Ciència nombres i lletres

Els grecs, i prèviament al menys babilònics i egipcis, coneixien perfectament els nombres quadrats, són aquells que compten una disposició quadrada d’objectes.

Setze és un nombre quadrat ja que setze baletes es poden posar en aquesta disposició

De la mateixa manera, coneixien els nombres triangulars, definits d’igual manera però en disposició triangular:

Vint-i-un és un nombre triangular ja que vint-i-una baletes es poden posar en aquesta disposició

Si els quadrats són molt més famosos es per que tenen moltes més aplicacions en matemàtiques, des d’elementals a les més complexes. Però no per això els triangulars deixen de ser interessants.

La sèrie dels nombres triangulars comença: 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120… Els podem obtenir fàcilment de les sumes parcials de: 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8…

Calcular el nombre triangular que correspon a la figura amb n objectes de costat, és gairebé tan fàcil com calcular el quadrat. Si el quadrat d’n el calculem fent n × n, el nombre triangular corresponent es calcula per n × (n + 1) / 2. Naturalment si n és parell n + 1 és senar i recíprocament, o sigui que el seu producte sempre és parell i es pot dividir per dos. Una manera de veure d’on surt aquesta fórmula és mitjançant la següent figura:

A l’esquerra hi tenim dos triangles iguals, en aquest cas de costat quatre. Si reordenem les baletes veiem que formen un rectangle de 4 × 5 —genèricament d’n × (n + 1)–. I com que el rectangle conté dos triangles amb la mateixa quantitat de baletes, cada triangle en tenia la meitat, o sigui n × (n + 1) / 2.

Una aplicació dels nombres triangulars, que vaig veure intuïtivament quan era petit, és el problema del brindis. Si sóc a una taula amb n persones més —en definitiva n + 1 persones— i tots brindem amb tots, quants brindis hi ha hagut? El resultat és el triangular d’n. Si jo també en compto per fer  el nombre n, la resposta és el triangular de (n – 1) que el podem calcular amb la fórmula n × (n – 1) / 2.

Hi ha fórmules curioses amb els nombres triangulars, per exemple, el nombre triangular d’n elevat al quadrat, és la suma dels cubs entre 1 i n, per exemple, el triangular de 5, que és 15, si l’elevem al quadrat ens dóna 225 i aleshores 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ = 1 + 8 + 27 + 64 + 125 = 225.

Si agafem la sèrie dels quadrats —1, 4, 9, 16, 25…—, calculem els seus inversos i els sumem 1/1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25… —aquí els punts suspensius volen dir que hem de continuar fins l’infinit—,  ens trobem amb un famós problema de les matemàtiques, anomenat problema de Basilea, que Euler va solucionar el 1733, 84 anys més tard de quan es va plantejar. El resultat és el curiós nombre π²/6. Podríem pensar aleshores que la suma dels inversos dels nombres triangulars encara és més difícil. Però no. La suma val exactament 2 i la demostració és relativament elemental.

Quan Gauss tenia 18 anys, va descobrir una interessant propietat dels nombres triangulars que va deixar anotada com: «ΕΎΡΗΚΑ! num = ∆ + ∆ + ∆», significa que cada nombre natural és suma de no més de tres nombres triangulars. ΕΎΡΗΚΑ! és EUREKA —ho he trobat— en caràcters grecs, tal com ho va escriure.

Si hi ha una operació inversa a elevar al quadrat, la que anomenem arrel quadrada, existeix l’arrel triangular?

No l’he vist mai anomenada així, però existeix i es calcula en termes d’arrel quadrada: (√(8n + 1) – 1) / 2. Així, l’arrel triangular de 120 seria (√(8·120 + 1) – 1) / 2 = (√961 – 1) / 2 = (31 – 1) / 2 = 15. Posem comprovar que el triangular de 15 val precisament 120: 15 × 16 / 2.

Un altre tema que relaciona quadrats amb triangular és cercar els nombres enters que siguin de les dues menes. N’hi ha infinits, la sèrie comença per 0, 1, 36, 1225, 41616, 1413721… com es veu creix molt ràpidament.

Trobar una fórmula explícita que ens doni aquests nombres no és fàcil, però sí que ho és una mica més trobar-ne una de recurrent, la que permet calcular un terme de la sèrie coneixent els dos anteriors, ho deixo com a problema.

Un tema que no he sabut trobar a internet és el de quines diferències hi pot haver entre un quadrat i un triangular. Acabem de veure que hi ha infinits casos on la diferència és zero. També hi ha casos amb diferències 1, 2, 3, 4, 5, 6 però curiosament mai 7. La seqüència de nombres que no són diferència entre un quadrat i un triangular continua amb: 7, 18, 23, 31, 37, 38, 40, 47, 52, 59, 67, 68, 70, 73, 83, 86, 88, 92, 98, 102… Com que aquesta no apareix a OEIS, em sembla que deu ser un tema poc estudiat o publicat. Malauradament conservo el full de resultats —de la dècada de 1980— però no els càlculs que vaig fer per obtenir-los. També podria ser que hagués comés alguna errada. Ho deixo per a qualsevol aficionat o professional que ho vulgui publicar, per exemple a OEIS.

49 és un nombre quadrat, 45 és triangular, la seva diferència és 4

No, no va de política, almenys directament, ja que intentar fer pensar en té moltes connotacions. Però avui va bàsicament d’idiomes, representats per una bandera i nombres enters.

Es podria fer per a moltes altres llengües, encara que en algunes no tindria massa sentit i en altres no hi hauria solució.

En tot cas, aquí el problema fa servir anglès, francès, castellà, italià, català i basc, essent l’ordre en el gràfic totalment irrellevant, em va venir bé així quan dibuixava el gràfic.

Com sovint, la pregunta és «Què és?»

Aquest problema, me’l vaig trobar per casualitat. Va ser en un paper força brut i vell, de la dècada dels setanta, en una caixa de components electrònics. Era un full ple de nombre i parts d’esquemes de circuits senzills, bàsicament digitals. Altres fulls relacionats s’havien perdut.

La part del problema era un gràfic, fet a mà, que vaig trigar una mica en deduir què era. Només en aquest punt vaig recordar què estava fent. O sigui que en la resolució del petit enigma, no hi va intervenir de manera conscient la memòria. El gràfic, tornat a dibuixar a l’ordinador, que escanejat no es veia gaire bé, és aquest:

La gràfica del paper vell, més o menys reproduïda en més gran

Com sempre la pregunta és: «Què és?»

Al menys des del segle I abans de Crist que es té constància de textos xifrats. En particular es coneix l’anomenat xifratge de Cèsar, que havia estat emprat per a missatges militars quan hi havia la possibilitat que el text anés a parar a l’enemic.

El xifratge de Cèsar és molt elemental, consisteix en substituir cada lletra per la que la segueix al cap d’un cert nombre de caràcters en ordre alfabètic, tornant a començar per la primera lletra en el cas d’haver arribat al final. És força fàcil de desxifrar, però tenint en compte que molts dels enemics de Cèsar no sabien llegir en llatí, era raonablement segur.

En poso un exemple:

N W Y N A X C N A J U U J M A N R W X D W Z D J U B N E X U N A J N U L J Y M N U J L X U U J V N B C N V D M J M N C X C J U J L X V J A L J N U B B N D B M N U R L C N B N A N W R W W X V K A J K U N B J V K E R X U N W L R J X J V K R W C N U U R P N W L R J N U L X V Y C N B J W J E J N W P A N R G J W C L J M J B N C V J W J L J B N B V J P J C I N V B C A J W B Y X A C B M N V N A L J M N A R N B E R J W J W C B C X C B N A N W N U B B N D B X K S N L C R D B W X N A J Y J B D W B N L A N C Z D R N A J N U L J Y M N U J L X U U J M N U B U U J M A N B Y N A X V J R U Q J E R N W Y X P D C N W G J V Y J A J E N P J M N B Y N A B X A C J U C A N B Y N A J B C D L R J Y N A X O X W J V N W C J U V N W C Y N A U J O N A A R J X A P J W R C I J L R X M N U B N D P A D Y R U J V N C R L D U X B R C J C R K X W J Y A N Y J A J L R X M N C X C B N U B L X Y B U J M R B L R Y U R W J V R U R C J A W X N A J A N B L X V Y J A J M J J V K U J D C X A R C J C Z D N C N W R J N W Y N A X C B X K A N U J B N E J P N W C R N U B R V Y X B J E J D W N B V N B D A N B M N B N P D A N C J C Z D N P J R A N K N C X C B L X W B R M N A J E N W N G J P N A J M N B J A J C N W R J D W W X D X K S N L C R D N U V N B P A J W M N C X C B U J L J B J M N U V J A Z D N B M N Y D R P M N U U X Y B N U Y N A B X W J C P N V N B A R L M N U J L X W C A J M J Q R Q J E R J N W C A J C M R B O A N B B J C M J S D M J W C M N Y J U N C J Z D J W U N B M J A A N A N B Y U D P N B E J W V J U V N C A N Y J A C M N U J C N D U J M J R Q X Q J E R J E R B C Z D J M A N B M N U B V N B R V Y X A C J W C B Y R W C X A B M N U Y J R B J A V N B J W C R P D N B X K S N L C N B A N U R P R X B X B J V K X A Y U J C J R Y N M A N A R N B Y X C B N A V R U E N P J M N B V N B E J U D X B Z D N N U M J A A N A K X C R N U L J A A N P J V N W C M X U R E N B M N V J B Y D S X U N C Z D N J V N B Q J E R J N B C J C O X A L J O N R G D L M N C A J W B Y X A C J A R M R O R L R U M N E N W M A N U D W R L J V N B D A J M N B N P D A N C J C N A J N U Y A X Y R L J B J U X C D W J N W X A V N K J U D N A W J L D K R L J J V K O R W N B C A N B A N R G J M N B R Y X A C N B O X A A N U U J M N B R J B X K A N J U V R P M N U J E R U J M J E J W C V J C N R G M N U J S D W C J V N W C B X U B N U L J A A N A X M N U J Y J A C Y X B C N A R X A N U Y J B M N U B P J C B N A J B X U R C J A R R B X U B Y N A J Z D N U U J K J W M J N W Y N A X C E J E N D A N D W Y D W C E D U W N A J K U N D W J O R W N B C A J B N W B N A N R G N B J U B N P X W Y R B N A J D W J M N U N B D U C R V N B V X M R O R L J L R X W B M N U N M R O R L R N B E J X K A R A N U O X A J C Z D J W N B E J L X W B C A D R A U J B J U J M N K J W H M N C X C N B V J W N A N B N A J V J B B J N U N E J C J V K U N B L J U J V N B J U C J N W L J A J V J W L J A R J D W K X W C A X B Y N A J A A R K J A Q R

Naturalment que està escrit una mica «a la romana» que no vol dir arrebossat amb farina, ou i posteriorment fregit, sinó tot en majúscules i sense espais ni diacrítics. Val a dir que els romans no empraven ni J ni U ni W que es van introduir el segle XV, com a formes de la I i la V,  però aquí he fet servir l’adaptació moderna del alfabet llatí de vint-i-sis lletres.

Recordo de preadolescent d’haver emprat i desxifrat codis d’aquesta mena. I també recordo d’haver-ne inventat un de molt més complicat que emprava dos colors diferents, no és que fos especialment pràctic d’escriure.

Però he reprès la idea dels dos colors, de manera molt diferent i amb ordinador per xifrar la continuació del text de més amunt. Bé, de fet empra tres colors. Però una vegada es veu la idea és molt fàcil de llegir. Com a pista, té una mica a veure amb un palimpsest.

Naturalment que no es tracta de recuperar tot el text, només de descobrir el mètode i aplicar-lo a les primeres paraules. Si l’he fet més extens és per facilitar la recerca.

Sovint se m’ha dit que els meus problemes —i específicament en la sèrie «Què és?» són massa difícils. I probablement és cert, però que això pugui semblar negatiu és fruit d’haver assumit un mètode pedagògic molt més basat en l’exercici que en el problema. Quan hom proposa als alumnes —i no vull dir específicament escolars— una sèrie d’exercicis, se suposa que l’objectiu és que gairebé tots els alumnes els solucionin tots. Cas contrari voldria dir que el procediment a aplicar en la solució no ha estat explicat, après o assumit pels alumnes.

Els problemes són diferents, d’entrada no sabem ni tan sols si tenen solució. O si aquesta serà trivial, de «feliç idea» o dependrà d’alguna mena de coneixement previ que es pot tenir o no.

Té sentit, doncs, proposar-los a qui potser no els podrà solucionar? No és molt frustrant això per l’alumne?

La clau de tot plegat és que els problemes no han d’anar sols, han de ser un conjunt i l’objectiu primari és solucionar-ne alguns. El secundari és aconseguir un efecte «eureka» —Què bo que sóc, em pensava que això no ho aconseguiria mai tot sol—. El terciari és més proper a l’efecte «merda!» —hauria d’haver descobert la solució tot sol, però realment l’he trobada d’una altra font— , però també és útil si és que realment s’ha treballat en el problema.

Avui presento un problema senzill, dels que anomeno «de peces», ja que es podria plantejar amb peces reals que sovint i malaurada, no tinc.

Què és?

Veiem un conjunt de peces de fusta disposades irregularment. Com deia abans, no tinc aquestes peces, són una imatge de síntesi: amb un programa vectorial vaig dibuixar totes les peces; a continuació hi vaig copiar al damunt una textura de fusta treta de la foto d’un moble de casa; les peces les vaig passar a un programa bitmap on les vaig girar i desordenar a l’atzar; i finalment vaig afegir-hi un fons i una mica d’ombra.

El primer pas per solucionar l’enigma és caracteritzar la imatge.

Hi ha peces repetides?
A primera vista no, potser valdria la pena començar a fer una cerca exhaustiva, però és una mica llarg i ho podem deixar per més endavant si ens cal.

Totes les peces tenen aproximadament la mateixa mida i tots els costats són ortogonals llevat d’un girat 45º, sempre de la mateixa mida. Ens podríem preguntar aquí, per exemple, si totes tenen el mateix perímetre, però no; en unitats arbitràries la peça de dalt a la dreta mesuraria 8 + √2 i la que té sota —de fet la majoria de les altres— 10 + √2. Pista falsa.

Són tots els costats ortogonals múltiples d’una dimensió mínima?
Aquí és fàcil veure que aproximadament sí. Hi ha costats de llargada 1, 2, 3, 4 i fins i tot en un cas —el de la peça de dalt a l’esquerra— 5. Continuem aleshores amb la hipòtesi que les dimensions són realment sempre nombres enters, múltiples d’un segment mínim que anomenem de mida 1; moltes peces tenen parts d’aquesta dimensió; i les que no —només n’hi ha dues, a dalt a la dreta i a dalt al mig— contenen un quadrat de 2 × 2.

Mirem ara la superfície. Cada peça conté un mig quadrat —unitari— tallat per la diagonal. I la resta? Si ens hi fixem una mica veurem que sempre hi ha quatre quadrats més, mai ni tres ni cinc. Aquest és el punt clau del problema.

Ara una lògica senzilla seria començar a generar figures formades per quatre quadrats i mig quadrat tallat per la diagonal. D’entrada sembla que qualsevol figura formada així apareix a la imatge. N’estem realment segurs del «qualsevol»?

Caldria comprovar-ho i per això no hi ha més remei que generar totes les figures que quatre quadrats i mig.

Un mètode podria ser el que vaig mostrar en aquesta entrada.

Però, com en tots els problemes inductius, n’hi ha més.

Un altre és veure que una figura formada per quatre quadrats i mig, és un pentòmino al que hem escapçat mig dels cinc quadrats. De pentòminos n’hi ha dotze:

Els dotze pentòminos i les lletres que convencionalment els designen.

I hem de mirar la manera d’eliminar mig quadrat de totes les maneres possibles en cadascun d’ells. Amb unes precaucions: el mig quadrat eliminat no pot dividir el pentòmino en dues parts i cal eliminar duplicats. Em primer lloc duplicats sobre la mateixa peça; en el cas dels pentòminos simètrics —I, T, U, V, W, X, Z— eliminar simètricament el mateix mig quadrat es proporcionaria la mateixa peça de quatre i mig, cal evitar-ho. La segona qüestió, que seria més difícil d’evitar, és veure si en treure el mig quadrat de dos pentòminos diferents podem obtenir la mateixa peça de quatre i mig. Afortunadament és impossible com podem veure raonant a la inversa: si a qualsevol peça de quatre i mig li afegim el mig quadrat per la diagonal, ens resulta un pentòmino concret, precisament els que els generaria la peça en escapçar-lo, aleshores és impossible obtenir el mateix «quatre i mig» escapçant dos pentòminos diferents.

Una vegada generades totes les peces que quatre quadrats i mig, cal fer la comprovació: són tots a la imatge?
I el resultat és que no, n’hi ha un que no hi surt, precisament el de baix a la dreta de la imatge solució.

Imatge solució

Difícil? Sota el meu parer no pas gaire. Segurament sí una mica treballós, però comparat amb fer exercicis és una feina molt més interessant. Això sí, cansada, ja se sap que pensar és, precisament, molt cansat. Sobre tot per a qui no hi està acostumat. Un corol·lari d’això és que, dins l’ensenyament, si es vol que els alumnes aprenguin a pensar —afegeixo «tot solets»—, cal que tinguin temps per fer-ho, sense que tot ple de feines normalment inútils els prenguin totes les hores que els caldria. Podeu mirar una mica la meva teoria al respecte.

No sempre puc fer el que voldria, en aquest cas voldria donar crèdit a l’autor del trencaclosques, però no recordo en absolut d’on el vaig treure, el tenia apuntat a mà en un full amb molts altres petits problemes, taules i esquemes alguns dels quals ara mateix no sabria identificar. O sigui que el problema no és meu.

El que sí que ho és, és el disseny. El vaig fer fa uns vuit anys a partir d’una foto d’un tauler de dames de 10 × 10 caselles que per l’altra banda ho és d’escacs de 8 × 8.

Foto feta al terra de l’habitació on ara mateix estic, amb el tauler damunt d’una caixa no identificada, suposo per tenir una il·luminació natural millor que a terra.

A continuació vaig tractar la foto a l’ordinador. El més essencial, pintar els peons per parelles de sis colors diferents. També netejar digitalment una mica el tauler que és vell i té taques i ratlles. Eliminar el fons, posar-n’hi un a partir d’una imatge sintètica i crear una mica d’ombra per tal que la imatge no quedi tan plana.

I ara ve el problema:

Cal connectar cada parell de peons del mateix color mitjançant un camí de caselles ortogonals, vull dir unides pel costat, com a pas de torre, no pas per l’angle. Per cada casella només hi pot passar un camí que, evidentment, no es pot creuar amb cap altre.

Com a pista que la solució és única i que els camins ocupen totes les caselles buides del tauler.

Per a la imatge de la solució, que ja la publicaré més endavant, vaig dibuixar els camins amb fitxes, del tipus de les fitxes del parxís, del mateix color que els peons que havien d’unir. De fet, quan vaig pintar els peons, va ser en funció dels colors dels quals tenia fitxes per tal de poder fotografiar la solució. Espero que morat, vermell, taronja i groc es distingeixin prou.

Naturalment que una cosa és l’estètica dels peons i les fitxes de colors, però el problema probablement es soluciona millor amb llapis i paper quadriculat. I goma, que segurament no sortirà a la primera.

El cavall dels escacs és una peça amb unes regles de moviment diferents a les altres, no fa un recorregut per la «superfície» del taules on podria ser interceptada per una altra peça amiga o enemiga, sinó que «salta»: des de qualsevol casella pot anar a qualsevol de les vuit que hi ha a distància de dues unitats en un sentit i una en el perpendicular. Això és el màxim, si és prop de la vora del tauler, alguns salts el durien fora i no compten, és el cas de les quatre cantonades on un cavall només té dos moviments possibles.

Un aspecte bàsic del salt de cavall és que a cada passa canvia el color de la casella on va a parar. Conseqüència d’això és que per anar a una casella del mateix color, sempre li calen un nombre parell de jugades. Per exemple, amb dues jugades un cavall pot anar a qualsevol casella del mateix color situada a tres o menys caselles de distància en sentit horitzontal o vertical, llevat de les situades exactament a dues caselles de distància en diagonal que requereixen quatre salts. Això ho saben bé tots els jugadors d’escacs, desplaçar el cavall dues caselles en diagonal consumeix massa moviments i en molt pocs casos passa amb jugades consecutives en una partida real.

Un cas concret de moviment entre dues caselles del mateix color és anar de punta a punta d’una diagonal. Aquí el mínim és de sis salts. I la pregunta que faig és:
—Per quants recorreguts diferents es pot fer?

Un dels possibles recorreguts d’un cavall de punta a punta de la diagonal en 6 salts.

Tots els possibles recorreguts en sis salts superposats, és difícil comptar-los aquí.

Si el tauler no fos de 8 × 8 caselles, també ens podem plantejar la pregunta.

En un tauler de mida 1 × 1 la resposta és «degenerada» zero salts ens porten «de punta a punta» d’una sola manera possible. El cas de dimensió dos no té solució, en un tauler tan petit el cavall no es pot moure i no arribaria mai a l’altre extrem del tauler. El cas 3 és peculiar en un cert sentit, es precisen 4 salts i hi ha dos camins possibles simètrics depenent del primer salt.

Amb taulers més grans la cosa es posa més interessant, pel cas quatre la fàcil solució també són 2 possibles recorreguts; pel cas cinc 8 recorreguts; pel tauler de 6 × 6 en tenim 4; pel de 7 × 7 hi ha 6 solucions. Pel tauler normal de vuit caselles de mida, és la pregunta que he posat més amunt. Afegeixo que el cas 9 té 40 recorreguts i el cas 10 en té 20.

Tinc la seqüència ben determinada i la fórmula —de fet en són tres— que genera el nombre de solucions al problema. Com a prova puc posar aquí que per un tauler de 47 × 47 hi ha 225494871090 solucions i pel de 48 × 48 1591091500.

Naturalment que la primera gràcia del problema és inventar un mètode per comptar les solucions. La segona és molt més difícil, trobar les formules empíriques. La tercera, demostrar que són correctes. És un cas de mètode heurístic aplicat a una qüestió numèrica. Naturalment el problema es podria resoldre de manera totalment deductiva, però em temo que hauria sigut molt més difícil, crec sincerament que jo no ho hauria sabut fer.

Els poliòminos, les figures formades per diversos quadrats iguals adjacents pels costats, permeten una gran varietat de problemes, molts d’ells inductius. Avui en presento dos relativament similars, que fan servir el joc dels 35 hexòminos.

És impossible col·locar els 35 hexòminos en un rectangle, però la demostració d’això, basada en la paritat és un tema que tocaré un altre dia. Però és possible col·locar-los en altres figures com per exemple un rectangle de 11 × 19 més una casella adjacent al mig del costat llarg. No és gaire fàcil fer-ho a mà amb un conjunt de les trenta-cinc peces, però amb un programa d’ordinador se’n poden treure milions de solucions, no l’he pogut deixar en marxa prou estona per saber el nombre.

Pels problemes d’avui parteixo de dues solucions d’aquest cas, però simplement com a il·lustració per mostrar les trenta cinc peces. La seva posició o orientació no hi té cap importància.

Els dos problemes són part d’una col·lecció de 12. Segurament seria exagerat posar-los tots aquí, però a l’hora de solucionar problemes d’aquesta mena, quants més n’hi ha, més possibilitats de solucionar-ne algun…

En el primer cas veiem els hexòminos pintats de dues maneres, uns de color rosa, i els altres verds.

Trenta-cinc hexòminos: 12 roses i 23 verds.

La pregunta és quin és el criteri.

Òbviament hi ha moltíssims possibles criteris per acolorir els hexòminos en diversos colors, aquesta és la gràcia i la dificultat dels problemes inductius. Fins i tot, algunes vegades passa que dos criteris que no tenen res o gaire a veure, ens porten al mateix acoloriment. Això vol dir que la solució a un problema inductiu sempre és probabilística, cal escollir el criteri subjectivament més senzill, és el que s’anomena navalla d’Occam.

En una entrada no fa gaire, en un problema també amb hexòminos, vam veure un criteri que era si la figura era el desenvolupament d’un cub o no. El criteri d’avui és subjectivament més senzill. Altres criteris a considerar poden ser: dimensions màximes, nombre de costats, nombre de costats d’una determinada mida, angles interns, enrajolats per peces més petites, mida màxima de una diagonal, caselles blanques s o negres sobre un tauler d’escacs, diàmetre màxim de la peça… Aquest problema té a veure amb algun d’aquests criteris.

Però potser una pista tangible i misteriosa sigui la primera que hi vaig veure: la dels «cucs». Un poliòmino pertany a la categoria dels cucs, si és possible fer per tot ell un recorregut quadrat a quadrat, pel costat, de manera que no es repeteixi cap casella. I la observació és que tots els cucs són verds i no hi ha cap hexòmino rosa que ho sigui. De totes maneres aquest no és el criteri perquè hi ha cinc hexòminos pintats de verd que no són cucs, per exemple el que sobresurt per la part superior.

Aquestes cinc peces són les que ens donen una pista definitiva si ens adonem que en totes elles hi ha un quadrat amb tres costats exteriors, que si comencem el camí de «cuc» per ell al següent pas ens trobem que hi hauria dues possibilitats de continuar de la mateixa mida, dues caselles. En els cucs normals, després de dues caselles, en podem fer dues més i dues més. En canvi en cap de les peces roses, en entrar des d’una punta i seguir una casella més, no trobem mai dues possibles continuacions de dues caselles. Aquest és la pista definitiva, en les peces verdes sempre podem fer dues dues i dues caselles per cobrir-les, en altre paraules, es poden recobrir amb tres dòminos i les roses, no.

En aquesta figura podem veure que les peces verdes es poden cobrir per tres dòminos.

En el següent problema, del qual avui no donaré més pistes llevat que el criteri té alguna semblança amb l’anterior, podem veure els hexòminos pintats de cinc colors.

Trenta-cinc hexòminos: 2 carabasses, 12 roses, 11 verds, 6 grocs i 4 blaus.

La pregunta torna a ser quin és el criteri.

Hi ha jocs com els escacs o el go, de regles relativament senzilles però d’anàlisi extremadament complex. Altres són més fàcils, potser fins arribar a l’extrem del tres en ratlla o per pura observació d”unes quantes partides és possible de manera gairebé intuïtiva trobar l’estratègia òptima.

Vull presentar aquí un altre joc també amb les regles molt senzilles, inventat a principis del segle XX per un matemàtic neerlandès, amb un anàlisi no tan senzill, però fàcilment abastable.

El material del joc són dos munts de fitxes, palets, mongetes o qualsevol objecte fàcilment comptable. S’enfronten dos jugadors per torns i a cada jugada poden enretirar el nombre d’objectes que vulguin de qualsevol dels dos munts, o la mateixa quantitat de tots dos.

Guanya qui s’enduu el darrer objecte.

Naturalment, si en començar els dos munts tinguessin la mateixa quantitat, el primer jugador guanyaria enretirant aquesta quantitat dels dos munts, cal començar doncs amb munts diferents, i cal posar-se d’acord en el sistema.

L’anàlisi bàsic per a petites quantitats és senzill, però el podem visualitzar molt més fàcilment si canviem el joc per un d’equivalent en un altre format.

En lloc de considerar les dues quantitats de peces dels munts, pensem en una fitxa col·locada en una casella d’un tauler quadriculat de mida arbitràriament gran. A partir de l’angle inferior esquerra numerem files i columnes començant per zero. La fitxa en una casella la podem assimilar a les seves coordinades, els nombres de la fila i la columna on rau. Aleshores, treure fitxes d’un munt equival a desplaçar la peça, com una torre, cap avall o a l’esquerra, i treure la mateixa quantitat de fitxes dels dos muts a desplaçar la peça en diagonal, com un alfil, cap avall i l’esquerra. L’objectiu del joc és ara arribar a la casella inferior esquerra, la que tindria les coordinades (0, 0).

Versió del joc en un tauler, els tres primers passos de la solució.

Aquesta casella és guanyadora si un jugador hi porta la peça, i la pintem en taronja al diagrama de l’esquerra. Totes les caselles pintades en blau, permeten al jugador que té el torn arribar a la casella guanyadora. En conseqüència, l’altra jugador ha d’evitar col·locar la peça en qualsevol casella blava, i sempre ho pot fer llevat que estigui en qualsevol de les dues caselles marcades en taronja, (2, 1) i (1, 2) des d’elles no hi ha cap moviment bo, o sigui que són perdedores pel jugador que té el torn (i guanyadores per l’altre).

Passem al segon diagrama on també s’han pintat de blau totes les caselles que ens porten a la sortida o a les anteriors vistes com a perdedores. Ara podem veure que les caselles (5, 3) i (3, 5) també són perdedores, des d’elles només es pot anar a una casella blava que asseguraria la victòria a l’altre jugador. Repetint el procediment de pintar de blau les caselles que ens poden conduir a les darreres perdedores, podem veure que (7, 4) i (4, 7) també ho són, des d’elles només es pot moure a caselles blaves. Sempre són perdedores les caselles més properes a l’angle inferior esquerra que no estiguin pintades de blau.

Amb un tauler més gran veuríem que les caselles crítiques són les de coordinades: (2, 1), (5, 3), (7, 4), (10, 6), (13, 8), (15, 9), (18, 11), (20, 12), (23, 14), (26, 16), (28, 17), (31, 19), (34, 21)… o les mateixes invertides: (1, 2), (3, 5), (4, 7)…

Per posar un exemple, si ens toca jugar i als munts hi ha 9 i 5 fitxes —o jugant amb el sistema del taulell la fitxa és a (9, 5)— la jugada bona és prendre sis fitxes del munt de nou per deixar 3 i 5 fitxes que és una posició perdedora per a l’altre jugador. En el tauler podem veure que des de qualsevol casella blava, sempre hi ha un moviment a l’esquerra, avall o en diagonal avall a l’esquerra, que ens duu a una casella dolenta per a l’altra jugador. I, recíprocament, des d’una casella taronja només ens podríem moure a una casella blava.

Si els munts continguessin 12 i 15 fitxes, una jugada bona seria enretirar-ne vuit de cada munt per passar a 4 i 7 que és una posició perdedora per a l’altre jugador. O treure’n tres del munt de dotze fitxes, que ens portaria a 9 i 15 que també és perdedora per a l’altre.

El problema que plantejo és trobar quines son les caselles crítiques, quina lògica hi ha en la sèrie de parelles de nombres.

Subsidiàriament, trobar com es deia el matemàtic que va publicar el joc per primera vegada i amb quin nom és coneix.

Quan era preadolescent, pels anys seixanta, em fascinava l’electrònica. Hi havia una mena de guies meravelloses, anomenades esquemes, que contenien resistències, condensadors, transistors i altres components, que si els muntaves en la disposició mostrada, componien un circuit que si no hi havia hagut cap error, funcionava. Podia fer un amplificador, un emissor o receptor de radiofreqüència, un circuit oscil·lador, un temporitzador, i mil invents més que sortien a les revistes per a aficionats de l’època, que n’hi havia moltes. La que més comprava o aconseguia dels que la compraven i llençaven s’anomenava Radiorama.

Semblava màgia però no ho era i jo ho sabia, lentament vaig anar entenent com funcionaven els elements d’aquells circuits meravellosos i com interactuaven entre ells. Algunes persones em van ajudar més o menys inconscientment contestant algunes preguntes clau, com el concepte de «senyal», de divisor de tensió i de filtre passa alts o passa baixos. Potser als tretze anys ja sabia dissenyar alguns circuits sense necessitat de copiar-los d’una revista o de mirar els «esquemaris» d’aparells de ràdio o televisió.

Una de les condicions prèvies per poder muntar qualsevol circuit era saber llegir els valors dels components, bàsicament resistències o condensadors. En els condensadors, sovint, el valor hi venia imprès; en les resistències que sempre eren el component més nombrós dels circuits gairebé mai, el valors venien marcats per unes bandes de colors que havia d’aprendre a llegir i interpretar. No em va costar gaire, recordo que vaig obtenir una mena destri de cartró amb tres rodetes del mateix material, que per unes finestres mostraven, d’una banda els colors, i per una altra els valors associats.

Encara conservo resistències, organitzades en calaixets. Aquí de valors entre 220 Ω i 1800 Ω

Per regla general, les dues primeres bandes indicaven el valor numèric, la tercera un factor en forma de 10 elevat a un exponent, i la quarta, normalment platejada o daurada, volia dir tolerància del 10% o del 5%.

Codi de colors en electrònica

Per exemple: groc, violeta, vermell, daurat volia dir un valor de 4, 7, 10², 5%, en altres paraules 4700 Ω amb un màxim del 5% d’error.

Resistència de 1500 Ω. la franja marró: 1, la verda: 5, la vermella: 2 zeros, i la daurada que la tolerància és del 5%

Ja d’entrada em vaig adonar que els nombres dels valors de les resistències i condensadors tenien alguna cosa especial. Hi havia, per exemple, resistències de 10 Ω, de 100, 1000, 10000 o també de 33, 330, 330000… 6,8, 680, 68000… però mai no en veia de 50 Ω ni de 5000, ni 71 o 25 o molt altres valors començant per dues xifres. Els valors quasi sempre començaven per 10, 12, 15, 18, 22, 27, 33, 39, 47, 56, 68 0 82. Molt més rarament per 11, 13, 16, 20, 24, 30, 36, 43, 51, 62, 75 o 91. Altres xifres no les havia vist mai ni en esquemes ni en resistències reals. Si calculant un circuit et sortia una resistència de 720 Ω, havies de comprar la de 680 Ω o la de 750 Ω si la trobaves.

La pregunta que plantejo és a què es deuen aquests valors peculiars? Certament és molt fàcil trobar la resposta a internet, però suposem que ni tenim internet, i potser tampoc calculadora.

Quan tens moltes resistències barrejades, sempre és difícil trobar un valor concret

Cada idioma té la seva manera de fer, per exemple en la manera de dir els nombres, en anglès puc fer la sèrie: 1000, 1000000000, 1000000000000000000000000000, 100, 1… i demanar el següent terme.

En català, la cosa seria una mica diferent, i el següent terme, en el nostre cas, no existeix. La sèrie quedaria en: 4, 1000000000000, 5, 2, 3…

Passem les sèries expressades en xifres a lletres. L’anglesa queda: (one) thousand, billion, octillion, hundred, one… podem prescindir del one davant dels grans nombres, no afecta el nostre problema.

En català la sèrie en lletres és: quatre, un bilió, cinc, dos, tres…

Si decidim posar infinit ∞ pels termes no existents la sèrie anglesa quedaria:

1000, 1000000000, 1000000000000000000000000000, 100, 1, X, 8, 3, 5, ∞, ∞, 11, 1000000, 1, 1, 1000000000000000000000000, 1000000000000000, 3, 6, 2, 4, 5, 2, 6, 20, ∞. El terme X és la incògnita del problema inicial que en realitat era, no amb els nombres, sinó amb els seus logaritmes decimals: 3, 9, 27, 2, 0…

En català —central— la sèrie completa és:

4, 1000000000000, 5, 2, 3, ∞, ∞, ∞, 5, ∞, ∞, 1000, 1000, 1, 2, 1000000000000000000000000000000000000000000, 4, 3, 2, 3, 1, 8, ∞, 60, ∞, 11.

Nombres i lletres en català i en anglès

Val a dir que si admetem la forma googol pel nombre format per un 1 i cent zeros, la sèrie catalana canviaria lleugerament, i que si emprem la varietat valenciana, també.

Una pista, les dues sèries tenen vint-i-sis termes.

Fa uns dies un amic em comentava que feia poc havia fet un viatge a la bonica ciutat de Lisbona —Lisboa en portuguès— i, a banda d’explicar-me’n els nombrosos atractius de la ciutat i de la seva gent, ca comentar de passada que era una de les capitals —d’estat— més properes a Catalunya.

Certament, aquesta és una idea que la major part dels catalans compartim, no és gaire lluny.

Però la pregunta que em vaig fer va ser: Des de Barcelona i en ordre de distàncies a capitals d’estat, quin número ocupa Lisbona? Per simplificar entenc que la distància és en línia recta, de centre a centre de ciutat, no per carretera o ruta marítima.

Vaig pensar un nombre, i quan el vaig comprovar, fent ús de l’eina de mesura del programa GoogleEarth, vaig veure que m’havia quedat curt. I no només jo, totes les persones que vaig preguntar van dir nombres més petits que la realitat, amb una mitjana entre sis i set, i en tot cas no arribant mai a deu.

Quina és la resposta correcta?

Sorprenentment és tretze. Hi ha dotze capitals d’estat més properes a Barcelona. Aquestes són les ciutats amb la distància en quilòmetres a l’ajuntament de Barcelona.

1 Andorra la Vella (135)
2 Ciutat de Mònaco (502)
3 Madrid (506)
4 Alger (518)
5 Berna (747)
6 París (829)
7 Tunis (857)
8 Ciutat del Vaticà (858)
9 Roma (859)
10 Vaduz (866)
11 San Marino (887)
12 Luxemburg (963)

13 Lisboa (1009)

Un mapa amb les línies entre Barcelona i les dotze capitals més properes

Les possibles causes de la subestimació?

Potser el record de mapes de la península Ibèrica on no apareixen la majoria de les capitals de la llista. Sumat això a que hi ha microestats que habitualment no els tenim en compte.

Un altres problema geogràfic amb aquestes ciutats, consisteix en, sense mirar el mapa i a partir de París —que queda justa al nord de Barcelona—, en el sentit de les agulles del rellotge, determinar l’ordre de les ciutats. Sembla fàcil però també ho és cometre errades.

Els problemes de la col·lecció «què és?» poden ser força variats, encara que aproximadament dins les meves aficions i dèries. Aquí en presento un amb la solució per mostrar un possible procès mental per resoldre’l.

La figura és volgudament imprecisa, com un esquema més que un plànol. Amb possibles errades o imprecisions.

Un problema de la sèrie «què és?» amb deu figures

Hi veiem deu figures de colors grisos sobre un fons esmorteït entre groc, blau cel  verd. Probablement el fons no és significatiu, no es lliga de cap manera visible amb les figures.

Totes les figures consten de sis quadrats llevat de la primera, la de dalt a l’esquerra, que té alguns detalls més, com unes pestanyes disposades alternativament en els costats dels quadrats.

Aquí, ve un pas fàcil, la primera figura representa el desenvolupament d’un cub, allò que amb cartolina ens feien fer a l’escola en diversos treballs manuals. Incidentalment quan tenim una figura plana que es pot convertir a base de plegar-la, afegir-hi pestanyes i enganxar-les, la manera més fàcil de situar les pestanyes és alternativament en els costats de la figura plana: un sí i un no… Es pot demostrar que funciona sempre, com en el cas de la primera figura de la imatge. Òbviament, no és l’única disposició de pestanyes possible.

I si la primera pestanya és el desenvolupament d’un cub, què són les altres?

Si les numerem, és fàcil veure que tant la 1, com les 2, 3, 4, 6, 8, tenen quatre quadrats en vertical que farien una volta horitzontal a un cub, i una altra quadrat a cada banda que es podria plegar con les bases superior i inferior: són desenvolupaments del cub similars al primer i més conegut.

Les altres també? Efectivament unes poques manipulacions mentals o físiques ens mostren que també es poden plegar e forma de cub. De fet és l’única menara de plegar-les possible per formar un objecte de tres dimensions.

Aquí recordo una anècdota escolar. Un professor de ciències naturals, quan teníem uns tretze anys ens va donar uns dissenys per passar a cartolina i muntar uns objectes que representessin els sistemes cristal·logràfics bàsics —sí, es veia a aquella edat—. En el cas del sistema cúbic hi havia dues figures, el cub i l’octaedre regular que té les mateixes simetries. El professor en qüestió —a qui anomenàvem «l’Indi» perquè era molt vermell de cara— tenia un curiós sistema de puntuar aquell exercici, feia posar sobre la taula els cossos de cartró que havíem muntat, i els que estaven mal fets o enganxats o els erronis, els esclafava amb el puny… Bàsicament esclafava algun on n0 s’havien posat correctament les pestanyes o no s’havien enganxat, però recordo un cas curiós, un company havia muntat l’octaedre en una disposició alternativa, en lloc de ser dues piràmides quadrangulars unides per la base, li van resultar dos tetràedres regulars units per una aresta comuna i dues cares triangulars més formant una figura còncava. En uns pocs segons abans de morir esclafada ho vaig veure. I vaig pensar: l’Indi no ens donar cap mena d’instrucció més enllà de muntar les figures, o sigui que si na tenia diverses possibilitats, qualsevol d’elles podia ser vàlida. No tinc ni idea si l’alumne afectat ho recorda, però aquell dia, al menys jo, vaig aprendre inesperadament una cosa nova d’aquelles que recordaré tota la vida.

Però el problema del «què és?» no s’ha acabat, caldria comprovar tres coses més, si hi ha alguna figura incorrecta —bé, això ja ho hem fet i no—, si hi ha alguna figura duplicada, i si en manca alguna de la mateixa categoria.

Per veure si hi ha duplicats només cal posar cada figura en les quatre orientacions ortogonals possibles i les seves imatges especulars i veure si coincideixen amb alguna altra figura. No.

Trobar si en manca alguna és més delicat. Aquí cal posar els sis quadrats adjacents  de totes les maneres possibles, sense ni oblidar-ne cap ni duplicar-ne. N’hi ha 35 que són les figures anomenades hexòminos. Si aquí busquem la paraula a Google potser trobarem la solució al problema dels cubs, però en certa manera és fer trampa si, prèviament, no coneixíem la paraula.

Dels 35 hexòminos cal eliminar els 10 que ja tenim i comprovar tots els altres d’un en un. Pot semblar una mica feixuc però aquí rau l’interès de molts problemes heurístics, cal cercar —en principi inventar— un mètode que sigui pràctic, eficient i segur per fer-ho. Quan el tinguem, podrem comprova de dels 25 hexòminos que ens queden, 24 no es poden plegar en quadrat, només n’hi ha un altre que sí.

Aquest:

L’altre possible desenvolupament d’un cub

Sempre m’han agradat els problemes amb poques dades i ocasionalment n’he escrit-compost-inventat algun. Per exemple:

❀ La Maria col·leccionava baletes i ja en tenia entre cent i dues-centes. Un dia va decidir posar-les en una disposició en forma de trapezi o triangle, això és: una sèrie de rengles decreixents. Per exemple amb quinze baletes hagués pogut fer una figura amb 5, 4, 3, 2 i 1, o també 6, 5 i 4, o finalment 8 i 7. Normalment es podia fer la figura de moltes maneres. Però aquell dia, que havia aconseguit una nova peça per a la seva col·lecció, es va trobar que no ho podia fer de cap de les maneres.

Quantes baletes tenia?

La solució és única. Si considerem que els triangles no són trapezis, hi hauria més possibilitats. Quines o quina?

De manera més general, de quantes maneres un nombre natural es pot descompondre en suma de nombres consecutius? Si la resposta és 1, vol dir que només es pot fer amb un trapezi «degenerat», d’una sola línia que no el considerem trapezi. Si caracteritzem els nombres d’aquesta mena, tenim la solució al problema anterior.

Una imatge, pot ajudar una mica, a veure per on pot anar la solució:

Diverses disposicions d’entre 1 i 31 baletes.

Fa unes setmanes vaig escriure una rèplica a qui de bona fe, tenia por que la creació d’una «reserva» de cel fosc, amb limitacions a la il·luminació nocturna, especialment a la que es perd a l’espai o es reflecteix en el núvols, podria portar a una degradació del territori, aquí el reprodueixo una mica. També parlava dels astròlegs, una mena de persona que mai a la vida he vist al camp, en zones no contaminades lumínicament, fent observacions.

❀ ❀ ❀

En tres ocasions en la meva vida, he estat cridat per artistes o responsables de monuments, per tal que calculés la seva orientació o posició relativa respecte a algun fet astronòmic com pot ser la sortida del Sol determinat dia. Sense cobrar. En les tres ocasions, en la inauguració del monument, l’artista o responsable, en el seu discurs, m’ha anomenat l’«astròleg».

Monument a la consulta d’Arenys de Munt, que vaig ajudar a orientar, amb la Lluna pel forat i la contaminació lumínica al fons.

I això és com anomenar l’«alquimista» a algú que treballa a l’ajuntament per garantir la potabilitat de l’aigua. No, un astròleg, en èpoques antigues podia ser un astrònom que inventava històries personals per tal de fer-se un sobresou, o fins i tot sou. Però des de fa segles que és clar que és un estafador malgrat el que pugui creure fins i tot una majoria de la població, desinformada i amb necessitats psicològiques.

Com desinformació és pensar que el tema del cel fosc és una dèria d’uns quants extremistes amb ganes de molestar. No, l’alerta l’han donat científics. Potser sí que els primers van ser astrònoms, professionals, als quals la llum artificial destorbava a les seves observacions, però van venir desprès biòlegs, fisiòlegs i enginyers, explicant el seguit de problemes que genera el fet d’il·luminar el cel de manera desaforada. Des de problemes de migració o recerca de parella en molts animals nocturns; canvis en les preses i els seus predadors que ara poden actuar en qualsevol horari: problemes de son i vigília en els humans —que també es donen molt sovint en interiors per emprar il·luminacions inadequades—; fins arribar a unes emissions extres de CO₂ que contribueixen a l’escalfament de la Terra.

Sabem que hi ha polítics, que no creuen en el canvi climàtic, malgrat que la immensa majoria de científics el tingui clar del tot. Passa el mateix amb el cel nocturn, no és una collonada de quatre bojos, les evidències del problema són aclaparadores i les conseqüències si no s’actua, desastroses. Per això, qualsevol acció per conscienciar sobre ell, és prioritària. Fer reserves amb limitacions sobre la llum que dilapidem al cel, n’és una. Com la del Montsec al Principat de Catalunya o la de la illa de la Palma a les illes Canàries.

I crear «reserves» de cel fosc, no és una acció que portarà al lloc un turismes astronòmic massiu, deixant de banda que qui va a la muntanya a fer observacions astronòmiques, acostuma a ser força respectuós amb el medi ambient.

Relacionat amb tot això, uns petits enigmes científics sobre els que tinc intenció d’escriure algun dia:

• Per què papallones nocturnes i altres insectes s’acumulen prop dels fanals i altres llums nocturns? Realment les atreu la llum?
• Quina relació hi ha entre això i el concepte matemàtic de «passejades aleatòries»?