Els nombres triangulars, que d’alguna manera són similars als quadrats

Els grecs, i prèviament al menys babilònics i egipcis, coneixien perfectament els nombres quadrats, són aquells que compten una disposició quadrada d’objectes.

Setze és un nombre quadrat ja que setze baletes es poden posar en aquesta disposició

De la mateixa manera, coneixien els nombres triangulars, definits d’igual manera però en disposició triangular:

Vint-i-un és un nombre triangular ja que vint-i-una baletes es poden posar en aquesta disposició

Si els quadrats són molt més famosos es per que tenen moltes més aplicacions en matemàtiques, des d’elementals a les més complexes. Però no per això els triangulars deixen de ser interessants.

La sèrie dels nombres triangulars comença: 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120… Els podem obtenir fàcilment de les sumes parcials de: 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8…

Calcular el nombre triangular que correspon a la figura amb n objectes de costat, és gairebé tan fàcil com calcular el quadrat. Si el quadrat d’n el calculem fent n × n, el nombre triangular corresponent es calcula per n × (n + 1) / 2. Naturalment si n és parell n + 1 és senar i recíprocament, o sigui que el seu producte sempre és parell i es pot dividir per dos. Una manera de veure d’on surt aquesta fórmula és mitjançant la següent figura:

A l’esquerra hi tenim dos triangles iguals, en aquest cas de costat quatre. Si reordenem les baletes veiem que formen un rectangle de 4 × 5 —genèricament d’n × (n + 1)–. I com que el rectangle conté dos triangles amb la mateixa quantitat de baletes, cada triangle en tenia la meitat, o sigui n × (n + 1) / 2.

Una aplicació dels nombres triangulars, que vaig veure intuïtivament quan era petit, és el problema del brindis. Si sóc a una taula amb n persones més —en definitiva n + 1 persones— i tots brindem amb tots, quants brindis hi ha hagut? El resultat és el triangular d’n. Si jo també en compto per fer  el nombre n, la resposta és el triangular de (n – 1) que el podem calcular amb la fórmula n × (n – 1) / 2.

Hi ha fórmules curioses amb els nombres triangulars, per exemple, el nombre triangular d’n elevat al quadrat, és la suma dels cubs entre 1 i n, per exemple, el triangular de 5, que és 15, si l’elevem al quadrat ens dóna 225 i aleshores 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ = 1 + 8 + 27 + 64 + 125 = 225.

Si agafem la sèrie dels quadrats —1, 4, 9, 16, 25…—, calculem els seus inversos i els sumem 1/1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25… —aquí els punts suspensius volen dir que hem de continuar fins l’infinit—,  ens trobem amb un famós problema de les matemàtiques, anomenat problema de Basilea, que Euler va solucionar el 1733, 84 anys més tard de quan es va plantejar. El resultat és el curiós nombre π²/6. Podríem pensar aleshores que la suma dels inversos dels nombres triangulars encara és més difícil. Però no. La suma val exactament 2 i la demostració és relativament elemental.

Quan Gauss tenia 18 anys, va descobrir una interessant propietat dels nombres triangulars que va deixar anotada com: «ΕΎΡΗΚΑ! num = ∆ + ∆ + ∆», significa que cada nombre natural és suma de no més de tres nombres triangulars. ΕΎΡΗΚΑ! és EUREKA —ho he trobat— en caràcters grecs, tal com ho va escriure.

Si hi ha una operació inversa a elevar al quadrat, la que anomenem arrel quadrada, existeix l’arrel triangular?

No l’he vist mai anomenada així, però existeix i es calcula en termes d’arrel quadrada: (√(8n + 1) – 1) / 2. Així, l’arrel triangular de 120 seria (√(8·120 + 1) – 1) / 2 = (√961 – 1) / 2 = (31 – 1) / 2 = 15. Posem comprovar que el triangular de 15 val precisament 120: 15 × 16 / 2.

Un altre tema que relaciona quadrats amb triangular és cercar els nombres enters que siguin de les dues menes. N’hi ha infinits, la sèrie comença per 0, 1, 36, 1225, 41616, 1413721… com es veu creix molt ràpidament.

Trobar una fórmula explícita que ens doni aquests nombres no és fàcil, però sí que ho és una mica més trobar-ne una de recurrent, la que permet calcular un terme de la sèrie coneixent els dos anteriors, ho deixo com a problema.

Un tema que no he sabut trobar a internet és el de quines diferències hi pot haver entre un quadrat i un triangular. Acabem de veure que hi ha infinits casos on la diferència és zero. També hi ha casos amb diferències 1, 2, 3, 4, 5, 6 però curiosament mai 7. La seqüència de nombres que no són diferència entre un quadrat i un triangular continua amb: 7, 18, 23, 31, 37, 38, 40, 47, 52, 59, 67, 68, 70, 73, 83, 86, 88, 92, 98, 102… Com que aquesta no apareix a OEIS, em sembla que deu ser un tema poc estudiat o publicat. Malauradament conservo el full de resultats —de la dècada de 1980— però no els càlculs que vaig fer per obtenir-los. També podria ser que hagués comés alguna errada. Ho deixo per a qualsevol aficionat o professional que ho vulgui publicar, per exemple a OEIS.

49 és un nombre quadrat, 45 és triangular, la seva diferència és 4

 

Aquesta entrada ha esta publicada en Divulgació, Matemàtica, Problemes. Afegeix a les adreces d'interès l'enllaç permanent.

Deixa un comentari

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *

*