Ensenyament historicista

En el meu primer any d’universitat vaig cursar una assignatura de química general, en aquells dies el primer curs era comú a totes les carreres de ciències i a la enginyeria industrial, de manera que s’ajornava un any l’elecció de carrera, això sí, en haver-hi més assignatures que carreres, calia descartar-ne un parell que en certa manera feien ja una primer pas d’eliminació. En el meu cas vaig descartar dibuix tècnic —no tenia intenció de fer enginyeria— i biologia —no perquè no m’interessés, sinó perquè encara sobrava una assignatura—. Però la química si que la vaig escollir també sense intenció de continuar amb aquesta carrera.

El cas és que em va tocar un catedràtic, diguem-ne conflictiu. Era en ple franquisme, era del règim i no ho amagava, les seves avaluacions tenien fama d’arbitràries, el tracte amb els alumnes absolutament distant i els ajudants que ens van donar les pràctiques no estaven al nivell. Però he de reconèixer que de química en sabia un niu.

I per a mi, el curs que ens va fer va ser d’allò més interessant. Va ser un curs «historicista», per qualificar-lo amb una sola paraula. Començava al segle XVII explicant les teories prèvies, per exemple la del flogist, i com Cavendish, Scheele o Lavoisier van començar a formular noves teories que es basaven en la conservació de la matèria. Va descriure les observacions, experiments i mesures que es van fer, i la seva interpretació en termes actuals; així com els punts que encara restaven misteriosos.

Va continuar amb tota la química del segle XIX, des de Dalton, Berzelius, Mendeléiev, Kekulé o Moissan, entre molts d’altres —he escrit de memòria els químics que més recordo d’aquell curs—. Fins acabar als començaments del segle XX amb l’aplicació de la mecànica quàntica a la química per part de Bohr. Val a dir, que en tot aquest curs, mai no ens va proposar llegir els textos originals de l’època, tot era sota una formulació actual i al nivell que s’esperava d’alumnes de primer curs.

Una taula periòdica una mica peculiar

Jo havia tingut la sort d’haver tingut al batxillerat un gran professor de química i de tenir a casa un manual de química general dels anys 30 o 40 anomenat Babor entre altres llibres del nivell que s’espera en un primer de carrera. Vull dir que possiblement ja tenia el curs aprovat quan hi vaig entrar. I les explicacions de con s’havien anat descobrint i desenvolupant aquells coneixements que ja tenia, em van resultar molt útils dins una cultura generals científica.

I va arribar l’examen final. Però allí no ens va preguntar sobre la serp de Kekulé, l’enverinament de Moissan o de perquè van guillotinar Lavoiser, les preguntes anaven de reaccions d’obtenció de substàncies químiques, de solubilitats, entalpies de reaccions i similars, com els problemes que havia vist al batxillerat però a un nivell superior. Vaig aprovar i amb nota, però en general va ser una massacre, els curs, als alumnes que no tenien gaire nivell no els va ajudar a saber solucionar problemes de química.

La conclusió que vaig treure de tot això, és que l’aproximació històrica a les matèries, i ara no parlo de química sinó que estic pensant el la literatura i la filosofia al batxillerat, només serveix quan l’alumnat ja té un nivell teòric i pràctic prou gran en la matèria. Pensar que explicant el desenvolupament històric o, encara pitjor, fent llegir textos originals, s’adquireix de retruc el nivell general bàsic, ho trobo francament utòpic, per molt que aquesta aproximació pedagògica porti segles aplicant-se. Segurament té l’origen en la manca de textos explicatius adaptats al moment, que feia que els únic disponibles fossin els originals i les seves crítiques contemporànies.

Tornant a les ciències, un geni com Maxwell, va trobar unes equacions —són equacions diferencials en derivades parcials— que unificaven les lleis de l’electricitat i el magnetisme. Equacions importantíssimes que, entre altre corol·laris impliquen que una càrrega elèctrica accelerada emet energia en forma d’ones que es propaguen a una velocitat que té a veure amb les propietats elèctriques i magnètiques de la matèria i que, en el buid, resulta coincidir amb la velocitat de la llum. D’aquí, pensar que la llum és precisament una radiació electromagnètica. I molts altres desenvolupaments pràctics com les emissions i recepcions d’ones de ràdio. Ara bé, les equacions que va escriure en Maxwell no me les sé. Realment només les he vist pel damunt, i mai no les he hagut d’estudiar. Afortunadament perquè són d’una complexitat extrema. Va ser un altre geni que treballava en solitari de manera força autodidacta, Heaviside —simultàniament amb Gibbs, el primer gran científic americà després de Franklin—, que hi va descobrir una sèrie de simetries que van permetre reduir les equacions de Maxwell de vint a quatre, amb una formulació vectorial molt més manejable que sí que he estudiat. De fet, a hores d’ara, les equacions «de Maxwell» són quatre. Amb això vull dir que una obra enorme, pot ser difícilment comprensible en la seva formulació original i que de totes maneres les conseqüències són més importants que el descobriment primitiu.

Les quatre equacions de Maxwell, en principi eren 20 i força més complexes

Una cosa similar em va passar a filosofia del batxillerat amb els sil·logismes aristotèlics. Me’ls vaig aprendre de memòria per passar l’examen, sense intentar desenvolupar-los ni comprendre la seva gènesi. Però durant el mateix curs, va arribar a les meves mans un text o s’explicava l’àlgebra de proposicions, i en un parell de paràgrafs ho vaig veure tot clar. Tot allò que semblava tan complicat, a causa d’un llenguatge molt allunyat a mi, esdevenia trivial. Una lamentable conclusió que n’he tret és que un principi, que Russell va expressar en fora de famosa paradoxa, normalment no és assumit pels que van aprendre lògica a base de Barbara, celarent, darii, fira, eneas i companyia que creuen que quan dic que si —és només un exemple— una constitució diu que espanya és una nació, però que té «diverses nacionalitats», o sigui que una = diverses, cosa que és una contradicció lògica, del text se’n pot extreure qualsevol altre enunciat que serà cert dins el seu marc. I no és allò de «bé, però ja sabem que no és així…», no, és pura lògica irrefutable.

Per cert, la imatge és un «Què és?»

 

Publicat dins de Ciència i pensament, Divulgació, Educació, Què és? | Deixa un comentari

Memòries d’un calculista (1) El regle de càlcul

Certament no sóc un calculista, sinó només una mica aficionat al càlcul numèric des que era ben petit. Tan petit que no recordo allò d’aprendre’m les taules, va succeir dins el núvol que es té a la memòria de la majoria dels esdeveniments d’abans dels quatre anys. La memòria de familiars diu que sumar em va agradar molt, restar no gaire, multiplicar altre vegada sí i que dividir em va resultar fascinant.

El primer «descobriment» matemàtic que vaig fer, deuria ser als cinc anys, recordo que no va impressionar ningú fins que no li vaig anar a explicar al meu avi, catedràtic jubilat de l’escola d’arquitectura que entenia de nombres de manera més professional i a més tenia sentit de l’humor. A casa, la carta als Reis Mags de l’Orient, era gràfica en forma de petita auca dibuixada per ell —incidentalment, des d’ulls de nen, dibuixava tan bé, que pensava que jo mai serviria per tenir el seu ofici—; i la carta, el dia sis de gener, apareixia amb les joguines retornada i signada pels reis. En llapis d’aquells que per una banda eren vermells i per l’altra blaus, i les signatures eren integrals, equacions diferencials i altres expressions matemàtiques d’aquelles que impressionen la gent del carrer, amb abundància de símbols estranys i lletres gregues. Suposo que de fer lletres hebrees, àrabs o índies, no en deuria saber, integrals, sí.

Però a l’escola, l’any 1963 i sense calculadores, va arribar el dia que va aparèixer el tema dels logaritmes. Segons molts eren molt difícils, però precisament per les explicacions d’un dia del meu avi, i un dia vol dir una sola sessió i no gaire llarga, vaig veure immediatament de què anaven. Les taules aquell primer anys eren una cartolina plegada amb logaritmes i antilogaritmes de quatre xifres de precisió. La veritat era que per a un calculador compulsiu no era gaire avantatge de temps respecte fer les multiplicacions o divisions amb aquesta precisió. En arrels quadrades sí que era una mica més avantatjós.

El curs següent ens van fer comprar les taules «Sanchez Ramos» un llibre bastant gruixut amb logaritmes i taules trigonomètriques amb sis decimals i també una taula més curta de logaritmes amb onze i explicacions de com interpolar, sense res de teoria. Vaig preguntar al professor de matemàtiques, matemàtic de carrera, que com s’ho havien fet per poder calcular les taules de logaritmes sense tenir taules de logaritmes… i em va engegar, com ja havia fet un parell de vegades que li havia preguntat privadament per temes, elementals per a un matemàtic, però que «no tocaven». Es va guanyar el meu odi etern.

En contrapartida, el professor de física i química —en aquell curs es veien en una única assignatura— que es deia Joan Cuadrenys Obea, tenia tota la meva devoció. Segurament hagués respost les meves qüestions matemàtiques, però només recordo haver-li preguntat per qüestions de les seves matèries. I va ser en el curs que impartia aquell senyor, on sovint s’havien de fer càlculs amb dos, tres o quatre xifres significatives, quan vaig fer un descobriment. Al meu pare, que era el que ara anomenaríem enginyer de so, a l’empresa li van canviar —potser va ser ell que se’n va comprar un de nou— el regla de càlcul. I el vell, de butxaca, marca Castell, va venir a parar a casa.

Ràpidament me’n vaig apoderar i amb el fulletó en vaig tenir prou per saber-lo fer anar. A classe era l’únic que en duia —el curs següent ja érem dos— i per a molts companys era un estri misteriós o fins i tot una mica màgic. Curiosament estava autoritzat, al costat de les taules de logaritmes de quatre xifres, a l’examen de «revàlida de quart». Encara el conservo —o no, perquè amb els anys en vaig obtenir un altre de molt similar i un dels dos es va trencar—.

Primer model de regle de càlcul que vaig emprar

No recordo si va ser quan feia el preuniversitari o el primer any de carrera que vaig tenir el segon regle. Era un Aristo de 25 cm i amb escales «LL» que permetien fer càlculs de potències arbitràries. Aquest regle, pobre, va desaparèixer en combat, en una ràtzia de la policia nacional —grisos— a la facultat, a les corredisses em va caure la carpeta per terra, sé que la policia se la va endur, i tot i que a la funda del regle hi havia escrit el telèfon, no va tornar. Fa relativament poc en vaig obtenir, via herència que ningú ja no apreciava, una de similar, que és la que mostro a la imatge.

Regle similar al que em va desaparèixer

Era l’època de les primeres calculadores científiques, concretament de la Hewlett Packard HP-35, fora de l’abast de qualsevol estudiant. Una meravella tot i que era senzillament una calculadora científica bàsica. Tot i que era car, i sabia que el regle de càlcul aviat entraria en declivi, me’n vaig comprar un altre. Era dels anomenats de «doble precisió» Amb una escala partida, per una banda entre 1 i √10 i per l’altra entre √10 i 10, cosa que permetia en un model curt de 15 cm, gairebé de butxaca, tenir la mateixa precisió que amb el regle més llarg. Va ser el cant del cigne del regle de càlcul. Ja no recordo més moderns d’ús general.

Cara principal del regle de «doble precisió», per l’altra banda hi ha les escales exponencials

Ara els regles de càlcul són un instrument retro i aviat de museu. De totes maneres el seu ús encara té unes possibilitats educatives interessants, més enllà de fer descobrir els principis del càlcul analògic, són interessants en el sentit d’aprendre a llegir escales amb agilitat i, conseqüentment, interpretar gràfiques.

Publicat dins de Ciència i pensament, Divulgació, Educació | 1 comentari

Més que pentòminos: poliòminos

Fa un parell de setmanes publicava una entrada sobre pentòminos. Continuo avui sobre poliòminos, figures formades per diversos quadrats adjacents, dels que els pentòminos en són el cas amb cinc quadrats.

Hom es pot preguntar si realment tenen interès educatiu, a primera vista no serveixen per a res. Però tenen força punts al seu favor. D’entrada poden ser objectes reals, que es poden construir físicament amb una certa facilitat, no meres abstraccions mentals o sobre paper. En segon lloc, no impliquen gaire coneixements previs, cosa que fa que qui treballa amb ells, normalment no parteix amb avantatge degut a experiències anteriors. En tercer lloc són una gran eina en dos temes essencials sobre els que normalment no es centra l’atenció: comptar i classificar. I, finalment, amb ells es poden plantejar multitud de problemes —que podem anomenar també trencaclosques, enigmes o jocs— que poden fer el seu ús menys àrid que molts altres temes més allunyats de la visualització directa.

Aprendre a comptar té més importància que la que generalment es pensa. És l’origen i la base de les matemàtiques, tant les «teòriques» com les útils per a la vida diària. I amb poliòminos es poden comptar moltes coses, fàcils i difícils. Per començar: quants n’hi ha amb cada nombre de quadrats? I es pot continuar amb molts més problemes, de trivials a impossibles, deductius i inductius. Problemes, tots ells, basats en elements senzills però no abstractes, els poliòminos són tangibles i visualitzables.

Amb un quadrat —monòmino— en tenim 1; amb dos, també n’hi ha 1 de sol, conegut com a dòmino que ha donat nom a totes aquestes figures; de tres quadrats —tròminos— ja n’hi ha 2, el format per tres quadrats en línia recta i el que té forma d’angle; de quatre quadrats —tetròminos— n’hi ha 5, encara fàcils de trobar, són precisament les peces negres de la foto. A partir d’aquí la cosa es comença a complicar, de cinc n’hi ha 12, els pentòminos que esmentava fa uns dies, però ja comença a ser freqüent descomptar-se, duplicar-ne algun o no trobar-lo. Trobar quants n’hi ha de sis, set o més, ja implica una certa planificació, la idea primària d’anar ajuntant quadrats no funciona, és massa fàcil deixar-se alguna combinació. A mà suposo que es pot arribar als de vuit, però a partir d’aquí deu ser una feinada espantosa. Amb ordinador, es poden comptar, actualment s’ha arribat a comptar els poliòminos de fins a vint-i-vuit quadrats, n’hi ha exactament 153511100594603. I no és coneix cap funció matemàtica exacta que ens doni el nombre de poliòminos d’un ordre determinat.

Alguns poliòminos —tetròminos, pentòminos i hexòminos— autoconstruïts amb cubs de plàstic

És trivial veure que amb els dos tròminos no podem formar un rectangle. Amb els cinc tetròminos, que en total farien vint quadrats, tampoc no es pot fer, i la prova curta d’aquest fet és subtil. Els dotze pentòminos, que totalitzen seixanta quadrats, sí que poden formar rectangles, de 3 × 20, 4 × 15, 5 × 12 o de 6 × 10. En el cas dels trenta-cinc hexòminos tornem a trobar que no és possible omplir amb ells un rectangle de 210 quadrats, per una raó una mica més subtil que la dels tetròminos. En el cas de tots els ordres superiors torna a ser trivial veure que no és pot formar un rectangle. Sí, trivial, a partir dels heptòminos hi ha peces amb forats interiors, que naturalment no es poden cobrir amb altres peces.

Imatge de síntesi dels dotze pentòminos en un rectangle de 6 × 10

Deixant absolutament de banda tots els problemes de caire numèric, geomètric o lògic, hi ha la qüestió de com construir models físics. Retallar paper és fàcil, però els resultats deplorables, quan hom intenta posar una peça, mou les veïnes, i fins i tot respirant pot engegar a dida la figura formada. Cartolina és una mica millor, mica, és difícil de tallar amb tisores sense passar-se ni corbar-la, i amb cúter tampoc no és que sigui fàcil. Depenent del gruix té problemes similars al paper, i de totes maneres les peces no són gaire duradores. Cartró «ploma» o altres fulls gruixuts i tous són una millor solució a l’hora de tallar amb cúter, però cal, en general, optar per peces grans, a partir d’uns cinc centímetres de mida del quadrat unitat.

No, cap dels jocs artesanals que conservo és fet així. Una opció que havia fet servir i encara conservo per un petit conjunt de peces particular, és fer-les amb «Lego», cal tenir-ne i és una mica car però reutilitzable. Un altra mètode obvi és fer les peces de fusta. També convé aquí optar per peces grans, Si cal emprar serra és feinós encara que entra sins el raonable si no s’han de fer massa peces. Tinc un joc de 14 peces especials —realment no són exactament poliòminos, però gairebé— fet així, a partir d’un llistó de fusta bona, d’amplada igual a dos quadrats base. I també tinc un joc dels dotze pentòminos pensat per dur a fires o tallers i ser manipulat per nens que en part el van construir els meus fills quan eren nens: a partir d’un llistó ample i prim es tallen peces —de una a cinc vegades més llargues que amples— per fer dos pentòminos iguals però amb els talls mai situats coincidents; posteriorment es superposen, s’enganxen —o claven— i en el meu cas es pinten.

Una nena jugant amb un joc de pentòminos de fusta de dues capes en una fira a la Ciutadella de Barcelona

Amb aquests antecedents al cap volia fer-me un joc d’hexòminos —35— que sí que es pot trobar al comerç, però a preu prohibitiu, i no em decidia. Fins que un dia vaig trobar en una botiga de manualitats escolars, una bossa amb centenars de cubs de plàstic de diversos colors i un centímetre de mida amb els que, enganxats amb una pega adequada —aquesta no sé si era adequada per nens per allò dels solvents—, podia formar tots els poliòminos que volia i fins i tot els «policubs», la mateixa idea en tres dimensions. Així, vaig poder fabricar un conjunt amb tots els poliòminos de fins a sis quadres, tots els policubs fins a cinc, i algun altre que volia per a problemes específics. I enganxar cubs amb una pega ràpida, és molt més fàcil que començar a tallar.

Publicat dins de Ciència i pensament, Divulgació, Educació, General, Problemes | 2 comentaris

Pilar de set amb mig folre i, finalment, manilles

Fa unes setmanes havia comentat aquí una antologia de Lluís Maria Xirinacs que havíem divulgat en forma de llibret: d’un a tres fulls de paper, impresos per les dues cares que, adequadament plegats, grapats i tallats, generen un micro-llibret més fàcil de llegir que els fulls solts. Un dels primers que vaig fer va ser aquests conte, no escrit sinó pensat a peu dret i de memòria, un dia mentre esperàvem uns amics en una ciutat catalana, on algunes vegades anem a veure castells.

En Perot era lladre, i no un qualsevol, era el cap de la colla més temuda de tota la comarca. Els seus delictes eren innombrables, amb violència o amb intel·ligència, el compte s’anava engreixant cada setmana: cases, magatzems, transports de mercaderies, vianants. Tots eren els seus objectius.

No era pas un secret qui era el cap de la colla dels lladres, però mai l’havien pogut enxampar. A vegades per sort, altres per astúcia, però fonamentalment per la fèrria organització del seu grup i la meticulositat i bona preparació de tots els cops. La disciplina militar no era res comparada amb l’autoritat que tenia en Perot sobre la seva gent. I els imposava unes mesures de seguretat que gairebé tots consideraven exagerades.

Ara tenia un nou objectiu, el més gran de tots. La casa del marquès de Puigdellops, el personatge més ric de la contrada. Hi havia entrat disfressat d’ajudant de paleta quan les darreres pluges van malmetre part de la teulada i ho havia vist: quadres dels més importants pintors del país, armes antigues, objectes religiosos amb or, plata i pedreries. Potser mil vegades més valuós que el darrer botí, el carregament d’olives de Maspujolet, que a més havia estat força feixuc de transportar i difícil de vendre.

L’única mesura de seguretat era el propi casalot. Una enorme baluerna cúbica, amb finestres reixades i portes forrellades. I a sobre, al mig de la vila, davant mateix de l’Ajuntament. Sols el carreró de la part posterior, el Pas dels Gats, era solitari. I sols per aquella banda en Perot va veure un punt vulnerable: una finestra sense reixes al segon pis. Era una de les últimes modificacions de l’edifici, es va obrir el forat quan es va construir la sala de bany. De totes maneres era massa elevat, amb l’escala més alta encara mancaria un bon tros per arribar-hi.

La finestra no donava directament al Pas dels Gats, hi havia un petit pati entre la casa i el carreró. Una reixa separava el pati de l’exterior, una reixa amb una buguenvíl·lea espessa que amagaria els lladres que fossin sota la finestra. Una reixa amb una porta que tenia una clau que en Perot ja havia robat al jardiner.

Els millors escaladors de la Colla ja li havien dit que era impossible pujar per la paret, era totalment llisa, de carreus perfectament ajustats. Els hauria d’ajudar algú des de dalt llençant-los una corda. No hi havia cap altra possibilitat.
En Perot, quan tenia una dèria no la deixava, va provar de fer fer una escala més llarga, però a part de la dificultat d’entrar-la per la porta del carreró, es va trencar quan la provaven i el Pocapena que era qui pujava, també es va trencar una cama i tres costelles.

Ara el casalot estava desert, en Puigdellops estiuejava a la platja amb tota la família i els servents, però a primers de setembre tornaria, tenia dos mesos per idear i executar un pla.
Se li va acudir el dia de la festa major, a la plaça de la vila, precisament entre el casalot i l’ajuntament. Feien castells, i amb tanta gent badant, es podia obtenir un bon rendiment. Tota la colla era a la plaça, alguns amb la missió de robar carteres, bosses i joies, altres amb la de fer desaparèixer les proves i recollir el botí, altres vigilaven els guàrdies i protegien els lladres. En Perot ho dirigia tot sense ni parlar, amb petits gestos i mirades. Aleshores ho va veure, els castellers, per acabar l’actuació feien pujar un pilar sota el balcó de l’Ajuntament i l’enxaneta era recollit pel Senyor Alcalde. Ja ho tenia, si una escala no valia, faria un pilar, tenia prou gent i eren prou valents…

Van començar a assajar a Mas Garriu, que era de la germana d’en Perot, tenia tres plantes, una finestra a l’alçada adequada i estava allunyat del poble. I aviat van venir els problemes. En Joanet, que hauria de fer d’enxaneta, va caure i va anar directament a terra. No es va trencar res però es va fer mal i va agafar por. Sols una hàbil combinació d’afalacs, promeses i amenaces va aconseguir que, tres dies més tard, tornés a pujar. Van decidir que calia fer una pinya el més gran possible per fer de matalàs si el pilar queia.

Naturalment, un pilar recolzat a la paret és molt més fàcil de fer que un de lliure al mig d’una plaça i en pocs assajos ja el feien de sis. Semblava que ja ho havien aconseguit quan, acompanyat de la plana major de la colla, amb una canya de pescar va anar a mesurar exactament l’alçada de la finestra. Amb un pilar de sis no n’hi hauria prou, s’hauria de fer de set, i això volia dir folre —mig folre, de fet, ja que hi havia la paret— per aguantar el terç.

I aleshores van tenir un altre problema, en Tomàs, anomenat cul gros, que feia de baix, es va herniar quan el pilar va anar per terra degut a una relliscada d’en Joanet que no va trobar un bon lloc per agafar-se a en Manelic, que era el cinquè.

En Perot va decidir que n’havia d’aprendre més i va anar a veure vàries actuacions castelleres més, va parlar amb la gent i va arribar a la conclusió que les coses s’havien de fer ben fetes. Si en Tomàs hagués portat faixa no s’hauria fet mal. Si en Manelic hagués dut una camisa adequada, en Joanet no hauria caigut…

Pensat i fet. Tenien les camises negres que havien robat al mercat de Vilaplana i encara no havien col·locat, les faixes les van fer amb tela obtinguda a Cal Baladre, la botiga de teixits, que no tancava mai la porta de l’eixida. Tot roba negra. Magnífic, si algú mirés la nit del robatori, cosa no gaire probable, ho tindrà més difícil per adonar-se que hi havia algú enfilat a la paret d’en Puigdellops.

Durant quinze dies la colla va continuar assajant, ara amb tota la parafernàlia dels castellers de debò. El pilar de set amb mig folre i recolzat a la paret, ja els sortia perfecte.

I va arribar el gran dia —la gran nit—. Una mica de boira encara va afavorir més els interessos d’en Perot i els seus. D’un en un van anar entrant al pati de darrera de la casa del Marqués. Sols en Pocapena i tres més van restar fora, als extrems del Pas dels Gats, disposats a impedir que algun vianant inoportú s’adonés que passava quelcom d’anormal.

Van bastir amb la precisió d’una troupe de majorettes la pinya del pilar, el mig folre, va pujar el terç, el quart —era en Paco, nebot d’en Perot—, que va donar la conformitat. El Perot va manar «quint amunt» i el pilar es va completar sense cap mena d’incident.

En Joanet va arribar a la finestra. Amb l’eina que duia la va espanyar ràpidament i va entrar. El primer que va fer va ser lligar una corda a la canonada per facilitar la pujada d’en Manelic. Mentrestant, la resta del castell es desmuntava amb perfecte ordre.

En Perot, com la resta de la colla, estava eufòric. En Manelic va començar a enfilar-se fins la finestra, duia una escala de corda que serviria per fer pujar els que no eren tan hàbils com ell. Tot sortia igual que als assajos de Mas Garriu.

Aleshores es va produir la catàstrofe, un xiscle d’en Pocapena, sorolls al Pas dels Gats i una veu prou coneguda pels membres de la colla. La d’un senyor cepat, amb bigoti, cara de pocs amics, vestit verd —i no precisament per ser dels Castellers de Vilafranca— que deia:

—Sortiu d’un en un amb les mans alçades, esteu detinguts»…
Què havia fallat al pla d’en Perot?


Veieu la solució amb un mirall
Publicat dins de Llibrets, Textos | Deixa un comentari

Què és? Exemple 2 “autòmat cel·lular”

Hi ha una de les idees, originàriament del projecte «Què és?», que s’hauria de presentar sense enunciat, que la vaig treure del conjunt per incorporar-la a un projecte de novel·la. No com a part del text principal, sinó en forma d’apèndix —no essencial per a seguir la trama del llibre— on la protagonista explica els mètodes pedagògics que s’hi apliquen i els raonaments que ella ha de fer en aquell escenari, concretament una ucrònia feminista situada als anys cinquanta del segle XX.

En definitiva, un «Què és?», relativament difícil però explicat, ni que sigui superficialment.

La idea d’aquest enigma em va sorgir tot jugant amb un programa autòmats cel·lulars anomenat Golly. És lliure i es pot baixar per a qualsevol sistema operatiu d’ordinador o telèfon intel·ligent. Una de les regles que proposava s’anomenava precisament «replicator». Ignoro si John Horton Conway, que va idear els autòmats cel·lulars anomenats «joc de la vida», va desenvolupar aquesta regla alternativa, no he sabut trobar a la xarxa cap altra referència i mai no he vist res similar al problema que proposo.

Passo a copiar una part de l’apèndix de la novel·la en curs.

El paper que ens va donar l’Oscar —n’havia fet setze còpies, una per a cadascuna de nosaltres—, era un diagrama força senzill però sense cap explicació, només uns dibuixos sobre una quadrícula.

D’entrada, no li veia la més mínima connexió entre les diverses formes o patrons, més enllà de ser alguna cosa que «anava creixent». Per això, el primer que vaig fer va ser intentar veure quina relació tenia cada figura amb la següent, ja que semblava força evident que la figura inicial anava creixent a cada passa: al principi mesurava 5 × 6, al segon pas 7 × 8, i així, cada vegada augmentava en una unitat la mida en totes direccions, una mica com un cultiu de bacteris en una placa de Petri. Una placa de Petri una mica rara, concretament quadriculada.

Però una cosa és pensar en un creixement i una altra trobar-ne les regles. Com que la figura creixia per les vores, em vaig concentrar en les del primer i segon quadre. Les vaig dibuixar una al costat de l’altra en paper quadriculat, la primera en vermell amb un punt blanc i la segona en negre. Després les vaig superposar.

Aleshores, vaig observar que una línia de diversos quadres creixia una unitat cap a l’exterior, llevat del extrems. Per exemple dels sis quadres vermells de l’esquerra, els quatre del mig creixien un quadre cap a l’exterior, però els de les puntes es desplaçaven amunt i avall. Massa rebuscat.

Raonant en sentit contrari, tots els quadres de la segona figura, els negres, tocaven ni que fos per la diagonal un de la primera. Això anava una mica millor. De totes maneres, totes les caselles, amb punt o sense, de la vora de la segona figura, tocaven algun punt de la primera, però algunes contenien punt i altres no. I a quants punts de la generació anterior tocava cadascun de la nova?

Va ser fàcil veure que a un o a tres, mai dos. Examinant la vora de la tercera figura vaig poder constatar que també tenia els punts on se’n tocaven un o tres de la segona. Segur que anava pel bon camí. La regla del creixement exterior era aquesta, es complia en totes les figures. Què passava, aleshores, si a la perifèria hi havia caselles que no tocaven cap punt de la figura anterior?

El cas més clar era entre la sisena i la setena figura del paper original, a la vora dreta, a la part de baix. Hi havia cinc caselles en blanc a la sisena que a la setena corresponien a dos punts als extrems, punts que en tocaven a un de la generació anterior, i tres espais en blanc, que corresponien als llocs on no hi havia cap punt veí.

I la regla general de creixement interior?

No va ser difícil, a base de dibuixar les figures superposades —ho vaig fer en paper vegetal—, veure que en cada cas apareixia un punt a la casella que en el diagrama anterior tenia una, tres, cinc o set veïnes ocupades per un punt.

Bé, ja tenia la regla, i era simple. A cada generació apareix un punt a la casella que a la generació anterior tenia un nombre senar de caselles veïnes ocupades. Ara calia veure què passava a la novena generació del diagrama. Sense gaire esperances de veure res especial a la figura, vaig començar a dibuixar el novè requadre seguint la mateixa regla.

Ben aviat vaig veure una cosa estranya, que es va anar confirmat a mesura que vaig acabar de calcular tota la figura.

Extraordinari, apareixien vuit còpies de la figura inicial, com per art de màgia. De l’aparent caos de la vuitena figura sorgia l’orde. Ja convençuda a priori del que passaria —que la multiplicació de la imatge depenia de la regla i no de la figura inicial—, en vaig provar una altra sobre paper mil·limetrat; desprès de força feina i alguns errors va passar el que ja pensava, a la vuitena generació, apareixien vuit còpies del disseny de punts original.

I si seguia el procés?

Encara amb moltíssima més feina, vaig veure que a la generació setze, tornaven a sortir una altra vegada vuit còpies idèntiques, però més allunyades.

Ara, la pregunta era, per què?

Potser aquí, es mètodes de raonament matemàtics més clàssics em van ajudar una mica, en un problema on realment de càlcul n’hi ha ben poc. En primer lloc, buscar la versió més simple del problema: què passa quan es parteix d’un sol punt?

Aquí es pot veure que als passos 2, 4, 8 i, continuant, a totes les potències de dos, el resultat són vuit punts formant un quadrat separats per 2, 4, 8… caselles.

La segona constatació és que si hi ha dos punts, cadascun evoluciona de la mateixa manera i mantenint les posicions relatives. I quan els descendents de cadascun d’ells es troben a la mateixa casella, s’anul·len, és una superposició on buid + buid = buid, buid + punt = punt i punt + punt = buid.

Amb aquestes regles, és fàcil veure que quan una figura de mida menor que 8 evoluciona, a la vuitena generació cadascun dels punts inicials s’haurà multiplicat per vuit i estarà a una distància dels altres que ja no hi haurà superposicions; i com que manté les posicions relatives respecte els altres punts inicials, el resultat seran vuit figures idèntiques en disposició de quadre, que no es superposaran. Naturalment que si la figura inicial és més gran, caldrà esperar 16, 32, 64… o un nombre de generacions igual a una potència de dos prou gran, perquè les figures no es superposin i sigui visible la replicació.

Publicat dins de Educació, Problemes, Què és?, Textos | Deixa un comentari

Aprendre de memòria

En general, no recomanaria mai a un estudiant aprendre’s la lliçó de memòria. Per una banda, en general això només serveix per passar una prova i a mig termini en resta poc. Segon, en aprendre de memòria, sense més, en general no es distingeix entre els conceptes troncals dels accessoris, distinció que acostuma a venir més del aspecte «emprar les dades» que no pas del concepte «incorporar les dades». Tercer, en la majoria dels temes, aprendre de memòria requereix molt més esforç que comprendre i integrar, per molt que molts estudiants, probablement per manca de costum els sembli el contrari.

No obstant això, algunes vegades cal aprendre algunes coses de memòria, des del meu punt de vista elements arbitraris —vull dir que no es poden deduir— i imprescindibles per formar l’estructura dels coneixements de la matèria. Per exemple, les declinacions llatines, llengua que gairebé ningú aprèn actualment per mètodes més naturals basats en conversa o similars. En general, en aquests temes es pot dosificar i no fer-ne un costum general. Per posar un cas que m’ha afectat molt més que el llatí, Algunes fórmules de trigonometria cal sabeer-les sense haver de pensar, però realment de memòria només en cales unes poques, diria que, a banda de les definicions, recordant el teorema del sinus, el del cosinus, les fórmules dels angles doble, meitat i suma d’angles, totes les altres són «trivialment» deduïbles; cinc formules per tota la trigonometria que es veu actualment al batxillerat de ciències, perquè a l’humanístic, seria com si als científics no ens calgués saber qui era Aristòtil o Plató.

«Trivialment» és la clau, qualsevol aprenentatge memorístic no serveix per a res si no s’és capaç de fer-lo servir per bastir l’estructura de la matèria. Continuant amb la trigonometria, si hom no sap l’àlgebra prèvia, manipular expressions, bàsicament, aprendre de memòria les fórmules, ni tan sols les bàsiques, no serveix per a res. Bé, en alguns casos serveix per aprovar, però això és un frau i no precisament per part de l’alumne.

De totes maners un alumne es pot trobar amb la imminència d’una prova o s’avaluarà si sap o no sap una llista de noms de memòria, passa força més del que seria necessari. Aleshores existeixen les regles mnemotècniques, una de les més conegudes és la del recorregut: cal imaginar un recorregut quotidià: l’habitació, el passadís, el bany, la cuina el menjador, el rebedor, el replà, l’ascensor, en vestíbul, la vorera… fins arribar a l’aula, per exemple. I a cada indret imaginar la paraula que volem aprendre, especialment de manera exagerada, com una pintada en colors llampants. Per recordar-les tornar a fer el recorregut invers i fer venir la paraula que havíem escrit a cada lloc. El problema és que per tornar a fer servir aquest sistema, cal esborrar les paraules que hi havíem posat el cop anterior.

Hi ha alumnes que fan «txuletes». Gran sistema, a mi m’anava molt bé, en feia una, dissenyada ben petita però clara, i l’endemà, a l’examen, era indistint si la duia perquè recordava com l’havia feta…

De totes maneres, la millor regla mnemotècnica que vaig imaginar, requeria prèviament haver fet un altre esforç de memòria i saber-se el codi morse. En arribar pel matí a l’escola dibuixava una o unes poques línies horitzontals a la part alta de la pissarra, i amb un dit n’esborrava parts per tal de deixar en morse, a base de punts i ratlles, la llista de paraules que havia de recordar. Normalment ningú no ho esborrava i quedava allà a la vista de tothom per poder-les transcriure al paper de la prova. L’altra opció era fer-ho amb llapis sobre la «fòrmica» del pupitre.

A la vida real, més que recordar una lliçó de memòria, el que cal és saber on trobar-la ràpidament: és molt important saber preguntar adequadament a Sant Google Gloriós o a qualsevol altre sistema que ens ajudi en la memòria. El que realment té mèrit, és saber emprar les dades. Ara mateix no recordo la massa atòmica del molibdè, però la sé cercar i emprar quan la necessito.

Publicat dins de Educació, General | Deixa un comentari

A simple vista: Ganimedes, Urà i Vesta

Ganimedes, el satèl·lit més gran de Júpiter —i de tot el sistema solar— va ser descobert per Galileo el 7 de gener de 1610. Amb el seu telescopi que, a banda de ser dels primers telescopis era, naturalment, primitiu, amb una qualitat òtica propera als binocles de fireta per a nens. Però el cas és que fins i tot amb binocles de fireta, és relativament fàcil veure els satèl·lits de Júpiter, fins i tot en els contaminadíssims cels que ara tenim als pobles i ciutats. Galileo va ser el primer que va observar científicament el cel amb telescopi. és probable que altres constructors previs també haguessin apuntat el seu instrument al cel, però no van deixar constància de cap descobriment.

Urà, el planeta, és prou conegut pel públic en general. Va ser descobert per William Herschel el 13 de març de 1781. Amb el seu telescopi, que era dels de millor qualitat del món en aquell moment. Era un telescopi autoconstruït. El cas és que Herschel es guanyava la vida com a músic d’una banda militar i de diners no en tenia gaires; quan es va aficionar a l’astronomia va voler comprar un telescopi però els més senzills estaven fora del seu abast, o sigui que va decidir construir-se’l. Com que fer miralls era més senzill que fer lents, va decidir fer-lo reflector, amb mirall de bronze polit, i amb els anys va esdevenir un dels millors especialistes del món, i el telescopi que emprava personalment tenia una qualitat òptica superior al de la majoria dels professionals de l’època. Això va ser determinant, Urà havia estat vist prèviament moltes vegades —hi tornarem—, però amb el seu telescopi, Herschel va veure que presentava un disc, minúscul però diferent a la imatge puntual de les estrelles.

Vesta, el quart asteroide que es va descobrir, el 29 de març de 1807, per Heinrich Wilhelm Olbers, va ser fruit d’una recerca deliberada de petits cossos en òrbita al Sol entre Mart i Júpiter. Va ser el tercer que es va descobrir en un programa més o menys sistemàtic de diversos astrònoms alemanys. Curiosament, abans que comencés aquesta recerca, el primer dia del segle XIX, Giuseppe Piazzi, des de Palerm, havia descobert el primer dels asteroides, Ceres, mentre elaborava un catàleg d’estrelles: va trobar el que semblava una estrella que en nits successives canviava de posició, finalment va resultar ser un petit cos precisament de la mena que els alemanys volien cercar. Els telescopis de Piazzi i Olbers, ja eren notablement millors que el de Herschel quan va descobrir Urà, en l’interval de temps, s’havien millorat molt les lents dels objectius dels telescopis refractors.

Tres descobriments fets amb telescopi.

Ganimedes, Urà i Vesta, des de sondes espacials, imatges de la Viquipèdia

Però el més curiós del cas és que aquests tres objectes, en condicions favorables, es poden veure sense telescopi, i al menys en els dos primers hi ha una certa constància escrita. Sabent on eren, i quan tenia molt més bona vista, els havia arribat a veure els tres a ull nu. I moltíssima gent abans dels seus descobriments també. La pràctica totalitat sense ser conscients de que el que veien no era una estrella ordinària, i la immensa majoria sense deixar-ne cap registre escrit. Però algú si ho va fer.

L’any 365 abans de Crist, un astrònom xinès anomenat Gan De, va deixat escrit que al costat de Júpiter hi havia vist una petita estrella rogenca. En general, Ganimedes no és visible, no perquè brilli poc, pot arribar a ser de la quarta magnitud, sinó perquè la lluor de Júpiter l’oculta; però si tapem Júpiter amb un objecte llunyà, per exemple un arbre, una muntanya o un edifici, els seus satèl·lits i específicament Ganimedes que és el més brillat i pot estar relativament separat del planeta, es pot distingir fàcilment. Naturalment que no sabem si realment va veure Ganimedes, o era potser Cal·listo o una estrella vermellosa que per casualitat era prop de Júpiter el dia de la observació.

Passem a Urà. Hiparc de Nicea, el segle segon abans de Crist, va ser el primer astrònom que va elaborar un catàleg d’estels que ens hagi arribat als nostres dies. Arribat, però passant per diverses mans i traduccions que hi van incorporar més estrelles o potser van cometre algun error de transcripció. El cas és que en el catàleg que tenim actualment, hi ha algunes poques estrelles que no sabem identificar. Una de les coses importants del catàleg d’Hiparc, és que va introduir el concepte de magnitud, dividint els estels en classes depenent de la seva lluentor, els més brillants eren de la primera magnitud, una mica menys brillants de segona, i així successivament fins arribar a la sisena, els objectes més febles que es veuen en condicions normals. I resulta que una de les estrelles de cinquena magnitud que apareixen al catàleg, sembla no existir, Però l’any 129 Ac, que és quan aproximadament es va elaborar el catàleg d’Hiparc, Urà, de cinquena magnitud, era relativament prop de la posició de l’estel desaparegut. La probabilitat que ho fos, sembla remota, però és possible que fos la seva primera detecció enregistrada.

Perquè essent Urà relativament brillant, hi ha moltes més deteccions anteriors al descobriment oficial d’Herschel. La més sonada va ser el 1690, quan John Flamsteed elaborava un mapa d’estrelles, un mapa on va introduir per a cada constel·lació, una numeració per les estrelles anat d’oest a est. Així, la famosa 61 cygni, era la 61ena estrella a partir de l’oest de la cosnstel·lací del cigne en el catàleg de Flamsteed. I aquest catàleg, i el mapa corresponent, inclou 34 tauri. En un lloc on no hi ha cap estrella ni de cinquena ni de sisena magnitud. Flamsteed, a banda del catàleg, ens va deixar notes on es veu que va observar 34 tauri al menys sis vegades, però no va veure ni el disc, ni es va adonar que anava canviant lentament de posició. Era Urà.

Observacions de Ceres no en conec cap de prèvia, però quan l’asteroide és més prop de la Terra és de sisena magnitud i es pot arribar a veure en un cel ben fosc. És el segon més gran dels asteroides, una mica més de la mitat de Ceres, però brilla més perquè la seva òrbita és més propera al Sol i a la Terra, i perquè te la superfície bastant clara. Jo l’he vist, però no només això, l’he tocat amb els meus dits. Realment no he anat a Vesta, és Vesta qui ha vingut aquí. Milions d’anys enrere, alguns grans impactes amb altres asteroides, van foradar uns cràters enormes a Vesta i van llançar gran quantitat de material a l’espai. Algun d’aquest material, en forma de meteorit, acaba caient a la Terra, i per la seva composició es pot deduir que prové de Vesta, un asteroide diferenciat e capes i que ha sofert grans impactes. I d’aquests meteorits, n’he tingut un fragment a les mans.

Però si des de la Terra ja són visibles aquests tres cossos, si visquéssim a Mart —obviant temperatura, pressió i composició atmosfèrica o radiació—, encara es veuríem més.

Vesta seria en les seves aproximacions unes quatre vegades més brillant que des de la Terra. Ganimedes també més brillant que des de la Terra, però sobre tot, en estar més a prop, el veuríem més separat de Júpiter. Urà, també seria una mica més lluminós que des de la Terra, en aquest cas no gaire però apreciable. Val a dir que des de Mart, el que sí seria evident és la presència de la Lluna a l’entorn de la Terra, la Lluna arribaria a ser un punt com un estel de primera magnitud, i força separat de la més brillant Terra com per ser evident que hi gira al voltant.

Publicat dins de Ciència i pensament, Divulgació, General | Deixa un comentari

Posta de sol per mar

Quan era petit, i vivint a un poble de la costa, m’havien explicat que el Sol sortia per mar i es ponia per la muntanya. Veure’l pondre’s ho havia vist molt sovint, això de sortir volia dir matinar que no era precisament una de les meves aficions. A la pregunta si el Sol mai no es ponia per mar, recordo que algú em va dir: «A Mallorca, sí». I més o menys això va ser el que vaig creure fins adult, que als Països Catalans, el Sol només es ponia sobre el mar des de les Illes.

Fins que la meva dona, una tarda d’hivern abans de casar-nos, em va dur a la platja de Castelldefels i em va mostrar el Sol ponent sobre el mar. Mai no ho havia pensat, ni molt menys calculat que això fora possible des del Principat. Incidentalment vaig ser dels últims que vaig fer el curs anomenat preuniversitari, on es veia trigonometria esfèrica i s’aplicava als moviments del Sol —suposant la Terra en òrbita circular, que és relativament bona aproximació—.

En definitiva, a la zona de costa entre la desembocadura del Llobregat i davant Castelldefels, més o menys entre mitjans de novembre i la primera setmana de febrer, el Sol es pon sobre el mar. En altres punts de la costa com el cap de Salou o prop de Benidorm, la visual sobre el mar és massa curta i sempre es pon sobre muntanyes que es veuen, o poden veure, més enllà.

El Sol ponent-se per damunt del mar des de la platja de Castelldefels

La foto és feta el dos de febrer del 2014, ja al final del període de visibilitat. El Sol està sobreexposat, per tal que el mar no sigui negre, i es difumina entre alguns núvols baixos a l’horitzó. Just a la dreta del Sol, a l’horitzó, s’hi veu una petita muntanya que sobresurt del mar, crec que és el Montsià. Una mica més a la dreta muntanyes de la zona de Vandellòs. També els veuen unes enormes sitges de ciment del port de Garraf, molt més properes.

Publicat dins de Divulgació, General | Deixa un comentari

Horitzons llunyans. Foto incògnita

Una de les maneres que he fet servir per ensenyar geografia de Catalunya, no vull dir al món de l’ensenyament, sinó a la vida real, ha estat el d’identificar fotos. I la idea em va venir perquè alguna vegada m’havia trobat amb alguna fotografia —bàsicament diapositiva o en paper— que ja no recordava on era.

Clar que la memòria i el context, jugaven a favor meu, però per exemple me’n va sortir una, d’un poble amb un carretera en primer terme, que l’únic que recordava és que havia estat en una ruta per carreteres secundàries entre la Terra Alta i Barcelona. I més o menys la data que va resultar ser irrellevant. Una altra vegada, tenia la presa de la foto delimitada al nord de la Segarra o voltants, però feta amb una càmera digital on aquell dia només hi havia unes poques fotos d’interiors o primers plans; s’hi veien dos pobles, un proper i un més enllà, alineats…

De totes maneres la foto, misteriosa, que us vull mostrar avui us diré recordo perfectament quan —primavera de 2015— i on la vaig fer —carretera entre Igualada i Santa Coloma de Queralt—. La foto era força dolenta en el sentit que hi havia una certa boirina. Això ho vaig poder arreglar una mica a costa del realisme dels colors: el vermell es veu menys afectat que el verd o el blau, i a l’ordinador es pot tractar la imatge de tal manera que la lluminositat la determini el canal vermell amb el contrast pujat. No és gaire artístic ni realista, però permet veure allò que a primera vista costaria. Puc afegir que la foto és feta amb un zoom equivalent a 576 mm sobre un quadre de 35.

Un paisatge de finals de primavera, un dia no tan clar com sembla.

Les preguntes són: Quines són les muntanyes del fons,  esquerra i dreta? Quin és el poble de mig pla? Des d’on exactament es va fer la foto? Aquí la pista és que al costat mateix d’un monument.

En el meu cas, l’eina fonamental que empro per identificar fotos és GoogleEarth, les fotos que hi té col·locades i la vista a nivell de carretera anomenada StreetView.

Subsidiàriament: podeu identificar alguna altra cosa a la foto?

 

Publicat dins de Educació, Problemes | Deixa un comentari

Un triangle misteriós, per pensar una mica

No és normal tenir un dau de tres cares, però ens en podem imaginar un fàcilment pensant en un dau ordinari i anomenant α: o , β: o , i γ: o .

Ara imaginem que dibuixem en un paper tres punts —els he marcat vermells—, format els vèrtex d’un triangle equilàter, vèrtexs que podem anomenar α β i γ —no surten al gràfic, és indiferent quin sigui quin—. Aleshores marquem un punt a l’atzar dins el triangle i tirem el «dau» de tres cares. Si surt α marquem un segon punt just a mig camí entre el primer i el vèrtex α. Si surten β i γ fem el mateix, respectivament amb els vèrtex que duen aquesta lletra. A continuació, tornem a tirar un dau i repetim la col·locació d’un punt a mig camí entre l’anterior i el vèrtex designat pel dau.

Si anem repetint el procès, al cap d’una estona tindrem una distribució de punts, tots dins del triangle, ja que no és possible que mig camí entre un punt i un vèrtex quedi a l’exterior.

Nou possibles solucions al problema

La pregunta, òbvia veient la il·lustració, és: a quina de les nou figures s’assemblarà més el nostre resultat?

I per quin motiu?

Publicat dins de Ciència i pensament, Divulgació, General, Problemes | Deixa un comentari