Ciència nombres i lletres

He estat uns dies sense escriure. El motiu és que no veia bé la pantalla de l’ordinador.

Una doctora de l’hospital de la Creu Roja de Barcelona, ara fa sis dies, em va canviar molt ràpidament el cristal·lí de l’ull esquerre per un de plàstic, crec que acrílic, molt més transparent que el que tenia. I em va deixar l’ull enfocat a l’infinit.

Però la situació és que no tenia cap ulleres que em permetessin veure-hi bé a 50 cm que és om tinc la pantalla.

Vaig fer invents de tota mena, tapant un dels ulls, amb les ulleres velles o unes de prop… però res, era incòmode. I fins avui no he tingut unes ulleres noves enfocades a 50 cm. Ulleres que hauré de canviar quan m’arreglin l’altre ull. Però, afortunadament, ara ja torno a poder escriure.

I és la primera vegada en la vida que amb l’ull esquerre hi veig bé de lluny sense ulleres, o mes exactament amb unes on el vidre de l’ull esquerre no té graduació.

I els colors, la temperatura de color que veig amb un ull és ben bé 2000 K més alta que a l’altra. Especialment ara veig els violetes especialment brillants. Fins i tot diria que cap a la banda de l’ultraviolat veig llum més enllà del límit anterior. Mai no ho havia vist: l’ull és sensible a l’ultraviolat proper, més exactament ho són els bastons de la retina que ara tenen menys filtre que amb el cristal·lí antic. Els bastons no hi són sensibles, o sigui que veig aquesta llum sense color, blanca. Hauré de portar sempre filtre ultraviolat i qui sap si violeta-blau quan surti a la llum del sol, que ara tinc menys protecció.

I com que tinc un ull ben enfocat a l’infinit, ara puc veure les estrelles sense ullera.

Com sempre, la contaminació lumínica de Barcelona impedeix del tot veure les estrelles febles. Però des d’un lloc tan il·luminat com la plaça de Sant Jaume, vaig poder veure les set estrelles més brillants d’Orió, i algunes dels seu voltant.

La constel·lació d’Orió és molt curiosa en alguns aspectes. En principi les constel·lacions són zones delimitades de la volta celeste que contenen tota mena d’objectes, alguns dels quals són estrelles brillants que formen una figura reconeixible. En general, són estrelles que estan aproximadament en la mateixa direcció però que no tenen a veure les unes amb les altres.

En el cas d’Orió, això no és ben bé cert. Les cinc estrelles que he marcat en blau i probablement també Betelgeuse, tenen un origen comú, es van formar al mateix gran núvol de gas i pols fa pocs milions d’anys i encara resten relativament prop les unes de les altres. Bellatrix és una estrella similar però està més propera a nosaltres i podria tenir un origen diferent. Alnilam, que es veu força similar a les dues veïnes Alnitak i Mintaka, podria ser també exterior al complex, però en aquest cas estaria més enllà. De totes maneres, el que veiem en direcció a Orió, és la part més interna del braç de la Galàxia més proper a nosaltres, braç que conté molts més núvols de gas i pols que l’immediatament més proper que ha originat els estels més brillants de la constel·lació.

Tots aquests estels brillants, són molt massius i joves. Consumeixen grans quantitats d’hidrogen i duraran —en termes astronòmics— relativament poc. En alguns milions d’anys esclataran en forma de supernoves. Probablement Betelgeuse, que ja ha exhaurit l’hidrogen del seu nucli, serà la primera. De totes maneres, no representa cap perill, són estrelles prou llunyanes perquè la seva explosió no representi un perill significatiu per a nosaltres.

El núvol de gas i pols, encara resta actiu i en algunes zones, especialment a la nebulosa coneguda com a Messier 42 —M42— al mapa, hi continuen naixent noves estrelles. Però el complex de gas és molt més extens que les nebuloses fàcilment visibles, i abasta pràcticament tota la meitat sud d’Orió, encara que només és visible en fotografies de llarga exposició.

Incidentalment, com que Orió rau en el pla de la Galàxia, justament en direcció contraria al centre, els núvols de gas impedeixen veure-hi més enllà i pràcticament no s’hi pot veure cap galàxia exterior a la nostra.

Els grecs, i prèviament al menys babilònics i egipcis, coneixien perfectament els nombres quadrats, són aquells que compten una disposició quadrada d’objectes.

Setze és un nombre quadrat ja que setze baletes es poden posar en aquesta disposició

De la mateixa manera, coneixien els nombres triangulars, definits d’igual manera però en disposició triangular:

Vint-i-un és un nombre triangular ja que vint-i-una baletes es poden posar en aquesta disposició

Si els quadrats són molt més famosos es per que tenen moltes més aplicacions en matemàtiques, des d’elementals a les més complexes. Però no per això els triangulars deixen de ser interessants.

La sèrie dels nombres triangulars comença: 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120… Els podem obtenir fàcilment de les sumes parcials de: 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8…

Calcular el nombre triangular que correspon a la figura amb n objectes de costat, és gairebé tan fàcil com calcular el quadrat. Si el quadrat d’n el calculem fent n × n, el nombre triangular corresponent es calcula per n × (n + 1) / 2. Naturalment si n és parell n + 1 és senar i recíprocament, o sigui que el seu producte sempre és parell i es pot dividir per dos. Una manera de veure d’on surt aquesta fórmula és mitjançant la següent figura:

A l’esquerra hi tenim dos triangles iguals, en aquest cas de costat quatre. Si reordenem les baletes veiem que formen un rectangle de 4 × 5 —genèricament d’n × (n + 1)–. I com que el rectangle conté dos triangles amb la mateixa quantitat de baletes, cada triangle en tenia la meitat, o sigui n × (n + 1) / 2.

Una aplicació dels nombres triangulars, que vaig veure intuïtivament quan era petit, és el problema del brindis. Si sóc a una taula amb n persones més —en definitiva n + 1 persones— i tots brindem amb tots, quants brindis hi ha hagut? El resultat és el triangular d’n. Si jo també en compto per fer  el nombre n, la resposta és el triangular de (n – 1) que el podem calcular amb la fórmula n × (n – 1) / 2.

Hi ha fórmules curioses amb els nombres triangulars, per exemple, el nombre triangular d’n elevat al quadrat, és la suma dels cubs entre 1 i n, per exemple, el triangular de 5, que és 15, si l’elevem al quadrat ens dóna 225 i aleshores 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ = 1 + 8 + 27 + 64 + 125 = 225.

Si agafem la sèrie dels quadrats —1, 4, 9, 16, 25…—, calculem els seus inversos i els sumem 1/1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25… —aquí els punts suspensius volen dir que hem de continuar fins l’infinit—,  ens trobem amb un famós problema de les matemàtiques, anomenat problema de Basilea, que Euler va solucionar el 1733, 84 anys més tard de quan es va plantejar. El resultat és el curiós nombre π²/6. Podríem pensar aleshores que la suma dels inversos dels nombres triangulars encara és més difícil. Però no. La suma val exactament 2 i la demostració és relativament elemental.

Quan Gauss tenia 18 anys, va descobrir una interessant propietat dels nombres triangulars que va deixar anotada com: «ΕΎΡΗΚΑ! num = ∆ + ∆ + ∆», significa que cada nombre natural és suma de no més de tres nombres triangulars. ΕΎΡΗΚΑ! és EUREKA —ho he trobat— en caràcters grecs, tal com ho va escriure.

Si hi ha una operació inversa a elevar al quadrat, la que anomenem arrel quadrada, existeix l’arrel triangular?

No l’he vist mai anomenada així, però existeix i es calcula en termes d’arrel quadrada: (√(8n + 1) – 1) / 2. Així, l’arrel triangular de 120 seria (√(8·120 + 1) – 1) / 2 = (√961 – 1) / 2 = (31 – 1) / 2 = 15. Posem comprovar que el triangular de 15 val precisament 120: 15 × 16 / 2.

Un altre tema que relaciona quadrats amb triangular és cercar els nombres enters que siguin de les dues menes. N’hi ha infinits, la sèrie comença per 0, 1, 36, 1225, 41616, 1413721… com es veu creix molt ràpidament.

Trobar una fórmula explícita que ens doni aquests nombres no és fàcil, però sí que ho és una mica més trobar-ne una de recurrent, la que permet calcular un terme de la sèrie coneixent els dos anteriors, ho deixo com a problema.

Un tema que no he sabut trobar a internet és el de quines diferències hi pot haver entre un quadrat i un triangular. Acabem de veure que hi ha infinits casos on la diferència és zero. També hi ha casos amb diferències 1, 2, 3, 4, 5, 6 però curiosament mai 7. La seqüència de nombres que no són diferència entre un quadrat i un triangular continua amb: 7, 18, 23, 31, 37, 38, 40, 47, 52, 59, 67, 68, 70, 73, 83, 86, 88, 92, 98, 102… Com que aquesta no apareix a OEIS, em sembla que deu ser un tema poc estudiat o publicat. Malauradament conservo el full de resultats —de la dècada de 1980— però no els càlculs que vaig fer per obtenir-los. També podria ser que hagués comés alguna errada. Ho deixo per a qualsevol aficionat o professional que ho vulgui publicar, per exemple a OEIS.

49 és un nombre quadrat, 45 és triangular, la seva diferència és 4

El gènere de la ciència ficció molt sovint es barreja o confon amb el de la fantasia.

Òbviament qualsevol autor és lliure d’escriure el que vulgui, no és cap mena de problema de legitimitat literària, sinó de definicions i classificació; el problema és que si dins la ciència ficció hi col·loquem una part del que podríem anomenar fantasia, quan esmentem el terme no sabem exactament de què parlem.

Una font de problemes és la confusió entre el gènere literari i l’escenari. Ara mateix em ve al cap una pel·lícula amb escenari de ciència ficció de l’any 1981 «Outland», protagonitzada per Sean Connery i traduïda com «Atmosfera zero». L’escenari era una colònia minera a Io, satèl·lit de Júpiter, i l’argument era pràcticament el mateix que el del western de 1952 «High Noon». Però a nivell de ciència ficció, l’escenari flaquejava molt, fins i tot comptant que quan es va filmar, alguns detalls sobre el satèl·lit Io no estaven tan clars com ara.

Com a exemple de febleses: la baixa gravetat pràcticament no s’hi veu reflectida, la gravetat de Io és menys d’un cinquè de la de la Terra, molt similar a la de la Lluna que ja s’havia trepitjat quan es va fer la pel·lícula. Tothom havia pogut veure com era el pas dels astronautes amb aquesta gravetat. Reconec que no és fàcil fer efectes especials per mostrar-ho, però al menys es podia intentar a les escenes on això tenia una certa importància.

Un altre cas més flagrant, és una escena on un dels personatges queda exposat al buid de l’espai i s’infla fins morir. Això no es correspon al que ja es sabia perfectament respecte l’exposició d’un cos al buid. Incidentalment al film «2001» hi ha una escena amb un personatge exposat al buid durant uns segons, que va tenir en compte experiments amb animals que s’havien fet a la Unió Soviètica al començament de la dècada dels seixanta, i que van mostrar que era possible sobreviure ―i sense inflar-se ni explotar― al menys 30 segons en el buid de l’espai.

Però no vull parlar de les errades de la ciència ficció més de consum, sinó de com podrien ser o no ser els planetes en una ciència ficció més hard, on l’escenari còsmic sigui part de la trama, no pas merament el marc on es desenvolupa una acció que sovint no té res d’especulació científica.

Dos planetes inventats, tipus gegant gasós, amb anells  i  colors inversemblants

Imaginar un planeta és senzill. Que sigui versemblant des del punt de vista de la ciència actual, ja és tot un altre problema.

Parlem d’un planeta mínimament habitable, on els personatges puguin deambular sense necessitat d’escafandre i suport vital complex.

Fins principis de 2019 s’han descobert gairebé 4.000 exoplanetes orbitant estrelles diferents al Sol. Quants n’hi hauria, més o menys, que permetessin als humans viure a la seva atmosfera?

Probablement, cap.

Que entre els exoplanetes descoberts no n’hi hagi cap d’aquesta mena no vol dir, ni molt menys, que no existeixin o puguin existir. En primer lloc, hi ha un biaix important sobre la mena de planetes que s’han descobert respecte el total de planetes existents, que són una mostra poc representativa de la població en general.

Com més gran és un planeta més fàcil és detectar-lo, és evident. Això implica que la gran majoria dels que coneixem són molt més grans que la Terra, amb dos problemes bàsics respecte l’habitabilitat: en primer lloc una atmosfera enorme, que fa que a la superfície sòlida, si és que n’hi ha, la pressió sigui enormement superior a la que els humans podríem resistir, i en segon lloc, una gravetat molt superior a l’acceptable. Probablement una gravetat un 50% superior a la de la Terra, ja seria totalment incompatible amb una estada permanent.

El segon motiu de biaix entre els planetes existents i els descoberts és que com més prop de l’estrella orbita un planeta, més fàcil és detectar-lo, tan si és observant els trànsits del planeta per davant el dics estel·lar, com si és mesurant l’influx gravitatori del planeta envers l’estrella. Això fa que la majoria dels 2.000 planetes extrasolars coneguts siguin molt calents, amb temperatures que en molts casos superen els 2.000 graus. Un escenari espectacular amb oceans de magma si el planeta té la mida adequada, però incompatible absolutament amb la vida tal com la concebem els humans.

Degut a la gran dificultat actual de detectar planetes realment habitables, quan se n’ha descobert algun que remotament ho pugui ser, la premsa se n’ha fet ressò. Són les anomenades superterres en zona habitable, una proporció ínfima menys d’una dotzena fins ara.

Superterres ja és una mica de mal rotlle, vol dir força més gran que la Terra i, en conseqüència, amb una gravetat no acceptable. Són planetes més petits que els gegants gasosos i que podrien arribar a tenir una atmosfera no especialment densa. La zona habitable vol dir que orbiten la seva estrella a una distància compatible amb temperatures superficials que permetrien aigua en estat líquid, temperatures més o menys acceptables per a l’home sense necessitat d’equipament complex.

De moment, probablement cap dels candidats trobats no reuneix les condicions adequades de gravetat i temperatura. De la condició atmosfèrica poc en podem detectar en aquesta mena de planetes amb la tecnologia actual, però en podem especular. I aquí ve un problema important.

En moltes novel·les o guions cinematogràfics, l’atmosfera és respirable. I això, des del punt de vista dels coneixements astrofísics actuals, sembla una mica difícil. Si la Terra té una atmosfera amb oxigen és perquè hi ha vida i fotosíntesi, o més exactament, n’hi ha hagut des de fa milers de milions d’anys. En condicions sense vida, l’oxigen lliure no s’hauria produït, estaria tot combinat en forma d’aigua, diòxid de carboni, òxids metàl·lics, silicats o altres compostos inorgànics; no es coneix cap procés abiòtic capaç de produir oxigen gasós a escala planetària, les atmosferes de planetes de la mida de la Terra molt probablement estan dominades gairebé totes pel diòxid de carboni i el nitrogen.

Si a l’atmosfera del planeta hi ha oxigen, i és d’origen biològic, l’autor de ciència ficció té dues possibles estratègies: que el planeta tingui vida autòctona i que, casualment, hagi generat oxigen en la concentració adequada, o que sigui un planeta terraformat, possiblement per humans.

Terraformar vol dir que si poguéssim anar a un planeta de mida i temperatures favorables, amb una atmosfera de nitrogen i diòxid de carboni que és el que creiem que és absolutament majoritari, introduint-hi vida vegetal o potser altres tecnologies més avançades, podríem arribar a formar-hi una atmosfera respirable. Possible, a priori sí que ho és, perquè a la Terra ha passat i sense intervenció conscient deliberada.

De totes maneres, una de les preguntes, si és que realment això és possible per voluntat i intervenció conscient, és quan es trigara?

No ho sabem. Potser, fins i tot podria ser un procés ràpid a escala còsmica. Segurament un procés en diverses etapes ja que els organismes que comencen a produir oxigen en les condicions inicials haurien de ser diferents als que el mantenen i augmenten en etapes més avançades. Especulant de manera optimista podem fer un símil amb la colonització d’un illot volcànic sorgit d’una erupció marina. En un ambient tan favorable a la vida terrestre com és la pròpia Terra, és un procés on la darrera etapa, la de la colonització vegetal ―i en un món que ja té oxigen― té una escala temporal de centenars d’anys. Sempre és difícil especular sobre tecnologies futures, però no crec que fos raonable una terraformació d’un planeta amb condicions d’habitabilitat bàsiques, però sense oxigen, en menys d’un miler d’anys. Probablement força més. I això si és que el planeta no té quantitats massives de diòxid de carboni que cal fixar a terra en forma de carbonat o expulsar a l’espai. La mateixa Terra, a part de la fotosíntesi que ha alliberat oxigen, ha necessitat la fixació de grans quantitats de carboni en compostos no gasosos; una part en carbó o petroli, però la gran majoria en carbonats, bàsicament de calci i magnesi, que un dia van ser esquelets d’éssers vius i que ara formen enormes muntanyes, un procés que aquí té una escala temporal de desenes o centenars de milions d’anys.

Però no només hi ha els problemes de la temperatura, la gravetat i la composició i pressió atmosfèrica. Altres qüestions poden comprometre l’habitabilitat, especialment si és per a una colonització a llarg termini.

Que la temperatura mitjana sigui adequada no vol dir que les fluctuacions no puguin fer un planeta inhabitable. Això vol dir, en primer lloc, que caldria una òrbita no gaire el·líptica. Al sistema solar aquesta condició la reuneixen tots els planetes, però molts dels exoplanetes que hem pogut mesurar no. Es creu que si els planetes solars tenen òrbites més o menys circulars és perquè la interacció amb un disc de protoplanetes, a la manera dels anell de Saturn, va circularitzar les òrbites; aquest procés probablement és comú en els sistemes planetaris que tenen planetes de la mida de la Terra, però cal que hagi acabat. Un planeta on els impactes de protoplanetes fossin freqüents, no seria gaire habitable; impactes com el que va extingir els dinosaures fa 65 milions d’anys no seria acceptable que passessin a intervals de milers d’anys com és el cas probable de molts planetes joves.

Joves aquí vol dir de menys d’uns 500 milions d’anys. Aquesta escala temporal probablement també és necessària per garantir que els processos tectònics no siguin massa intensos, en particular els terratrèmols i el vulcanisme. Tenint en compte que al menys fa 8.000 milions d’anys que es formen planetes de tipus terrestre ―es probable que abans la concentració d’elements més pesant que l’heli fos massa baixa― potser la limitació d’edat i circularització d’òrbites no seria especialment crítica.

Però hi ha una altra limitació que té a veure amb la temperatura que sí que segurament és molt crítica. Es tracta de la rotació.

Un planeta amb la rotació molt lenta, escala de setmanes, possiblement seria massa variable en temperatures per ser compatible amb un ambient adequat, és el cas de Venus ―inhabitable, a més, per altres motius―. Aquí la qüestió és que un planeta a l’entorn d’una estrella, posem´hi d’una massa inferior al 90% de la del Sol, per mantenir una temperatura mitjana acceptable, hauria d’estar a una distància on la gravetat de la estrella frenaria la seva rotació, fins el punt de sincronitza-la amb la translació; el planeta presentaria sempre la mateixa casa al seu sol, o potser si l’òrbita fos prou el·líptica, en una ressonància que produiria uns dies molt llargs, com és el cas del planeta Mercuri respecte el Sol. Això probablement causaria problemes d’inestabilitat en l’atmosfera i la hidrosfera: en el punt subsolar la temperatura seria tan alta que la majoria de l’atmosfera escaparia en uns pocs centenars de milions d’anys i l’aigua del planeta es condensaria tota en forma de gel a la cara fosca i freda. Un planeta amb la rotació aturada respecte el seu sol, difícilment seria habitable, i això, és possible que afecti a la majoria dels candidats, ja que les estrelles menors que el 90% del Sol són una gran majoria, més del 85% del total. I el 5% d’estrelles més grans, tenen una durada de vida massa curta comparada amb el temps d’estabilització orbital i geològica d’un planeta. Ens queda un 10%, com a molt, d’estrelles favorables.

Tot això és força antròpic, només són habitables per a nosaltres els planetes semblants al nostre. Però aquí estem discutint els planetes de la ciència ficció, habitats per homes, deixant de banda el problema del viatge.

Una altra limitació, que potser no seria tan crítica, és la presència de camp magnètic que aturés la radiació còsmica, tant la provinent de fora del sistema estel·lar, com la generada dins d’ell.

Una de les errades a la pel·lícula «Outland», és precisament que a Io, el satèl·lit de Júpiter, la radiació «fregiria» qualsevol humà en qüestió de minuts, i això ja es sabia quan es va rodar el film, en aquest aspecte, segurament hagués estat millor no esmentar el nom del cos celeste on passava l’acció. Per fer una obra científicament versemblant, necessitem un planeta amb un nivell de radiació tolerable per a una persona a escales de cent anys, o sigui, una radiació total no gaire més gran que la de la Terra; encara que aquesta condició no seria la més difícil de trobar: els planetes de la mida adequada, probablement tenen gairebé tots els planetes de mida terrestre i rotació prou ràpida, contenen un nucli conductor metàl·lic fluid que genera un camp magnètic que protegeix la seva superfície dels rajos còsmics.

Voler localitzar planetes de ciència ficció, al nostre sistema solar o a l’entorn d’estrelles conegudes és molt sovint un problema. Molt sovint la descripció que es fa, implícitament o explicita del món, no es correspon ni amb el que sabem ni amb el que és possible. Segurament hauria estat millor en molts casos no esmentar la localització concreta. Un exemple, en la saga de novel·les «Duna», de Frank Herbert, s’esmenta que el planeta Arrakis, essencial dins la història, gira a l’entorn de l’estrella Canopus. Això no és possible. Canopus és una estrella gegant molt brillant, amb una edat inferior als 30 milions d’anys que de cap manera pot haver generat planetes estables, i molt menys permès evolucionar vida en ells. A més, ja ha passat tota l’etapa d’estrella en la seqüència principal, i actualment canvia ràpidament a escala còsmica. Tot això ja es sabia quan Herbert va escriure la novel·la. A més, per a la història, no calia en absolut esmentar el nom de l’estrella.

Una mica diferent és el cas d’Isaac Asimov a la saga Fundació on, per exemple, s’esmenta el «sector» de Sirius quan hom parla de la regió del planeta original dels humans, però s’evita parlar del planetes concrets d’aquesta estrella. Tot i que en alguna obra posterior menys ambiciosa, sí que hi fa aparèixer «sirians». De totes maneres Sirius és una estrella una mica més versemblant com a seu de planetes habitables que no pas Canopus, encara viu a la seqüència principal estable i té una edat unes deu vegades superior, el problema important i perfectament conegut, és Sirius B, una nana blanca en òrbita pròxima que desestabilitzaria les òrbites dels presumptes planetes a la distància adequada.

El recurs literari de localitzar els planetes on es desenvolupa la ficció és molt general, però actualment només és raonable fer-ho a l’entorn d’estrelles que acompleixin unes condicions generals mínimes, per molt que una fracció important dels lectors no s’adonarien mai de les inconsistències.

Personalment, com autor de ciència ficció, he hagut d’inventar amb cert detall dos planetes habitables. En un cas, l’he escollit a l’entorn d’una estrella una mica més gran que el Sol però no gaire, en un futur molt llunyà, un planeta terraformat per humans desconeguts ―o per alguns ens que hi tenien relació― amb tecnologies també desconegudes i misterioses per als protagonistes. Posats a inventar, vaig decidir que fos un planeta troià d’un planeta gegant, com de cinc masses de Júpiter, a l’entorn d’una estrella de tipus F, més jove, més massiva i una mica més calenta que el sol. El període de rotació del planeta és sospitosament proper a les 24 hores, cosa que fa pensar que la terraformació va arribar a extrems d’aquesta mena. Per conveniència del guió, el vaig fer una mica més gran que la Terra però menys dens, de manera que la gravetat seria fins i tot una mica inferior. També amb més proporció d’oceà, un oceà que en ser un planeta jove no seria tan salat com el nostre, formant una única massa d’aigua, tal com va succeir a la Terra entre fa 300 i 175 milions d’anys. També en la línia de fer-lo diferent, el sistema estel·lar del planeta es va formar a partir d’un núvol de gas i pols amb força més presencia d’elements pesants que el que va formar el sistema solar.

Amb el segon planeta que vaig inventar, vaig fer una mica de trampa: és a l’entorn d’una estrella més petita que el Sol, de tipus K, de les més freqüents. Però no és tracta exactament d’un planeta, sinó d’un satèl·lit d’un planeta gegant, amb tres masses de Júpiter, que és amb qui té sincronitzada la rotació. En aquest cas la terraformació s’ha produït en un període de temps molt optimista d’uns 6.000 anys, via una nau robòtica, de les anomenades sondes de Von Neumann, capaç de replicar-se, que hi va aterrar abans que els humans per «deixar-ho tot preparat». El planeta té una mida i una gravetat una mica més grans que la Terra, i la seva atmosfera és aproximadament el doble, però amb menys proporció d’oxigen ―tot i que la pressió parcial és més gran― i molt més heli que la Terra; en aquest cas el període de rotació és superior als dos dies, cosa que fa que les diferències de temperatura entre la nit i el dia siguin bastant notables. Són dades inventades per tal de ser coherents amb els fets de la narració, però que al menys vaig intentar que fossin compatibles amb els coneixements del moment en que ho vaig escriure.

En definitiva, si la ciència ficció ha de ser una especulació basada en els coneixements actuals, cal inventar planetes compatibles amb el que sap la ciència actual sobre els planetes. No fer-ho, canvia el gènere de la ciència ficció per un altre, anomenat fantasia.

Al menys des del segle I abans de Crist que es té constància de textos xifrats. En particular es coneix l’anomenat xifratge de Cèsar, que havia estat emprat per a missatges militars quan hi havia la possibilitat que el text anés a parar a l’enemic.

El xifratge de Cèsar és molt elemental, consisteix en substituir cada lletra per la que la segueix al cap d’un cert nombre de caràcters en ordre alfabètic, tornant a començar per la primera lletra en el cas d’haver arribat al final. És força fàcil de desxifrar, però tenint en compte que molts dels enemics de Cèsar no sabien llegir en llatí, era raonablement segur.

En poso un exemple:

N W Y N A X C N A J U U J M A N R W X D W Z D J U B N E X U N A J N U L J Y M N U J L X U U J V N B C N V D M J M N C X C J U J L X V J A L J N U B B N D B M N U R L C N B N A N W R W W X V K A J K U N B J V K E R X U N W L R J X J V K R W C N U U R P N W L R J N U L X V Y C N B J W J E J N W P A N R G J W C L J M J B N C V J W J L J B N B V J P J C I N V B C A J W B Y X A C B M N V N A L J M N A R N B E R J W J W C B C X C B N A N W N U B B N D B X K S N L C R D B W X N A J Y J B D W B N L A N C Z D R N A J N U L J Y M N U J L X U U J M N U B U U J M A N B Y N A X V J R U Q J E R N W Y X P D C N W G J V Y J A J E N P J M N B Y N A B X A C J U C A N B Y N A J B C D L R J Y N A X O X W J V N W C J U V N W C Y N A U J O N A A R J X A P J W R C I J L R X M N U B N D P A D Y R U J V N C R L D U X B R C J C R K X W J Y A N Y J A J L R X M N C X C B N U B L X Y B U J M R B L R Y U R W J V R U R C J A W X N A J A N B L X V Y J A J M J J V K U J D C X A R C J C Z D N C N W R J N W Y N A X C B X K A N U J B N E J P N W C R N U B R V Y X B J E J D W N B V N B D A N B M N B N P D A N C J C Z D N P J R A N K N C X C B L X W B R M N A J E N W N G J P N A J M N B J A J C N W R J D W W X D X K S N L C R D N U V N B P A J W M N C X C B U J L J B J M N U V J A Z D N B M N Y D R P M N U U X Y B N U Y N A B X W J C P N V N B A R L M N U J L X W C A J M J Q R Q J E R J N W C A J C M R B O A N B B J C M J S D M J W C M N Y J U N C J Z D J W U N B M J A A N A N B Y U D P N B E J W V J U V N C A N Y J A C M N U J C N D U J M J R Q X Q J E R J E R B C Z D J M A N B M N U B V N B R V Y X A C J W C B Y R W C X A B M N U Y J R B J A V N B J W C R P D N B X K S N L C N B A N U R P R X B X B J V K X A Y U J C J R Y N M A N A R N B Y X C B N A V R U E N P J M N B V N B E J U D X B Z D N N U M J A A N A K X C R N U L J A A N P J V N W C M X U R E N B M N V J B Y D S X U N C Z D N J V N B Q J E R J N B C J C O X A L J O N R G D L M N C A J W B Y X A C J A R M R O R L R U M N E N W M A N U D W R L J V N B D A J M N B N P D A N C J C N A J N U Y A X Y R L J B J U X C D W J N W X A V N K J U D N A W J L D K R L J J V K O R W N B C A N B A N R G J M N B R Y X A C N B O X A A N U U J M N B R J B X K A N J U V R P M N U J E R U J M J E J W C V J C N R G M N U J S D W C J V N W C B X U B N U L J A A N A X M N U J Y J A C Y X B C N A R X A N U Y J B M N U B P J C B N A J B X U R C J A R R B X U B Y N A J Z D N U U J K J W M J N W Y N A X C E J E N D A N D W Y D W C E D U W N A J K U N D W J O R W N B C A J B N W B N A N R G N B J U B N P X W Y R B N A J D W J M N U N B D U C R V N B V X M R O R L J L R X W B M N U N M R O R L R N B E J X K A R A N U O X A J C Z D J W N B E J L X W B C A D R A U J B J U J M N K J W H M N C X C N B V J W N A N B N A J V J B B J N U N E J C J V K U N B L J U J V N B J U C J N W L J A J V J W L J A R J D W K X W C A X B Y N A J A A R K J A Q R

Naturalment que està escrit una mica «a la romana» que no vol dir arrebossat amb farina, ou i posteriorment fregit, sinó tot en majúscules i sense espais ni diacrítics. Val a dir que els romans no empraven ni J ni U ni W que es van introduir el segle XV, com a formes de la I i la V,  però aquí he fet servir l’adaptació moderna del alfabet llatí de vint-i-sis lletres.

Recordo de preadolescent d’haver emprat i desxifrat codis d’aquesta mena. I també recordo d’haver-ne inventat un de molt més complicat que emprava dos colors diferents, no és que fos especialment pràctic d’escriure.

Però he reprès la idea dels dos colors, de manera molt diferent i amb ordinador per xifrar la continuació del text de més amunt. Bé, de fet empra tres colors. Però una vegada es veu la idea és molt fàcil de llegir. Com a pista, té una mica a veure amb un palimpsest.

Naturalment que no es tracta de recuperar tot el text, només de descobrir el mètode i aplicar-lo a les primeres paraules. Si l’he fet més extens és per facilitar la recerca.

Potser per alguns és trivial, però per a altres és un petit misteri.

He agafat de la Viquipèdia una llista amb dades de les illes de la Mediterrània, de més de  cinc quilòmetres quadrats i he eliminat les despoblades, n’han restat 158. A continuació n’he fet una taula i m’he fixat en la primera xifra, tant de superfície com de la població. I n’he dibuixat una gràfica senzilla:

Com es pot veure, en ambdós casos, hi ha molts més valors que comencen per xifres petites que per les més grans.

La pregunta natural és perquè.

Com a pista podria dir que gràfiques similars haurien sortit si hagués buscat l’alçada màxima o la longitud de la costa.

Però el tema no va d’illes, també observem distribucions similars si fem l’estadística dels preus del supermercat, de la llargada dels rius d’un país o les cotitzacions de les accions de la borsa. Si la fem amb l’alçada d’un grup d’adults, la primera xifra seria aclaparadorament 1, ja que poques persones mesuren menys d’un metre o més de dos… és un dels casos on la gràfica no és d’aquesta mena, tampoc ho és la distribució dels nombres premiats a les loteries que és força uniforme si no hi ha trampa.

El cavall dels escacs és una peça amb unes regles de moviment diferents a les altres, no fa un recorregut per la «superfície» del taules on podria ser interceptada per una altra peça amiga o enemiga, sinó que «salta»: des de qualsevol casella pot anar a qualsevol de les vuit que hi ha a distància de dues unitats en un sentit i una en el perpendicular. Això és el màxim, si és prop de la vora del tauler, alguns salts el durien fora i no compten, és el cas de les quatre cantonades on un cavall només té dos moviments possibles.

Un aspecte bàsic del salt de cavall és que a cada passa canvia el color de la casella on va a parar. Conseqüència d’això és que per anar a una casella del mateix color, sempre li calen un nombre parell de jugades. Per exemple, amb dues jugades un cavall pot anar a qualsevol casella del mateix color situada a tres o menys caselles de distància en sentit horitzontal o vertical, llevat de les situades exactament a dues caselles de distància en diagonal que requereixen quatre salts. Això ho saben bé tots els jugadors d’escacs, desplaçar el cavall dues caselles en diagonal consumeix massa moviments i en molt pocs casos passa amb jugades consecutives en una partida real.

Un cas concret de moviment entre dues caselles del mateix color és anar de punta a punta d’una diagonal. Aquí el mínim és de sis salts. I la pregunta que faig és:
—Per quants recorreguts diferents es pot fer?

Un dels possibles recorreguts d’un cavall de punta a punta de la diagonal en 6 salts.

Tots els possibles recorreguts en sis salts superposats, és difícil comptar-los aquí.

Si el tauler no fos de 8 × 8 caselles, també ens podem plantejar la pregunta.

En un tauler de mida 1 × 1 la resposta és «degenerada» zero salts ens porten «de punta a punta» d’una sola manera possible. El cas de dimensió dos no té solució, en un tauler tan petit el cavall no es pot moure i no arribaria mai a l’altre extrem del tauler. El cas 3 és peculiar en un cert sentit, es precisen 4 salts i hi ha dos camins possibles simètrics depenent del primer salt.

Amb taulers més grans la cosa es posa més interessant, pel cas quatre la fàcil solució també són 2 possibles recorreguts; pel cas cinc 8 recorreguts; pel tauler de 6 × 6 en tenim 4; pel de 7 × 7 hi ha 6 solucions. Pel tauler normal de vuit caselles de mida, és la pregunta que he posat més amunt. Afegeixo que el cas 9 té 40 recorreguts i el cas 10 en té 20.

Tinc la seqüència ben determinada i la fórmula —de fet en són tres— que genera el nombre de solucions al problema. Com a prova puc posar aquí que per un tauler de 47 × 47 hi ha 225494871090 solucions i pel de 48 × 48 1591091500.

Naturalment que la primera gràcia del problema és inventar un mètode per comptar les solucions. La segona és molt més difícil, trobar les formules empíriques. La tercera, demostrar que són correctes. És un cas de mètode heurístic aplicat a una qüestió numèrica. Naturalment el problema es podria resoldre de manera totalment deductiva, però em temo que hauria sigut molt més difícil, crec sincerament que jo no ho hauria sabut fer.

És ben conegut que qualsevol polígon, es pot dividir en un nombre finit de polígons que, disposats d’una altra manera, ens poden formar qualsevol altre polígon de la mateixa àrea que l’original.

En ocasions podem trobar figures reals basades en aquestes divisions. per exemple un conjunt de peces que es pot disposar, com a trencaclosques, en dues bases amb forma diferents. Aquí en poso un exemple, comprat al Museu de Matemàtiques de Catalunya (mmaca). Per una banda es poden col·locar les cinc peces format un triangle equilàter i, per l’altra, una estrella de sis puntes.

Hi ha molts altres exemples, especialment conegut és el de quatre peces que poden formar un triangle equilàter o un quadrat, que a vegades tenen les peces unides per unes frontisses als vèrtexs, com a la imatge que segueix:

Avui m’he fixat en una figura concreta, molt freqüent en la vida pràctica, però no gaire en matemàtiques, un rectangle DIN. Els fulls de paper estandarditzats venen amb unes mides concretes, per exemple un DIN A4 mesura 210 × 297 mm.

D’on surten aquests valors?
En primer lloc la proporció entre el costat llarg i el curt del full DIN és una aproximació a l’arrel quadrada de dos.
Per què?
Perquè és l’única que si dividim el full en dos per la meitat, ens en resulten dos més petits però amb les mateixes proporcions.
I la mida concreta? Es defineix DIN A0 com un full amb aquestes proporcions i amb una superfície d’un metre quadrat, el DIN A4 és la meitat, de la meitat de la meitat de la meitat, o sigui un setzè del DIN A0 o en altres paraules les seves dimensions lineals són la quarta part.
Les mesures «més exactes» serien: 210,22410381343… × 297,30177875068… amb més precisió que el diàmetre d’un àtom d’hidrogen.

Com qualsevol altre polígon, podem dividir un full DIN, en diverses parts mitjançant talls rectes, que unides ens formaran qualsevol altre forma.

N’he buscat uns quants exemples i n’he fet uns gràfics:

Un quadrat amb tres peces. Un rectangle auri —una targeta de crèdit— amb tres peces.

Un dòmino, dos quadrats, amb tres peces. Un triangle equilàter amb quatre peces.

Un pentàgon regular amb cinc peces. Un hexàgon regular amb cinc peces.

Un octògon regular amb quatre peces. Una creu llatina amb cinc peces.

Una estrella de cinc puntes amb set peces. Una estrella de sis puntes amb cinc peces.

Una estrella de vuit puntes amb cinc peces.

Tant l’octògon regular com l’estrella de vuit puntes es poden obtenir amb poques peces i formes molt simètriques, això es deu a que en les seves mesures, també n’hi ha que la proporció és arrel de dos, com en el cas dels fulls DIN.

El més freqüent dels enrajolats és el fet amb rajoles quadrades, el podem veure a les voreres de moltes ciutats i pobles, també a parets o fins i tot sostres. Menys freqüents són els enrajolats rectangulars, amb rectangles de diverses proporcions com per exemple 1:2 que és la normal a molts terrats del nostre país. Una tercera que també apareix sovint és la hexagonal, en algunes èpoques era freqüent en els banys i ara n’hi ha una coneguda com model Gaudí a les voreres del Passeig de Gràcia de Barcelona.

Molt menys normal en exteriors, però potser una mica més vistes en enrajolats d’edificis, hi ha els formats per peces de dues menes, com els de la imatge que segueix i que corresponen a un terra i a una paret de la casa on visc.

Un enrajolat semiregular format per quadrats i octògons regulars, i un altre format per quadrats de dues mides diferents.

Altres enrajolats amb peces idèntiques costen més de trobar i n’hi ha un que el conec per llibres de caire més aviat matemàtic, però que no l’he vist mai a la pràctica, tot i que el trobo força bonic. És l’enrajolat «Caire». S’anomena així perquè expliquen que és —o era— emprat en alguns carres de la ciutat del Caire.

És un enrajolat format per peces pentagonals. No són pentàgons regulars, que no hi ha manera que puguin cobrir el pla ja que caldria que diversos dels seus angles sumessin 360º per tal de poder tancar un vèrtex, i els angles d’un pentàgon regular mesuren 108º. Amb pentàgons irregulars iguals i convexos —o sigui sense angles interiors— es poden construir 15 menes diferents d’enrajolats del pla que siguin periòdics que vol dir que un motiu format per diverses peces es va repetint indefinidament sense variacions. Menes aquí vol dir topològicament iguals, que les peces tinguin una connexió determinada amb les veïnes, independentment de deformacions. El problema de robar tots els enrajolats per pentàgons convexes idèntics és molt difícil, el darrer tipus no va ser descobert fins 2015 i fins 2017 no es va provar que no n’hi havia més.

L’enrajolat Caire pertany a un dels 15 tipus i la manera més fàcil de construir-lo és a partir de l’enrajolat format per triangles equilàters i quadrats del mateix costat, de manera que a cada vèrtex i coincideixin, en ordre circular, un quadrat, un triangle, un quadrat i dos triangles:

Enrajolat semiregular, tots els vèrtexs són iguals i tots els polígons regulars

A partir d’aquest enrajolat podem construir el que s’anomena dual format uns nous polígons que tinguin com a vèrtexs els centres dels quadrats i dels triangles:

Les línies negres ens marquen les tessel·les de l’enrajolat Caire. Les podem pintar de quatre colors, de manera que dues peces del mateix color no es toquin, ni tan sols per un vèrtex:

O també el podem mostrar com la superposició de dos enrajolats hexagonals idèntics, en forma de rusc d’abella deformat, girats 90º l’un respecte l’altre:

L’enrajolat Caire com a superposició de dos enrajolats hexagonals

Joan Amades ens explica sobre Juncosa de les Garrigues:

Juncosa és el centre del Món:
Hom suposa que l’esfera terrestre fou traçada amb un compàs, la punta fixa del qual fou clavada enmig de la plaça de Juncosa, on encara es conserva el sot que es féu en subjectar-la-hi. Juncosa es troba, per tant, al punt mitjà del món. El sot que la creença popular assenyala com a punt on es clavava el compàs és el clot on en altre temps es plantava l’arbre de maig.

I aquesta llegenda té una representació gràfica en un dels seus carrers, una escultura obra d’un artista local.

De fet, vaig conèixer la llegenda a partir de la pedra a la plaça del Mig del Món, un dia fent turisme per la comarca de les Garrigues.

I és el turisme interior del que voldria parlar avui una mica. És una mena d’assignatura pendent dins la cultura catalana. Quan hom va a conèixer pobles de moltes de les comarques de l’interior del Principat, té la sensació de ser percebut com una mena de rara avis. Amb un parell de problemes secundaris, no hi ha cap sistema general fàcil de poder veure interiors interessants, per exemple de Juncosa, no he vist l’interior de l’església ni encara menys el del dipòsit municipal d’aigua, una interessant construcció de finals del segle XIX. Sí que he vist els «perxis», ja que són un carrer porxat que acaba en dos arcs a banda i banda, curiosament diferents:

Aquestes dues fotos, que aquí ensenyo unides però que havia posat en la mateixa xarxa social, amb la mateixa informació, el mateix dia, em presenten un problema curiós: La de l’esquerra va rebre al llarg dels anys vuit vegades més visites que la de la dreta. Potser és que per casualitat els primers dies en va rebre més, i el sistema de geolocalització que les posava en el mapa la mostrava més destacada, i d’aquí que rebés més visites augmentant encara més la diferència. Això ens indica que els sistemes de valoració pretesament objectius, en definitiva valoren a l’atzar…

Un segon problema del turisme interior, és que hi ha molts museus o altres centres culturals teòricament per atreure visitants, però amb molt poca promoció i amb uns horaris inconvenients.

Certament que en alguns casos concrets —parlo de pobles petits— no és així, ara penso en dos llocs interessants com Beget i Covet —curiós que rimin i tots dos tinguin un monument romànic de primer ordre— que tot i no tenir gran afluència, els he pogut visitar per dins moltes de les vegades que hi he passat. Encara que fora del Principat, per exemple a Serrabona, ho tenen millor organitzat i aconsegueixen visitants fora de temporada i entre setmana.

He posat l’exemple de Juncosa, però hi ha centenars de pobles interessants que mereixerien més visites, i no estic parlant de turisme massiu, sinó cultural amb una densitat sostenible. I parlant de sostenibilitat, precisament la gran majoria d’aquests pobles només es poden visitar —per turisme o qualsevol altre motiu— en cotxe particular. Però no hi ha, ni tan sols des de Barcelona pràcticament cap oferta per anar-los a visitar col·lectivament i, lamentablement, alguna de les poques que he vist, són més cares que anar-hi individualment. Penso així a primer bot que un autocar amb una ruta tal com «Viles closes de la Segarra» o «Paisatges i monuments del Lluçanès», podria tenir bona acollida. Si el preu fos raonable és possible que m’hi apuntés algun cop.

Els poliòminos, les figures formades per diversos quadrats iguals adjacents pels costats, permeten una gran varietat de problemes, molts d’ells inductius. Avui en presento dos relativament similars, que fan servir el joc dels 35 hexòminos.

És impossible col·locar els 35 hexòminos en un rectangle, però la demostració d’això, basada en la paritat és un tema que tocaré un altre dia. Però és possible col·locar-los en altres figures com per exemple un rectangle de 11 × 19 més una casella adjacent al mig del costat llarg. No és gaire fàcil fer-ho a mà amb un conjunt de les trenta-cinc peces, però amb un programa d’ordinador se’n poden treure milions de solucions, no l’he pogut deixar en marxa prou estona per saber el nombre.

Pels problemes d’avui parteixo de dues solucions d’aquest cas, però simplement com a il·lustració per mostrar les trenta cinc peces. La seva posició o orientació no hi té cap importància.

Els dos problemes són part d’una col·lecció de 12. Segurament seria exagerat posar-los tots aquí, però a l’hora de solucionar problemes d’aquesta mena, quants més n’hi ha, més possibilitats de solucionar-ne algun…

En el primer cas veiem els hexòminos pintats de dues maneres, uns de color rosa, i els altres verds.

Trenta-cinc hexòminos: 12 roses i 23 verds.

La pregunta és quin és el criteri.

Òbviament hi ha moltíssims possibles criteris per acolorir els hexòminos en diversos colors, aquesta és la gràcia i la dificultat dels problemes inductius. Fins i tot, algunes vegades passa que dos criteris que no tenen res o gaire a veure, ens porten al mateix acoloriment. Això vol dir que la solució a un problema inductiu sempre és probabilística, cal escollir el criteri subjectivament més senzill, és el que s’anomena navalla d’Occam.

En una entrada no fa gaire, en un problema també amb hexòminos, vam veure un criteri que era si la figura era el desenvolupament d’un cub o no. El criteri d’avui és subjectivament més senzill. Altres criteris a considerar poden ser: dimensions màximes, nombre de costats, nombre de costats d’una determinada mida, angles interns, enrajolats per peces més petites, mida màxima de una diagonal, caselles blanques s o negres sobre un tauler d’escacs, diàmetre màxim de la peça… Aquest problema té a veure amb algun d’aquests criteris.

Però potser una pista tangible i misteriosa sigui la primera que hi vaig veure: la dels «cucs». Un poliòmino pertany a la categoria dels cucs, si és possible fer per tot ell un recorregut quadrat a quadrat, pel costat, de manera que no es repeteixi cap casella. I la observació és que tots els cucs són verds i no hi ha cap hexòmino rosa que ho sigui. De totes maneres aquest no és el criteri perquè hi ha cinc hexòminos pintats de verd que no són cucs, per exemple el que sobresurt per la part superior.

Aquestes cinc peces són les que ens donen una pista definitiva si ens adonem que en totes elles hi ha un quadrat amb tres costats exteriors, que si comencem el camí de «cuc» per ell al següent pas ens trobem que hi hauria dues possibilitats de continuar de la mateixa mida, dues caselles. En els cucs normals, després de dues caselles, en podem fer dues més i dues més. En canvi en cap de les peces roses, en entrar des d’una punta i seguir una casella més, no trobem mai dues possibles continuacions de dues caselles. Aquest és la pista definitiva, en les peces verdes sempre podem fer dues dues i dues caselles per cobrir-les, en altre paraules, es poden recobrir amb tres dòminos i les roses, no.

En aquesta figura podem veure que les peces verdes es poden cobrir per tres dòminos.

En el següent problema, del qual avui no donaré més pistes llevat que el criteri té alguna semblança amb l’anterior, podem veure els hexòminos pintats de cinc colors.

Trenta-cinc hexòminos: 2 carabasses, 12 roses, 11 verds, 6 grocs i 4 blaus.

La pregunta torna a ser quin és el criteri.

Hi ha jocs com els escacs o el go, de regles relativament senzilles però d’anàlisi extremadament complex. Altres són més fàcils, potser fins arribar a l’extrem del tres en ratlla o per pura observació d”unes quantes partides és possible de manera gairebé intuïtiva trobar l’estratègia òptima.

Vull presentar aquí un altre joc també amb les regles molt senzilles, inventat a principis del segle XX per un matemàtic neerlandès, amb un anàlisi no tan senzill, però fàcilment abastable.

El material del joc són dos munts de fitxes, palets, mongetes o qualsevol objecte fàcilment comptable. S’enfronten dos jugadors per torns i a cada jugada poden enretirar el nombre d’objectes que vulguin de qualsevol dels dos munts, o la mateixa quantitat de tots dos.

Guanya qui s’enduu el darrer objecte.

Naturalment, si en començar els dos munts tinguessin la mateixa quantitat, el primer jugador guanyaria enretirant aquesta quantitat dels dos munts, cal començar doncs amb munts diferents, i cal posar-se d’acord en el sistema.

L’anàlisi bàsic per a petites quantitats és senzill, però el podem visualitzar molt més fàcilment si canviem el joc per un d’equivalent en un altre format.

En lloc de considerar les dues quantitats de peces dels munts, pensem en una fitxa col·locada en una casella d’un tauler quadriculat de mida arbitràriament gran. A partir de l’angle inferior esquerra numerem files i columnes començant per zero. La fitxa en una casella la podem assimilar a les seves coordinades, els nombres de la fila i la columna on rau. Aleshores, treure fitxes d’un munt equival a desplaçar la peça, com una torre, cap avall o a l’esquerra, i treure la mateixa quantitat de fitxes dels dos muts a desplaçar la peça en diagonal, com un alfil, cap avall i l’esquerra. L’objectiu del joc és ara arribar a la casella inferior esquerra, la que tindria les coordinades (0, 0).

Versió del joc en un tauler, els tres primers passos de la solució.

Aquesta casella és guanyadora si un jugador hi porta la peça, i la pintem en taronja al diagrama de l’esquerra. Totes les caselles pintades en blau, permeten al jugador que té el torn arribar a la casella guanyadora. En conseqüència, l’altra jugador ha d’evitar col·locar la peça en qualsevol casella blava, i sempre ho pot fer llevat que estigui en qualsevol de les dues caselles marcades en taronja, (2, 1) i (1, 2) des d’elles no hi ha cap moviment bo, o sigui que són perdedores pel jugador que té el torn (i guanyadores per l’altre).

Passem al segon diagrama on també s’han pintat de blau totes les caselles que ens porten a la sortida o a les anteriors vistes com a perdedores. Ara podem veure que les caselles (5, 3) i (3, 5) també són perdedores, des d’elles només es pot anar a una casella blava que asseguraria la victòria a l’altre jugador. Repetint el procediment de pintar de blau les caselles que ens poden conduir a les darreres perdedores, podem veure que (7, 4) i (4, 7) també ho són, des d’elles només es pot moure a caselles blaves. Sempre són perdedores les caselles més properes a l’angle inferior esquerra que no estiguin pintades de blau.

Amb un tauler més gran veuríem que les caselles crítiques són les de coordinades: (2, 1), (5, 3), (7, 4), (10, 6), (13, 8), (15, 9), (18, 11), (20, 12), (23, 14), (26, 16), (28, 17), (31, 19), (34, 21)… o les mateixes invertides: (1, 2), (3, 5), (4, 7)…

Per posar un exemple, si ens toca jugar i als munts hi ha 9 i 5 fitxes —o jugant amb el sistema del taulell la fitxa és a (9, 5)— la jugada bona és prendre sis fitxes del munt de nou per deixar 3 i 5 fitxes que és una posició perdedora per a l’altre jugador. En el tauler podem veure que des de qualsevol casella blava, sempre hi ha un moviment a l’esquerra, avall o en diagonal avall a l’esquerra, que ens duu a una casella dolenta per a l’altra jugador. I, recíprocament, des d’una casella taronja només ens podríem moure a una casella blava.

Si els munts continguessin 12 i 15 fitxes, una jugada bona seria enretirar-ne vuit de cada munt per passar a 4 i 7 que és una posició perdedora per a l’altre jugador. O treure’n tres del munt de dotze fitxes, que ens portaria a 9 i 15 que també és perdedora per a l’altre.

El problema que plantejo és trobar quines son les caselles crítiques, quina lògica hi ha en la sèrie de parelles de nombres.

Subsidiàriament, trobar com es deia el matemàtic que va publicar el joc per primera vegada i amb quin nom és coneix.

L’estel Polar, anomenat oficialment Polaris, α Ursae Minoris o α UMi, és una estrella molt famosa per un fet accidental, que per casualitat és propera al pol nord celeste, el punt on apunta mirant al nord l’eix de la Terra. Això fa que resti immòbil al cel i que ens indiqui sempre la direcció del nord. Realment això és aproximat, Polaris rau a una mica menys d’un grau del pol nord celeste —com dues vegades el diàmetre de la Lluna—, però l’aproximació és prou bona. Com he dit és l’eix de la Terra el que apunta allí, no pas l’estrella que s’hi ha posat, i com que l’eix de la terra té un moviment anomenat precessió, similar al que fa una baldufa quan perd velocitat, aquesta alineació és temporal. Va començar a ser bona cap el segle XV —que és quan va rebre el nom de Polar—, a finals del segle XXI la distància entre ella i el pol serà mínima, com mig grau, i a partir d’aquell moment s’aniran allunyant fins que l’eix de la Terra completi el seu moviment que té un període d’uns 258000 anys.

La zona del pol nord de la volta celeste. Les dues estrelles del davant de l’Ossa Major, Dubhe i Merak, ens indiquen una línia que si la prolonguem unes cinc vegades ens indica la Polar.

Deixant de banda aquesta peculiaritat de  la seva posició, deguda a l’atzar’ Polaris, que és brillant però no massa —hi ha unes 50 estrelles més brillants— és una estrella interessant de per se, i té alguns aspectes una mica misteriosos.

En primer lloc és una estrella variable d’una mena anomenada cefeida —el nom ve de la primera que es va descobrir com a variable que era δ de Cefeu—, concretament la més brillant i propera. I les cefeides són molt importants per establir la mesura de l’Univers. L’any 1908, Henrietta Swan Leavitt, calculadora de l’observatori de Harward, va descobrir una relació entre el període de variabilitat d’una cefeida i la seva lluor intrínseca. El període és molt fàcil de mesurar fins i tot en estrelles de galàxies properes, ja que les cefeides són estrelles gegants molt lluminoses i, coneixent el període se’n pot deduir la lluminositat real que comparada amb l’aparent ens permet calcular la distància. El problema era que calia saber la distància d’algunes cefeides properes per poder calibrar el sistema. Tot i que relativament propera, la distància a l’estrella polar va ser força imprecisa durant molts anys degut al curt abast dels mètodes per mesurar les distàncies estel·lars amb telescopis terrestres. Fins fa pocs anys s’havien calculat distàncies a la Polar tan petites com 320 anys llum, però amb les dades de la sonda Gaia sembla que realment és de 453 anys llum.

Però la sonda Gaia, realment, no ha pogut mesurar amb prou precisió la distància, resulta que amb el sistema normal d’operació Polaris brilla massa i satura els detectors, fins i tot amb un programa especial per a estrelles brillants, la precisió no era prou bona. Però resulta que l’estrella Polar és múltiple, tres estrelles que van néixer de la mateixa nebulosa i que resten a la mateixa distància de la Terra. Una d’elles, Polaris B, una mica més gran que el Sol i que circula en una òrbita de més de 40000 anys a l’entorn de Polaris —de Polaris A, exactament—, és prou allunyada per que el detector no quedi saturat i és amb la que s’ha pogut mesurar la distància precisa.

Però això ens porta a un misteri no resolt. Polaris és una estrella gegant que ja ha passat per l’anomenada seqüència principal, etapa en la que va cremar l’hidrogen del seu nucli. Actualment està en una etapa inestable —per això es variable— de camí a convertir-se en una gegant roja. I podem calcular la seva edat amb certa precisió que resulta ser d’uns 70 milions d’anys. Però si aquesta és l’edat del sistema Polaris B és massa brillant, el seu espectre ens indicaria una edat d’uns 2000 milions d’anys. Una possibilitat seria que Polaris fos realment vella però amb una evolució anòmala degut a una fusió amb una hipotètica tercera estrella.

Un altre misteri de Polaris és que no sabem perquè està incrementant la seva lluentor. Observacions de Ptolomeu i Hiparc als voltants de l’any 100 indicarien que brillava entre dues i quatre vegades menys que ara. Al Sufí, vers l’any 1000 també va observar una magnitud força més baixa que en l’actualitat. I mesures més modernes amb telescopi a partir de l’any 1700, confirmen aquest augment. Podria ser que passés per una eta pa especial d’inestabilitat, de pocs milers d’anys de durada, que no s’ha observat encara en altres cefeides.

I per acabar, s’han detectat emissions de rajos X procedents de l’estrella Polar, però els models d’aquesta mena d’estrelles indiquen que no n’hauria d’emetre. Malauradament no sabem si altre cefeides ho fan, ja que estan massa lluny per poder detectar aquesta radiació amb els aparells actuals, si és que n’emeten.

Quan era preadolescent, pels anys seixanta, em fascinava l’electrònica. Hi havia una mena de guies meravelloses, anomenades esquemes, que contenien resistències, condensadors, transistors i altres components, que si els muntaves en la disposició mostrada, componien un circuit que si no hi havia hagut cap error, funcionava. Podia fer un amplificador, un emissor o receptor de radiofreqüència, un circuit oscil·lador, un temporitzador, i mil invents més que sortien a les revistes per a aficionats de l’època, que n’hi havia moltes. La que més comprava o aconseguia dels que la compraven i llençaven s’anomenava Radiorama.

Semblava màgia però no ho era i jo ho sabia, lentament vaig anar entenent com funcionaven els elements d’aquells circuits meravellosos i com interactuaven entre ells. Algunes persones em van ajudar més o menys inconscientment contestant algunes preguntes clau, com el concepte de «senyal», de divisor de tensió i de filtre passa alts o passa baixos. Potser als tretze anys ja sabia dissenyar alguns circuits sense necessitat de copiar-los d’una revista o de mirar els «esquemaris» d’aparells de ràdio o televisió.

Una de les condicions prèvies per poder muntar qualsevol circuit era saber llegir els valors dels components, bàsicament resistències o condensadors. En els condensadors, sovint, el valor hi venia imprès; en les resistències que sempre eren el component més nombrós dels circuits gairebé mai, el valors venien marcats per unes bandes de colors que havia d’aprendre a llegir i interpretar. No em va costar gaire, recordo que vaig obtenir una mena destri de cartró amb tres rodetes del mateix material, que per unes finestres mostraven, d’una banda els colors, i per una altra els valors associats.

Encara conservo resistències, organitzades en calaixets. Aquí de valors entre 220 Ω i 1800 Ω

Per regla general, les dues primeres bandes indicaven el valor numèric, la tercera un factor en forma de 10 elevat a un exponent, i la quarta, normalment platejada o daurada, volia dir tolerància del 10% o del 5%.

Codi de colors en electrònica

Per exemple: groc, violeta, vermell, daurat volia dir un valor de 4, 7, 10², 5%, en altres paraules 4700 Ω amb un màxim del 5% d’error.

Resistència de 1500 Ω. la franja marró: 1, la verda: 5, la vermella: 2 zeros, i la daurada que la tolerància és del 5%

Ja d’entrada em vaig adonar que els nombres dels valors de les resistències i condensadors tenien alguna cosa especial. Hi havia, per exemple, resistències de 10 Ω, de 100, 1000, 10000 o també de 33, 330, 330000… 6,8, 680, 68000… però mai no en veia de 50 Ω ni de 5000, ni 71 o 25 o molt altres valors començant per dues xifres. Els valors quasi sempre començaven per 10, 12, 15, 18, 22, 27, 33, 39, 47, 56, 68 0 82. Molt més rarament per 11, 13, 16, 20, 24, 30, 36, 43, 51, 62, 75 o 91. Altres xifres no les havia vist mai ni en esquemes ni en resistències reals. Si calculant un circuit et sortia una resistència de 720 Ω, havies de comprar la de 680 Ω o la de 750 Ω si la trobaves.

La pregunta que plantejo és a què es deuen aquests valors peculiars? Certament és molt fàcil trobar la resposta a internet, però suposem que ni tenim internet, i potser tampoc calculadora.

Quan tens moltes resistències barrejades, sempre és difícil trobar un valor concret

Cada idioma té la seva manera de fer, per exemple en la manera de dir els nombres, en anglès puc fer la sèrie: 1000, 1000000000, 1000000000000000000000000000, 100, 1… i demanar el següent terme.

En català, la cosa seria una mica diferent, i el següent terme, en el nostre cas, no existeix. La sèrie quedaria en: 4, 1000000000000, 5, 2, 3…

Passem les sèries expressades en xifres a lletres. L’anglesa queda: (one) thousand, billion, octillion, hundred, one… podem prescindir del one davant dels grans nombres, no afecta el nostre problema.

En català la sèrie en lletres és: quatre, un bilió, cinc, dos, tres…

Si decidim posar infinit ∞ pels termes no existents la sèrie anglesa quedaria:

1000, 1000000000, 1000000000000000000000000000, 100, 1, X, 8, 3, 5, ∞, ∞, 11, 1000000, 1, 1, 1000000000000000000000000, 1000000000000000, 3, 6, 2, 4, 5, 2, 6, 20, ∞. El terme X és la incògnita del problema inicial que en realitat era, no amb els nombres, sinó amb els seus logaritmes decimals: 3, 9, 27, 2, 0…

En català —central— la sèrie completa és:

4, 1000000000000, 5, 2, 3, ∞, ∞, ∞, 5, ∞, ∞, 1000, 1000, 1, 2, 1000000000000000000000000000000000000000000, 4, 3, 2, 3, 1, 8, ∞, 60, ∞, 11.

Nombres i lletres en català i en anglès

Val a dir que si admetem la forma googol pel nombre format per un 1 i cent zeros, la sèrie catalana canviaria lleugerament, i que si emprem la varietat valenciana, també.

Una pista, les dues sèries tenen vint-i-sis termes.

Tinc aquí a la taula un llibre de l’any 1934 de l’editorial «Dalmáu Carles Pla», en castellà, anomenat «Enciclopedia cíclico pedagógica», aproximadament anava destinada a nens del que ara seria entre cinquè i sisè de primària.

Només m’he aturat a analitzar el que era la matèria de matemàtiques. Se suposa que la més invariable de totes ja que en aquest nivell, tot el que s‘ensenyava i ensenya als nens són coneixements perfectament consolidats i pràcticament invariables en els darrers cent anys. Invariables vol dir que la divisió continua essent divisió, i un triangle un triangle, amb les mateixes propietats, però la manera d’explicar-les ha canviat força… en alguns aspectes.

El que més em crida l’atenció és que, sense introduir res d’àlgebra, von ensenyar una munió de regles sense justificar-les per a solucionar problemes diversos, que d’altra banda són trivials amb àlgebra. No és a quina edat s’hauria d’introduir, però el que és evident és el difícil que era fer-ho sense introduir-la, ni que fos a nivell bàsic d’equacions de primer grau.

Una segona cosa curiosa, vist des d’ara, és una mena d’al·lèrgia a generalitzar, les regles s’ensenyen per a cada cas particular, no com a diversos aspectes d’una regla general.

I el cas que vull posar com a exemple és el de l’arrel cúbica.

Efectivament, si tenim una peça cúbica de, posem-hi, 2,5 m³ i ens pregunten quan mesura, la solució és l’arrel cúbica de 2,5, que feta amb qualsevol calculadora científica, resulta 1,35720880829745 metres. Clar que el 1934 no hi havia calculadores científiques. Però tampoc el problema de l’exemple és dels que se’ls presenta gaire a la gent normal, fins i tot tècnics o enginyers molt rarament han de fer una arrel cúbica, al menys amb més precisió que la que dóna un regle de càlcul, que també en sap fer.

El cas és que en aquella època s’ensenyava als nens, que ja havien après a fer arrels quadrades a mà el curs anterior, a fer arrels cúbiques. A mi ja no em va tocar. Però rar que sóc en vaig aprendre per pura afició, si no amb aquest llibre, amb algun altre similar que vaig arreplegar. El perquè funciona el regle, o fins i tot el de l’arrel quadrada, ni llibres ni professors m’ho van ensenyar mai. Quan al final ho vaig veure, realment em va ser molt útil la comprensió d’aquests algorismes per a altres tasques futures, però va ser un aprenentatge purament autodidacta. Val a dir que la regla per fer amb paper i llapis l’arrel cúbica, és força enrevessada i que tot i que encara la recordo, em sembla que mai no he tingut necessitat real d’emprar-la. Pensar en un nen havent-la de fer sense comprendre res, fa una certa pena.

Muntatge de les pàgines del llibre o s’explica com fer una arrel cúbica, amb un exemple.

Però no era la regla i prou, era una regla per a «enters menors que 1000», una altre per a «enters majors que 1000», un altre apartat sobre com fer-la a un nombre decimal i, finalment la regla per fer-la a trencats, que és com es denominava sistemàticament les fraccions.

Part d’un altre exemple d’arrel cúbica.

També crida l’atenció el següent capítol del llibre, literalment: «Raíces de grado superior al tercero. Números primos». Què hi tenen a veure els dos conceptes per a posar-los al mateix capítol? però el més curiós del cas, en la primera part és l’aversió a regles generals, hi surt, en aquest ordre, com fer l’arrel quarta, la vuitena, la setzena, la novena, la vint-i-setena, la sisena i la dotzena.

Em millorat des de 1934?

Indubtablement, però només una mica, alguns dels defectes tan evidents d’aquell llibre continue vigents tot i que més dissimulats.

I penso en primer lloc en posar per davant la recepta a la comprensió del que s’està fent. Amb l’agreujant que com que la memorística està desacreditada, es fa veure que no n’hi ha, mentre els nostres alumnes continuen memoritzant receptes —ja no són llistes o definicions literals— com abans.

No, el pas per fer veure al nen que el que se li ensenya és útil i ho pot integrar en els seus coneixements, normalment encara no es fa, com a molt s’arriba a presentar-li una sèrie d’exemples que l’alumne aprèn per si «van a examen», sense verificar que hagi passat de l’exemple a la generalització. Vull dir que l’examen això no ho detecta.