de l’escola, però la resta. Haurem d’aprendre a fer arrels cúbiques a mà —fa una pocs dies en parlava al bloc– com fa 80 anys perquè algú podria emprar el mateix dispositiu per a una xarxa?

I això ens porta al problema d’emprar aquestes tecnologies a l’escola: podem fer obligatori el mòbil o les xarxes perquè hi ha qui pensa que són l’única manera de fer certes coses? Com solucionar el problema del petit percentatge dels qui no en tenen?

Caldria aquí ser molt curosos i precisos. En un exemple paral·lel, l’escola no hauria mai de la vida emprar en tecnologia programes o formats no lliures, no és acceptable, per exemple, que enviï textos en «Word», és un format que no es pot controlar ni molt menys obligar al receptor a emprar el programa concret —de pagament i car—. I si algú em diu que amb altres programes, lliures per exemple, es pot llegir aquest format —cosa no al 100% certa—, sempre li replico que perquè complicar-nos la vida i no fer servir el format lliure directament.

I no, no és per la edat que no tinc Instagram, és que faig milers de fotografies a l’any —paisatges, edificis, art, objectes i fotos més o menys relacionades amb les meves feines—, però mai no n’he fet cap amb un mòbil –per les possibilitats de la càmera— llevat d’alguna prova al costat de l’ordinador però, oh sorpresa, Instagram només és per a fotos de mòbil llevat de complicacions totalment incòmodes.

O també com el meu ús de Youtube. Amb un correu que no m’identifica directament, alguna cosa hi he penjat, per poder passar un vídeo a terceres persones, però mai no hi he escrit un comentari, ni fet un «m’agrada» o similar. Des del meu punt de vista, més que una xarxa, és un magatzem de vídeos.

Publicat dins de Ciència i pensament, Educació | Deixa un comentari

L’estel Polar

L’estel Polar, anomenat oficialment Polaris, α Ursae Minoris o α UMi, és una estrella molt famosa per un fet accidental, que per casualitat és propera al pol nord celeste, el punt on apunta mirant al nord l’eix de la Terra. Això fa que resti immòbil al cel i que ens indiqui sempre la direcció del nord. Realment això és aproximat, Polaris rau a una mica menys d’un grau del pol nord celeste —com dues vegades el diàmetre de la Lluna—, però l’aproximació és prou bona. Com he dit és l’eix de la Terra el que apunta allí, no pas l’estrella que s’hi ha posat, i com que l’eix de la terra té un moviment anomenat precessió, similar al que fa una baldufa quan perd velocitat, aquesta alineació és temporal. Va començar a ser bona cap el segle XV —que és quan va rebre el nom de Polar—, a finals del segle XXI la distància entre ella i el pol serà mínima, com mig grau, i a partir d’aquell moment s’aniran allunyant fins que l’eix de la Terra completi el seu moviment que té un període d’uns 258000 anys.

La zona del pol nord de la volta celeste. Les dues estrelles del davant de l’Ossa Major, Dubhe i Merak, ens indiquen una línia que si la prolonguem unes cinc vegades ens indica la Polar.

Deixant de banda aquesta peculiaritat de  la seva posició, deguda a l’atzar’ Polaris, que és brillant però no massa —hi ha unes 50 estrelles més brillants— és una estrella interessant de per se, i té alguns aspectes una mica misteriosos.

En primer lloc és una estrella variable d’una mena anomenada cefeida —el nom ve de la primera que es va descobrir com a variable que era δ de Cefeu—, concretament la més brillant i propera. I les cefeides són molt importants per establir la mesura de l’Univers. L’any 1908, Henrietta Swan Leavitt, calculadora de l’observatori de Harward, va descobrir una relació entre el període de variabilitat d’una cefeida i la seva lluor intrínseca. El període és molt fàcil de mesurar fins i tot en estrelles de galàxies properes, ja que les cefeides són estrelles gegants molt lluminoses i, coneixent el període se’n pot deduir la lluminositat real que comparada amb l’aparent ens permet calcular la distància. El problema era que calia saber la distància d’algunes cefeides properes per poder calibrar el sistema. Tot i que relativament propera, la distància a l’estrella polar va ser força imprecisa durant molts anys degut al curt abast dels mètodes per mesurar les distàncies estel·lars amb telescopis terrestres. Fins fa pocs anys s’havien calculat distàncies a la Polar tan petites com 320 anys llum, però amb les dades de la sonda Gaia sembla que realment és de 453 anys llum.

Però la sonda Gaia, realment, no ha pogut mesurar amb prou precisió la distància, resulta que amb el sistema normal d’operació Polaris brilla massa i satura els detectors, fins i tot amb un programa especial per a estrelles brillants, la precisió no era prou bona. Però resulta que l’estrella Polar és múltiple, tres estrelles que van néixer de la mateixa nebulosa i que resten a la mateixa distància de la Terra. Una d’elles, Polaris B, una mica més gran que el Sol i que circula en una òrbita de més de 40000 anys a l’entorn de Polaris —de Polaris A, exactament—, és prou allunyada per que el detector no quedi saturat i és amb la que s’ha pogut mesurar la distància precisa.

Però això ens porta a un misteri no resolt. Polaris és una estrella gegant que ja ha passat per l’anomenada seqüència principal, etapa en la que va cremar l’hidrogen del seu nucli. Actualment està en una etapa inestable —per això es variable— de camí a convertir-se en una gegant roja. I podem calcular la seva edat amb certa precisió que resulta ser d’uns 70 milions d’anys. Però si aquesta és l’edat del sistema Polaris B és massa brillant, el seu espectre ens indicaria una edat d’uns 2000 milions d’anys. Una possibilitat seria que Polaris fos realment vella però amb una evolució anòmala degut a una fusió amb una hipotètica tercera estrella.

Un altre misteri de Polaris és que no sabem perquè està incrementant la seva lluentor. Observacions de Ptolomeu i Hiparc als voltants de l’any 100 indicarien que brillava entre dues i quatre vegades menys que ara. Al Sufí, vers l’any 1000 també va observar una magnitud força més baixa que en l’actualitat. I mesures més modernes amb telescopi a partir de l’any 1700, confirmen aquest augment. Podria ser que passés per una eta pa especial d’inestabilitat, de pocs milers d’anys de durada, que no s’ha observat encara en altres cefeides.

I per acabar, s’han detectat emissions de rajos X procedents de l’estrella Polar, però els models d’aquesta mena d’estrelles indiquen que no n’hauria d’emetre. Malauradament no sabem si altre cefeides ho fan, ja que estan massa lluny per poder detectar aquesta radiació amb els aparells actuals, si és que n’emeten.

Publicat dins de Astronomia, Ciència i pensament, Divulgació | Deixa un comentari

Resistències, quins valors més estranys

Quan era preadolescent, pels anys seixanta, em fascinava l’electrònica. Hi havia una mena de guies meravelloses, anomenades esquemes, que contenien resistències, condensadors, transistors i altres components, que si els muntaves en la disposició mostrada, componien un circuit que si no hi havia hagut cap error, funcionava. Podia fer un amplificador, un emissor o receptor de radiofreqüència, un circuit oscil·lador, un temporitzador, i mil invents més que sortien a les revistes per a aficionats de l’època, que n’hi havia moltes. La que més comprava o aconseguia dels que la compraven i llençaven s’anomenava Radiorama.

Semblava màgia però no ho era i jo ho sabia, lentament vaig anar entenent com funcionaven els elements d’aquells circuits meravellosos i com interactuaven entre ells. Algunes persones em van ajudar més o menys inconscientment contestant algunes preguntes clau, com el concepte de «senyal», de divisor de tensió i de filtre passa alts o passa baixos. Potser als tretze anys ja sabia dissenyar alguns circuits sense necessitat de copiar-los d’una revista o de mirar els «esquemaris» d’aparells de ràdio o televisió.

Una de les condicions prèvies per poder muntar qualsevol circuit era saber llegir els valors dels components, bàsicament resistències o condensadors. En els condensadors, sovint, el valor hi venia imprès; en les resistències que sempre eren el component més nombrós dels circuits gairebé mai, el valors venien marcats per unes bandes de colors que havia d’aprendre a llegir i interpretar. No em va costar gaire, recordo que vaig obtenir una mena destri de cartró amb tres rodetes del mateix material, que per unes finestres mostraven, d’una banda els colors, i per una altra els valors associats.

Encara conservo resistències, organitzades en calaixets. Aquí de valors entre 220 Ω i 1800 Ω

Per regla general, les dues primeres bandes indicaven el valor numèric, la tercera un factor en forma de 10 elevat a un exponent, i la quarta, normalment platejada o daurada, volia dir tolerància del 10% o del 5%.

Codi de colors en electrònica

Per exemple: groc, violeta, vermell, daurat volia dir un valor de 4, 7, 10², 5%, en altres paraules 4700 Ω amb un màxim del 5% d’error.

Resistència de 1500 Ω. la franja marró: 1, la verda: 5, la vermella: 2 zeros, i la daurada que la tolerància és del 5%

Ja d’entrada em vaig adonar que els nombres dels valors de les resistències i condensadors tenien alguna cosa especial. Hi havia, per exemple, resistències de 10 Ω, de 100, 1000, 10000 o també de 33, 330, 330000… 6,8, 680, 68000… però mai no en veia de 50 Ω ni de 5000, ni 71 o 25 o molt altres valors començant per dues xifres. Els valors quasi sempre començaven per 10, 12, 15, 18, 22, 27, 33, 39, 47, 56, 68 0 82. Molt més rarament per 11, 13, 16, 20, 24, 30, 36, 43, 51, 62, 75 o 91. Altres xifres no les havia vist mai ni en esquemes ni en resistències reals. Si calculant un circuit et sortia una resistència de 720 Ω, havies de comprar la de 680 Ω o la de 750 Ω si la trobaves.

La pregunta que plantejo és a què es deuen aquests valors peculiars? Certament és molt fàcil trobar la resposta a internet, però suposem que ni tenim internet, i potser tampoc calculadora.

Quan tens moltes resistències barrejades, sempre és difícil trobar un valor concret
Publicat dins de Ciència i pensament, Divulgació, Educació, Problemes | 1 comentari