Ciència nombres i lletres

He estat uns dies sense escriure. El motiu és que no veia bé la pantalla de l’ordinador.

Una doctora de l’hospital de la Creu Roja de Barcelona, ara fa sis dies, em va canviar molt ràpidament el cristal·lí de l’ull esquerre per un de plàstic, crec que acrílic, molt més transparent que el que tenia. I em va deixar l’ull enfocat a l’infinit.

Però la situació és que no tenia cap ulleres que em permetessin veure-hi bé a 50 cm que és om tinc la pantalla.

Vaig fer invents de tota mena, tapant un dels ulls, amb les ulleres velles o unes de prop… però res, era incòmode. I fins avui no he tingut unes ulleres noves enfocades a 50 cm. Ulleres que hauré de canviar quan m’arreglin l’altre ull. Però, afortunadament, ara ja torno a poder escriure.

I és la primera vegada en la vida que amb l’ull esquerre hi veig bé de lluny sense ulleres, o mes exactament amb unes on el vidre de l’ull esquerre no té graduació.

I els colors, la temperatura de color que veig amb un ull és ben bé 2000 K més alta que a l’altra. Especialment ara veig els violetes especialment brillants. Fins i tot diria que cap a la banda de l’ultraviolat veig llum més enllà del límit anterior. Mai no ho havia vist: l’ull és sensible a l’ultraviolat proper, més exactament ho són els bastons de la retina que ara tenen menys filtre que amb el cristal·lí antic. Els bastons no hi són sensibles, o sigui que veig aquesta llum sense color, blanca. Hauré de portar sempre filtre ultraviolat i qui sap si violeta-blau quan surti a la llum del sol, que ara tinc menys protecció.

I com que tinc un ull ben enfocat a l’infinit, ara puc veure les estrelles sense ullera.

Com sempre, la contaminació lumínica de Barcelona impedeix del tot veure les estrelles febles. Però des d’un lloc tan il·luminat com la plaça de Sant Jaume, vaig poder veure les set estrelles més brillants d’Orió, i algunes dels seu voltant.

La constel·lació d’Orió és molt curiosa en alguns aspectes. En principi les constel·lacions són zones delimitades de la volta celeste que contenen tota mena d’objectes, alguns dels quals són estrelles brillants que formen una figura reconeixible. En general, són estrelles que estan aproximadament en la mateixa direcció però que no tenen a veure les unes amb les altres.

En el cas d’Orió, això no és ben bé cert. Les cinc estrelles que he marcat en blau i probablement també Betelgeuse, tenen un origen comú, es van formar al mateix gran núvol de gas i pols fa pocs milions d’anys i encara resten relativament prop les unes de les altres. Bellatrix és una estrella similar però està més propera a nosaltres i podria tenir un origen diferent. Alnilam, que es veu força similar a les dues veïnes Alnitak i Mintaka, podria ser també exterior al complex, però en aquest cas estaria més enllà. De totes maneres, el que veiem en direcció a Orió, és la part més interna del braç de la Galàxia més proper a nosaltres, braç que conté molts més núvols de gas i pols que l’immediatament més proper que ha originat els estels més brillants de la constel·lació.

Tots aquests estels brillants, són molt massius i joves. Consumeixen grans quantitats d’hidrogen i duraran —en termes astronòmics— relativament poc. En alguns milions d’anys esclataran en forma de supernoves. Probablement Betelgeuse, que ja ha exhaurit l’hidrogen del seu nucli, serà la primera. De totes maneres, no representa cap perill, són estrelles prou llunyanes perquè la seva explosió no representi un perill significatiu per a nosaltres.

El núvol de gas i pols, encara resta actiu i en algunes zones, especialment a la nebulosa coneguda com a Messier 42 —M42— al mapa, hi continuen naixent noves estrelles. Però el complex de gas és molt més extens que les nebuloses fàcilment visibles, i abasta pràcticament tota la meitat sud d’Orió, encara que només és visible en fotografies de llarga exposició.

Incidentalment, com que Orió rau en el pla de la Galàxia, justament en direcció contraria al centre, els núvols de gas impedeixen veure-hi més enllà i pràcticament no s’hi pot veure cap galàxia exterior a la nostra.

Normalment idea feliç és un terme pejoratiu, sempre dels problemes que sembla que només es poden resoldre amb una idea impossible de trobar deductivament o inductiva, una idea fruit de la casualitat.

No negaré que en alguns casos puguin ser difícils, però hi ha un tercer element que podem anomenar «cultural».

I això lliga amb el tema sobre qui ha de transmetre la cultura —universal, nacional o individual— als nostres nens. Quan hom assumeix que ha de ser la família, estam perpetuant les desigualtats; si no ho volem, no ens queda més remei que fer de l’ensenyament un transmissor de cultura en sentit ampli. Cosa, per cert, molt allunyada de les «indústries culturals» que només són una petita part de la Cultura amb majúscules.

Posaré ara un problema que molts m’han dit que és d’«idea feliç», però que recordo que el vaig solucionar a peu dret tot esperant que el semàfor dels vianants es posés verd. Segurament va ser una solució «cultural».

El problema diu: «Fes que amb una modificació mínima, la igualtat esdevingui correcta»

La fórmula me la van mostrar escrita a mà, i això té una certa importància. Fixeu-vos que aquí l’he escrit en forma de gràfic, escrita en text convencional potser no funcionaria, i això és força pista.

A partir d’aquí, la meva solució. O, més ben dit, el procediment que vaig pensar en aquell moment. Si voleu intentar resoldre el problema sols, no llegiu ara la part que segueix en rosa.

La primera idea que vaig pensar era posar una línia en diagonal sobre el signe igual de tal manera que es convertís en el signe de desigualtat «≠». Però això no solucionaria el problema que parla de fer una «igualtat» correcta. No, aquí cal que les quantitats a la dreta i l’esquerra del signe siguin iguals.

Comencem per l’esquerra: 71 + 1 són 72. 71 – 1 són 70. 72 × 70, és relativament fàcil fer-ho de memòria són 5040.

I aquí entra la cultura «numèrica». Hi ha nombres que molt probablement no ens diuen res, per exemple 142 a mi no em recorda res especial; però per exemple 144, sí: és una grossa una dotzena de dotzenes, o sigui 12 × 12; 1969 també em recorda instantàniament una cosa és l’any que l’home va trepitjar la Lluna i en el meu cas particular em recorda que és l’únic nombre amb dues vegades cada vocal: mil nou-cents seixanta-nou. Què m’evoca 5040? Si el cerquem a la Wikipedia —anglesa— ens sortiria immediatament la solució al problema. Però qui té una certa cultura numèrica ho té tan clar com el cas del 144: 5040 és el factorial de 7. Si multipliquem la seqüència dels enters ens resulta: 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320… i el factorial d’un nombre s’expressa amb un signe d’admiració. Set factorial s’escriu 7! i en el gràfic només cal afegir un punt sota el presumpte 1 de la dreta, tot convertint-lo en admiració. Per cert, 5040 també són els minuts de mitja setmana. I si voleu cultura clàssica, Plató, a la seva República, l’esmenta com a nombre desitjable de ciutadans d’una polis.

I si no tenim aquesta cultura? aleshores cal cercar les propietats del nombre i, naturalment, la manera més fàcil és consultant a internet, que això és un problema per fer a casa, no un examen. La dada, que 7! = 5040, potser cal recordar-la. per poc que fem càlculs acaba sortint alguna vegada.

La primera part d’aquest article la podeu trobar aquí.

⑬ Em van descobrir per les pertorbacions gravitatòries que la meva massa feia sobre altres astres, però ja m’havien vist 234 anys abans amb un telescopi primitiu, prenent-me per una estrella.

⑭ El punt més elevat d’un astre sòlid, acostuma a ser el cim d’una muntanya. Però el meu, tot i que tinc tot ple de muntanyes altes i relativament punxegudes, és un petit relleu en una plana que des d’allà mateix ningú no qualificaria de muntanya.

⑮ Molts astres sòlids tenim conques circulars degudes a l’impacte a gran velocitat d’altres cossos de gran massa. Jo, d’aquestes depressions, tinc la més gran de les clarament visibles, la més gran de les confirmades encara que a les imatges no s’apreciï gaire, i la més gran de les sospitades que ocupa més de la meitat de la meva superfície.

⑯ Si mireu la meva òrbita, sembla que interseca la del planeta que hi tinc immediatament a l’interior, però no tingueu por, no hi puc xocar. De fet sempre hi estic molt lluny, fins i tot puc estar més prop del següent planeta que no pas del que sembla que travessi la meva òrbita.

⑰ La majoria dels cossos del sistema solar, giren sobre el seu eix d’una manera força regular, i els que som satèl·lits, sovint, ensenyant sempre la mateixa cara al nostre planeta. Però jo sóc la nota discordant, la meva rotació és caòtica i el meu eix balla considerablement. I no tan sols això, sóc com una esponja, més del 40% del meu interior podria ser espai buid.

⑱ Sembla que Nikola Tesla, molt abans que s’ideés la radioastronomia em va detectar i va creure que era una emissió de ràdio dels marcians. Però no, segurament vaig ser jo que als pols hi tinc unes aurores permanents connectades per tubs de plasma amb alguns dels meus satèl·lits. El tub que va fins el satèl·lit més interior és el més important i a cada volta, quan està en una posició concreta, genera ones de ràdio fàcilment detectables des de la Terra.

Cinc dels astres que es presenten a l’article. Imatges de la Viquipèdia

⑲ Sóc el més gran dels dels cossos coneguts del sistema solar que no són ni planetes ni satèl·lits, la fotografia més antiga on surto és de 1954, però no em van reconèixer fins molt més tard.

⑳ De tots els planetes i satèl·lits sóc el més dens, encara que ni ha un que si tingués les mateixes pressions interiors que jo, em superaria lleugerament.

㉑ Segurament faig més pudor a sofre que el dimoni dels pastorets, i és que sempre tinc tot ple de volcans en activitat.

㉒ Tinc la muntanya coneguda més alta, respecte la seva base, del sistema solar. I també sóc un dels pocs cossos dels que els homes en tenen mostres físiques.

㉓ Les borrasques tenen l’aspecte de vòrtexs de núvols en espiral i són bàsicament circulars, el·líptiques o deformacions d’aquestes figures, però jo tinc, al pol nord, una pertorbació enorme, al menys des de fa 30 anys, que té forma hexagonal.

㉔ De tots els satèl·lits, sóc el més gran dels que probablement van ser capturats pel seu planeta; a més, giro en direcció contrària a la seva rotació. Si vaig néixer en una altra banda del sistema solar i vaig ser capturat, va ser amb una carambola còsmica força complexa; potser era un cos doble que va passar prop del planeta en una trajectòria molt precisa i el planeta em va capturar mentre el meu germà va ser expulsat del sistema solar.

Joan Amades ens explica sobre Juncosa de les Garrigues:

Juncosa és el centre del Món:
Hom suposa que l’esfera terrestre fou traçada amb un compàs, la punta fixa del qual fou clavada enmig de la plaça de Juncosa, on encara es conserva el sot que es féu en subjectar-la-hi. Juncosa es troba, per tant, al punt mitjà del món. El sot que la creença popular assenyala com a punt on es clavava el compàs és el clot on en altre temps es plantava l’arbre de maig.

I aquesta llegenda té una representació gràfica en un dels seus carrers, una escultura obra d’un artista local.

De fet, vaig conèixer la llegenda a partir de la pedra a la plaça del Mig del Món, un dia fent turisme per la comarca de les Garrigues.

I és el turisme interior del que voldria parlar avui una mica. És una mena d’assignatura pendent dins la cultura catalana. Quan hom va a conèixer pobles de moltes de les comarques de l’interior del Principat, té la sensació de ser percebut com una mena de rara avis. Amb un parell de problemes secundaris, no hi ha cap sistema general fàcil de poder veure interiors interessants, per exemple de Juncosa, no he vist l’interior de l’església ni encara menys el del dipòsit municipal d’aigua, una interessant construcció de finals del segle XIX. Sí que he vist els «perxis», ja que són un carrer porxat que acaba en dos arcs a banda i banda, curiosament diferents:

Aquestes dues fotos, que aquí ensenyo unides però que havia posat en la mateixa xarxa social, amb la mateixa informació, el mateix dia, em presenten un problema curiós: La de l’esquerra va rebre al llarg dels anys vuit vegades més visites que la de la dreta. Potser és que per casualitat els primers dies en va rebre més, i el sistema de geolocalització que les posava en el mapa la mostrava més destacada, i d’aquí que rebés més visites augmentant encara més la diferència. Això ens indica que els sistemes de valoració pretesament objectius, en definitiva valoren a l’atzar…

Un segon problema del turisme interior, és que hi ha molts museus o altres centres culturals teòricament per atreure visitants, però amb molt poca promoció i amb uns horaris inconvenients.

Certament que en alguns casos concrets —parlo de pobles petits— no és així, ara penso en dos llocs interessants com Beget i Covet —curiós que rimin i tots dos tinguin un monument romànic de primer ordre— que tot i no tenir gran afluència, els he pogut visitar per dins moltes de les vegades que hi he passat. Encara que fora del Principat, per exemple a Serrabona, ho tenen millor organitzat i aconsegueixen visitants fora de temporada i entre setmana.

He posat l’exemple de Juncosa, però hi ha centenars de pobles interessants que mereixerien més visites, i no estic parlant de turisme massiu, sinó cultural amb una densitat sostenible. I parlant de sostenibilitat, precisament la gran majoria d’aquests pobles només es poden visitar —per turisme o qualsevol altre motiu— en cotxe particular. Però no hi ha, ni tan sols des de Barcelona pràcticament cap oferta per anar-los a visitar col·lectivament i, lamentablement, alguna de les poques que he vist, són més cares que anar-hi individualment. Penso així a primer bot que un autocar amb una ruta tal com «Viles closes de la Segarra» o «Paisatges i monuments del Lluçanès», podria tenir bona acollida. Si el preu fos raonable és possible que m’hi apuntés algun cop.

Els poliòminos, les figures formades per diversos quadrats iguals adjacents pels costats, permeten una gran varietat de problemes, molts d’ells inductius. Avui en presento dos relativament similars, que fan servir el joc dels 35 hexòminos.

És impossible col·locar els 35 hexòminos en un rectangle, però la demostració d’això, basada en la paritat és un tema que tocaré un altre dia. Però és possible col·locar-los en altres figures com per exemple un rectangle de 11 × 19 més una casella adjacent al mig del costat llarg. No és gaire fàcil fer-ho a mà amb un conjunt de les trenta-cinc peces, però amb un programa d’ordinador se’n poden treure milions de solucions, no l’he pogut deixar en marxa prou estona per saber el nombre.

Pels problemes d’avui parteixo de dues solucions d’aquest cas, però simplement com a il·lustració per mostrar les trenta cinc peces. La seva posició o orientació no hi té cap importància.

Els dos problemes són part d’una col·lecció de 12. Segurament seria exagerat posar-los tots aquí, però a l’hora de solucionar problemes d’aquesta mena, quants més n’hi ha, més possibilitats de solucionar-ne algun…

En el primer cas veiem els hexòminos pintats de dues maneres, uns de color rosa, i els altres verds.

Trenta-cinc hexòminos: 12 roses i 23 verds.

La pregunta és quin és el criteri.

Òbviament hi ha moltíssims possibles criteris per acolorir els hexòminos en diversos colors, aquesta és la gràcia i la dificultat dels problemes inductius. Fins i tot, algunes vegades passa que dos criteris que no tenen res o gaire a veure, ens porten al mateix acoloriment. Això vol dir que la solució a un problema inductiu sempre és probabilística, cal escollir el criteri subjectivament més senzill, és el que s’anomena navalla d’Occam.

En una entrada no fa gaire, en un problema també amb hexòminos, vam veure un criteri que era si la figura era el desenvolupament d’un cub o no. El criteri d’avui és subjectivament més senzill. Altres criteris a considerar poden ser: dimensions màximes, nombre de costats, nombre de costats d’una determinada mida, angles interns, enrajolats per peces més petites, mida màxima de una diagonal, caselles blanques s o negres sobre un tauler d’escacs, diàmetre màxim de la peça… Aquest problema té a veure amb algun d’aquests criteris.

Però potser una pista tangible i misteriosa sigui la primera que hi vaig veure: la dels «cucs». Un poliòmino pertany a la categoria dels cucs, si és possible fer per tot ell un recorregut quadrat a quadrat, pel costat, de manera que no es repeteixi cap casella. I la observació és que tots els cucs són verds i no hi ha cap hexòmino rosa que ho sigui. De totes maneres aquest no és el criteri perquè hi ha cinc hexòminos pintats de verd que no són cucs, per exemple el que sobresurt per la part superior.

Aquestes cinc peces són les que ens donen una pista definitiva si ens adonem que en totes elles hi ha un quadrat amb tres costats exteriors, que si comencem el camí de «cuc» per ell al següent pas ens trobem que hi hauria dues possibilitats de continuar de la mateixa mida, dues caselles. En els cucs normals, després de dues caselles, en podem fer dues més i dues més. En canvi en cap de les peces roses, en entrar des d’una punta i seguir una casella més, no trobem mai dues possibles continuacions de dues caselles. Aquest és la pista definitiva, en les peces verdes sempre podem fer dues dues i dues caselles per cobrir-les, en altre paraules, es poden recobrir amb tres dòminos i les roses, no.

En aquesta figura podem veure que les peces verdes es poden cobrir per tres dòminos.

En el següent problema, del qual avui no donaré més pistes llevat que el criteri té alguna semblança amb l’anterior, podem veure els hexòminos pintats de cinc colors.

Trenta-cinc hexòminos: 2 carabasses, 12 roses, 11 verds, 6 grocs i 4 blaus.

La pregunta torna a ser quin és el criteri.

Pensava que segurament estaria núvol fins les darreres previsions meteorològiques del diumenge pel vespre. Cel clar, van acabar pronosticant. I sí, cap a les cinc de la matinada ja ho era i la Lluna es veia perfectament, molt enfosquida i vermella.

Malauradament, des de la finestra, la Lluna se’ns amagaria just abans de començar la totalitat de l’eclipsi. I no és fàcil vivint a ciutat trobar llocs amb una bona vista prop de l’horitzó que és on s’ha produït la totalitat. Segur que des dels terrats o pisos alts d’algunes cases properes s’ha pogut veure, però no hi ja manera fàcil d’accedir-hi.

O sigui que en la foto que n’he fet, encara és veu una part, just a dalt a la dreta, amb llum solar.

I si és un eclipsi i el sol no toca l’altra part de la Lluna, perquè, encara que una mica fosca es pot veure?

Si la Terra no tingués atmosfera, la part eclipsada seria fosca del tot, però la llum del Sol es propaga i refracta per l’atmosfera terrestre i acaba il·luminant la Lluna, és el mateix efecte que ens fa veure el cel il·luminat de vermell després de pondre’s el Sol, o abans de sortir, la llum que es propaga per l’atmosfera. I com que la llum vermella es propaga millor que la blava, el resultat és una Lluna rogenca.

La foto, amb la màquina recolzada al marc de la finestra, és el millor que m’ha sortit. Si hagués pogut disparar amb trípode i sense els dits freds, potser hauria sigut una mica millor, però és raonable per a una màquina compacta.

La Lluna minuts abans de la totalitat de l’eclipsi. A la banda superior a la dreta, encara li tocava una mica de sol directe

Tinc el costum de publicar tot el meu material públic, sota llicència Creative Commons By Sa.

És una llicència adequada per a la Viquipèdia, i, deixant de banda que la feina cultural no la faig amb intenció lucrativa, permet que tercers es puguin aprofitar del meu material, bàsicament textos, fotos i il·lustracions.

En aquest bloc, les fotos que hi incloc, o són meves, o provinents de la Viquipèdia o d’entitats com la NASA que posen en domini públic la major part del seu material.

El fet de publicar amb llicència lliure permet divulgar l’obra pròpia i alguna vegada l’acabo veient en llocs que no sabia, és el cas d’aquest matí quan mirant blocs de VilaWeb, he vist aquesta foto:

Can Ferrer de la Cogullada, km 7,4 carretera TV-2443, de Vila-rodona a Aiguaviva
Foto del 8 de juliol de 2011

L’he reconegut instantàniament i he avisat a l’autor del bolc, no per ser perepunyetes sinó per divulgar la llicència lliure, que havia de respectar les condicions, bàsicament reconeixement (by) i compartir per igual (sa), que sovint entre la font original i l’usuari es poden perdre.

Això de publicar amb llicència lliure fa que es donin situacions curioses, com la veure la meva dona per televisió en una notícia sobre els crims de Tor. Bé, jo sé que és la meva dona perquè vaig fer la foto, força abans dels crims…

Tor, Pallars Sobirà. El punt blau cel al mig de la foto és la meva dona…

També la podeu veure a les fotos a la Viquipèdia de Capafons o el pont de Malafogassa, entre altres.

Aprofitant que és el darrer dia de l’any, avui posaré pistes i solucions d’alguns dels enigmes que he anat posat al bloc, concretament dels més antics. No sempre serà la solució explícita, en alguns casos només una indicació de com trobar-la o el resultat final deixat a l’aire algun pas intermedi.

▉ Un problema per començar
H o V: FISIC • EDITA • REMER • RIERA • INOIT ••• V o H: FERRI • IDEIN • SIMEO • ITERI • CARAT

▉ A mi, això no m’ho han ensenyat a fer
Cada figura és simètrica respecte un eix vertical, només cal mirar la meitat de la dreta per veure què són.

▉ Què és? Exemple 1, “cadenes de moto”
Cada cadena té cinc baules, plegades d’una manera diferent, però no hi ha tots els plecs possibles d’una cadena de cinc baules. Cal, en conseqüència, cercar-les totes i col·locar-les en un rectangle.

▉ Pentòminos, joc i eina educativa
És el número de «puntes» que té cadascun dels pentòminos, entenent per punta un quadrat amb tres costats exteriors. Les figures verdes en tenen tres, les brunes dos, la blava un, i la vermella quatre. He de confessar que quan he volgut posar aquesta solució, no la recordava i m’he passat una bona estona provant hipòtesis, bàsicament en el sentit de veure quantes i de quina manera, peces més petites com dòminos, per exemple, cabien en cadascun dels pentòminos, que era el que em semblava recordar de la clau de l’enigma. Era una falsa memòria, segurament ho vaig pensar quan escrivia l’entrada, però al final em vaig decidir pel problema de les puntes.

A l’esquerra, els pentominós amb les «puntes» destacades.

▉ La velocitat de la llum, a casa
Treu el plat giratori del forn de microones. Col·loca-hi, sobre un paper, dues llesques de formatge una a continuació de l’altre. Encén el microones uns pocs segons fins que el formatge es comenci a fondre. Observa que s’ha fos a franges, cadascuna correspon a un màxim o un mínim de les microones generades pel forn. Mesura amb el regle o cinta mètrica la distància entre dues franges no consecutives, seran dos màxims o mínims o sigui que mesuraràs la longitud, d’ona. Probablement et resultaran uns o,12 metres. Gira el microones i a la placa llegeix la freqüència. Probablement serà 2,45 GHz. Sabent la longitud d’ona (λ) i la freqüència (ν), la velocitat (c) s’obté per la fórmula c = λ·ν, o sigui 0,12 × 2,45·10⁹, o sigui 2,94·10⁸, amb un error de només el 2%.

▉ L’Enciclopèdia desordenada
Els volums estan per ordre alfabètic, escrivint en nombre en lletres.

▉ Un triangle misteriós, per pensar una mica
Aquí, una manera de resoldre el problema és escriure un programa que faci el procés descrit i veure’n el resultat. La figura que surt és precisament la D, el triangle de Sierpinski. El motiu és que els punts de la figura, desplaçats a escala meitat en direcció a qualsevol dels vèrtex, han de correspondre a punts de la figura, que és precisament una de les definicions del triangle de Sierpinski.

▉ Horitzons llunyans. Foto incògnita
La muntanya del fons, esquerra fins el centre, és la serra del Cadí. La de la dreta el Pedraforca, amb el pollegó inferior ocultant gran part del superior. El poble és Calaf, identificable pel campanar. La foto es va fer des del costat del dolmen dels Plans de Ferran, al límit entre l’Anoia i la Conca de Barberà.

▉ Els rellotges, per exemple
El gnòmon s’ha d’orientar paral·lel al eix de la terra. A Catalunya això vol dir en direcció nord-sud inclinat uns 42 graus respecte la vertical.

▉ Problemes i metaproblemes: multiplicacions amb sets
953 × 298 = 283994

▉ Petits misteris a la foto
La foto travessa pràcticament tot Barcelona. El requadre verd correspon al calvari amb la creu al Parc Güell. El requadre groc és la cúpula de la Rotonda, i la foto es va fer des del mirador de la carretera de Vallvidrera.

▉ 2019 a la calculadora
((22*2+2)*22-2)*2-2/2 = 2019

▉ Seixanta-quatre igual a seixanta-cinc?
La il·lustració és tramposa, les peces de la dreta, col·locades al rectangle de l’esquerra, no encaixen perfectament i deixarien a la diagonal una mica d’espai, que en concret té la superfície d’un quadret.

▉ Daus i dòminos
La solució és la imatge de la dreta.

▉ Una muntanya massa llunyana
La muntanya es pot veure per culpa de la refracció atmosfèrica que fa que la llum, en direccions properes a l’horitzontal, es desvii de la línia recta degut al diferent índex de refracció de les capes atmosfèriques a diferents alçades. L’efecte és prou gran prop de l’horitzó, una mica més de mig grau, aproximadament el diàmetre del Sol.
O sigui que no hi ha trampa, es poden veure muntanyes per sota la línia de l’horitzó degut a l’atmosfera.
La muntanya és el Canigó, de 2785 metres d’alçada. La foto de la dreta és des de Perpinyà i la de l’esquerra des de Marsella, a gairebé 251 km. aprofitant un dels dos dies de l’any que el Sol es lleva des de darrera la muntanya.

▉ Quatre estanys al Principat
Estany d’Ivars i Vila-Sana, era molt més reduït i sovint sec fins que les aigües sobrants dels regadius del canal d’Urgell van elevar considerablement el nivell. Amb posterioritat, l’any 1951 és va assecar artificialment —posteriorment hi havia una plantació de pereres al centre— i vers el 2003 es va començar la recuperació.
Estany de Graugés. Gran bassa o embassament creat l’any 1909 al terme d’Avià al Berguedà. Actualment està en desús respecte la finalitat original.
Estany de Montcortès, natural, d’origen càrstic provinent de l’esfondrament de coves sota d’ell. La major part de l’aigua que rep és subterrània.
Pèlags de Vilobí del Penedès. Antigues pedreres de guix, explotades des d’època romana, que en quedar en desús l’any 1993 es van inundar. La gran fa més de 400 metres de llarg.

Avui, una petita broma molt curta que no se’m va acudir ahir, dia dels innocents.

A les il·lustracions, totes amb llicència lliure i extretes de la Viquipèdia, s’hi poden veure una sèrie de personatges o símbols amb un número sota. La primera fila és internacional.

La segona és més nostrada…

Es tracta d’esbrinar què representen els números sota els personatges.

Alguns astres del sistema solar es presenten. Les il·lustracions, totalment desordenades, són fetes amb fotos amb llicència Creative Commons [by sa], extretes dels respectius articles de la Viquipèdia. D’un dels astres no n’he trobat foto ni dibuix, en principi perquè mai no s’ha observat de prop.

① Potser és que visc en un barri perillós del sistema solar, però els darrers anys he sofert al menys en tres ocasions l’impacte de grans cossos que em van deixar marques visibles durant força temps.

② Alguns planetes tenen anells al seu voltant. Però són anells formats per petits blocs de material en òrbita al seu entorn, lluny de la superfície. Jo sóc més original, tinc un anell que és una serralada que recorre el meu equador, i no pas baixa, en general fa més de 10 km d’alçada amb algun pic que podria arribar als 20.

③ A mi em va descobrir un capellà el primer dia d’un segle.

④ Tinc els pols molt més freds que l’equador, això és el normal, però a l’equador tinc quatres punts igualment espaiats, dos on a migdia la temperatura puja molt més que als altres dos que, a més, tenen la peculiaritat de gaudir d’unes sortides i postes de Sol molt especials.

Cinc dels astres que es presenten a l’article

⑤ Tinc un oceà d’aigua líquida entre la meva escorça gelada i el nucli de roca i metall. Les forces de marea el mantenen líquid, però quan l’escorça de gel es trenca i l’aigua surt a l’exterior, es congela ràpidament.

⑥ De tots els meus companys, i en tinc moltíssims, no sóc el més gran però sí l’únic que es pot veure a ull nu en circumstàncies favorables.

⑦ Vaig de corcoll, per motius desconeguts giro, amb l’acompanyament d’uns quants satèl·lits més de 90 graus inclinat respecte la meva òrbita, això fa que les estacions i els moviments del Sol al llarg de l’any siguin força més complexos que els que es veuen des de la Terra.

⑧ Hi ha un planeta que és més petit que jo. I tinc una atmosfera amb una pressió superior a la de la Terra que, per cert, va descobrir un català des de Barcelona.

Sis dels astres que es presenten a l’article

⑨ Porto el nom del pare d’una nació que va morir afusellat pels espanyols. De la nació on, en un congrés d’astrònoms, es va anunciar la meva descoberta prèvia. I tinc una òrbita molt peculiar que durant dècades es va creure única.

⑩ Volto sobre el meu eix molt lentament, i cada vegada en la meva òrbita m’aproximo a la Terra, la miro amb la mateixa cara. Potser és casualitat, potser és per la seva influència gravitatòria? No se sap del cert.

⑪ El meu descobridor havia decidit deixar estar la meva recerca, però la seva dona, que també era científica, va insistir que ho intentés uns dies més. I aleshores em va trobar, a mi, i al meu germà petit. Ara, el més gran dels meus cràters, que és enorme comparat amb la meva mida, porta el cognom de soltera de l’esposa del descobridor.

⑫ Quan em van descobrir, van pensar que era un asteroide amb una òrbita allargassada situat en una zona on no hi ha asteroides, més tard van veure que tinc una cabellera i cua, i ara estic classificat tant d’asteroide com de cometa. Encara més, probablement tinc anells. I sóc el representant de tota una família de cossos que habitem aquesta zona del sistema solar encara que no el primer en ser descobert.

Quants d’aquests astres podeu reconèixer?

No sempre la geometria és abstrusa, a vegades hi ha teoremes que potser tenen una certa dificultat de demostració per a qui no hi està ficat, però que són de fàcil comprensió per a qualsevol.

Sí, qualsevol, fins i tot aquelles persones que afirmen que de matemàtiques no en saben gens i es consideren incapaces d’entendre-les, quan el que realment passa és que de petites els hi van ensenyar tan malament que encara estan atrapades en un embolic i tenen por de tornar a intentar comprendre-les. Encara que aquesta vegada no ho facin malament.

Aquí presento uns fets molt senzills de geometria, sense demostracions que em sembla que són fàcilment compressibles.

Una font inexhaurible de fets interessants són els triangles. Són una figura ben simple, però es poden plantejar innombrables qüestions sobre ells. Veiem-ne una de senzilla:

❀ Tracem un triangle qualsevol. Marquem els punts mitjos de cada costat —són els negres— i tracem les rectes que van des de cada angle al punt mig del costat oposat, en blau a la figura. Aquestes rectes s’anomenen mitjanes. Podem veure que les tres rectes coincideixen en un punt, però no és un cas especial del triangle que hem dibuixat, passa sempre per a qualsevol. Aquest punt marcat en blau, que sempre és interior al triangle, s’anomena baricentre, perquè coincideix amb el centre de masses del triangle suposant que és fet d’un material uniforme. A més, la distància del baricentre a cadascun dels vèrtexs és sempre el doble que la que hi ha entre ell i el punt mig del costat oposat.

❀ Ara, des dels punt mitjos dels tres costats, tracem la recta perpendicular al costat que passa per ells, en vermell a la figura. Aquestes rectes s’anomenen mediatrius, i les mediatrius dels tres costats també coincideixen en un punt, independentment de la forma del triangle. Aquest punt s’anomena circumcentre, ja que és el centre de la circumferència que passa pels tres vèrtex del triangle.

❀ Finalment, des de cada vèrtex tracem la línia recta perpendicular al costat oposat, anomenada altura, en verd a la figura. Un altre cop, les tres rectes coincideixen en un punt anomenat ortocentre.

I ara ve el més curiós, al menys per a mi: circumcentre, baricentre, i ortocentre estan alineats sobre una recta, anomenada recta d’Euler, marcada en negre a la figura, amb el baricentre situat entre els dos altres punts i, a més, la distància entre baricentre i ortocentre és el doble de la que separa el baricentre de l’ortocentre. Tot i ser uns conceptes fàcils, la geometria clàssica grega no coneixia aquesta propietat, va ser Euler al segle XVIII qui les va mostrar per primer cop. Com sempre passa amb matemàtiques, encara n’hi ha molt més; per començar podem dir que el centre de la circumferència que passa pels tres punts mitjos dels costats, també rau sobre la recta. I el centre de la circumferència que passa pels tres punts on les altures intersequen els costats, marcats en blanc a la figura, també, però és que resulta que coincideix amb la circumferència anterior.

Totes aquestes propietats es poden generalitzar a dimensions superiors, per exemple en els tetràedres, però resulta una mica massa complicat per a aquest article elemental.

Quan tenia uns vuit anys, un col·lega estranger del meu pare —no sé de quin país, però parlava francès— va venir uns dies a casa i em va regalar una caixa bàsica de Lego, amb peces blanques per fer parets, vermelles per teulada, unes poques finestres i una porta. Tot i que era limitat, amb allò feia de tot. El nadal d’aquell any, vaig demanar a uns oncles més Lego, i em van portar una caixa amb el mateix contingut , tot i que la caixa crec que era en danès. Perfecte, podia fer cases el doble de grans. I moltes altres coses. De mica en mica vaig anar aconseguit més material.

Era molt diferent a la actualitat o a l’època dels meus fills, el joc no es basava en un muntatge predeterminat a cada caixa, sinó que eren peces genèriques amb les que podies fer el que la imaginació et dictés. Desprès dels maons quadrats van venir peces esbiaixades per fer teulades, peces d’un terç d’alçada per fer plataformes o altres detalls, més colors, encara que alguns com els maons blaus a mi no em resultaven gaire útils quan feia cases.

Ara, de gran tinc acumulada una certa quantitat de material, inclòs el dels fills que en anar-se’n de casa, no se’l van endur. Certament algun dia encara m’agafa la nostàlgia i munto alguna casa, però bàsicament ara faig servir les peces de Lego com a material de trencaclosques o de prototip de jocs.

Peces de gruix ⅓, amb superfície amb pius o llisa que empro per fer diversos jocs

A vegades, senzillament és material per fer una foto, com en el cas d’aquest joc de tetròminos. És una foto retocada, no tinc peces de tots aquests colors. Concretament el taronja i el blau no són «naturals».

Un joc de tetròminos fet amb Lego

En altres casos són muntatges operatius. Per exemple un joc complet de tetracubs, que en el mercat només n’he trobat algun extremadament car i em vaig estimar més muntar-me’l jo mateix. Aquí sí que els colors són els reals. El que no em vaig poder fer va ser un joc de pentacubs, n’hi ha vint-i-nou i ni de lluny tic prou peces per fer-los. Es pot observar que els dos primers, a dalt a l’esquerra, són l’un la imatge especular de l’altre i girant-los en el nostre espai de tres dimensions, és impossible transformar una forma en l’altra. Els altres sis pentacubs són simètrics.

Els vuit tetracubs. En algun cas es poden veure les peces d’alçada ⅓

El següent trencaclosques fet amb Lego, es pot resoldre amb paper quadriculat i llapis, però és més sorprenent presentat en forma de peces sòlides: la peça de l’esquerra es pot dividir en dues d’iguals com es veu a la dreta de la imatge. Naturalment que si es deixa manipular la peça original, la solució és òbvia, i reunir les dues peces de la solució és massa fàcil, el trencaclosques de Lego serveix bàsicament per mostrar la solució.

Una figura divisible en dues d’iguals

Finalment, un trencaclosques relativament difícil, de manipulació, que consisteix a disposar les tres peces en forma d’U i les cinc rectangulars de l’esquerra de la imatge, format la mateixa figura. La solució a la dreta. Potser la dificultat rau en el fet que sovint no es pensa en figures amb forats.

Les peces de l’esquerra es poden disposar per muntar dues figures de la mateixa forma

Malauradament, comprar peces de Lego específiques, sempre ha estat difícil. En particular em trobo amb una curiosa paradoxa: Per internet he vist alguna persona que ven trencaclosques fets de Lego, i el preu al que els ven —inclòs embalatge enviament i el seu benefici— és menys de la meitat del que em costarien a mi les peces comprades directament a l’empresa, encara que les compri a milers. Segur que hi ha algun canal per a aquesta mena de productes, però no l’he sabut trobar.

Sóc aficionat a l’astronomia des de nen, el meu avi matern, venia de família de gent de mar i tot i que mai no es va dedicar a cap ofici relacionat, coneixia les estrelles i me les havia ensenyat algun cop de petit. Per part de pare, recordo explicacions sobre fases de la Lluna i eclipsis a base d’una làmpada, fruites i pilotetes. Als cinc anys segur que ja hi era força aficionat perquè recordo la portada del diari amb la imatge de la notícia del primer satèl·lit que es va posar en òrbita.

Per aquella època, el meu pare s’havia subscrit a una enciclopèdia temàtica, de l’editorial Labor, i la casualitat va voler que el primer volum fos dedicat a l’astronomia —i també a les ciències de la Terra—. Ja sabia llegir prou com per empassar-me-la, al menys la secció d’astronomia. Curiosament, el tema del Sol no em va interessar gaire. De gran em vaig adonar que era d’un altre autor i que el llenguatge i la redacció eren molt més difícils per a un nen.

Però el tema que primer em van apassionar, van ser els planetes.
A «La Vanguardia», a primers de mes, publicaven un mapa amb les estrelles principals que es veien i les posicions dels planetes. Sempre els cercava, inclòs Mercuri que era una mena de premi gros, perquè no és gens fàcil de veure. Hi ha la història o llegenda que afirma que Copèrnic no el va arribar a veure mai degut a les boires del seu país. Seixanta anys més tard encara tinc aquesta fascinació i al menys una vegada a l’any, en aparicions favorables, l’intento veure.

Venus i Mercuri fotografiats amb una càmera compacta des de la finestra d’un hotel a la Pobla de Lillet. La foto la vaig tractar per disminuir el soroll i augmentar el contrast.

Amb els binocles del pare, de bona qualitat però poc potents, veia fàcilment els quatre satèl·lits més grans de Júpiter. Vaig intentar veure els anells de Saturn o Tità, però no eren a l’abast d’aquell aparell. I encara menys la resta de satèl·lits que apareixien al llibre, i dels que em sabia el nom, inclòs un que no existeix anomenat Temis, presumpte satèl·lit de Saturn descobert l’any 1905 que va resultar ser un error d’observació. Malgrat que ningú no l’havia tornat a veure en 50 anys, continuava apareixent als llibres.

No va ser fins els dotze anys que em vaig dedicar més a les estrelles en general. Fins i tot amb uns binocles poc potents, una carta del cel petita i amb poques estrelles i vivint a Barcelona —que estava molt menys contaminada lumínicament que ara— hi havia força coses a observar.

Per exemple, el cúmul de les Plèiades. Recordo haver agafat angines l’endemà d’una nit de tardor en que, amb els binocles des de la finestra de la meva habitació, en vaig fer un dibuix amb una dotzena i mitja d’estrelles. O el «Penja-robes», una agrupació d’una desena d’estrelles que semblen dibuixar la figura d’un penja-robes, no són estrelles relacionades, és senzillament que per atzar les veiem en la mateixa zona del cel, però estan a distàncies molt diverses.

El Penja-robes, fotografia de la Viquipèdia

Respecte les estrelles, a vegades tenien un cert interès per la seva imatge, com ε de la Lira, que amb binocles es veu fàcilment com a doble, perquè amb un telescopi es pot observar que cadascun dels dos component és també un parell d’estrelles molt properes. 61 Cygni no només es pot veure amb dificultats com a doble amb els binocles, sinó que té un interès específic. És relativament propera a nosaltres, a 11,4 anys llum, i va ser precisament la primera estrella de la que es va poder mesurar la distància. Lalande 21185, una mica més propera i situada a l’Ossa Major té la peculiaritat de ser la nana vermella més brillant de l’hemisferi nord, tot i que a ull nu no es pot veure, amb els binocles s’aprecia la seva tonalitat vermella. Groombridge 1830, també a l’Ossa Major, sí que està al límit de la visió a simple vista, i aquí la peculiaritat és que té el moviment propi més gran entre les estrelles visibles a ull nu, només l’estrella de Barnard i la de Kapteyn tenen moviments més grans però són força menys brillants.

En aquella època també vaig intentar veure des de ciutat objectes difusos com cúmuls, nebuloses o galàxies, però llevat de la Galàxia d’Andròmeda, la nebulosa d’Orió i, potser, M13, a finals dels seixanta eren difícils de veure amb binocles des de ciutat i no en tinc cap record d’observació clara. Mai no vaig aconseguir albirar M51, la galàxia del Remolí, o M57, la nebulosa Anular o M1, la nebulosa del Cranc, per exemple. Posteriorment, amb uns binocles molt més grans, de 80 mm, i fora de ciutat sí que he aconseguit veure aquests objectes.

Els nostres ulls són capaços de distingit els colors, és una obvietat, però tant el què és un color exactament com la manera com el detectem jo no ho són tant.
La longitud d’ona de la llum —o la freqüència que és el seu invers— és la base del color. La llum de longitud més llarga que podem veure, d’uns 700 nm la veiem vermella, longituds d’ona menors corresponen al taronja (600 nm), groc (580 nm), verd (540 nm), blau (470 nm) i violeta (400 nm), els colors de l’espectre. Però això són colors purs, els de la llum d’una sola longitud d’ona, com la que produeixen els làsers o els LED —no blancs—. La llum blanca, per exemple, és una barreja de llums de diverses, si barregem tots els colors visibles, la suma serà aproximadament blanca.

Aquí cal comprendre que la informació sobre el color concret d’una font de llum, és tot un espectre, una funció que ens diu quanta n’hi ha de cada longitud d’ona. Aquesta funció pot ser contínua, com la llum d’una bombeta d’incandescència, presentar bandes, com la d’un fluorescent o ser força discreta: només uns pics de colors concrets, com en alguna mena de LED blancs.

Però els nostres ulls no tenen capacitat d’analitzar aquesta funció, fonts de llum amb espectres diferents les podem veure exactament igual. Aquest fenomen és força conegut fins i tot pels nens, si sobre un paper guixem amb un llapis blau i al damunt amb un de groc, el resultat que veiem és verd. O el vermell i el groc que donen taronja o el blau i el vermell que fan violeta.

Això és el que s’anomenen colors subtractius. Si partim del full de paper blanc que reflecteix tots els colors de la llum blanca, quan guixem en blau estem fent minvar els colors més allunyats del blau a l’espectre, els que ens queden són bàsicament verds, blaus i violetes, havent eliminat vermells i grocs. Quan guixem en groc, estem eliminant els colors allunyats del groc: blau i violeta. Si guixem groc sobre el blau, els únics colors que ens resten són els verds.

I verds en plural, perquè a una determinada zona de l’espectre, subjectiva, l’anomenem verd, però comprèn colors diferents: des d’un verd grogós a un verd maragda que tira a blau.

Els artistes antics van descobrir aviat, experimentalment, que amb tres pigments, groc, vermell —o més exactament magenta—, i blau —més exactament cian— podien reproduir qualsevol color. Amb dos no n’hi havia prou i quatre no eren necessaris.

Molt més tard, al segle XIX, es va trobar un efecte similar sumant els colors, sobre una pantalla blanca a les fosques, hi projectem llum vermella, hi veurem una taca vermella, amb diversos o un sol dels colors que veiem vermells; sobre aquesta zona hi projectem llum verda,  la zona on es superposen la veurem groga. Aquí, també, amb tres colors podem reproduir aproximadament qualsevol color natural. Dos són insuficients i quatre són massa, o no. Amb quatre o més colors es poden aconseguir alguns colors que amb tres no, però són només uns pocs matisos.

Tres colors són suficients, en termes generals, per crear-ne qualsevol altre. I això és important, des del punt de vista de l’ull humà, i cal precisar: des del punt de vista de l’ull humà normal o majoritari.

És casualitat aquest nombre tres, és una propietat de l’univers com les dimensions de l’espai on vivim?

No, és una propietat de l’ull humà.

A l’ull hi tenim dues menes de cèl·lules sensibles a la llum; els bastonets, nombrosos i petits, són molt sensibles a la llum, es poden activar amb un sol fotó, de qualsevol longitud d’ona de les visibles, encara que la seva màxima sensibilitat està en la zona del verd blavós;  bàsicament no aporten informació de color i són més abundants a la perifèria que al centre de la retina. Tot i que n’hi ha més de 90 milions, no vol dir que els ulls humans es comportin com una càmera de 90 megapíxels, estan agrupats per zones que van a parar a una única neurona del nervi òptic, o sigui que la resolució global que ens proporcionen és molt més petita. Els cons són la segona mena de cèl·lules fotosensibles, necessiten força més llum per activar-se que els bastonets, però cadascun està connectat a la seva pròpia fibra nerviosa, en tenim uns 5 milions i ni ha —i això és essencial—, de tres menes.

Cadascun dels tipus de cons és sensible a una banda concreta de longituds d’ona degut a un pigment específic que contenen. Les bandes de sensibilitat van aproximadament del violeta al verd pels anomenats S —sensibles a les ones més curtes—, dels blau al taronja pels M i del verd al vermell pels L. Aquestes dues menes de receptor solapen força la seva sensibilitat, amb màxims respectius en el verd grogós i el groc.

Amb les intensitats relatives del senyal en cada mena de cons, obtenim la informació sobre el color. Així, si sols s’activen els L, estem veient un vermell, o si s’activen tots tres blau. Al cervell li arriben tres intensitats de senyal i d’aquelles dedueix el color. És per aquest motiu que només calen tres menes de llum per tal que sumades amb les adequades intensitats ens proporcionin la sensació de qualsevol color. És per això que no podem distingir una barreja de vermell i verd d’un groc monocromàtic, totes dues llums activen els cons en les mateixes intensitats globals.

Però no tots els animals amb ulls són igualment sensibles al color. Molts de nocturns o que viuen a una certa fondària a l’aigua, no distingeixen els colors, evolutivament els ha estat més favorable desenvolupar la sensibilitat —els bastonets o el seu equivalent— que la discriminació de color. En canvi, animals que poden treure profit dels colors, sigui per trobar aliments, sigui per motius sexuals de recerca de parella, han vist afavorit el fet de tenir més menes de receptors, fins i tot n’hi ha que en tenen de sensibles a la radiació ultraviolada propera que nosaltres no podem veure. Incidentalment els humans no veiem en ultraviolat perquè el cristal·lí n’és força opac; persones que porten un cristal·lí artificial transparent als ultraviolats, poden veure-hi amb aquesta llum mitjançant els bastonets que en són sensibles, la sensació de color és de blanc.

Entre els animals amb més de tres menes de receptors destaquen alguns peixos, força ocells, i alguns insectes, en especial pol·linitzadors, encara que les abelles només tenen tres menes de receptors: respecte a nosaltres un de suplementari a la banda ultraviolada, però els hi manca el sensible al vermell.

En contrapartida la major part dels mamífers només tenen dues menes de receptors de colors, que pot ser un avantatge per poder discriminar color en condicions de baixa lluminositat. Les excepcions són la majoria dels marsupials, els monotremes, i alguns primats, entre ells catarins com l’home i els grans simis.

Però la qüestió en els humans no és tan simple, a finals del segle XVIII, va descriure per primera vegada el trastorn, que ell mateix patia, anomenat daltonisme; persones amb menys capacitat de discriminar els colors que la majoria dels humans. Normalment és degut a una mutació dels receptors L o M, que fa que siguin sensibles a bandes de longituds d’ones més properes del normal. La carència d’una de les menes de receptors o mutacions en els S, són molt menys freqüents. Més o menys els 10% dels homes són daltònics, amb lleugeres diferències entre les poblacions, en canvi entre les dones el daltonisme és més escàs, molt menys de l’1%. Això es deu a que els pigments que causen la sensibilitat al color en els cons L o M estan codificats per uns gens residents al cromosoma X. Els mascles només tenim un cromosoma X, i si porta informació defectuosa, serem daltònics. En canvi, les dones tenen dues còpies del cromosoma X, i haurien de tenir totes dues el mateix defecte genètic per ser daltòniques, cosa força improbable. Les dones que en una de les seves còpies dels cromosoma X porten el gen mutat, són portadores, la meitat dels seus fills mascles seran daltònics, independentment de si el pare és daltònic o no, l’altra meitat sans; entre les filles la meitat seran portadores i l’altra meitat sanes, llevat que el pare sigui daltònic. Els homes daltònics transmeten el seu gen a les filles, que seran portadores, en canvi als fills no, ja que l’únic cromosoma X que porten ve de la mare i no d’ells.

Però aquí no acaba la qüestió. Què passa amb una dona portadora, que pot tenir una mena de receptor de color suplementari codificat en un dels seus cromosomes X? En molts casos aquest quart tipus de receptor és sensible a una banda intermèdia entre la L i la M. I malgrat que cada cèl·lula femenina només expressi un dels dos cromosomes X, o sigui que només pugui tenir tres menes de receptors, entre tots els cons n’hi haurà la meitat que n’esperesarà un de diferent a l’altra meitat: en resum, podrà tenir quatre menes diferents funcionals de cons a la retina.

L’espai de color majoritari (2D), i el de les dones quadricromàtiques (3D)

És relativament freqüent i les dones portadores, en general, no ho saben. Entre altres coses és impossible un test amb la pantalla d’un ordinador que només té tres menes d’emissors lluminosos malgrat algun hoax que ha circulat per internet. Cal un experiment on la dona distingeixi una barreja de vermell i verd d’un groc monocromàtic que a la resta dels humans ens sembla igual —la pantalla de l’ordinador, en aquest cas només podria generar el groc barreja—. Una pista curiosa sobre les dones amb quatre receptors, les quadricromàtiques, ve de l’astronomia; des de fa més de cent anys s’havia observat que hi havia persones força més capaces que la majoria en distingir les tonalitats de les estrelles, que per a gairebé tothom són només petits matisos rogencs, ataronjats, grogosos o blavosos; sempre eren dones. En la vida ordinària és més difícil, entre altres coses perquè podem distingir moltísimes més tonalitats de color que a les que podem atribuir un nom, només les apreciem quan estan properes i comparem. A més, en fotografies o pantalles, el quart receptors no dóna més poder de discriminació. Fa uns anys vaig dissenyar un experiment on una llum groga procedent de la barreja d’un LED vermell i un altre verd, es comparava a una de taronja obtinguda fent l’espectre de la llum d’una bombeta d’incandescència. Una de les dues dones de la família, ja ho sospitava per les estrelles, va resultar que és quadricromàtica encara que no havia notat mai res especial respecte la seva sensibilitat als colors.

Dalton, va pensar que el problema del daltonisme, al qual va donar nom, venia de l’acoloriment del cristal·lí o algun dels humors del globus ocular, encara que en autòpsies mai s’havia apreciat. Quan va fer testament, va deixar els seus ulls a la ciència perquè es verifiqués la teoria, però anatòmicament no es va trobar res d’especial. L’ull que no es va disseccionar va ser conservat en formol en una universitat britànica. Més de 150 anys més tard de la mort de Dalton, se’n van extreure unes cèl·lules retinianes i es va seqüenciar la part del genoma corresponent als pigments dels receptors de color. El resultat va ser l’esperat: Dalton era daltònic i precisament amb l’anomalia més comú entre els europeus.

Som un país de ponts. Alguns antics, destruïts i reconstruïts moltes vegades, altre més nous. Obres populars o d’enginyeria més o menys avançada, per passar a peu, en tren, en cotxe, o per portar aigua.

N’hi ha de famosos i també algun pràcticament desconegut, grans i petits. I en manquen moltíssims.

Cercant-ne un de concret, n’he començat a trobar al meu arxiu fotogràfic i he decidit penjar-los aquí, senzillament per cridar l’atenció sobre aquesta mena d’obres. Com totes les meves fotos, estan disponibles amb llicència lliure Creative Commons by, sa, i algunes són les que il·lustren els corresponents articles a la Viquipèdia.

Veient-ne aquesta selecció, en començo a recordar molts més que tinc retratats, però crec que per avui ja n’hi ha prou.

Deixant de banda Vikimedia Commons que no és especialment fàcil de consultar pel públic en general, on creieu que es podrien col·locar aquestes fotos —i moltes més, evidentment en format més gran— de tal manera que fossin fàcilment accessibles i cridessin a terceres persones a incorporar-ne més?

Martorell • Pedret (Berga) • Llierca (Sadernes)

Camprodon • Gerri de la Sal • Malafogassa (Vilanova de Sau)

La pobla de Lillet • Osor • Can Prat (Sant Miquel de Campmajor)

Sopeira • Terri • Montblanc

Noguera Pallaresa • Riera de Marmellar • Barcelona, Nou Barris, aqueducte

Mora d’Ebre • Amposta • Matarranya

Pena-roja de Tastavins • Tren de la Pobla • Port de Barcelona